专题05 圆锥曲线中的最值与范围、存在性问题（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题05 圆锥曲线中的最值与范围、存在性问题 （题型突破·举一反三） 题型01 距离、长度的最值范围的问题 题型02 面积的最值、范围的问题 题型03 离心率的最值、范围的问题 题型04 斜率有关的最值、范围问题 题型05 角度有关的最值、范围问题 题型06 面积有关的最值、范围问题 题型07 向量的最值、范围问题 题型08 圆锥曲线中存在性问题 ▌题型01 距离、长度的最值范围的问题 【典例1】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，过点作的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．存在点，使得点与的下顶点重合 D．的取值范围是 【变式1-2】（25-26高二下·海南·期末）（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【变式1-3】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线：上，满足．垂直直线，是垂足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． ▌题型02 面积的最值、范围的问题 1. 设参（点、斜率、直线方程） 2. 写出面积公式 ; 弦长点线距离 3. 统一变量，化简为单变量函数 4. 确定变量定义域 5. 求函数值域，得到面积范围 / 最值 【典例2】（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【变式2-1】（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【变式2-2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点. （i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ii）求四边形面积的取值范围. 【变式2-3】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． ▌题型03 离心率的最值、范围的问题 【典例3】（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【变式3-2】（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河北衡水·一模）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）. (1)当时，求的准线方程. (2)点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上. （ⅰ）若过点，求的方程； （ⅱ）求的离心率的取值范围. ▌题型04 斜率有关的最值、范围问题 1. 设动点 ，斜率 2. 利用曲线方程消元，整理成关于x(或y)的方程 3. 利用判别式Δ ≥ 0 解出k范围 【典例4】（25-26高二上·北京·期末）若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 【变式4-1】（2026·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 【变式4-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 【变式4-3】（2026·河南·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，E的短轴长为2． (1)求E的方程； (2)已知E上的动点P位于第一象限，延长，分别交于点A，B，M是线段AB的中点，O为坐标原点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）分别记直线OP，AB的斜率分别为，，当直线PA，PB的斜率都存在时，求的最小值． ▌题型05 角度有关的最值、范围问题 【典例5】（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【变式5-1】（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【变式5-2】（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． ▌题型06 面积有关的最值、范围问题 【典例6】（25-26高二下·贵州黔南·期末）著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【变式6-1】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知抛物线，焦点为． (1)若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度； (2)已知、为上两点，且．求面积的最小值； (3)抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值． 【变式6-2】（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：直线恒过定点； (2)求面积的取值范围． 【变式6-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. ▌题型07 向量的最值、范围问题 【典例7】（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【变式7-1】（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【变式7-2】（2026高三下·全国·专题练习）已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 【变式7-3】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌题型08 圆锥曲线中存在性问题 【典例8】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（25-26高二下·天津·阶段检测）椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积取最大值时的直线方程； (3)若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 【变式8-2】（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2026·广东广州·三模）已知直线与抛物线交于A，B两点，且. (1)求p； (2)M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值. (3)若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的最值与范围、存在性问题 （题型突破·举一反三） 题型01 距离、长度的最值范围的问题 题型02 面积的最值、范围的问题 题型03 离心率的最值、范围的问题 题型04 斜率有关的最值、范围问题 题型05 角度有关的最值、范围问题 题型06 面积有关的最值、范围问题 题型07 向量的最值、范围问题 题型08 圆锥曲线中存在性问题 ▌题型01 距离、长度的最值范围的问题 【典例1】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 【变式1-1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，过点作的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．存在点，使得点与的下顶点重合 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】A B由三角形的性质可得；C利用反证法并结合椭圆的定义可得；D设，由角平分线定理和椭圆的定义可得. 【详解】， 因为，是的平分线，则由三线合一可知， 故A正确； 由A选项可知，点是线段的中点， 因为是线段的中点，所以在中有，故B正确； 假设是下顶点，则由椭圆的定义可知，，， 因为，所以， 得，， 因为，所以， 则，，则， 显然不满足，故不存在点，使得点与的下顶点重合，故C错误； 设，则， 由角平分线定理可得，，则， 则， 则，，则，故D正确.    【变式1-2】（25-26高二下·海南·期末）（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 【变式1-3】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线：上，满足．垂直直线，是垂足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，联立直线的方程与抛物线方程，得出直线过定点，进而得到的轨迹方程即可求解. 【详解】 如图所示，设，， 由于都在抛物线：上，所以，， 因为，所以，即， 所以，化简得或（舍去）， 设直线的方程为， 联立抛物线方程，得，即， 由韦达定理可知，，，结合，可得， 所以直线的方程为，过定点， 已知，所以， 所以的轨迹是以为直径的圆，圆心，半径， 因此点的轨迹方程为， 已知点，， 因此的最大值是. ▌题型02 面积的最值、范围的问题 1. 设参（点、斜率、直线方程） 2. 写出面积公式 ; 弦长点线距离 3. 统一变量，化简为单变量函数 4. 确定变量定义域 5. 求函数值域，得到面积范围 / 最值 【典例2】（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，三角形的面积有最大值，最大值为 【分析】（1）直线与椭圆交于，两点，联立方程组则，即可得到 m的取值范围为. （2）设直线与椭圆的交点，，并设，由韦达定理得到， 因为点M在直线上，得到， 消去m，再确定的范围即可求解. （3）先利用弦长公式得到 ，再由两点间的距离公式得到，则三角形的面积，可知当，三角形的面积有最大值. 【详解】（1）设这组平行直线的方程为， 把代入椭圆方程， 得， 这个方程的根的判别式． 由，得，所以的取值范围为． （2）设直线与椭圆的交点，，并设， 则，，             因为点在直线上，所以，         与联立，消去，得，             又由（1）可知，所以， 所以M的轨迹方程为． （3）由韦达定理，，， 则 ，                 由（2）知，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，             则，         三角形的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以当，即时，的面积有最大值，最大值为. 【变式2-1】（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式列式求出即可. （2）（ⅰ）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出三角形面积的函数关系，进而求出最小值；（ⅱ）假定存在并设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合韦达定理化简求解. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为. （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为. （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为. 【变式2-2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点. （i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）存在，直线的方程为；（ii） 【分析】（1）根据椭圆的对称性，可知一定在椭圆上，进一步判断点也在椭圆上，即可求出椭圆方程； （2）（i）假设四边形为平行四边形，设直线方程，联立方程组，根据平行四边形对角线互相平方建立中点等量关系，根据方程是否有解判断是否存在即可；（ii）求出直线方程，联立方程组，分别求出到直线的距离，再根据弦长公式求出，表示出面积，最后求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为关于轴对称，所以必在上，又， 所以不在上，所以在上，则，所以， 因此的方程为. （2）（i）由题意知，假设四边形为平行四边形，设直线的方程为， 设， 将直线方程代入椭圆方程，化简整理得， 所以，， 所以， 所以中点坐标为， 若四边形为平行四边形，则与互相平分，所以为中点， 则，，所以点的坐标为， 代入，化简整理得，即， 解得或（舍）， 所以，因此，存在四边形为平行四边形， 此时直线的方程为； （ii）由点的坐标为，所以直线的方程为，代入双曲线方程， 化简整理得，则，所以， 即，又点关于原点对称，则， 因为点到直线的距离， 点到直线的距离， 因为， 代入，化简得， 因为，所以，因此， 由弦长公式可得， 所以四边形面积，代入， 化简整理得，因为， 所以. 【变式2-3】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)设，， 由，消得， 则，且，， 又，则，， 因为，则， 又，，所以 ， 因为，所以， 整理得到，解得， 所以直线的方程为：，故直线过定点. (3) 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设，，联立直线与椭圆的方程消，由根与系数间的关系得，，再结合条件得，即可求解； （3）根据条件得，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 （3）由（2）知，所以，， 因为， 因为，则， 因为， 又，所以， 令，则， 当时，，所以， 当时，，， ，即，解得且， 且，且， 且， 综上所述，的取值范围为. ▌题型03 离心率的最值、范围的问题 【典例3】（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】由向量的数量积确定，进而得到渐近线的倾斜角不大于，即可求解. 【详解】任取双曲线C左支上两个不同的点都有， . 即， 即对左支上任取两个不同的点， 所以渐近线的倾斜角不大于，即 所以双曲线C的离心率. 即双曲线的离心率的最大值为. 【变式3-2】（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出共轭双曲线的标准方程，分别表示出两者的离心率平方，再结合基本不等式求乘积的最小值. 【详解】设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（）， 由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为， 对，半焦距，离心率，故； 对，半焦距，离心率，故； 则， 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此， 又，故， 即的最小值为2. 【变式3-3】（2026·河北衡水·一模）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）. (1)当时，求的准线方程. (2)点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上. （ⅰ）若过点，求的方程； （ⅱ）求的离心率的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）（ⅰ）判断出双曲线中心，结合图象平移设出双曲线方程，结合抛物线性质求出点坐标，代入双曲线方程求解即可. （ⅱ）设出点坐标，根据题意判断出点横坐标范围，结合图象平移设出双曲线方程，将，，代入双曲线方程，联立求出，表达式，代入离心率公式求范围即可. 【详解】（1）当时，依题意得的坐标为， 所以的准线方程为. （2）（ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，， 所以由对称性可知，的中心为线段的中点，即， 实半轴长为，设的方程为（）. 的横坐标为，，均在上，则的横坐标为， 设，又在上，所以， 代入的方程，得，解得. 的方程为. （ⅱ）由题知，，设，则，. 当时，过，，三点不能作双曲线. 当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等， 过，，三点不能作双曲线，则且. 因为的两个焦点均在轴上， 所以可设的方程为（，）， 将，，的坐标代入的方程，得 ①，②，③， ②－③得，因为，所以， 由①得，， 由③得，，而， 则，代入， 得，， 由且，得且. 故的离心率的取值范围为. ▌题型04 斜率有关的最值、范围问题 1. 设动点 ，斜率 2. 利用曲线方程消元，整理成关于x(或y)的方程 3. 利用判别式Δ ≥ 0 解出k范围 【典例4】（25-26高二上·北京·期末）若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 【答案】 ，； 【分析】联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和判别式计算. 【详解】联立，消去整理得， 若直线与双曲线只有一个公共点，则或， 解得或； 若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，设，， 则，解得. 故答案为：或；. 【变式4-1】（2026·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率可以得到的关系，再利用左焦点到点的距离是，计算出； （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，把通过转化为，韦达定理表示出，从而求出k的取值范围. 【详解】（1）由于椭圆 的离心率 ， 则 ，， 由于 ，故，，， 所以 ， 由于椭圆的左焦点为 ， 已知点 ，且 到 的距离为 ， 则，即，, 因为 ，所以 ， ，故 ， ， 所以椭圆 的方程为：； （2）由（1）可知，左焦点 ， 设过 且斜率为 的直线方程为， 、 ， 联立 ，得 ， 经检验， 根据韦达定理，可知， 由于 ，则，即， 即， 即， 整理，得， 将和 代入， 得， 化简得，解得， 所以的取值范围为. 【变式4-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）易知，则，     根据抛物线的定义，得，所以．     因此的方程为． （2）易得，设， 联立得消去得， ，     设的重心为， 则，     直线OG的斜率为，     要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 【变式4-3】（2026·河南·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，E的短轴长为2． (1)求E的方程； (2)已知E上的动点P位于第一象限，延长，分别交于点A，B，M是线段AB的中点，O为坐标原点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）分别记直线OP，AB的斜率分别为，，当直线PA，PB的斜率都存在时，求的最小值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）由(1)得焦点坐标，， 设第一象限内动点，满足（）， 设A)， )， 直线的方程为，联立椭圆方程， 消去得， 由韦达定理得， 所以， 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 同理联立椭圆方程，得， 因为M是线段AB的中点，所以， 所以，， 因此， 代入，得 当直线的斜率不存在时， 轴，， 联立 ，得 ， 直线 斜率 ，直线方程：， 联立椭圆： 得 ， 所以中点为， 所以 综上，直线和的斜率乘积为定值； （ⅱ）. 【分析】(1)根据椭圆相关概念列出方程，从而求解出椭圆的方程； (2)（ⅰ）设点，再求出A, 两点坐标，从而得到直线AB和OM的斜率表达式，进而求证乘积为定值； （ⅱ）求得，把原式子化为表示，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）由短轴长，得，由离心率，得， ，将和代入，得，所以， 因此椭圆的方程为； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）记直线OP，AB的斜率分别为，， 由（i），由（i）的结论，得， 得，所以 所以 根据基本不等式， ， 当且仅当，即，（）时取等号， 因此，所以 当且仅当，时 验证等号成立条件：当，，时取等号， 故的最小值为. ▌题型05 角度有关的最值、范围问题 【典例5】（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析，定点坐标为 (3) 【分析】（1）设，根据题意，利用抛物线的定义，列出方程，求得，进而得到点的坐标； （2）设直线方程，联立方程组，得到，由，化简得到，得出方程求得，进而得到直线过定点； （3）设直线，根据题意，求得的方程，联立方程组，求得和，得到，，结合两角和的正切公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. （2）解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. （3）解：由题意，可设直线且， 由，可得  则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式5-1】（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 【变式5-2】（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 【变式5-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． ▌题型06 面积有关的最值、范围问题 【典例6】（25-26高二下·贵州黔南·期末）著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）由（1）可知，所以，所以右焦点为， 设过点的直线方程为， 将直线代入椭圆方程得， 整理得，设， 由韦达定理得， 因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得. ； （ⅱ） 【分析】（1）利用已知求得的关系式，进而求解即可； （2）（i）求得右焦点为，设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，进而计算可证得结论.（ⅱ）利用，结合根与系数的关系可得，进而利用换元法与基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅱ） ， 令，所以， 所以， 当且仅当，即（此时）取等号. 所以面积的最大值为.    【变式6-1】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知抛物线，焦点为． (1)若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度； (2)已知、为上两点，且．求面积的最小值； (3)抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）运用抛物线的定义求解； （2）思路一：设的直线并联立抛物线方程；思路二：直接设两点，再结合题目条件求解. （3）算出点，设、两点坐标和直线方程再联立抛物线方程，结合题目条件求解. 【详解】（1）由题知焦点．准线方程为， 根据抛物线的定义知， 由已知，所以． （2）思路一：显然，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为，与联立，得，所以，化简得． 设，，则，． 因为， 所以， 即， 于是． 将，代入，化简得． 由，得，所以． 由，得，解得或． 由得．所以的面积 ， 于是，当时，有最小值为． 故面积的最小值为． 思路二：设，，则， 所以．① 因为．所以．② 当时，不等式②化简得，所以时不等式②成立； 当时，不等式②化简得，解得或． 综上，的取值集合是． 由得，所以的面积 将①代入，得， 所以，当时，有最小值为． 故面积的最小值为． （3）如图，由已知得，，设，，直线的方程为，与联立，得． 则，，，解得或． 因为，所以，即． 于是 ，当且仅当， 即或时等号成立． 故的最小值为．    【变式6-2】（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：直线恒过定点； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将椭圆与直线方程联立可得，，直线的方程为：，继而求出，结合韦达定理求证即可； （2）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）设，依题意，得， ，，， 所以，即得直线的方程为：① 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上，所以令代入①， 可得，由（*）得， 所以，得， 所以直线恒过定点． （2）由（1）可知直线恒过定点， 所以， 将代入得， 设，则． 因为，所以，所以． 【变式6-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为渐近线方程为，所以可得​，再将点代入双曲线方程，联立即可求解，得到双曲线方程； （2）先求出 的坐标，设过的直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，再写出的表达式，代入坐标关系化简即可求得比值； （3）设的斜率为，则​的斜率为​，分别将两条直线方程与双曲线联立，求出弦长和，根据四边形面积公式 得到关于的表达式，结合双曲线的交点限制和函数性质求解取值范围. 【详解】（1）已知双曲线（）的渐近线方程为， 因此，即. 双曲线过点 ，代入方程得： ， 将代入： ， 解得，则 . 因此双曲线的方程为 （2） 由（1）知双曲线的左右顶点为，，右焦点. 设过的直线方程为，，. 联立，消去得直线与右支交于两点， 由韦达定理得，而,故， 斜率，，则 将和代入， 化简得： ， 故. （3） 设直线（），则. 联立与双曲线：需， 则， ， 故. 同理，联立与双曲线需， 则. 四边形的面积， 代入得 , 不妨设，则, 令，则 ，设 ， 因为，所以，所以，故. 因此四边形面积的取值范围为. ▌题型07 向量的最值、范围问题 【典例7】（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）直线的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即、、三点共线. 【分析】（1）结合椭圆短轴长与椭圆的离心率求出、的值，即得椭圆的方程； （2）（i）设直线l的方程为与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标计算公式计算并化简，代入韦达定理，将其化成，再根据不等式的性质即可求得其范围；（ii）求得直线PM的方程为，利用韦达定理可化简证明，即可证明直线经过点，从而得证. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为； （2）（i）依题意可设直线l的方程为， ，，， 联立，消元得， 显然，则，， ， 则 ， 因为，所以，则， 所以的取值范围为． （ii） 略 【变式7-1】（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可. （3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可. 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 【变式7-2】（2026高三下·全国·专题练习）已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆的方程求出交点坐标，由向量的线性运算求出，最后利用换元法和二次函数的性质进行求解． 【详解】依题意射线的斜率存在，设，设， 得：，∴． 因为，M为OP的中点，所以， 则 =． 设，则． 当且仅当即时，． 【变式7-3】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案. 【详解】因为圆，所以圆心， 由是圆上的动点知， 由，得， 由，得， 所以， 将等式两边同时平方，得， 所以，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的方程可设点的坐标为， 由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图， 则， 当时，， 所以. ▌题型08 圆锥曲线中存在性问题 【典例8】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，． ②不存在最大值，理由如下： 直线的方程为，联立直线与抛物线方程得， 即， 设，，故， 所以，同理， 所以 ， 因为，故，取值区间为开区间，取不到，所以单调递增，无最大值． 【分析】（1）根据椭圆的一个焦点与已知抛物线的焦点重合，结合椭圆的定义即可求解. （2）①联立直线和椭圆方程，设交点，，再结合韦达定理，即可求解. ②利用抛物线焦点弦长公式，结合韦达定理，将表示为含的式子，结合的取值范围，分析其单调性，即可得出结论. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点为，即， 又直线与椭圆交于A，B两点，且过椭圆的左焦点， 根据椭圆的定义，的周长为，所以， 可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①联立直线与椭圆方程，可得， 整理得. 设，， 所以，. 由（1）可知，椭圆的焦点为，， 所以，， 所以 ， ． ②略 【变式8-1】（25-26高二下·天津·阶段检测）椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积取最大值时的直线方程； (3)若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)（或、）； (3)存在， 【分析】（1）根据椭圆离心率及过定点条件，结合联立求解参数，即可得椭圆标准方程. （2）设出直线的方程，联立椭圆方程求得点纵坐标，结合三角形面积公式表达的面积，利用基本不等式求最值及对应斜率，即可得直线方程. （3）先求出点及中点的坐标，假设存在定点，根据垂直关系斜率乘积为列式求解，验证结果与无关即可. 【详解】（1）∵ 椭圆离心率，∴ . 又，∴ ，椭圆方程可化为. 将点代入得，化简得， ∴ ，，. ∴ 椭圆的标准方程为. （2）由题意得左顶点，设直线的方程为. 联立，消去整理得. 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ， 代入直线方程得. 的面积，其中， ∴ . ∵ ，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立. ∴ ，即面积最大值为，此时， 直线的方程为. （3）在中令，得，∴ . ∵ 是线段的中点， ∴ ，， ∴ 直线的斜率. 假设轴上存在定点满足题意，则直线的斜率. ∵ ， ∴ ，即，解得. 该结果与的取值无关，对任意均成立. ∴ 存在定点满足题意. 【变式8-2】（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 【变式8-3】（2026·广东广州·三模）已知直线与抛物线交于A，B两点，且. (1)求p； (2)M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值. (3)若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点 【分析】（1）联立给定的直线与抛物线方程，利用弦长公式求出. （2）由（1）求出，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、数量积的坐标表示，并求出三角形面积的函数关系求解. （3）假定存在，设出直线方程，重心抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式求解. 【详解】（1）设，由，得， 方程的判别式， 则，， 因此，而，所以. （2）由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴， 设直线：，，， 由，得 由方程的判别式， 得，，， 由，得，即， 整理得，即， 整理得，而，则， 由，解得或，或， 设点到直线的距离为，则， ， 因此的面积， 当且仅当时取等号，所以的面积最小值为. （3）假设存在这样的点满足条件，设， 由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即， 于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零， 设直线QR的方程为，由得， 则，， ，整理得， 即，则，而不恒为0，因此，此时， 所以存在点到直线的距离相等. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $