专题03 二次函数（期末复习讲义，7知识点+20题型）九年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学二次函数期末复习讲义通过核心考点表格系统构建知识体系，梳理了定义、图象性质等5大考点及对应复习目标考情规律，用分层知识点（如函数再认识到实际应用）和对比表格（如二次函数与一元二次方程关系）呈现脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于题型分类与解题技巧指导，如“待定系数法求解析式”技巧培养推理意识，投石车问题抽象模型发展模型意识。分层练习（基础通关到综合拓展）适配不同学生，助力教师实施精准复习教学。

二次函数（期末复习讲义） 核心考点 对应复习目标 对应考情规律 1. 二次函数的定义 能准确识别二次函数，区分二次函数与一次函数、反比例函数的形式差异. 选择题、填空题基础考点，常结合函数解析式判断函数类型，难度低. 2. 二次函数的图象与性质 熟练根据a,b,c的符号判断抛物线的位置、开口方向、对称轴和顶点坐标，能分析函数的增减性. 选择题、填空题高频考点，常结合图象判断系数符号或函数性质，难度中等. 3. 二次函数解析式的确定 能根据不同已知条件选择合适的解析式形式，用待定系数法求二次函数解析式. 解答题必考点，常作为二次函数综合题的第一问，难度中等. 4. 二次函数与一元二次方程的关系 理解抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系，能利用判别式判断交点个数，求交点坐标. 选择题、填空题、解答题均有涉及，常结合方程根的情况考查，难度中等. 5. 二次函数的实际应用 能从实际问题中抽象出二次函数模型，利用二次函数的顶点坐标求解最值问题. 解答题压轴题常考题型，联系生活实际场景，难度较大. 知识点01 函数的再认识 1、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 2、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 知识点02 二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点03 二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ 知识点04 二次函数图象的平移 知识点05 二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 知识点06 二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点07 二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 函数的识别 解｜题｜技｜巧 函数的识别要注意以下几点：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【典例1】下列等式中y＝|x|，|y|＝x，5x2﹣y＝0，x2﹣y2＝0，其中表示y是x的函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C． 【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】解：由函数的定义判断：y＝|x|，5x2﹣y＝0表示y是x的函数；|y|＝x，x2﹣y2＝0不表示y是x的函数， ∴表示y是x的函数的有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 【变式1】变量x，y有如下关系：①x+y＝10；②y；③y＝x﹣3；④y2＝8x．其中y是x的函数的是 （　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 【答案】B． 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：①y＝﹣x+10，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ②给一个任意不是0的数x，y都有唯一的值与它对应，符合题意； ③y＝x﹣3，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ④y＝±，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，掌握函数的概念是解题的关键． 【变式2】（2024春•岳麓区校级期末）下列选项中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，给定一个x的值，都只有唯一的y与之对应，故能表示y是x的函数． 对于选项B、C、D，给定的x的值，会出现多个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数． 故选：A． 【点睛】本题考查函数定义，熟练掌握定义是解题的关键． 题型二 求自变量的取值范围 解｜题｜技｜巧 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【典例1】函数y中，自变量x的取值范围为（　　） A．x≠1 B．x≤1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 【答案】D． 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【详解】解：因为x﹣1≥0， 所以x≥1． 又因为x﹣1≠0， 所以x≠1， 所以自变量x的取值范围为x＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 【变式1】函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥1，且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3 【答案】B． 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x﹣1≥0且x﹣3≠0， 解得x≥1且x≠3， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零是解题关键． 【变式2】中自变量x的取值范围是　 ． 【答案】﹣3≤x＜0． 【分析】根据函数的解析式的自变量的取值范围就是让函数的解析式由意义为依据列出式子，求出其解就可以了． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：﹣3≤x＜0． ∴故答案为：﹣3≤x＜0． 【点睛】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义． 题型三 函数的表示方法 解｜题｜技｜巧 函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；关系式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 【典例1】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m 【答案】D． 【分析】A．根据自变量与函数的定义判断即可； BC．通过观察数据即可得出结论； D．根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数， ∴A正确，不符合题意； 从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢， ∴B正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s， ∴C正确，不符合题意； 由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6＝354（m/s），即当空气温度为40℃时，声音每秒可以传播354m， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是本题的关键． 【变式1】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量/（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法正确的是（　　） A．土豆产量是自变量． B．氮肥施用量是自变量． C．氮肥施用量是101kg时，土豆产量为34t． D．氮肥施用量越大，土豆产量越高． 【答案】B． 【分析】根据表格提供的信息解答即可． 【详解】解：由表得，土豆产量为函数，故A错误； 氮肥施用量为自变量，故B正确； 当氮肥施用量是101kg时，土豆产量为32.2t，故C错误； 当氮肥施用量在0～336时，土豆产量随氮肥用量增加而增加， 当氮肥施用量在336～404时，土豆产量随氮肥用量增加而减少，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了变量之间的关系，正确判断因变量、自变量及函数变化特点是解题关键． 【变式2】一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10 （1）当豆子售出5千克时，总售价是 　 　元； （2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？ （3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？ 【分析】（1）根据表格可直接写出结果； （2）根据表格数值可发现，随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价． 【详解】解：（1）由表格可知，当豆子售出5千克时，总售价是10元， 故答案为：10． （2）随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价， ∴8×2＝16（元）， ∴当售出豆子8千克时，总售价是16元． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是解题的关键． 题型四 二次函数的定义及一般式 解｜题｜技｜巧 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二次函数的一般形式是y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【典例1】下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 【变式1】下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 题型五 根据二次函数的定义确定字母的值或取值范围 解｜题｜技｜巧 根据二次函数的定义满足的条件：（1）自变量最高次数为2，建立方程；（2）二次项系数不为0，建立不等式；综合以上条件求解即可 【典例1】（24-25九年级上·广东江门·期末）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 【变式2】若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 题型六 由实际问题列二次函数的关系式 解｜题｜技｜巧 仔细审题，找出等量关系，列出二次函数解析式即可，关系式一般要化为一般式. 【典例1】（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 题型七 二次函数的图象 解｜题｜技｜巧 二次函数图像判断的关键是“数形结合”，通过图像特征反推系数 a、b、c 的符号及组合表达式正负. 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 【变式1】如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 题型八 二次函数的性质 解｜题｜技｜巧 二次函数的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，在对称轴左侧时，函数值y随x的增大而减小；在对称轴右侧时函数值y随x的增大而增大 ； a＜0，在对称轴左侧，函数值y随x的增大而增大；在对称轴右侧时，函数值y随x的增大而减小 . 【典例1】（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键． （1）将点和代入中，得，进行计算即可得； （2）由表达式即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的性质得即可得． 【详解】（1）解：将点和代入中，得 解得 则该二次函数表达式为； （2）解：∵ ∴顶点坐标为； （3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小． 题型九 二次函数的图象共存问题 解｜题｜技｜巧 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 【典例1】在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，根据二次函数和一次函数的图象进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与一次函数， ∴当时，抛物线的开口向上，直线过一，三，四象限； 当时，抛物线的开口向下，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项A． 故选A． 【变式1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 题型十 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解｜题｜技｜巧 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数y＝ax2的增减性进行判断，也可以根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 【典例1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知，且点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，可得当时，随的增大而减小，由得到，最后结合函数图象上点的特征即可解答． 【详解】解：二次函数中二次项系数， 函数的图象开口向下， 函数的图象对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 又点，，都在函数的图象上， ． 故选：C． 【变式1】已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据B，C是对称点，可确定抛物线的对称轴，根据抛物线与x轴无交点，与y轴交于点（0,1）可画出抛物线的草图，根据草图计算判断即可. 【详解】∵，， ∴抛物线的对称轴为直线x==-1， ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴抛物线的开口一定向上， 由此可画出抛物线的草图如下： ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，对称轴，与x轴的交点，抛物线的草图的画法，纵坐标的大小比较，根据题意，判断对称轴，画出符合题意的草图是解题的关键. 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 题型十一 利用待定系数法求二次函数的解析式 解｜题｜技｜巧 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键。已知对称轴为，设二次函数的解析式为，将图像中两点代入即可解得解析式. 【详解】解：由题可知，对称轴为直线， 设二次函数解析式为． 将两点代入， 得， 解得． 故这个二次函数的解析式为． 故选：D. 【变式1】（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 【变式2】（23-24九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 【答案】(1) (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． （2）解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 题型十二 二次函数的平移 解｜题｜技｜巧 先把一般式化为顶点式，利用上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变，得到平移后图象的解析式. 【典例1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”直接计算新表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线为， 向左平移2个单位：， 再向上平移3个单位: ， ∴ 新抛物线表达式为 ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期末）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为，即， 故选：A． 【变式2】把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据二次函数图象的平移规律，可得平移后的解析式，由代数式相等，可得对应项的系数相等，从而可得，，的值，代入计算即可． 【详解】解：把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为， 化简整理得， 根据题意可得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的值为， 故选：A． 题型十三 二次函数y＝ax2+bx+c图象与系数的关系 解｜题｜技｜巧 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 【典例1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知：当时，； 即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，，即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设，则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 题型十四 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 【典例1】二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若，则点M到直线l的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题意知，，该方程有两个相等的实数根，则，设点M到直线l的距离为，则，，由题意知，，、是该方程的两个根，则，由，可得，即，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，，该方程有两个相等的实数根， ∴， 设点M到直线l的距离为，则，， 当时，，、是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴点M到直线l的距离为4， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【变式2】抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 题型十五 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 解｜题｜技｜巧 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典例1】根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算．根据表格中函数值的符号变化，确定方程根所在的范围．当函数值由正变负或由负变正时，对应的区间内存在一个根． 【详解】解：观察表格数据： 当x在与之间或4到5之间时，的值由正到负， ∴x的取值范围是或． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【详解】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是． 故选：C ． 题型十六 二次函数与不等式 解｜题｜技｜巧 利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【典例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 题型十七 利用二次函数的性质求最值 解｜题｜技｜巧 确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】二次函数的最小值为（      ）． A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为． 故选C． 【点睛】本题考查求二次函数的最值．通过配方将一般式变形为顶点式是解题的关键． 【变式1】函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值． 先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 【变式2】若实数a，b，c满足，则c的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由得，由得，把代入，再根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴ ． 又∵ ∴当时，c取得最小值，最小值是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和二次函数的性质，根据已知条件，将问题转化为利用二次函数的性质来求最值是解题的关键． 题型十八 利用二次函数的最值求参数值 解｜题｜技｜巧 在利用二次函数的最值反求参数时，关键是结合对称轴位置与给定区间的关系进行分类讨论，并根据最大值或最小值条件建立方程求解参数． 【典例1】若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，熟练将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答是解题关键．． 二次函数开口向下，顶点为，最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去，） ∴； ②当时，抛物线随的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去） ∴； 综上，的值为或5， 故选A． 【变式1】若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据对称轴求出顶点坐标． 根据抛物线的图象及性质可知当时，有最大值4，当时，，关于直线的对称点为，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，有最大值4， 当时，， 关于直线的对称点为， ∵当时，有最大值4，最小值， ∴， 故选：B． 【变式2】二次函数（为常数），在自变量的值满足，其函数的最小值为5，则的值为（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或或1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴等性质是解题的关键．根据二次函数顶点为，由于在区间内最小值为5大于1，故顶点不在区间内，最小值在端点或处取得，分情况讨论函数在区间上的最小值情况，进而求出的值． 【详解】由题意，，其二次项系数， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的最小值为， 顶点不在区间内， 最小值在端点或处， 第一种情况：当时，在区间上，函数随的增大而增大， 当时，取最小值5，即， 移项得，， 即， 解得或（舍）， 第二种情况：当时，在区间上，函数随的增大而减小， 当时，取最小值5，即， 移项得，， 即， 解得（舍）或， 综上所述，的值为或5， 故选：A． 题型十九 二次函数的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 解决二次函数实际应用问题的关键是建立数学模型，并结合数形结合与函数性质求最值. 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … … 每天销售数量/件 … … (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意列出一元二次方程解答即可； （）求出与之间的二次函数关系，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵该文具的销售单价不低于进价且不高于元， ∴不合，舍去， ∴， 答：销售单价为元； （3）解：由题意得，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，， 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）“加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)5； (3)12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得两函数的交点坐标，再利用数形结合可求解；令，求得的值即可； （3）解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：解不等式， 得，， 观察图象，当时，直线在二次函数的图象的上方，且都在轴的上方， ∴5月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高； 当时，（万元）； 故答案为：5；； （3）解：能， 由题意得，， 整理得， 解得（舍去），， 答：12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 题型二十 二次函数的综合题 解｜题｜技｜巧 解决二次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想． 【典例1】 （24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)问点在什么位置时能成为等腰三角形？ (3)若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程） 【答案】(1) (2)当点坐标为或或时，是等腰三角形 (3) 【分析】（1）用待定系数法将点的坐标代入中即可求解； （2）设直线的解析式为，得直线的解析式为，设点的坐标为，其中，由题意得点，进而可得，，由，得；同理可得，；分三种情况：当时；当时；当时分别列方程求解即可求是等腰三角形时D的坐标； （3）若与相似，可得，设， 得 ，’ 解方程即可求得． 【详解】（1）解：把点的坐标代入中，得， 解得， 此抛物线的解析式为； （2）解：对于，取，得， 点的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， 由题意得点， ， 又， ， ； 同理，，； 当时，， 解得， 经检验，舍去，只取； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得或，经检验，舍去，只取； 综上所述，当点坐标为或或时，是等腰三角形． （3）解：点，点的坐标为， ， 若与相似， 可得， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， 时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性质时注意分类讨论思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为 (3)的横坐标为或或或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：C 2．点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解： 中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 3．已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与平移变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简单易懂．根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线不动，而把x轴、轴分别向上、向右平移2个单位长度， 在新坐标系中抛物线的顶点坐标为， 在新坐标系下抛物线的解析式为， 故选：B． 4．（22-23九年级上·广西梧州·期末）点A是双曲线上的一点，过A作垂直x轴于B，的面积为2，则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，二次函数的顶点坐标，先根据图形的面积求出反比例函数的比例系数，再根据二次函数的性质即可得出顶点坐标． 【详解】解：根据题意得：， 所以或， 所以抛物线为， 所以顶点坐标是或， 故选：D． 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．先根据一次函数的表达式，得出点的坐标，再结合四边形是正方形，得出点坐标，进一步得出点坐标，最后利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：将代入得， ， 所以点的坐标为． 又因为，两点在二次函数图象上， 则，两点关于轴对称． 因为四边形为正方形， 所以，两点关于轴对称， 所以点坐标为， 则， 所以点坐标为． 令二次函数的表达式为， 则， 解得， 所以二次函数的解析式为． 故选：B． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴ 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故答案为：． 10．如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点的坐标是解题的关键． 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解． 【详解】解：由题意得，点的坐标分别为：，则点，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ， 则的值为， 故答案为：． 11．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 12．已知抛物线（c是常数）的顶点在第二象限，且．下列四个结论：①；②；③若，则当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质及图象，二次函数与一元二次方程，熟记二次函数的对称轴，最值，增减性以及顶点坐标公式是解题关键．①由可知抛物线经过点，由顶点在第二象限可画出函数大致图象，即可判断开口方向，再结合，即可判断；②由顶点在第二象限且过可判断出当时，即，进而判定是否正确；③根据，，可以得出和的关系，即可判断对称轴与的关系，而确定增减性；④用特例法，满足条件，此时． 【详解】解：根据， 抛物线经过点， 抛物线顶点在第二象限， ，， 由大致图象（如图）可知函数图象开口向下即， ，①正确； 抛物线（c是常数）的顶点在第二象限且过， ∴对称轴直线， 由对称性可得抛物线与x轴另一交点的横坐标小于， 当时，，即， ，②错误； ∵，且， ， ， 即， ∴， 当时，无法确定增减性，③错误； 举例：当时，满足条件且有两个不相等的实数根， 此时， ④错误； 故答案为：①． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．已知某抛物线的解析式为，为实数． (1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把解析式化为顶点式得到对称轴和开口方向，从而得到离对称轴越远，函数值越大，进而可确定当时，，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，的最大值为4， ∴当时，， ∴， 整理得：， ∴或， 故的值为或． 14．（24-25九年级上·山东济南·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 y（） 2700 2600 2500 (1)求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； (2)当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，和，代入得： ， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为19600元． ∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元． 15．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【答案】(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 对应复习目标 对应考情规律 1. 二次函数的定义 能准确识别二次函数，区分二次函数与一次函数、反比例函数的形式差异. 选择题、填空题基础考点，常结合函数解析式判断函数类型，难度低. 2. 二次函数的图象与性质 熟练根据a,b,c的符号判断抛物线的位置、开口方向、对称轴和顶点坐标，能分析函数的增减性. 选择题、填空题高频考点，常结合图象判断系数符号或函数性质，难度中等. 3. 二次函数解析式的确定 能根据不同已知条件选择合适的解析式形式，用待定系数法求二次函数解析式. 解答题必考点，常作为二次函数综合题的第一问，难度中等. 4. 二次函数与一元二次方程的关系 理解抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系，能利用判别式判断交点个数，求交点坐标. 选择题、填空题、解答题均有涉及，常结合方程根的情况考查，难度中等. 5. 二次函数的实际应用 能从实际问题中抽象出二次函数模型，利用二次函数的顶点坐标求解最值问题. 解答题压轴题常考题型，联系生活实际场景，难度较大. 知识点01 函数的再认识 1、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 2、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 知识点02 二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点03 二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ 知识点04 二次函数图象的平移 知识点05 二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 知识点06 二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点07 二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 函数的识别 解｜题｜技｜巧 函数的识别要注意以下几点：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【典例1】下列等式中y＝|x|，|y|＝x，5x2﹣y＝0，x2﹣y2＝0，其中表示y是x的函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式1】变量x，y有如下关系：①x+y＝10；②y；③y＝x﹣3；④y2＝8x．其中y是x的函数的是 （　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 【变式2】（2024春•岳麓区校级期末）下列选项中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 题型二 求自变量的取值范围 解｜题｜技｜巧 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【典例1】函数y中，自变量x的取值范围为（　　） A．x≠1 B．x≤1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 【变式1】函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥1，且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3 【变式2】中自变量x的取值范围是　 ． 题型三 函数的表示方法 解｜题｜技｜巧 函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；关系式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 【典例1】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m 【变式1】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量/（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法正确的是（　　） A．土豆产量是自变量． B．氮肥施用量是自变量． C．氮肥施用量是101kg时，土豆产量为34t． D．氮肥施用量越大，土豆产量越高． 【变式2】一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10 （1）当豆子售出5千克时，总售价是 　 　元； （2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？ （3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？ 题型四 二次函数的定义及一般式 解｜题｜技｜巧 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二次函数的一般形式是y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【典例1】下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 题型五 根据二次函数的定义确定字母的值或取值范围 解｜题｜技｜巧 根据二次函数的定义满足的条件：（1）自变量最高次数为2，建立方程；（2）二次项系数不为0，建立不等式；综合以上条件求解即可 【典例1】（24-25九年级上·广东江门·期末）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【变式2】若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 题型六 由实际问题列二次函数的关系式 解｜题｜技｜巧 仔细审题，找出等量关系，列出二次函数解析式即可，关系式一般要化为一般式. 【典例1】（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． B． 题型七 二次函数的图象 解｜题｜技｜巧 二次函数图像判断的关键是“数形结合”，通过图像特征反推系数 a、b、c 的符号及组合表达式正负. 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．  B．   C．   D．   【变式1】如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A．B．C．D． 题型八 二次函数的性质 解｜题｜技｜巧 二次函数的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，在对称轴左侧时，函数值y随x的增大而减小；在对称轴右侧时函数值y随x的增大而增大 ； a＜0，在对称轴左侧，函数值y随x的增大而增大；在对称轴右侧时，函数值y随x的增大而减小 . 【典例1】（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【变式1】关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【变式2】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 题型九 二次函数的图象共存问题 解｜题｜技｜巧 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 【典例1】在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型十 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解｜题｜技｜巧 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数y＝ax2的增减性进行判断，也可以根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 【典例1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知，且点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 题型十一 利用待定系数法求二次函数的解析式 解｜题｜技｜巧 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【变式2】（23-24九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 题型十二 二次函数的平移 解｜题｜技｜巧 先把一般式化为顶点式，利用上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变，得到平移后图象的解析式. 【典例1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期末）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 题型十三 二次函数y＝ax2+bx+c图象与系数的关系 解｜题｜技｜巧 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 【典例1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 题型十四 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 【典例1】二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若，则点M到直线l的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 题型十五 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 解｜题｜技｜巧 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典例1】根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 题型十六 二次函数与不等式 解｜题｜技｜巧 利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【典例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 题型十七 利用二次函数的性质求最值 解｜题｜技｜巧 确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】二次函数的最小值为（      ）． A． B． C． D．5 【变式1】函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 【变式2】若实数a，b，c满足，则c的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十八 利用二次函数的最值求参数值 解｜题｜技｜巧 在利用二次函数的最值反求参数时，关键是结合对称轴位置与给定区间的关系进行分类讨论，并根据最大值或最小值条件建立方程求解参数． 【典例1】若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【变式1】若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数（为常数），在自变量的值满足，其函数的最小值为5，则的值为（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或或1 题型十九 二次函数的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 解决二次函数实际应用问题的关键是建立数学模型，并结合数形结合与函数性质求最值. 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … … 每天销售数量/件 … … (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）“加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 题型二十 二次函数的综合题 解｜题｜技｜巧 解决二次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想． 【典例1】 （24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)问点在什么位置时能成为等腰三角形？ (3)若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程） 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·广西梧州·期末）点A是双曲线上的一点，过A作垂直x轴于B，的面积为2，则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 11．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 12．已知抛物线（c是常数）的顶点在第二象限，且．下列四个结论：①；②；③若，则当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．其中结论正确的是 （填序号）． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．已知某抛物线的解析式为，为实数． (1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 14．（24-25九年级上·山东济南·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 y（） 2700 2600 2500 (1)求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 15．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $