精品解析：陕西省汉中市汉台第二中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

2025—2026学年度高一第一学期第二次月考 数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A. {1} B. {1，2} C. {2，3} D. {1，2，3} 2. 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（ ） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D. 1.4375 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分） 9. 设函数，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 若函数（，且）的图像不经过第二象限，则需同时满足（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的方程，则（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个充分条件是 C. 方程有两个小于的不等根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知函数，则______． 13. 函数的图象过定点，则点的坐标是______. 14. 设，记，则函数的最小值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值 （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）解不等式； （2）判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 17. 已知函数（，且）． （1）若函数的图象过点，求b的值； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值． 18. 已知对数函数（，）的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设画出的图像，并由图像写出函数的单调区间.（直接作图，不需写出作图过程） 19. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新智能手环，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千只）智能手环，需另外投入成本万元，其中，已知每千只智能手环的售价为500万元，且生产的智能手环当年全部销售完. （1）求2024年该款智能手环的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一第一学期第二次月考 数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A. {1} B. {1，2} C. {2，3} D. {1，2，3} 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，根据交集的含义即可得. 【详解】集合，且， . 故选：. 【点睛】本题主要考查的是集合的交集的运算，理解交集的含义是解题的关键，同时考查的是对数函数的定义域的求法，是基础题. 2. 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，即可求解. 【详解】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快. 故选：D． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，利用该性质结合在的函数值正负判断得解. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB； 当时，，此时函数图象在轴上方，排除C，D符合题意. 故选：D 4. 下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 依次判断每个函数的单调区间和奇偶性得到答案. 【详解】在上单调递增，A错误； 在上单调递增，B错误； 是非奇非偶函数，C错误； 是偶函数，且在上单调递减，D正确. 故选：D. 5. 若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（ ） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D. 1.4375 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断求解． 【详解】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解， 故选：D． 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 7. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后把函数y＝ln（2x﹣x2）分解为y＝lnt和t＝2x﹣x2，根据两函数单调性及复合函数单调性的判断方法可得答案． 【详解】由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2，所以函数y＝ln（2x﹣x2）的定义域为（0，2）， y＝ln（2x﹣x2）是由y＝ln t和t＝2x﹣x2复合而成的， t＝2x﹣x2在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，且y＝lnt递增， 所以y＝ln（2x﹣x2）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减， 故选A． 【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，正确理解“同增异减”是解决复合函数单调性的关键． 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为函数的图象与直线有两个交点，由数形结合可得结论. 【详解】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分） 9. 设函数，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】BD 【解析】 【分析】 代入解析式即可求解. 【详解】由，， ， 可得，解得或. 故选：BD 10. 若函数（，且）的图像不经过第二象限，则需同时满足（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数型函数的图像分布，列式可解得. 【详解】因为函数 (,且)的图像不经过第二象限，即可知图像过第 一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示： 由图像可知函数为增函数，所以， 当时，， 故选：AD. 【点睛】本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题. 11. 已知关于的方程，则（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个充分条件是 C. 方程有两个小于的不等根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】一元二次方程的判别式来判断A选项； 利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断B选项； 构造函数，利用二次函数的性质即可判断C选项，方程有一个正根和一个负根的充要条件是，进而判断D选项. 【详解】对于A，当时，方程为，，此时方程无实根，故A错误； 对于B，方程无实数根的充要条件是，即，解得， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，符合条件，故B正确； 令．对于C，方程有两个小于的不等根的充要条件是，即或，解得，故C正确； 对于D:方程有一个正根和一个负根的充要条件是，即，故D错误． 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出，再求得解． 【详解】由题得， 所以． 故答案为： 13. 函数的图象过定点，则点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数图象恒过定点可知，令真数为0并代入计算即可求得点的坐标. 【详解】由对数函数图象性质可知，令可得， 此时， 所以函数的图象过定点；即点的坐标是 故答案为： 14. 设，记，则函数的最小值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，由所给的定义化简函数，再结合分段函数的性质，代入计算，即可求解. 【详解】当时，解得， 当时，解得， 则， 因为在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，有最小值，且. 故答案为：0 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值 （1）； （2）. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）利用对数的运算法则的和换底公式计算. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数. （1）解不等式； （2）判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）函数在上是增函数.证明如下： 任取，，且， ， ，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）移项，通分再转化为一元二次不等式求解； （2）利用增函数的定义证明. 【小问1详解】 不等式化为，即， 可化为，所以或， 不等式解集为. 【小问2详解】 略 17. 已知函数（，且）． （1）若函数的图象过点，求b的值； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值． 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值. 【小问1详解】 ，解得. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 18. 已知对数函数（，）的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设画出的图像，并由图像写出函数的单调区间.（直接作图，不需写出作图过程） 【答案】（1） （2） （3）作图见解析，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）利用函数图象过定点代入求值即可. （2）根据函数定义域及单调性解不等式即可. （3）求出的函数，并作出图象，根据图象写出单调区间即可. 【小问1详解】 由对数函数经过点，则，解得，所以. 【小问2详解】 不等式可化为. 因为函数在定义域内为减函数， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 . 由图象可知，的单调递减区间为，单调递增区间为. 19. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新智能手环，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千只）智能手环，需另外投入成本万元，其中，已知每千只智能手环的售价为500万元，且生产的智能手环当年全部销售完. （1）求2024年该款智能手环的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）52（千只），最大利润是5792万元. 【解析】 【分析】（1）利用利润求解； （2）分别利用二次函数性质和基本不等式求得两段的最大值，然后比较可得. 【小问1详解】 当时， ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时， 当且仅当，即时，，， 因此当年产量为52（千只）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $