第一章 直线和圆（高效培优单元测试·提升卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

第一章 直线与圆（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 2.已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4.设集合，，若只含一个元素，则（   ） A． B． C． D． 5．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 8.已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：与直线：，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线可能相交 B．直线与直线可能重合 C．直线与直线可能平行 D．直线与直线可能垂直 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 13.已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 14．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 17.（本小题满分15分） 已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 18.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知圆以及圆. (1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程； (2)设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点. （i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与圆（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【解析】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 2.已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【解析】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 3.过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【解析】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 4.设集合，，若只含一个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两集合中，点的属性即可判断. 【解析】集合表示直线上及上侧所有点， 集合表示圆心在，半径为1的圆上所有的点， 又与相切， 所以若只含一个元素，则， 故选：C． 5．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】记，则为直线AP的斜率，数形结合即可求出最小值和最大值，从而可得其范围. 【解析】记，则为直线AP的斜率， 故当直线AP与半圆相切时，k最小， 此时设，故，解得或， 由图可知需舍去，故． 当过时，． 6. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知，当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 7．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，    则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20. 故选：A. 8.已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【解析】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：与直线：，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线可能相交 B．直线与直线可能重合 C．直线与直线可能平行 D．直线与直线可能垂直 【答案】ABC 【分析】根据给定直线方程写出它们的斜率及对应的一个点，再对各选项逐一分析即可判断作答. 【解析】直线：的斜率为，过定点，直线：斜率为，过点， 若直线与直线相交，则，而，即可以 成立，A正确； 若直线与直线重合，则，且，而，可以有，B正确； 若直线与直线平行，则且，而，可以有，C正确； 若直线与直线垂直，则，则，与矛盾，直线与直线不可能垂直，D错误． 故选：ABC 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【解析】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 【答案】BCD 【分析】联立曲线与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【解析】曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线关于轴、原点对称，作出曲线的图形如下图所示： 对于A选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线交轴于点、、， 结合图形可知，曲线上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，则必有，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由可得，所以， 所以， 因为，则，故， 故，即的最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线所围成图形面积为，D对. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 【答案】3 【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得. 【解析】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 13.已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值. 【解析】因为圆，圆， 所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1. 两圆心之间的距离为，所以两圆相离. 所以的最小值为. 14．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .    【答案】， 【分析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式即可求出点的轨迹方程；根据三角函数得到临界值时点的横坐标，即可得到的取值范围. 【解析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ， 设成功点，则，即， 化简得，因为点在矩形场地内，所以， 所以点的轨迹方程是.    当与圆相切时，则有， 所以，所以，又， 若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【分析】（1）联立两直线方程解得交点坐标，再由垂直关系可得斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）分别讨论截距是否为0，代入点坐标计算可得结果. 【解析】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即.(6分) （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以，（10分） 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或.（13分） 16．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【解析】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为.（5分） （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得，（9分） 于是，解得或，（14分） 所以点的坐标为或.（15分） 17.（本小题满分15分） 已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【解析】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即.（5分） （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交.（10分） （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为.（15分） 18.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解， （2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解. 【解析】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为．（4分） （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以．（10分） ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以，（14分） 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为．（17分） 19．（本小题满分17分） 已知圆以及圆. (1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程； (2)设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点. （i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【分析】（1）联立两圆求交点，根据几何法求圆心和半径，可得答案； （2）（i）由题意设出直线方程，利用弦长公式，求得弦长，利用基本不等式，可得答案； （ii）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，利用两直线求交点，求点的横坐标表示，可得答案. 【解析】（1）联立两圆方程，可得，消去整理可得：，解得，则， 则所求圆所过点分别为，，， 由的中垂线为轴，则可设圆心， 由，则，解得， 故所求圆的半径，故圆的标准方程为.（6分） （2）（i）由，则圆心，半径， 由直线过点D且斜率非0，则可设， 即点到直线的距离，故， 由，且直线过点D，则可设， 即点到直线的距离，故， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故四边形EPFQ的面积为S最大值为.（11分） （ii）设，设直线， 联立，消得，则，即， 直线的方程为，直线的直线方程为， 联立，消得， 解得， 由，则，即， N在定直线.（17分） 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$