专题02 椭圆、双曲线与抛物线的标准方程与几何性质10大重难考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期北师大版

专题02 椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质 考点01 圆锥曲线基本量的求解 1 考点02 求圆锥曲线轨迹方程 5 考点03 由几何关系求圆锥曲线标准方程（重点） 7 考点04 圆锥曲线中的点到焦点与定点的距离和差问题 9 考点05 椭圆双曲线的焦点三角形周长面积问题 12 考点06 圆锥曲线中的中点弦问题 17 考点07 双曲线的渐近线综合题型 20 考点08 抛物线焦点弦长的性质（重点） 21 考点09 椭圆双曲线离心率的求值（重点） 25 考点10 椭圆双曲线离心率的取值范围（难点） 27 考点01 圆锥曲线基本量的求解 1．（25-26高二上·重庆·月考）已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为曲线上的动点，，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）抛物线的焦点F到其准线的距离为 ;抛物线上一点M，且，则M点的横坐标为 . 5．（25-26高二上·北京东城·月考）双曲线的渐近线为，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 考点02 求圆锥曲线轨迹方程 6．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 10．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 考点03 由几何关系求圆锥曲线标准方程（重点） 11．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为 . 14．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 考点04 圆锥曲线中的点到焦点与定点的距离和差问题 16．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 17．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 18．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 19．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 20．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 考点05 椭圆双曲线的焦点三角形周长面积问题 21．【多选题】（25-26高二上·四川达州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 22．【多选题】（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 23．【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 24．【多选题】（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 考点06 圆锥曲线中的中点弦问题 26．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为 29．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 30．（25-26高二上·河北·月考）已知在抛物线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 . 考点07 双曲线的渐近线综合题型 1．（25-26高二上·北京·月考）已知双曲线的右焦点为F，C在第一、三象限内的渐近线为，过点作于点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 左、右顶点分别为 以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点M位于第一象限，且 则下列说法一定正确的是 A． B．双曲线C的离心率为 C． D．当时，四边形 的面积为 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 考点08 抛物线焦点弦长的性质（重点） 6．【多选题】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 7．【多选题】（25-26高二上·湖南·月考）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以线段为直径的圆与轴相切 8．【多选题】（25-26高二上·吉林·月考）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 9．【多选题】（25-26高二上·江苏南通·期中）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 10．【多选题】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点09 椭圆双曲线离心率的求值（重点） 31．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知椭圆左右焦点分别为，，点M在椭圆上，满足，且M到x轴的距离为，则椭圆C的离心率是 ． 32．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·河北·月考）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为 . 34．（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 35．（25-26高二上·河北·月考）双曲线的左、右焦点分别为，，圆，过作圆的切线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 考点10 椭圆双曲线离心率的取值范围（难点） 36．（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·重庆·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·江苏无锡·月考）法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．（2025高二上·全国·专题练习）已知点在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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5．（25-26高二上·北京东城·月考）双曲线的渐近线为，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义及渐近线定义计算即可得. 【详解】由双曲线的渐近线为， 则，解得. 故选：C. 考点02 求圆锥曲线轨迹方程 6．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解． 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 7．（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解. 【详解】设依题意有，即， 所以，即，所以， 故选：D. 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 9．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 10．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 考点03 由几何关系求圆锥曲线标准方程（重点） 11．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义得， ，然后在和中，利用勾股定理得，，即可求解椭圆方程. 【详解】连接，由椭圆的定义有， ， 因为，所以， 在中，，即，解得， 在中，，即， 所以，解得，所以， 所以椭圆的方程为即. 故选：B 12．（25-26高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切点可求和切线斜率为，从而可得切线方程求焦点，再利用，即可求椭圆方程. 【详解】    由过的直线与圆切于点可得：， 则，由此可得切线的斜率为， 即可得切线方程：，整理得：， 令，可得，即焦点， 所以即， 所以椭圆方程为， 故选：C. 13．（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 考点04 圆锥曲线中的点到焦点与定点的距离和差问题 16．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， . 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 17．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 18．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 19．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 20．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 考点05 椭圆双曲线的焦点三角形周长面积问题 21．【多选题】（25-26高二上·四川达州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D： ，，D正确. 故选：BCD 22．【多选题】（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】AC 【分析】根据椭圆的方程确定椭圆的，由定义可得，，结合椭圆焦点三角形的几何性质逐项分析就可得答案. 【详解】椭圆中，，则， 由椭圆的定义得，， 对于A，若，则， 由余弦定理得：，所以，故A错误； 对于B，因为，又， 所以，故面积的最大值为，故B正确； 对于C，，又， 所以，故C正确； 对于D，由于时，，则，即的最大角为， 故满足使得是直角三角形的点P有4个，如下图： 使得是直角三角形的点P有2个，使得是直角三角形的点P有2个，如下图： 综上，满足是直角三角形的点P共有8个，故D不正确. 故选：AC. 23．【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABD 【分析】设点，则，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设点，则，且，、， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故A正确； 对于B选项，设，，其中， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，可得， 所以，，故C错误； 对于D选项，由题意可知，则，故D正确. 故选：ABD. 24．【多选题】（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的内切圆与线段，，分别相切于点，，，由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 25．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 考点06 圆锥曲线中的中点弦问题 26．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 27．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    28．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为 【答案】 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案. 【详解】由题易知P在椭圆内，设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 所以以P为中点的弦所在直线的方程，即； 故答案为： 29．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【详解】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    30．（25-26高二上·河北·月考）已知在抛物线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由两点的对称直线方程设直线方程，联立方程组消元后得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到中点坐标，代入对称直线方程后得到参数的关系式，结合二次方程的判别式建立不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】设，，关于直线对称， 设的直线方程， 与抛物线方程联立，消去得，， 由韦达定理可得，，则，即. 设中点为，则，， 因为中点在直线上，所以，即， 所以，解得或， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 考点07 双曲线的渐近线综合题型 1．（25-26高二上·北京·月考）已知双曲线的右焦点为F，C在第一、三象限内的渐近线为，过点作于点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系确定，联立直线方程即可求解. 【详解】由双曲线方程可知：渐近线方程为：， 则，又， 所以垂线方程为，联立，消去得： 解得：，则， 即的坐标为， 故选：D 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 左、右顶点分别为 以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点M位于第一象限，且 则下列说法一定正确的是 A． B．双曲线C的离心率为 C． D．当时，四边形 的面积为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组的方法求得两点的坐标，根据列方程，求得的关系式，结合双曲线的离心率、对称性、两点间的距离、四边形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为， 双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或，故，， 又因为 所以，， 所以， 又因为， 所以， 从而得，， 所以， 对于A，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可得 又因为，解得，故B错误； 对于C，设，则，因为， 且，即， 所以， 所以，C选项正确. 对于D，当时，， 所以， 所以， 又因为四边形的面积，故D错误. 故选：AC. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得， 再结合条件及间的关系可得，即可求解. 【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线的渐近线为， 故选：D. 考点08 抛物线焦点弦长的性质（重点） 6．【多选题】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 【答案】AD 【分析】求出焦点坐标与准线方程，结合焦半径公式判断A，即可求出，从而判断B、C，根据抛物线的定义证明D. 【详解】对于A：抛物线：，则，准线方程为，由，解得，故A正确； 对于B：由，即，解得，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：设，则，设的中点为，过作准线的垂线段，垂足分别为， 则，， 由梯形中位线定理知， 所以以为直径的圆与准线相切，故D正确.    故选：AD 7．【多选题】（25-26高二上·湖南·月考）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】利用抛物线定义求点的坐标、计算线段长度、分别验证选项正确性. 【详解】依题意，所以直线的方程为，联立抛物线方程消去得，解得，又， 根据抛物线的定义可知，所以，故A正确; 又，所以，故B正确; 过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，又直线的斜率为， 所以，所以，故，即，所以，故C不正确; 因为，所以线段的中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：ABD. 8．【多选题】（25-26高二上·吉林·月考）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 【答案】BD 【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求得，利用焦点弦的性质，判断A；联立直线与抛物线，利用韦达定理，结合焦半径公式判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式求解判断D. 【详解】由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A：由焦点弦的性质，将代入， 解得，故A错误； 对于B： 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以， ， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，， 由，得为的重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：BD. 9．【多选题】（25-26高二上·江苏南通·期中）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 【答案】BCD 【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，求出点、的坐标，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用直线与圆的位置关系可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线的方程为， 设点、，易知直线的方程为， 对于A选项，联立可得，解得或， 所以，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，设线段的中点为，则，则，， 点到直线的距离为，故直线与以为直径的圆相切，C对； 对于D选项，记点、，则点、， ，，所以，即， 即是直角三角形，D对. 故选：BCD. 10．【多选题】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 考点09 椭圆双曲线离心率的求值（重点） 31．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知椭圆左右焦点分别为，，点M在椭圆上，满足，且M到x轴的距离为，则椭圆C的离心率是 ． 【答案】 【分析】设，，由，得到，由M在椭圆上，得，联立即可求解. 【详解】设，则，， 则， 由题意 即，即，即 又，得，即， 所以， 由， 所以，得，即， 所以，即， 所以离心率， 故答案为： 32．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 33．（25-26高二上·河北·月考）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据垂直关系列出点的坐标，然后根据共线向量得到的关系式，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】设，，过点作轴，因为垂直于轴， 将代入椭圆方程，得，所以， 又因为，所以，， 所以，，即，代入椭圆方程得， 即，因为，所以，. 故答案为：. 34．（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率． 【详解】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即， 即，所以. 故选：A.    35．（25-26高二上·河北·月考）双曲线的左、右焦点分别为，，圆，过作圆的切线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分为点在双曲线的左支上和点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上两种情况讨论，结合几何关系和双曲线的定义求出或，再利用离心率即可求解. 【详解】情况一：如图（1），当时，点在双曲线的左支上， 设过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，垂足为， 由题可知，， 则， 因为，且点为中点， 则，， 由，则，， 由双曲线定义得，即， 所以，所以，选项B正确； 情况二：当时，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上， 过作圆的切线，切点为，连接，则，过作， 垂足为， 同情况一，，，，，， 由，则，， 由双曲线定义得， ，所以，所以，选项C正确. 故选：BC. 考点10 椭圆双曲线离心率的取值范围（难点） 36．（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 37．（25-26高二上·重庆·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 38．（25-26高三上·江苏无锡·月考）法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆焦点位置确定的下限，再根据蒙日圆定义得蒙日圆方程，结合为锐角的条件分析直线与蒙日圆的位置关系，求得的范围，最后计算椭圆离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，得. 直线都与椭圆相切， 直线所围成的矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆. 因恒为锐角，故点在蒙日圆外. 又在直线上， 因此直线与蒙日圆相离，即原点到直线的距离大于蒙日圆半径. 原点到直线的距离：，故，平方得，即. 结合，得. 椭圆离心率. 当时，，故，即. 故选：B 39．（2025高二上·全国·专题练习）已知点在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与，可设，设，利用点在椭圆上且点在椭圆内（在的延长线上），探求出的范围为，由勾股定理表达，法一建立离心率的函数关系，换元法求解值域即可；法二可结合的变化范围得到离心率的变化范围，再加以几何验证可得. 【详解】如图，，在中， 由，可设， 则，设，， 由在的延长线上，则， 由点在椭圆上，则， 又在椭圆内，则，可得， 在中，由，得， 可得， 法一：， 令，则， 可得， 所以， 再令，构造函数， 则在上单调递增， 因此的值域为，即. 法二：由，可得①； 且， 可得②； 故由①②可得，. 几何验证：当时，即，离心率； 当时，即，，离心率； 注意到，当时，即时，如图，此时点在椭圆内（不为界点）满足题意. 故选：A. 40．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用中点公式及点位置可得答案. 【详解】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为：    33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $