精品解析：云南省宣威市第三中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

云南省宣威市第三中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系、常用数集以及空集的概念逐一判断即可. 【详解】是元素，不是集合，故A错误； 不含任何元素，故B错误； 表示自然数集，表示整数集，所以是的子集，故C正确； 表示的是集合，，故D错误. 故选：C. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B 3. 以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义判断各个选项，然后由函数解析式判断在上的单调性，即可得到结论. 【详解】A选项，，函数为奇函数，A不是； B选项，，函数为偶函数，当时，在上单调增，B不是； C选项，，函数为偶函数，函数为开口向下的二次函数， 对称轴为，所以函数在上单调递减，C是； D选项，，函数为奇函数，D不是. 故选：C. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值法可判断A、B、C选项的正误，利用不等式的基本性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，，则，A选项错误； 对于B选项，取，，则成立，但，B选项错误； 对于C选项，取，，，，则，，但，C选项错误； 对于D选项，若，则，那么，由不等式的基本性质可得，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题. 5. 已知，则解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，代入化简得到答案. 【详解】设，，，故. 则解析式为. 故选：B. 6. 定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数得到，然后利用函数的单调性得到结果. 【详解】∵，∴，， 又∵在上是减函数，且， ∴，即. 故选：D. 7. 函数对任意的实数，，都有成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的特点，列出相应的不等式，解不等式组即可得到答案. 【详解】因为函数对任意的实数，，都有成立， 则函数在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正实数a与b为函数的一对“类指数”，得到，再利用“1”的代换，由基本不等式求解. 【详解】因为正实数a与b为函数的一对“类指数”， 所以， 所以，即，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又的最小值为9， 所以k的值为1， 故选：B 二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】由函数的定义可知，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值， 对于A：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于B：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 对于C：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于D：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 故选：BD． 10. 下列命题为真命题的是（   ） A. 已知集合，且，则实数的值为 B. 集合用列举法可表示为集合 C. 不等式的解集为，则 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到或，求出，根据集合的互异性，即可求解；对于B，解方程组即可用列举法表示为；对于C，根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理求出即可判断；对于D，根据题意得到，可列举出的情况即可判断. 【详解】对于A，因为，则或，当时，，不满足集合的互异性，舍去，当时，解得或，当时，不满足集合的互异性，舍去，当时，符合题意，故A正确； 对于B，解得，所以集合用列举法可表示为集合，故B错误； 对于C，根据一元二次不等式与一元二次方程的关系得的两根为和，由韦达定理得，，即，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，满足条件的集合可以为，，，，共个，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知连续函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（    ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法判断AC，利用基本不等式结合给定条件取舍判断B，利用特殊函数法判断D. 【详解】对于A，令，而， 代入得，解得或， 当时，令，得到，解得， 此时也有，与若，则矛盾，故排除， 综上，，故A正确， 对于B，令，结合，得到， 化简得， 若，则不成立， 若，则， 若，；若时，，若，则，又，对于连续函数来说，一定存在一个y对应两个x的情况，与②不符； 所以， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 故，所以，故B正确， 对于C，若，令，得到， 故，则，故C正确， 对于D，令，满足， 由指数函数性质得在上单调递增，满足当时，， 而， ， 故满足， 得到，故D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三.填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】 故定义域为， 故答案为： 13. 若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求出，再结合二次函数的图象求出最小值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则，解得， ，所以， 所以， 所以当时，函数取得最小值. 14. 如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【详解】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知幂函数 是偶函数. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解即可； （2）根据偶函数及单调性将不等式化为，两边平方化简得，求解即可. 【小问1详解】 幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 16. 已知， （1）证明：； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式代入消去即可证明； （2）将化为，利用基本不等式消去，得到关于的一元二次不等式，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号. 【小问2详解】 由得 由于， 所以有， 即， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以的取值范围为. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； （2）解关于的不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）图象见解析，单调减区间为，最大值为4； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图像，并根据图像求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图像，画出与有两个交点，求k的取值范围. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象： 则函数的单调减区间为 当时，取得最大值4； 【小问2详解】 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以，综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，与有2个交点，则或， 即k的取值范围为. 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，解决下列问题: 已知函数，函数为奇函数 （1）写出函数图象的对称中心，并求的值; （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; （3）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称中心结论可求函数图象的对称中心，根据函数为奇函数列式求解； （2）根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； （3）依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可知，函数为奇函数，所以函数图象的对称中心为， 函数得，， 因为函数为奇函数，所以，即， 所以，解得. 【小问2详解】 函数在区间上单调递增； 证明：，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， 【小问3详解】 因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由（2）可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省宣威市第三中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 已知，则解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数对任意的实数，，都有成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（   ） A. 已知集合，且，则实数的值为 B. 集合用列举法可表示为集合 C. 不等式的解集为，则 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 11. 已知连续函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（    ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三.填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数的定义域为__________． 13. 若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最小值为______ 14. 如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知幂函数 是偶函数. （1）求的值； （2）解不等式. 16. 已知， （1）证明：； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； （2）解关于的不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的取值范围． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，解决下列问题: 已知函数，函数为奇函数 （1）写出函数图象的对称中心，并求的值; （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; （3）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $