专题01 直线与圆8大重难考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期北师大版

专题01 直线与圆 考点01 点到直线的距离与最值问题 1 考点02 点关于直线对称与最值问题 5 考点03 求圆的标准方程与最值 7 考点04 直线与圆相交的弦长与最值（重点） 9 考点05 直线与圆相切与最值（重点） 12 考点06 切点弦方程中定点与最值问题（难点） 17 考点07 直线与圆的几何与常见代数最值（重难点） 20 考点08 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 21 考点01 点到直线的距离与最值问题 1．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 2．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·期中）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. (1)求边所在的直线方程； (2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 4．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为 ． 5．（25-26高二上·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 考点02 点关于直线对称与最值问题 6．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为 ． 7．【多选题】（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 8．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为 9．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 考点03 求圆的标准方程与最值 11．（25-26高二上·广东广州·月考） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 12．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 13．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为 ． 14．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 15．（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 考点04 直线与圆相交的弦长与最值（重点） 16．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 17．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 18．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 19．（2025高二上·江苏南京·专题练习）一束光线从点射出，经轴反射后与圆相交于两点，且，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（2025高二上·湖北襄阳·专题练习）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 考点05 直线与圆相切与最值（重点） 21．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程； (3)为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值． 22．【多选题】（25-26高二上·重庆·月考）下列命题正确的是（   ） A．已知圆 ，直线 ，则直线 与圆 相交或相切 B．若点 在圆 外，则 或 C．由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ，，若四边形 为正方形，则动点 的轨迹方程为 D．设直线系 ，则 中存在两条直线的距离为 4 23．（25-26高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求动点的轨迹方程； (2)点在动点的轨迹上，求的最大值； (3)若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 24．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 考点06 切点弦方程中定点与最值问题（难点） 26．（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 27．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为 ，直线过定点 . 28．【多选题】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 29．【多选题】（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 30．【多选题】（24-25高二上·山西太原·月考）以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 考点07 直线与圆的几何与常见代数最值（重难点） 31．【多选题】（23-24高二上·河北唐山·期中）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 32．【多选题】（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为14 C．的取值范围为 D．的最小值为 33．【多选题】（25-26高二上·河北邢台·期中）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 34．（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长 （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 35．【多选题】（25-26高二上·广东·期中）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 考点08 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 36．（25-26高二上·广西贺州·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是 ． 37．（25-26高二上·湖北·期中）已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A．2 B． C． D．5 38．（25-26高二上·四川眉山·期中）已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 39．【多选题】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（   ） A．圆C的方程是 B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为 C．圆C与圆有两条公切线 D．过点A作直线，若圆C上恰有三个点到直线的距离为，该直线斜率为 40．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆 考点01 点到直线的距离与最值问题 1 考点02 点关于直线对称与最值问题 5 考点03 求圆的标准方程与最值 7 考点04 直线与圆相交的弦长与最值（重点） 9 考点05 直线与圆相切与最值（重点） 12 考点06 切点弦方程中定点与最值问题（难点） 17 考点07 直线与圆的几何与常见代数最值（重难点） 20 考点08 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 21 考点01 点到直线的距离与最值问题 1．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 2．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 3．（25-26高二上·湖北武汉·期中）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. (1)求边所在的直线方程； (2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，求出直线方程，进而求出点坐标，利用轴对称，结合直线的点斜式方程求解. （2）由已知可得直线l过边AC的中点或，再利用直线点斜式方程分类求解. 【详解】（1）由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3， 得直线BC方程为，即， 而的角平分线CD所在的直线方程为，由， 解得，则，设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上， 则，解得，即，直线的斜率， 所以直线AC的方程为，即. （2）由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点， 由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或， 当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线l的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 4．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑，斜率存在时，设直线方程，然后根据原点到直线的距离列方程，解方程即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为3，不符合题意，所以直线的斜率存在． 因为直线过点，所以设直线的方程为． 因为点到直线的距离为4，所以，解得或． 所以直线的方程为或 故答案为：或 5．（25-26高二上·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由表示到坐标原点的距离即可求解. 【详解】由，即为和，两点间的距离， 所以的最小值为即为到直线的距离， 即， 所以的最小值为1， 故选：D 考点02 点关于直线对称与最值问题 6．（25-26高二上·江西宜春·月考）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 7．【多选题】（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 8．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为 【答案】/ 【分析】设，由AB的中点坐标在直线上，进而求出a的值，根据角平分线的性质知点A关于角平分线对称的点在直线BC上，进而求得，求出直线BC方程，进而求出点C坐标，结合两点距离公式和点线距公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设， ∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴. 由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上， 得，解得，所以， 由和B得BE的方程. 由，解得，即， 得， 点A到直线BE的距离为， 所以. 故答案为： 9．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 10．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 考点03 求圆的标准方程与最值 11．（25-26高二上·广东广州·月考） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 12．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求得，进而可求得线段的垂直平分线方程，由题意的外接圆的直径为，据此求解即可； （2）设，利用坐标表示出点坐标，代入外接圆的方程即可求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为.    13．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，故直线的方程为，设，可得，求解即可得圆的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与直线相切于点，所以，且圆的半径． 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为． 因为圆与圆外切，所以，设， 则，依题意， 所以，解得， 所以， 所以圆的标准方程为． 14．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 15．（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 考点04 直线与圆相交的弦长与最值（重点） 16．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再分析取得最小值时的情况，利用弦长公式求解即可. 【详解】由直线得： ， 由， 则直线过定点， 由圆可得圆心，半径， 所以圆心与定点的距离为: ， 由， 所以点在圆内， 所以当圆心与定点的连线垂直于时，取得最小值， 则的最小值为， 故选：C. 17．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量. 【详解】将直线的方程整理为：， 令，解得，因此直线过定点， 因为圆：的圆心为，半径， 所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内）， 设圆心到直线的距离为，则弦长公式：， 由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离）， 因此：，代入弦长公式得： (时，；当时，). 因为为整数，结合范围，可能的整数值为、. 当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程： ，得，对应1条直线； 当时，由弦长公式，解得，即， 圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得： ，，， 此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线. 所以对应1条，对应2条，共条. 故选：B. 18．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆，即， 可知圆心为，半径，且， 圆心到直线的距离， 因为圆与相交于两点，且为正三角形， 所以，即，解得. 故选：C. 19．（2025高二上·江苏南京·专题练习）一束光线从点射出，经轴反射后与圆相交于两点，且，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出点关于轴的对称点，再设反射光线所在直线的斜率为，结合弦长公式即可求解. 【详解】圆的方程可化为. 易知关于轴对称的点为. 如图所示， 易知反射光线所在直线的斜率存在，设为， 其方程为，即， ， ∴圆心到直线的距离为， 即，化简得，解得或. 故选：C. 20．（2025高二上·湖北襄阳·专题练习）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线 是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，由得圆心 到直线 的距离为，设直线 的方程为 ， ，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由 ，则 ， ，即 ， 所以曲线 是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 因为， ，即 ，所以 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ． 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ， ， 圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 因为 ，所以 ． 故选：C． 考点05 直线与圆相切与最值（重点） 21．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程； (3)为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出的垂直平分线方程，利用圆的性质可得圆心在的垂直平分线上，求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式求解； （3）由题表示圆上的点到的距离的平方，根据圆的几何性质可以转化为求出圆心到点的距离减去半径即可，平方后得最小值. 【详解】（1）由题，的中点为，的斜率， 所以的垂直平分线方程为，又圆心在直线上， 联立，解得，所以圆心坐标为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）①当直线斜率不存在时，，即 经检验当的方程为时，验证可知与圆相切； ②当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为 即时，圆心到直线的距离为，解得， 所以的方程为，即. 所以直线的一般式方程为或. （3）由（1）知圆心为，半径为2， 表示圆上的点到的距离的平方. 圆心到的距离，圆的半径，因为，所以在圆内部， 圆上点到的最小距离为，因此最小值为. 22．【多选题】（25-26高二上·重庆·月考）下列命题正确的是（   ） A．已知圆 ，直线 ，则直线 与圆 相交或相切 B．若点 在圆 外，则 或 C．由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ，，若四边形 为正方形，则动点 的轨迹方程为 D．设直线系 ，则 中存在两条直线的距离为 4 【答案】ACD 【分析】根据直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、圆的切线、直线间的距离等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A：圆的圆心坐标为，半径为，直线. 圆心到直线的距离为. 所以直线与圆相交或相切，A正确； 对于B：因为点在圆外，所以， 即，解得或. 而，所以. 解得，所以或者，B错误； 对于C：圆的圆心为，半径为1，因为四边形为正方形， 所以，所以动点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 方程为，C正确； 对于D：取时，直线方程为；取时，直线方程为，这两条直线的距离为4， 所以中存在两条直线的距离为4，D正确. 故选：ACD. 23．（25-26高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求动点的轨迹方程； (2)点在动点的轨迹上，求的最大值； (3)若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；. （2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案； （3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）因为动点与点的距离是它与点的距离的倍， 可得，整理得， 所以动点的轨迹方程. （2）由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为， 因为可以看成点与点的斜率， 则过点，斜率为的直线方程为，即， 当过点的直线与圆相切时，斜率取最值， 直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离， 解得，所以得最大值为1. （3）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在， 可设直线过点的方程为， 即， 由圆的弦长公式可得，解得， 即圆心到直线的距离，则，解得或， 则直线方程为，即， 所以直线方程为或.      24．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 25．（2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有半径且与圆心的距离，结合及二倍角余弦公式求. 【详解】由，则圆心，半径， 所以与圆心的距离， 所以，则. 故选：B 考点06 切点弦方程中定点与最值问题（难点） 26．（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 27．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为 ，直线过定点 . 【答案】 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】如图：    因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 28．【多选题】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】ACD 【分析】根据垂径定理可求得A正确；根据圆心到直线距离等于和可知B错误；根据垂直关系可求得，知C正确；根据圆心与切点连线垂直可推导得到圆上任一点处的切线方程，进而推导得到直线的方程，根据直线过定点的求法可构造方程组求得定点坐标，知D正确. 【详解】由圆知：圆心，半径； 对于A，当时，圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ，圆上到直线的距离为的点有个，B错误； 对于C，为圆的两条切线，，， ，， ，当时，取得最小值， 四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：； 当或时，在处切线的斜率为， 在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为：； 当或，在处切线满足方程； 综上所述：在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则， 坐标满足方程， 即直线方程为：； 为直线上的动点，， 直线，整理可得：， 令，解得：， 直线恒过定点，D正确. 故选：ACD. 29．【多选题】（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 30．【多选题】（24-25高二上·山西太原·月考）以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】BD 【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B设，利用圆心到直线的距离不等于半径得到不等式，求出的范围；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断． 【详解】选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径， 设，则，解得， 所以的最大值是4，故B正确； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形， 所以 ， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 选项D：设点为直线上一点， 则以，为直径的圆的方程为，即：， 两圆的方程相减得到直线方程为， 即，令，解得， 所以直线过定点，故D正确． 故选：BD． 考点07 直线与圆的几何与常见代数最值（重难点） 31．【多选题】（23-24高二上·河北唐山·期中）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 32．【多选题】（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为14 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，首先将圆的一般方程化简为标准方程，即可判断A，对于B，C，分别设和，转化为直线与圆有交点，列式求解，判断B，C，对于D，为圆上的点与原点连线的距离，判断D. 【详解】对于A，圆的一般方程化简为圆的标准方程为，所以圆的半径为2，故A正确； 对于B，设，化为，可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得，所以的最大值为21，故B错误； 对于C，设，即，直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得或，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆心到坐标原点的距离为=，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 33．【多选题】（25-26高二上·河北邢台·期中）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】根据题意得出，，则，然后求出到直线AB距离的最值即可判断选项AB；结合图像判断出最小和最大时的状态，即可得出答案. 【详解】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点， 所以，，则． 因为点在圆：上，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 则点到直线的距离的范围为， 则，所以面积的最大值是， 最小值为，A正确，B错误． 当最大或最小时，与圆相切，连接， 可知，，， 由勾股定理可得，CD均正确． 故选：ACD. 34．（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长 （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出直线必过的定点，判断直线和圆的位置关系，再结合弦长公式求解即可. （2）法一由圆心到距离相等及圆心在直线上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程；再利用不等式结合圆的标准方程求解，法二由圆心在垂直平分线上及直线上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程，再设，将问题转化为直线与圆有公共点求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得，，则直线必过， 而，则直线与圆C相交，圆心， 由圆的性质得当且仅当时，直线与圆相交的弦长最短， 由两点间距离公式得连线长度为， 由圆的弦长公式得所求最短弦长为. （2）法一：设圆心的坐标为，因为圆心在直线上， 所以.①，因为A，B是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有， 即.②由①②可得，， 所以圆心的坐标是. 圆的半径， 所以所求圆的标准方程是， ， ，当且仅当时取等， ，即， ， 的取值范围是. 法二：设线段的中点为，由A，B两点的坐标为，， 可得点的坐标为，直线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线的方程是， 即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解，解得. 所以圆心的坐标是，圆的半径， 所以所求圆的标准方程是， 设，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离， 即，， 的取值范围是. 35．【多选题】（25-26高二上·广东·期中）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，可判定A错误；连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定B错误；由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定C正确；设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定D正确. 【详解】对于A，由圆，可得圆心为，半径为 又由直线，可得，可得过定点，则点在圆内部， 根据圆的性质，可得当直线，弦取得最小值，所以A不正确； 对于B，因为是弦的中点，连接，可得， 设，可得，整理得， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 因为，可得点在圆外， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C，由， 要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 又由的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，所以C正确； 对于D，设，且， 可得，所以， 因为动点的轨迹方程为， 设，可得， 则直线与圆必有公共点， 可得，即，解得， 所以得最大值为，所以D正确. 故选：CD.    考点08 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 36．（25-26高二上·广西贺州·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用可得到点在圆上，再结合已知条件可将问题转化为圆与圆有公共点的问题即可求解. 【详解】设， ，，，， ，，即，化简得， 在以为圆心，为半径的圆上， 又点在圆上，两个圆有公共点， 设圆心距为，则，又， ，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 37．（25-26高二上·湖北·期中）已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，结合圆与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 38．（25-26高二上·四川眉山·期中）已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分别找到直线、所过定点，求两直线垂直，从而得交点的轨迹是以两定点的中点为圆心，以为半径的圆，再根据两圆位置关系求解. 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 但由于直线不可能为，直线不可能为， 所以直线与直线的交点不包含， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心， 半径为的圆（除点）， 又圆的圆心，半径， 由于，两圆相离，如下图所示， 的最小值是．    故答案为： 39．【多选题】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（   ） A．圆C的方程是 B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为 C．圆C与圆有两条公切线 D．过点A作直线，若圆C上恰有三个点到直线的距离为，该直线斜率为 【答案】BCD 【分析】对于A，设，再根据列式化简可得圆C的方程；对于B，根据垂径定理求解即可；对于C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对于D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可. 【详解】对于A，设，由，得， 化简可得圆C的方程是，故A错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为，即， 圆的圆心，半径， 圆心到的距离为， 故所求弦长为，故B正确； 对于C，圆的圆心，半径， ，则， 故两圆相交，有两条公切线，故C正确； 对于D，当直线的斜率为0时，直线方程为，过圆心C， 而圆C的半径为，则圆C上有四个点到直线距离为，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线， 由题意C到的距离等于，即，解得， 故直线的斜率为，故D正确， 故选：BCD. 40．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】设，则， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即． 因为， 所以圆与圆相交， 所以点P的个数为2． 故选：C. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $