精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

集宁区九年级2025——2026学年第一学期 中考模考诊断试卷 九年级数学 分值：100分 数学诊断时长：90分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上． 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形既是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：． 4. “蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据两次降价且每次平均下降率相同，设每次下降率为x，则第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，等于60元，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始价格为80元，经过两次降价，每次下降率为x， ∴ 第一次降价后价格：， 第二次降价后价格：， 又∵ 最终售价为60元， ∴， 故选A． 5. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后解直角三角形解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、正切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是且 B. 当时，方程的两根之和为 C. 若方程有一个根为，则 D. 当时，方程的两根之积为 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根与系数关系，根的判别式等知识．一元二次方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负． 计算判别式并求解不等式，再进一步验证其他选项即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴ ，即． 判别式． ∵ 有两个实数根， ∴ ，即 ， ∴ ，即 且 ． 选项A正确． 选项B：当 时，方程，方程的两根之和为，选项错误． 选项C：代入 ，得 ，关于的方程无解，选项错误． 选项D：当 时，方程，两根之积为 ，选项错误． 故选：A 8. 一辆汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示（折线），根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 汽车共行驶了280千米 B. 汽车在行驶途中停留了0.5小时 C. 汽车在行驶过程中的平均速度为56千米/小时 D. 汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知， 汽车共行驶了：（千米），故A正确， 汽车在行驶图中停留了（小时），故B正确， 车在行驶过程中的平均速度为：千米/小时，故C正确， 汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D错误， 故选D． 【点睛】本题考查由函数图像获取信息，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在“We love maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了频率，某个数据出现的次数除以数据的总个数即为频率，根据频率的定义进行解答即可．计算字母“e”出现的次数与总字母数的比值． 【详解】解：在“We love maths”中，所有字母为：W、e、l、o、v、e、m、a、t、h、s，共11个字母．字母“e”出现了2次，因此频率为． 故答案为：． 10. 某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是．那么该男生实心球的成绩是______米 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，结合实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是，故令，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵， ∴令，则， 整理得， ∴， ∴（舍去）， ∴该男生实心球的成绩是10米． 故答案为：10． 11. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”安全行驶警钟长鸣．交警在某次交通检查中，使用无人机检测汽车经过某隧道的平均速度．如图，无人机悬停在隧道的正上方，高度为90米（保持静止）．当汽车刚进入隧道时，无人机测得俯角；当汽车完全离开隧道时，无人机测得俯角．若汽车通过隧道的时间为10秒，则汽车通过隧道的平均速度为______米／秒（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．求出，，得到,根据速度公式即可求出汽车通过隧道的平均速度． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∴ 即， 解得， ∴, ∴汽车通过隧道的平均速度为（米/秒） 故答案为： 12. 如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 由折叠可知，，，证明，设，，根据勾股定理，即可得． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（共6小题，，共64分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，绝对值，求一个数的算术平方根，分式乘法． （1）按照运算法则，先计算各部分，再进行加减计算即可； （2）对各分子分母进行因式分解，约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 近年来，随着“周边游”、“微度假”的旅游热潮兴起，乌兰察布市以其独特的草原、火山地貌和红色文化资源，成为众多企业和公司团建的目的地选择，某中学数学兴趣小组希望了解某公司员工对团建目的地的偏好，开展了一次抽样调查，并把调查结果绘制成如下统计图．（注：每位被抽样调查的员工只选择1个意向前往的景点）． 某公司计划组织员工前往乌兰察布市的5个热门旅游景点（以下简称景点）中的1个进行团建活动，这5个景点为：A.苏木山森林公园 B.岱海景区 C.林胡古塞 D.乌兰哈达火山地质公园 E.黄花沟草原旅游度假区 请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）求本次被抽样调查的员工人数； （2）在抽样调查结果中，意向前往哪个景点的员工人数最多？这个景点对应的扇形统计图的圆心角是多少度？ （3）已知该公司共有900名员工，请你根据抽样调查结果，估计该公司意向前往乌兰哈达火山地质公园的员工大约有多少人？ （4）假如你是该公司的活动策划人员，请你结合本次调查的统计结果，为最终目的地的选择提出一条建议． 【答案】（1）100人 （2）意向前往A景点（苏木山森林公园）的员工人数最多；这个景点对应的扇形统计图的圆心角为 （3）216人 （4）建议选择A景点（苏木山森林公园）作为团建目的地，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确读懂统计图． （1）从扇形图可知，B景点占比，从条形图可知，B景点人数为18人，据此即可求解总数； （2）根据扇形统计图即可得到意向前往哪个景点的员工人数最多，再由乘以占比即可求解圆心角度数； （3）利用样本估计总体的方法求解即可； （4）根据统计图分析即可． 【小问1详解】 解：从扇形图可知，B景点占比，从条形图可知，B景点人数为18人，因此总人数为人； 【小问2详解】 解：从扇形统计图可得，意向前往A景点（苏木山森林公园）的员工人数最多；这个景点对应的扇形统计图的圆心角为； 【小问3详解】 解：样本中D景点占比，因此900名员工中估计人数为人． 【小问4详解】 解：建议选择A景点（苏木山森林公园）作为团建目的地．理由：从抽样调查结果来看，A景点的员工偏好占比最高（），选择人数最多，这符合大多数员工的意愿，有助于提高团建活动的参与度和满意度． 15. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某商场购进了、两款人形机器人出售．款机器人每个成本为16万元，款机器人每个成本为14万元． （1）如果该商场每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，该商场售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个．则该商场确定的每个款人形机器人的售价是多少万元？ （2）不考虑其他因素，商场打算款机器人数量不少于款机器人数量的，现打算购进，两款机器人共45个，怎样进货才能获得最大的利润？ 【答案】（1）该商场每个A款人形机器人的售价是20万元 （2）A款机器人进30个，B款机器人进15个时，利润最大 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式和分式方程是解题的关键． （1）设该商场每件A款人形机器人的售价是m万元，则该公司确定的每件B款人形机器人的售价是万元，根据款人形机器人比款人形机器人多售出10个列出方程并解方程检验即可； （2）设A款机器人进x个，则B款机器人进个，先求出x取值范围，再列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可． 小问1详解】 解：设该商场每个A款人形机器人售价是m万元，则该公司确定的每个B款人形机器人的售价是万元， 根据题意得:， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：该商场每个A款人形机器人的售价是20万元； 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，设A款机器人进x个，则B款机器人进个， ， 解得：， 设最大利润为， ∴ 化简，得 ， w随x的增大而增大， 当时，利润最大， 即A款机器人进30个，B款机器人进15个时，利润最大． 16. 如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，即可； （2）连接，根据切线的性质可得，再由是等边三角形，可得，可证得是等腰三角形，即可； （3）根据直角三角形的性质可得，，从而得到．过点作于点．在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，此时，，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是内接四边形， ∴， ∵， ． 【小问2详解】 证明：如图，连接． 是的切线， ∴， ． 又在中，， 是等边三角形， ∴． ， ， ， ∴， 是等腰三角形． ， 平分． 【小问3详解】 解：由（2）得在中，，， ． 是直径， 是直角三角形，且． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点． 在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17. 综合与实践 蔬菜大棚的探究 生活背景 蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图所示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证安全性、通风性且利于采光． 建立模型 某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱，构成（如图1所示），抛物线最高点E到地面的距离为，并以所在直线为x轴，过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，．． 解决问题 （1）求抛物线的解析式； （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面，点P，Q在抛物线上，如图2所示）， ①当时，求的长； ②通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长． 【答案】（1）（2）①；②当“支撑架”PM，QN安装在与y轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意得，点，坐标分别为，，利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）①令，求得，即可求的长；②设点的坐标为，求出点，，的坐标，进而可用含的代数式表示出支架的长，即支架长是关于的二次函数，求该二次函数的最大值对应的的值即可； 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）①令， 得， 解得， ； ②设点的坐标为， 由题意得点，，的坐标分别为，，， ，， “支撑架”的长度为， ，， 当时，“支撑架”的长度最长， 即当“支撑架” ，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长． 18. 如图，点是矩形内一点，，把绕点按顺时针方向旋转，得到（点对应点，点对应点）．延长交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，，求． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握正方形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得，证明，即可得到结论； （2）由旋转得，，由勾股定理求得，过G作于M，于H，等面积法求出 求出，根据三角形面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 四边形是正方形 理由：由旋转可知， 且， 故， ∴四边形是正方形． 【小问2详解】 由旋转得，， 正方形中， 由勾股定理求得， 过G作于M，于H， 由等面积法可得 ∵四边形是个矩形 ， 由勾股定理得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁区九年级2025——2026学年第一学期 中考模考诊断试卷 九年级数学 分值：100分 数学诊断时长：90分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上． 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. “蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是且 B. 当时，方程的两根之和为 C. 若方程有一个根为，则 D. 当时，方程的两根之积为 8. 一辆汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示（折线），根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 汽车共行驶了280千米 B. 汽车在行驶途中停留了0.5小时 C. 汽车在行驶过程中平均速度为56千米/小时 D. 汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在“We love maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率是______． 10. 某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是．那么该男生实心球的成绩是______米 11. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”安全行驶警钟长鸣．交警在某次交通检查中，使用无人机检测汽车经过某隧道的平均速度．如图，无人机悬停在隧道的正上方，高度为90米（保持静止）．当汽车刚进入隧道时，无人机测得俯角；当汽车完全离开隧道时，无人机测得俯角．若汽车通过隧道的时间为10秒，则汽车通过隧道的平均速度为______米／秒（结果保留根号） 12. 如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则______． 三、解答题（共6小题，，共64分） 13. 计算： （1） （2） 14. 近年来，随着“周边游”、“微度假”的旅游热潮兴起，乌兰察布市以其独特的草原、火山地貌和红色文化资源，成为众多企业和公司团建的目的地选择，某中学数学兴趣小组希望了解某公司员工对团建目的地的偏好，开展了一次抽样调查，并把调查结果绘制成如下统计图．（注：每位被抽样调查的员工只选择1个意向前往的景点）． 某公司计划组织员工前往乌兰察布市5个热门旅游景点（以下简称景点）中的1个进行团建活动，这5个景点为：A.苏木山森林公园 B.岱海景区 C.林胡古塞 D.乌兰哈达火山地质公园 E.黄花沟草原旅游度假区 请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）求本次被抽样调查的员工人数； （2）在抽样调查结果中，意向前往哪个景点的员工人数最多？这个景点对应的扇形统计图的圆心角是多少度？ （3）已知该公司共有900名员工，请你根据抽样调查的结果，估计该公司意向前往乌兰哈达火山地质公园的员工大约有多少人？ （4）假如你是该公司的活动策划人员，请你结合本次调查的统计结果，为最终目的地的选择提出一条建议． 15. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某商场购进了、两款人形机器人出售．款机器人每个成本为16万元，款机器人每个成本为14万元． （1）如果该商场每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，该商场售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个．则该商场确定的每个款人形机器人的售价是多少万元？ （2）不考虑其他因素，商场打算款机器人数量不少于款机器人数量的，现打算购进，两款机器人共45个，怎样进货才能获得最大的利润？ 16. 如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，求四边形面积的最大值． 17. 综合与实践 蔬菜大棚探究 生活背景 蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图所示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证安全性、通风性且利于采光． 建立模型 某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱，构成（如图1所示），抛物线最高点E到地面的距离为，并以所在直线为x轴，过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，．． 解决问题 （1）求抛物线解析式； （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面，点P，Q在抛物线上，如图2所示）， ①当时，求长； ②通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长． 18. 如图，点是矩形内一点，，把绕点按顺时针方向旋转，得到（点对应点，点对应点）．延长交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $