专题06 对概率的进一步认识（期末复习讲义，3知识点+12题型）九年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学概率复习讲义通过核心考点表格与知识框架图系统构建知识体系，梳理用树状图或表格求概率、概率应用、用频率估计概率三大模块，明确复习目标与考情规律，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于12类典型题型设计，如卡片问题、不放回摸球、电路问题等，结合生活情境培养抽象能力与数据意识，分层练习（基础通关、重难突破、综合拓展）满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

对概率的进一步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用树状图或表格求概率 熟练掌握列表法、树状图法，能准确列举出所有等可能的结果，进而计算简单随机事件的概率;能根据不同情境，选择合适的列举方法解决概率问题. 高频考点，常以解答题形式出现，结合摸球掷骰子、抽奖等实际场景考查，注重对列举过程完整性和准确性的考查. 概率的应用 能运用概率知识分析、解决实际生活中的问题，如游戏公平性判断、获奖概率计算、决策合理性分析等，体会概率在实际决策中的作用. 核心考点，贯穿概率实际应用类题目，在计算、决策类问题中高频出现，常与其他知识 (如统计)综合考查. 用频率估计概率 理解频率的稳定性，明确大量重复试验时频率可作为概率的估计值;能根据试验数据，用频率估计概率，并解决相关实际问题. 常以解答题形式考查，常结合统计图表(如折线图、表格等)呈现试验数据;强调对“大量重复试验”这一前提条件的理解，以及利用频率估计概率解决实际决策类问题. 知识点01 用列表法求概率 ★1、用列举法（枚举法）求事件的概率 当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率. 【注意】 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. ★2、用列表法求事件的概率 (1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. (2)用列表法求概率的基本步骤： ①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格. ②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A) = （m≤n）计算概率. 知识点02 用画树状图法求概率 ★用画树状图求事件的概率 (1) 当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 【注意】用画树状图法计算概率时，必须保证每两步之间的相互独立性，以及试验结果出现的等可能性，且结果是有限个 (2)画树状图求概率的基本步骤： ①明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . 知识点03 用频率估计概率 ★1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率. ★2、用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. ★3、适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ★4、频率与概率的关系： 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值. 理论值. 与试验次数的变化有关. 与试验次数的变化无关. 与试验人、试验时间、试验地点有关. 与试验人、时间、地点无关. 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率. 题型一 用列举法或画树状图法求概率---卡片问题 解｜题｜技｜巧 卡片类问题是高频题型，通常涉及从若干张卡片中抽取一张或多张，求某种结果出现的概率。由于抽卡过程可能涉及多个步骤（如连续抽取）、是否放回等因素，直接心算容易遗漏或重复，因此需要借助列举法、列表法或画树状图法来系统分析所有等可能结果. 【典例1】3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法求概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的情况数，即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有种可能，其中和为奇数的有4种， ∴两次数字之和为奇数的概率是， 故选：C． 【变式1】第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，正确列表或画出树状图法是解题的关键；先列表，即可得到所有事件的总数及抽出的两张卡片图案不同的总数，由概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 第一次       第二次 A B C A B C 由表知，所有等可能的结果为9种，其中抽出的两张卡片图案不同的可能结果有6种， 所以抽出的两张卡片图案不同的概率为：． 答：抽出的两张卡片图案不同的概率为． 【变式2】某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学从中随机抽取一张，记录后放回． (1)甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为_________； (2)用画树状图或列表法求甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、用列表法或画树状图法求概率等知识点．掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画树状图确定所有可能结果数和都抽到写有“朗诵”卡片的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同）， ∴甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为； （2）解：设“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”分别为1，2，3 根据题意画树状图如下： ∴共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的情况有1种， ∴甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率为． 【变式3】非物质文化遗产手工艺品是中华民族智慧与文明的结晶，承载着岁月的记忆与民族的灵魂．以下是四幅手工艺品的图片（不透明）：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．这四幅图片除正面内容不同外，其余完全相同，将它们背面朝上，洗匀后放在桌面． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_________； (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，不放回，将剩下的图片洗匀后，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【详解】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． ∴两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 题型二 用列举法或画树状图法求概率---不放回摸球问题 答｜题｜模｜板 不放回摸球问题的解题技巧主要涉及使用列举法或画树状图法来计算概率。以下是具体的解题技巧： ①明确试验步骤：确定每次摸球的顺序和独立性，确保树状图的分支逻辑正确. ②不重不漏：每个步骤的结果必须涵盖所有可能性，避免遗漏或重复. ③不放回摸球时，每次摸球后的剩余球数会减少，因此树状图的分支数量会相应调整. 【典例1】一个盒子中，有1个红球、1个白球和1个蓝球，这些球除颜 色外都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的颜色能配 成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 画出树状图得到所有可能的结果，计算两次摸球颜色能配成紫色（红色和蓝色）的概率． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色（同时摸到红色和蓝色）的结果有2种， ∴两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是． 故选：B． 【变式1】一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 【变式2】一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的颜色一样的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据题意画树状图，得出总共有12种等可能结果．两次颜色相同只能是两次都摸到白球，有2种方式，根据概率公式求解，即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况 ∴两次都摸到白球的概率是： 故选：B． 【变式3】一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． (1)从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； (2)从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）从袋中随机摸出1个球共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种，据此计算概率即可； （2）通过列表法计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，从袋中随机摸出1个球的情况有， 红球、绿球、黄球、黄球， 共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种， 因此，从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的结果有4种， 因此，两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为． 题型三 用列举法或画树状图法求概率---放回的摸球问题 答｜题｜模｜板 每次摸球后将球放回原袋，因此每次试验的结果独立、等可能，且样本空间不变。这类问题适合使用列表法或树状图法来系统列举所有结果，避免遗漏或重复. 【典例1】不透明的袋子中装有红、绿、黄小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么摸到一个红球一个黄球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是注意题目为放回实验． 根据题意列出所有情况即可． 【详解】解：红小球用1表示，绿小球用2表示，黄小球用3表示 列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表可知总共有9种情况，而摸到一个红球一个黄球的情况有2种情况， ∴摸到一个红球一个黄球的概率是． 故选A． 【变式1】将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋 中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后 再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键． 根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上的汉字可以组成“河南”的概率． 【详解】解：将标有“最”“美”“河”“南”四个汉字的小球分别记为：， 画树状图如下： 由图可知共有种，其中两次摸出球上汉字可以组成“河南”的结果有种， ∴两次摸出球上汉字概率为：． 故选：D． 【变式2】在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球，记下标号后放回，再随机摸出一球，则两次标号之和为4的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次标号之和为4的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【】解：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 共有16种等可能的结果，其中两次标号之和为4的结果有：（1，3），（2，2），（3，1），共3种， ∴两次标号之和为4的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式3】一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个小球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个小球，记录下数字后放回袋中，记作随机摸球一次． (1)随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为_________． (2)随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球上数字之和为奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上数字之和为奇数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个球，每个球被摸到的概率相同，且标有数字2的球有1个， ∴随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸出的球上数字之和为奇数的结果数有4种， ∴两次摸出的球上数字之和为奇数的概率为． 题型四 用列举法或画树状图法求概率---转盘问题 解｜题｜技｜巧 通常涉及一个或多个转盘，每个转盘被分成若干扇形，可能标有数字、颜色或其他标识。当试验涉及两个以上因素（如多次转动、多层选择）时，为了不重不漏地列出所有等可能结果，需要使用列举法的两种高级形式：列表法与画树状图法. 【典例1】用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成橙色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是， 故选：D． 【变式1】如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0，，．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 0 0 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次记录的数字都是有理数的情况有种， 故两次记录的数字都是有理数的概率为， 故选：C． 【变式2】用图中的两个可自由转动的等分转盘做“配紫色”游戏（一红一蓝可配成紫色），如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查树状图法以及概率的计算方法，用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， ∴同时转动两个转盘，转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率.掌握概率公式是关键． （1）直接用求概率的方法求概率即可. （2）列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，则指针落在标有数字的扇形的概率为 故答案为： （2）解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有种结果， 所以转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数得概率为． 题型五 用列举法或画树状图法求概率---数字问题 解｜题｜技｜巧 从若干数字卡片中随机抽取并求和、组成数字、判断是否为偶数等。这类问题的关键在于准确列出所有等可能的结果，并从中找出满足条件的结果数。当试验步骤增多时，直接列举容易遗漏，因此需要借助列举法（直接/列表）或画树状图法. 【典例1】从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率和反比例函数的性质，利用列举法即可求解． 【详解】解：从1，2，3，4中任选两个数，记为a和b，则点的所有可能组合有： ， 共12种等可能结果， 若点在函数图象上，则， 以上各点满足的有：，共2种， 故点在函数图象上的概率是， 故选：D． 【变式1】现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字、、、，将卡片背面朝上洗匀，然后从中随机地抽取两张，则这两张卡片上数字之积为负数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字之积为负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，这两张卡片上的数字之积为负数的有8种情况， ∴这两张卡片上的数字之积为负数的概率为：． 故选：C． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式2】（23-24九年级上·重庆黔江·期末）四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 5 3 2 0 0 5 5 3 2 5 10 一共有16种情况，其中点能被5整除的有6种情况， 点能被5整除的概率． 故选：A． 【变式3】若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是 　 ． 【答案】． 【分析】利用树状图得出所有的情况，从中找到使点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下 由树状图知，共有6个等可能的结果，在直线y＝﹣x﹣1上有（﹣2，1）和（1，﹣2）， ∴点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出m，再从中选出符合事件A或B的结果数目n，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数的图象上点的坐标特征． 题六 用列举法或画树状图法求概率---电路问题 解｜题｜技｜巧 电路问题是一类结合物理情境的典型应用题,这类题目通常描述一个包含多个开关的电路，要求计算“闭合某些开关后灯泡亮起”或“形成通路”的概率 .由于涉及多个开关的组合状态（开/关），使用画树状图法能清晰、不重复不遗漏地列出所有可能情况，是解决此类问题的核心方法之. 【典例1】如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵随机闭合开关中的两个，共有种等可能的情况：、、．能让灯泡发光的情况是，共种． ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：C． 【变式1】如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②，③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有存在的情况． 列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：开关①②③④⑤⑥两两组合， 有：①②，①③，①④，①⑤，①⑥，②③，②④，②⑤，②⑥，③④，③⑤，③⑥，④⑤，④⑥，⑤⑥，共15种情况， 能发光的有：①②，①③，①④，①⑤，①⑥，②③，共6种情况， 所以小灯泡发光的概率为． 故选：C． 【变式2】在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让绿灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让绿发光的有2种情况， ∴能让绿发光的概率为． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． (1)下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】(1)BD (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类；画树状图或列表法求一个事件的概率． （1）根据题意以及事件的分类即可求解． （2）列表法得出共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）A．闭合其中的一个开关灯泡发光是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件，故该选项正确，符合题意； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：BD． （2）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下： 由表格可知共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种． （能使灯泡发光） 题型七 用列举法或画树状图法求概率---实际问题 解｜题｜技｜巧 主要是利用列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【典例1】下图是我市某展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意可列表格如下， 小颖           母亲 C D E C C，C C，D C，E D D，C D，D D，E E E，C E，D E，E 由表格可知共有9种等可能的情况，其中她们恰好从同一出口走出的情况有3种， ∴她们恰好从同一出口走出的概率是． 故选：C． 【变式1】周末，甲、乙、丙、丁四人小聚，餐桌摆放如图所示．若甲先坐定①号位，乙，丙，丁在剩下的三个位置中随机就坐，则乙恰能与甲坐对面的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及乙恰能与甲坐对面的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中乙恰能与甲坐对面的结果有：④②③，④③②，共2种， ∴乙恰能与甲坐对面的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式2】陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D (1)甲停放在C位置的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】(1) (2)甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 【变式3】余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾． （1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是 　 　． （2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由． 【答案】（1）．（2）． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两袋垃圾都投放正确的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）∵共有4个垃圾桶， ∴他能正确投放垃圾的概率是． 故答案为：． （2）记厨余垃圾桶为A，可回收垃圾桶为B，其他垃圾桶为C，有害垃圾桶为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两袋垃圾都投放正确的结果有1种， ∴两袋垃圾都投放正确的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 题型八 概率在转盘抽奖中的应用 解｜题｜技｜巧 转盘通常被分成若干个扇形区域，每个区域代表一个可能的结果（如奖品、无奖等）。概率表示某个事件发生的可能性，计算公式为：P(事件)==，注意多轮抽奖问题：若连续转动两次，需构建树状图或列表法分析所有可能组合，再计算复合事件的概率。 【典例1】福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重 要活动，在2025年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过 购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活 动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2， 可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒． (1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______； (2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好． 【答案】(1) (2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析 【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解； （2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断． 【详解】（1）解：列表得： 4 2 1 1 4 / 2 / 1 / 1 / 共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况， ∴． 故答案为：． （2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元， 则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为， 因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）； 若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元， 由（1）可知， 可兑换6元的概率为， 可兑换5元的概率为， 可兑换3元的概率为， 可兑换2元的概率为， 因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）； ∵， ∴李同学应该买一个小盲盒好． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键． 【变式1】某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率． 【答案】P（一等奖）= P（二等奖）= P（三等奖）= 【详解】试题分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 试题解析：列表： 所以一等奖的概率为；二等奖的概率为；三等奖的概率为． 【变式2】某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． （1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ （2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 【答案】（1），，；（2）210元或240元 【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率； （2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案． 【详解】（1）获得九折的概率为 获得八折的概率为， 获得七折的概率为， （2）∵ ∴他没有获得九折优惠． ∵ ∴ ， ∵ ∴ 答：他消费所购物品的原价应为210元或240元． 【点睛】本题考查了用扇形统计图计算概率，解题的关键是掌握概率的计算，以及实际问题的应用情况． 【变式3】九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为，按表格要求确定奖项． （1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率； （2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？ 【答案】（1）（2）不一定 【分析】（1）画出树状图，找出符合条件的情况，求出其概率即可． （2）根据题意分析不满足条件的情况并找出即可求是否存在不中奖的情况． 【详解】解： （1）画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况， ∴甲同学获得一等奖的概率为：； （2）不是，当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖． 题型九 用频率估计概率 解｜题｜技｜巧 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 【典例1】（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·四川巴中·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采 用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为 ，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则 据此估计此二维码中白色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在白色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入白色部分的频率稳定值即可求解． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右， 点落在白色区域的频率稳定在左右， 估计此二维码中白色区域的面积为． 故选：B． 【变式2】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后 发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（   ） A． 个 B．6个 C．4个 D．2个 【答案】A 【分析】主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键，设红球有x个，利用红球个数÷总数，进而得出答案； 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 故选：A． 【变式3】（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 题型十 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 用频率估计概率的核心技巧是：在大量重复试验中，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率估计值。关键在于识别“非等可能”或“结果无限”的场景，并通过数据表、折线图分析趋势，进而估算总体数量或预测事件发生可能性。 【典例1】一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）由表格的数据可得， “摸到红球”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）(个)， 答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球． 【变式2】某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定： 顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 【变式3】某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果 统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 题型十一 游戏的公平性问题 解｜题｜技｜巧 戏是否公平，关键看双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；否则不公平，并可通过调整规则（如得分、条件）使其公平。 【典例1】甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【详解】（1）解：，，，四张卡片中，有，两个奇数，则甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为； （2）不公平 理由： 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 ∴共有12种可能结果，其中和为奇数的有8种，和为偶数的有种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 【变式1】如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的边界时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 【答案】这个规定对小明、小丽两人公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．列表得出所有等可能结果，从中找到和为4和5的结果数，再利用概率公式得到小明获胜的概率、小丽获胜的概率，从而可判断该游戏对两位同学公平． 【详解】解：这个规定对小明、小丽两人公平， 列表如下： 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 5 4 5 6 6 由表可知：共有12种等可能结果，其中和为5的有3种结果，和为4的有3种结果， ∴小明赢的概率＝小丽赢的概率， ∴这个规定对小明、小丽两人公平． 【变式2】小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有 2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． (1)若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； (2)若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球， ∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 （2）解：这个规定对双方不公平，理由如下： 根据题意画出树状图如下： 如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种， ∴P（小明胜），P（小颖胜）， ∵， ∴这个规定对双方不公平． 【变式3】数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制 作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀 后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． （2）解：由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 题型十二 概率与统计知识的综合应用 解｜题｜技｜巧 掌握“列举法+图表分析+实际情境建模”三大核心技巧是解决九年级概率与统计综合题的关键，尤其要熟练使用树状图或列表法求等可能事件的概率，并能结合条形图、扇形图进行数据分析与推断. 【典例1】（24-25九年级上·贵州黔西·期末）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少（使用树状图或列表法表示）？ 【答案】(1)100，见解析 (2) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用以及用列表法或树状图法求随机事件的概率．解题的关键是从统计图中提取有效信息，通过已知数据计算出总人数及其他类别对应的人数以补全统计图，同时熟练运用列举法列出所有可能的结果，再根据概率公式计算相应事件的概率． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可 （2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），喜爱足球的人数为：（人），条形图如图所示， （2）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下： ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴甲、乙两人被选中概率 【变式1】为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】(1)200人，统计图见解析 (2)90，90 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，列表法或画树状图法求概率． （1）用“祖冲之奖”的学生的人数除以其所占的百分比，可得获奖学生的总人数，从而求出获得“秦九韶奖”和“刘徽”奖的人数即可求解； （2）根据中位数，众数的定义，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：本次获奖人数有：（人）， 则获得“秦九韶奖”的人数有（人）． 则 “刘徽”奖的人数为（人）， 补全条形统计图如解图所示： （2） 解：根据题意得：把获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列后，位于正中间的两个数均为90分，且90分出现的次数最多， ∴获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分； 故答案为：90，90； （3）解：树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）． ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 【变式2】小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题： (1)这项被调查的总人数是多少人？ (2)补全条形统计图； (3)如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 【答案】(1)50人 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了树状图、条形统计图的综合运用，熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用B的人数除以其所占的百分比则可得出总人数； （2）用总人数减去其他三组的人数即可得出C组的人数，补全条形图即可； （3）利用树状图的方法列举出所有可能的情况，然后找出选中甲的情况数，结合概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由B组人数19人，占比， ∴总人数：（人）． （2）解：∵A组15人，B组19人，D组4人， ∴C组人数：（人）． （3）解：画树状图如下： 总共有12种等可能结果，其中包含甲的有6种， ∴概率为． 【变式3】（24-25八年级下·山东日照·期末）数学文化有利于激发学生的数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (4)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校了解其数学文化发展史，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】(1)88，87，40 (2)九年级学生数学文化知识较好，理由见解析 (3)640人 (4) 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b,用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用八、九年级人数分别乘八、九年级数学文化知识为“优秀”的人数所占百分比即可； （4）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，再由概率公式即可得出答案． 本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）由题意可知，九年级C组有（人）， 把被抽取九年级10名学生的数学文化知识竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88、88， ∴中位数， ∵在被抽取的八年级10名学生的数学文化知识竞赛成绩中，87分出现的次数最多， ∴众数，， ∴， 故答案为：88，87，40； （2）九年级学生数学文化知识较好，理由如下： 因为九年级学生成绩的中位数和众数比八年级的高，所以九年级学生数学文化知识较好； （3）（人）， 答：估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有人； （4）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种， ∴两人恰好选取同一所大学的概率为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图所示的是“向阳”兴趣小组对某试验中一种结果的统计情况，该试验结果最有可能为（   ） A．投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数 B．掷一枚硬币朝上的是正面 C．不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球 D．从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃 【答案】A 【分析】根据概率公式计算概率，后比较判断即可． 【详解】∵投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数的数有3，6两种可能， ∴朝上的点数为3的倍数的概率为， 与图像频率稳定在相吻合， 故A符合题意； ∵掷一枚硬币朝上的是正面概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故B不符合题意； ∵不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故C不符合题意； ∵从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式计算是解题的关键． 2．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：，，，共3种， 第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是． 故选：A． 3．如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点在第三象限的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是概率的计算，掌握列举法求概率的方法是解题的关键．通过列举所有放回抽取的可能结果，结合第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均为负），找出符合条件的结果数，进而根据概率公式求出点在第三象限的概率． 【详解】根据题意列表得： 共有种可能的情况，在第三象限的点有个， ． 故选：A． 4．如图，两个标准的转盘分别被分成二等份和三等份，现分别转动两个转盘，则转盘停止转动后，指针所指的两个数字之积为奇数（指针指向分界线时，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，先利用树状图展示所有6种等可能的结果，其中积为奇数的有2种可能，然后根据概率的概念求解即可．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中积为奇数的有2种可能， ∴指针分别指向的两个数字的积为奇数的概率． 故选：D． 5．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是(    )    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率接近，故本选项推理错误，不符合题意； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是，故本选项推理正确，符合题意； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个，故本选项推理正确，符合题意； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率也是，故本选项推理错误，不符合题意． 故选：B． 6．将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“中”、“国”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“中国”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 建 设 大 美 中 国 建 建，设 建，大 建，美 建，中 建，国 设 设，建 设，大 设，美 设，中 设，国 大 大，建 大，设 大，美 大，中 大，国 美 美，建 美，设 美，大 美，中 美，国 中 中，建 中，设 中，大 中，美 中，国 国 国，建 国，设 国，大 国，美 国，中 共30种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“中国”的情况有2种； ∴； 故选B． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为： ． 故答案为：． 8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，把第一个转盘分为相同的三部分，一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一个转出红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， 可配成紫色的概率是， 故答案为：． 9．已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 10．如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘各一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两个转盘均停在红色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘均停在红色区域的结果有2种， ∴两个转盘均停在红色区域的概率为． 故答案为：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 12．哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 13．2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学． (1)九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？ (2)若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择A、D两个景区的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同， ∴选择B：敦煌莫高窟景区的概率是； （2）解：画树状图如下： 则一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种， ∴选择A，D两个景区的概率为． 14．如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【详解】（1）列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2）当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． （3）由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 15．2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 (1)样本容量为______，表中______； (2)阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； (3)若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ (4)若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 【答案】(1)40；15 (2)5，6，5 (3)135度 (4) 【分析】本题考查的是扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数的概念，树状图法或列表示求概率． （1）根据题意可得样本容量为40，用40减去另外三个的人数即可得出a的值； （2）根据众数、中位数、平均数的概念即可求解； （3）乘阅读数量为6本的人数所占的比例可得阅读数量为6本的人数对应的圆心角度数； （4）画树状图，共有20种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：样本容量为40， ， 故答案为：40；15； （2）解：∵共有40名同学，中位数是第20、21个数的平均数， ∴中位数是：； ∵6出现了15次，出现的次数最多， ∴众数是6； 这40名同学平均阅读的课外书的数量为（本）， 故答案为：5，6，5； （3）解：， 答：阅读数量为6本的人数对应的圆心角为135度； （4）解：设四名女同学分别用A、B、C、D表示，一名男同学用E表示，画树状图如下； 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好是一男一女的结果数有8种， ∴恰好抽取为一男一女的概率为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 对概率的进一步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用树状图或表格求概率 熟练掌握列表法、树状图法，能准确列举出所有等可能的结果，进而计算简单随机事件的概率;能根据不同情境，选择合适的列举方法解决概率问题. 高频考点，常以解答题形式出现，结合摸球掷骰子、抽奖等实际场景考查，注重对列举过程完整性和准确性的考查. 概率的应用 能运用概率知识分析、解决实际生活中的问题，如游戏公平性判断、获奖概率计算、决策合理性分析等，体会概率在实际决策中的作用. 核心考点，贯穿概率实际应用类题目，在计算、决策类问题中高频出现，常与其他知识 (如统计)综合考查. 用频率估计概率 理解频率的稳定性，明确大量重复试验时频率可作为概率的估计值;能根据试验数据，用频率估计概率，并解决相关实际问题. 常以解答题形式考查，常结合统计图表(如折线图、表格等)呈现试验数据;强调对“大量重复试验”这一前提条件的理解，以及利用频率估计概率解决实际决策类问题. 知识点01 用列表法求概率 ★1、用列举法（枚举法）求事件的概率 当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率. 【注意】 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. ★2、用列表法求事件的概率 (1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. (2)用列表法求概率的基本步骤： ①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格. ②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A) = （m≤n）计算概率. 知识点02 用画树状图法求概率 ★用画树状图求事件的概率 (1) 当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 【注意】用画树状图法计算概率时，必须保证每两步之间的相互独立性，以及试验结果出现的等可能性，且结果是有限个 (2)画树状图求概率的基本步骤： ①明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . 知识点03 用频率估计概率 ★1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率. ★2、用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. ★3、适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ★4、频率与概率的关系： 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值. 理论值. 与试验次数的变化有关. 与试验次数的变化无关. 与试验人、试验时间、试验地点有关. 与试验人、时间、地点无关. 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率. 题型一 用列举法或画树状图法求概率---卡片问题 解｜题｜技｜巧 卡片类问题是高频题型，通常涉及从若干张卡片中抽取一张或多张，求某种结果出现的概率。由于抽卡过程可能涉及多个步骤（如连续抽取）、是否放回等因素，直接心算容易遗漏或重复，因此需要借助列举法、列表法或画树状图法来系统分析所有等可能结果. 【典例1】3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 【变式2】某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学从中随机抽取一张，记录后放回． (1)甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为_________； (2)用画树状图或列表法求甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率． 【变式3】非物质文化遗产手工艺品是中华民族智慧与文明的结晶，承载着岁月的记忆与民族的灵魂．以下是四幅手工艺品的图片（不透明）：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．这四幅图片除正面内容不同外，其余完全相同，将它们背面朝上，洗匀后放在桌面． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_________； (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，不放回，将剩下的图片洗匀后，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 题型二 用列举法或画树状图法求概率---不放回摸球问题 答｜题｜模｜板 不放回摸球问题的解题技巧主要涉及使用列举法或画树状图法来计算概率。以下是具体的解题技巧： ①明确试验步骤：确定每次摸球的顺序和独立性，确保树状图的分支逻辑正确. ②不重不漏：每个步骤的结果必须涵盖所有可能性，避免遗漏或重复. ③不放回摸球时，每次摸球后的剩余球数会减少，因此树状图的分支数量会相应调整. 【典例1】一个盒子中，有1个红球、1个白球和1个蓝球，这些球除颜 色外都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的颜色能配 成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的颜色一样的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． (1)从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； (2)从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 题型三 用列举法或画树状图法求概率---放回的摸球问题 答｜题｜模｜板 每次摸球后将球放回原袋，因此每次试验的结果独立、等可能，且样本空间不变。这类问题适合使用列表法或树状图法来系统列举所有结果，避免遗漏或重复. 【典例1】不透明的袋子中装有红、绿、黄小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么摸到一个红球一个黄球的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋 中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后 再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球，记下标号后放回，再随机摸出一球，则两次标号之和为4的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3】一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个小球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个小球，记录下数字后放回袋中，记作随机摸球一次． (1)随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为_________． (2)随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球上数字之和为奇数的概率． 题型四 用列举法或画树状图法求概率---转盘问题 解｜题｜技｜巧 通常涉及一个或多个转盘，每个转盘被分成若干扇形，可能标有数字、颜色或其他标识。当试验涉及两个以上因素（如多次转动、多层选择）时，为了不重不漏地列出所有等可能结果，需要使用列举法的两种高级形式：列表法与画树状图法. 【典例1】用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0，，．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用图中的两个可自由转动的等分转盘做“配紫色”游戏（一红一蓝可配成紫色），如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 题型五 用列举法或画树状图法求概率---数字问题 解｜题｜技｜巧 从若干数字卡片中随机抽取并求和、组成数字、判断是否为偶数等。这类问题的关键在于准确列出所有等可能的结果，并从中找出满足条件的结果数。当试验步骤增多时，直接列举容易遗漏，因此需要借助列举法（直接/列表）或画树状图法. 【典例1】从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字、、、，将卡片背面朝上洗匀，然后从中随机地抽取两张，则这两张卡片上数字之积为负数的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·重庆黔江·期末）四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是 　 ． 题六 用列举法或画树状图法求概率---电路问题 解｜题｜技｜巧 电路问题是一类结合物理情境的典型应用题,这类题目通常描述一个包含多个开关的电路，要求计算“闭合某些开关后灯泡亮起”或“形成通路”的概率 .由于涉及多个开关的组合状态（开/关），使用画树状图法能清晰、不重复不遗漏地列出所有可能情况，是解决此类问题的核心方法之. 【典例1】如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②，③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D．1 【变式2】在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． (1)下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 题型七 用列举法或画树状图法求概率---实际问题 解｜题｜技｜巧 主要是利用列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【典例1】下图是我市某展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】周末，甲、乙、丙、丁四人小聚，餐桌摆放如图所示．若甲先坐定①号位，乙，丙，丁在剩下的三个位置中随机就坐，则乙恰能与甲坐对面的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D (1)甲停放在C位置的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【变式3】余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾． （1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是 　 　． （2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由． 题型八 概率在转盘抽奖中的应用 解｜题｜技｜巧 转盘通常被分成若干个扇形区域，每个区域代表一个可能的结果（如奖品、无奖等）。概率表示某个事件发生的可能性，计算公式为：P(事件)==，注意多轮抽奖问题：若连续转动两次，需构建树状图或列表法分析所有可能组合，再计算复合事件的概率。 【典例1】福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重 要活动，在2025年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过 购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活 动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2， 可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒． (1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______； (2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好． 【变式1】某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率． 【变式2】某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． （1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ （2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 【变式3】九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为，按表格要求确定奖项． （1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率； （2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？ 题型九 用频率估计概率 解｜题｜技｜巧 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 【典例1】（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【变式1】（24-25九年级上·四川巴中·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采 用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为 ，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则 据此估计此二维码中白色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后 发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（   ） A． 个 B．6个 C．4个 D．2个 【变式3】（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A． 无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 题型十 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 用频率估计概率的核心技巧是：在大量重复试验中，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率估计值。关键在于识别“非等可能”或“结果无限”的场景，并通过数据表、折线图分析趋势，进而估算总体数量或预测事件发生可能性。 【典例1】一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【变式2】某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定： 顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【变式3】某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果 统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 题型十一 游戏的公平性问题 解｜题｜技｜巧 戏是否公平，关键看双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；否则不公平，并可通过调整规则（如得分、条件）使其公平。 【典例1】甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【变式1】如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的边界时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 【变式2】小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有 2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． (1)若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； (2)若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 【变式3】数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制 作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀 后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 题型十二 概率与统计知识的综合应用 解｜题｜技｜巧 掌握“列举法+图表分析+实际情境建模”三大核心技巧是解决九年级概率与统计综合题的关键，尤其要熟练使用树状图或列表法求等可能事件的概率，并能结合条形图、扇形图进行数据分析与推断. 【典例1】（24-25九年级上·贵州黔西·期末）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少（使用树状图或列表法表示）？ 【变式1】为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【变式2】小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题： (1)这项被调查的总人数是多少人？ (2)补全条形统计图； (3)如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 【变式3】（24-25八年级下·山东日照·期末）数学文化有利于激发学生的数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (4)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校了解其数学文化发展史，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图所示的是“向阳”兴趣小组对某试验中一种结果的统计情况，该试验结果最有可能为（   ） A．投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数 B．掷一枚硬币朝上的是正面 C．不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球 D．从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃 2．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A． B． C． D． 3．如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点在第三象限的概率是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，两个标准的转盘分别被分成二等份和三等份，现分别转动两个转盘，则转盘停止转动后，指针所指的两个数字之积为奇数（指针指向分界线时，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 5．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是(    )    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 6．将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“中”、“国”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“中国”的概率是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是 ． 9．已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 10．如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘各一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 12．哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 13．2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学． (1)九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？ (2)若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 14．如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 15．2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 (1)样本容量为______，表中______； (2)阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； (3)若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ (4)若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 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