精品解析：甘肃省陇南市文县2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

甘肃省陇南市2025-2026学年文县高三上学期12月联考 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数单调性及对数函数单调性解不等式，再由交集运算即可. 【详解】由，， 所以， 所以 ， 故选：B 2. 已知 为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数函数的性质得到“”的充要条件是“”，再结合幂函数的性质得到“”的充要条件是“”，最后利用充分、必要条件的判定即可求解. 【详解】因为在上单调递减，等价于，所以，即“”的充要条件是“”； 因为在上单调递增，等价于，所以，即“”的充要条件是“”. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 若直线是曲线的一条切线，则 （ ） A. -4 B. 4 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的切线求出切点坐标及 值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 函数，求导得，则，解得 ，则切点为， 因此，所以. 故选：B 4. 已知双曲线的离心率为 且渐近线互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，根据渐近线垂直得出 与的关系，再结合离心率公式求解 ，最后计算的值. 【详解】情况一：双曲线为横轴双曲线， 假设且，则标准方程为：， 渐近线方程为， 因为渐近线互相垂直，所以：， 解得：，不成立；则离心率，所以. 情况二：为纵轴双曲线， 假设 且，则标准方程为：，即， 因为渐近线互相垂直，所以：， 解得：， 离心率， 所以. 故选：C． 5. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则 ． 故选：A． 6. 已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，由直线， 的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率. 【详解】由题可知，，设， 则， 所以， 即．由 ， 得，所以， 所以． 故选：B． 7. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则轴为该函数图像的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位， 可得到函数的图象，则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 因为是函数图象的对称中心，所以，则， 将 代入中得到，解得， 所以. 故选：D. 8. 已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为 ，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值. 【详解】 设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接， 根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心， 线段 为该外接球的半径， ， 设正三棱柱的底面边长为 ，设线段的中点为， 则，， 在中，， 所以，， 又的面积， 所以正三棱柱的体积， 设，则，， 所以，， 所以， 令，可得或，舍去， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当时，三棱柱的体积最大，最大体积为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉绝对值符号，判断A；根据复合函数的单调性的判断方法，一一判断BCD各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，故，在区间上单调递减，A正确； 对于B，当时，， 令，则该函数在区间上单调递减，而在R上单调递增， 故在区间上单调递减，B正确； 对于C，当时，，且 在区间上单调递减， 故在区间上单调递增，C错误； 对于D，当时，，令，则该函数在区间上单调递减， 函数在上单调递增，故在区间上单调递减，D正确， 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，令，求出 ，写出通项公式，得到答案；B选项，设出事件，利用条件概率公式进行求解；C选项，由正态分布的对称性进行求解；D选项，先利用二项分布求方差公式得到，再利用方差的性质进行计算. 【详解】对于选项A：令，则， 的系数为，A正确； 对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件， ，B错误； 对于选项C：由题意知，， ，C正确； 对于选项D：，D正确. 故选：ACD 11. 设，函数函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，有2个零点 B. 时，有1个零点 C. 有3个零点时， D. 有4个零点时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导函数分析单调性，结合图象趋势、最值，作出图形通过交点个数研究零点问题逐项判断即可. 【详解】由题意，，即. A选项，当时，， 则当时，，在上单调递减； 当 时，，在上单调递减； 当 时，，在上单调递增； 且当；当； 当；当； 如图，作出函数大致图象与直线， 可知当时，的图象与直线 有2个交点， 即有2个零点，故A正确； B选项，当 时，且， 则当时， ，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减； 当 时， ，在上单调递增； 且； 且当；当； 当；当； 如图，作出函数大致图象与直线， 可知当时，的图象与直线 有个交点， 即有1个零点，故B正确； C选项，当时，且， 则当时， ，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减； 当 时， ，在上单调递减； 当 时， ，在上单调递增； 令，解得； 故当时，，， 且当；当； 当；当； 如图，作出函数大致图象与直线， 可知，此时的图象与直线 有3个交点， 即有3个零点，但，故C错误； D选项，由选项C分析可知，当，时， 函数的图象与直线有 个交点， 即有4个零点，但，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象与直线相切，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【详解】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得 ． 故答案为：1． 13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点，则C的离心率为______． 【答案】4 【解析】 【分析】求出以为直径的圆的方程，此圆与渐近线 联立方程组求出点的坐标，求直线的方程，此方程与渐近线联立方程组求出交点 ，利用，得到 的等式，进行计算得解. 【详解】双曲线 的左、右焦点分别为， ， 以为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A， 设坐标原点为， ， 以为直径的圆的方程为， 又 的渐近线方程为， ，解得，则， ，， 直线的方程为， ，解得，则， ，，， ， ， ， ，， . 故答案为：4. 14. 已知函数，若是函数的导函数 的两个不同零点，且，， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数 ，然后根据导函数的零点性质，结合等差数列和等比数列的条件，建立关于 和 的方程，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以为两个不等的负数， 不妨设，则必有或成等差数列， 或成等比数列， 所以，，解得， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17 分， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）若，求 ； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用辅助角公式化简，可得，其中，，为锐角，从而得到,利用三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 根据余弦定理 ， 得， 化简得，解得 或（舍去）， 所以 ． 【小问2详解】 由得， 设，，为锐角，则，故， 所以， 则的面积． 16. 如图，三棱锥 的侧面 是等边三角形，底面 是直角三角形，斜边的中点为． （1）证明： ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接 ，由是中点，得 ， 依题意， ，则 ，由 是等边三角形，得 ， 又 平面 ，因此 平面 ，而 平面 ， 所以 . （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由给定的数量关系及（1）证得直线 ，再建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，进而求出线面角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设 ，则， 连接，在 中，， 则，即 ，又 平面 ， 因此平面 ，直线 两两垂直， 以为原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面 的法向量为 ，由，令 ，得 ， 设 与平面 所成角为 ，则， 所以 与平面 所成角的正弦值为. 17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为 ，求 的分布列及方差. 【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125； （2）分布列见解析，方差为. 【解析】 【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为 ，列出方程，求出答案； （2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个， 的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为 ， 则， 解得 ，故第60百分位数为125； 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有 个，二级口罩有 个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为 ， 的可能取值为0,1,2， ，，， 故 的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 【答案】（1）分布列如下， 0 1 2 P （2） 【解析】 【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案； （2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解． 【小问1详解】 X的可能取值为0,1,2， 当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， 当时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． 【小问2详解】 两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值. 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 19. 物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，具体做法如下：先在 轴找初始点 ，然后作在点处的切线，切线与 轴交于点，再作在点处的切线，切线与 轴交于点 ，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程 的近似解为止. 对，设是函数的零点，记 ，其中表示不超过实数 的最大整数； （1）求的值； （2）当时，证明：； （3）记，若，，当取得最小值时，求正整数的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），或，为所求答案 【解析】 【分析】（1）首先判断函数的单调性，利用函数的零点存在定理确定的所在区间，进而求解的值即可； （2）首先利用导数求得函数在上单调递增，并判断且，最后根据零点存在定理可得：，进而证明. （3）首先利用零点存在定理得到，进而得到，然后根据题意可得，代入并用三角函数恒等变换公式可得：，最后根据取最大值时，取最小值来确定的取值即可. 【小问1详解】 当时，，由题意可得：是的零点； 由于，可得：函数在上单调递增. 又，，因此可得：，即得：. 【小问2详解】 已知函数，且. 由于，故在上单调递增， ， 由于且时，，所以， 又因为，因此根据零点存在定理可得：， 由此得证：. 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递增且， 又 ，根据零点存在定理可得：， 即：，由此可得：， 化简得：，可得：()， ， 将，为常数，只需取最大值时，最小， 令，，得，， 无论 取何整数，，由余弦函数的对称性知，我们只需求出与的最大值点距离最近的整数点即可，因此当，或，时，最小. 故，或，为所求答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省陇南市2025-2026学年文县高三上学期12月联考 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线是曲线的一条切线，则 （ ） A. -4 B. 4 C. 3 D. -3 4. 已知双曲线的离心率为 且渐近线互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 11. 设，函数函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，有2个零点 B. 时，有1个零点 C. 有3个零点时， D. 有4个零点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象与直线相切，则实数________． 13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点，则C的离心率为______． 14. 已知函数，若是函数的导函数 的两个不同零点，且，， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 四、解答题：本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17 分， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）若，求； （2）若，求的面积． 16. 如图，三棱锥 的侧面 是等边三角形，底面 是直角三角形，斜边的中点为． （1）证明： ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值． 17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为 ，求 的分布列及方差. 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 19. 物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，具体做法如下：先在 轴找初始点 ，然后作在点处的切线，切线与 轴交于点，再作在点处的切线，切线与 轴交于点 ，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程 的近似解为止. 对，设是函数的零点，记 ，其中表示不超过实数 的最大整数； （1）求的值； （2）当时，证明：； （3）记，若，，当取得最小值时，求正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $