专题01 反比例函数（期末复习讲义，4知识点+16题型）九年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学反比例函数期末复习讲义通过核心考点表格系统梳理定义、图象性质等六大模块，结合知识框架图呈现各考点内在联系，用对比表格区分反比例函数与一次函数形式差异，突出k的几何意义和综合应用等重难点分布。 讲义亮点在于16种分层题型设计，如“比较函数值大小”总结性质法、图象法等技巧培养几何直观，实际应用题（药熏消毒问题）强化模型意识，基础通关练到综合拓展练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学提升复习效率。

反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 反比例函数的定义 能准确识别反比例函数，区分其与一次函数、正比例函数的形式差异. 多以选择题、填空题形式考查，题干常结合一次函数、正比例函数设置辨析选项，难度较低. 2. 反比例函数的图象与性质 熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析函数值的变化趋势. 选择题、填空题高频考点，常结合平面直角坐标系考查图象象限判断，或结合取值范围考查函数值大小比较，难度中等. 3. 反比例函数解析式的确定 会用待定系数法求反比例函数解析式，能结合图象上点的坐标求解参数k. 选择题、填空题、解答题均有涉及，解答题中常作为第一小问，为后续综合题铺垫，难度中等. 4. 反比例函数k 的几何意义 理解k的几何意义，能运用该性质解决与三角形、矩形面积相关的问题. 期末必考考点，选择题、填空题、解答题均会出现，常结合网格、坐标系考查面积计算，部分题目会设置隐藏的垂线条件，难度中等偏上. 5. 反比例函数与一次函数的综合应用 能联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小，会解决行程、工程等实际应用问题. 解答题压轴题高频考点，常综合考查数形结合思想，需要结合图象分析函数性质，实际应用题会联系生活场景，难度较大. 6.反比例函数的实际应用 能从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题，如求最值、取值范围等. 解答题常考题型，题干会给出生活实际场景，需要提炼等量关系，难度中等，常与分式方程结合考查. 知识点01 反比例函数的定义 ◆1、反比例函数定义：一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． ◆2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 注意：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 知识点02 反比例函数的图象与性质 ◆1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． ◆2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，随的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点03 待定系数法求反比例函数的解析式 ◆用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 知识点04 反比例函数的应用 ◆1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． ◆2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． ◆3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 题型一 反比例函数的定义 解｜题｜技｜巧 反比例函数的定义：一般的，形如y（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 【典例1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式∶或或的函数是反比例函数． 根据反比例函数或或的形式解答即可． 【详解】解∶A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选∶B． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 逐一判断即可． 【详解】解：A．，是的正比例函数，不符合题意； B．，是的反比例函数，不符合题意； C．，是的反比例函数，符合题意； D．，是的反比例函数，不符合题意； 故选：C 【变式2】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 题型二 利用反比例函数的定义求字母的值 解｜题｜技｜巧 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的 x 的次数为－1，且系数不等于0. 【典例1】如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【变式2】已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 题型三 反比例函数的图象 解｜题｜技｜巧 反比例函数的图是由两条曲线组成，它是双曲线．当 (k > 0) 时，图象位于第一、三象限；当 (k < 0) 时，图象位于第二、四象限. 【典例1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）当时，反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键，根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选C． 题型四 反比例函数图象与其它图象共存问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与其它图象的共存问题从各函数性质角度分析共存情况，有时需要用排除法来判断. 【典例1】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式2】已知正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y＝ax2+k在坐系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，然后根据二次函数图象的性质即可得出答案． 【详解】正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0， 则二次函数y=ax2+k的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴的正半轴， 所以大致图象为B图象． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数及正比例函数与反比例函数的图象，属于基础题，关键是注意数形结合的思想解题． 题型五 利用反比例函数图象与性质比较函数值大小 解｜题｜技｜巧 比较反比例函数值大小的方法 方法一:性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小;当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方,进行函数值大小比较. 方法二:图象法.根据条件在坐标系中描出各点,观察点的位置高低,就可以比较函数值大小.图象法形象直观. 方法三:特殊值法.根据条件取自变量的特殊值,代入解析式求出对应的数值,就可以直接比较函数值大小.特殊值法简单直接. 【典例1】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用代入法求y值并比较大小是关键．根据反比例函数性质，时，函数图像在第一、三象限，代入点坐标计算y值并比较大小． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，   ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，的大小关系为， 故选：B． 【变式1】若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大；反之经过一、三象限，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ， 故答案为：． 题型六 反比例函数的性质 解｜题｜技｜巧 1、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； 2、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 【典例1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．若，则 C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大， 当时，， ∴图象必经过点， 当时，， ∴当时，； 综上，只有选项D的结论不正确； 故选D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取 值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号) 【答案】②③④ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：①当时，，即图象必经过点，正确； ②，图象在第二、四象限内，错误； ③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误； ④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误， 故答案为：②③④． 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解｜题｜技｜巧 若是一次函数与反比例函数交于两点，则这两点关于原点中心对称. 【典例1】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限 【答案】B 【分析】根据图象过点，求出值，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴双曲线过一、三象限； 故选B． 【点睛】本题考查判断反比例函数图象所经过的象限．解题的关键是求出值，熟练掌握反比例函数的性质． 41．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）【变式1】正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y=2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（-1，-2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 【变式2】如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点A与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数． 题型八 由反比例函数比例系数k的几何意义求面积 解｜题｜技｜巧 反比例函数比例系数k的几何意义：如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 【典例1】双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，由点B在的图象上可得出，由点A在的图象上可得出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内 的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面 积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 【变式2】如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 由面积求反比例函数比例系数k 解｜题｜技｜巧 利用k的几何意义，将图形的面积与k联系起来，若围成的矩形面积为S，则|k|=S；若围成的三角形面积为S，则|k|=2S,根据题目给出的面积值，列出方程求解k的值。需要注意的是，k的正负取决于反比例函数图象所在的象限：若图象在第一、第三象限时k>0；若图象在第二、第四象限时k<0. 【典例1】如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数比例系数的几何意义． 作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点 是反比例函数的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则的值为（　　） A．16 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．如图（见解析），先得出正方形的面积等于图中阴影部分的面积，即为16，再利用正方形的面积公式可得，则可得，代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：如图，∵在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∵正方形和反比例函数图像关于原点中心对称， ∴正方形的面积等于图中阴影部分的面积，即为16， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵点是反比例函数的图象上的一点， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 故答案为： 题型十 由反比例函数系数k的几何意义探究规律 解｜题｜技｜巧 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出关键点的坐标是解题的关键． 【典例1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，，则（为正整数）的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 由题意，，，，……，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，……，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：点在直线上，， 是等腰直角三角形， ，， ，，……，都是等腰直角三角形， ∴， 直线与双曲线交于点， ， 作轴于，则， ， 设， 则有， 解得（负值舍去）， ， 设，则有， 解得（负值舍去）， ， 同理可得，， ，……， ， ， 故选D． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴在反比例函数的解析式为：y=， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴P2（2，）， 同理，P3（22，）， … ∴Pn（2n-1，）． 当时，则有 的坐标为：（，） 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 【变式2】如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质．也考查了三角形面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，，，再根据平行四边形的性质和三角形面积公式可计算出，，，，，所以，，，即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 故答案为：，． 题型十一 反比例函数与一次函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 【典例1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 不等式的解集是或． 故选：． 【变式1】若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、直接开方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键． 联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴，解得：． 故选：A． 【变式2】4（24-25八年级下·福建漳州·期末）若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意，点是直线与双曲线的交点，可得和，代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵； 故选A． 题型十二 确定反比例函数的解析式 解｜题｜技｜巧 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 【典例1】已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的、值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将代入第题求出的函数关系式中，计算得出的值． 【详解】（1）解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：当时，． 【变式1】已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 【变式2】已知反比例函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点B，是否在这个函数图像上？ 【答案】(1) (2)点在函数图像上，点不在函数图像上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴点在函数图像上，点不在函数图像上． 题型十三 反比例函数与一次函数的综合 解｜题｜技｜巧 综合利用反比例函数和一次函数的性质解决问题即可解答． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （3）如图所示，设直线与轴交于，求出点C的坐标，得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得到， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图像上， ， ， 把和代入一次函数解析式， ， 解得， ； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， 满足的的取值范围是或． （3）解：如图所示，设直线与轴交于， 当时，， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为________； (3)若在y轴上找一点P，使最大，则点P的坐标为________． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把点代入反比例函数，可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再利用待定系数法可求出一次函数的解析式； （2）直接观察图象，即可求解； （3）求出一次函数的图象与y轴的交点，即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得： ， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入得：， 解得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或 （3）解：如图，设一次函数的图象与y轴交于点P，此时最大， 当时，， ∴点P的坐标为． 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)24 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于， ， ， ， 反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ． （2）解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． （3）解：由一次函数可知， 由勾股定理可得， 当在轴正半轴时， ，， ； 当点在轴负半轴时，，故此情况不存在， 综上分析，的面积为． 题型十四 反比例函数与几何图形的综合 解｜题｜技｜巧 利用反比例函数的性质和几何图形的性质来解决问题. 【典例1】在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴，轴上，反比例函数 的图象分别与矩形的边相交于点，． (1)如图1，若， ①点的坐标是___________； ②连接，当时，探究点是否分别为线段的中点，并证明； (2)如图2，过点作，垂足为点，连接，．当时，探究点是否分别为线段的黄金分割点，并证明． 【答案】(1)①；②点，分别为线段，的中点，证明见解析 (2)点，分别为线段，的黄金分割点，证明见解析 【分析】本题主要考查反比例函数，黄金分割点，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①根据求出坐标即可；②结合矩形的性质证出，得到，求出再得到即可得出结论． （2）根据题意证出，得到，设，求出，得到点为线段的黄金分割点．再结合得到，即可证出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：． ②点，分别为线段，的中点，理由如下， 在矩形中，，，． ． ， ． ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ． ． ． ． ． ． ． 点分别为线段的中点． （2）解：点，分别为线段，的黄金分割点，理由如下， ， ， ， ． 设， ． ． ，即． 点为线段的黄金分割点． ． ． 点为线段的黄金分割点． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． (1)求m，n的值； (2)写出不等式的解集为____________； (3)①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； (4)记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，． (2)或 (3)①，② (4) 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式，再代入反比例解析式求解即可； （2）根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）①用待定系数法求一次函数解析式；② 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． （4）联立一次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程无实数根的问题，利用判别式求解的范围． 【详解】（1）解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得． （2）由（1）得：，则， 由图象可知：或， （3）①把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为， ②点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上， （4）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 则无实数根，整理得：， ， 当时，，， ∵的函数图象开口向上， ∴的解集是． ∴一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边 上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型十五 实际问题与反比例函数 解｜题｜技｜巧 反比例函数解决实际问题的方法：①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【典例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，由此即可判断A错误；再将代入求出的值，由此即可判断B错误；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即可得． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将点代入得：， ∴，则选项A错误； 当时，，则选项B错误； 当时，， 当时，， ∵在函数中，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，则选项C错误； 当时，，则选项D正确； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四 个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1 号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A．4号 B．3号 C．2号 D．1号 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵利润等于成本乘以利润率， 描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴1号和3号的单件利润相等（横纵坐标之积相等）， ∵4号在双曲线的上方，2号在双曲线的下方， ∴表示4号的点的横纵坐标之积大于表示1号和3号的点的横纵坐标之积，表示2号的点的横纵坐标之积小于表示1号和3号的点的横纵坐标之积， ∴4号的利润大于1号和3号的利润，2号的利润小于1号和3号的利润． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）当汽车的功率P（单位：）一定时，汽车的行驶速度v（单 位：）与汽车所受阻力F（单位：N）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．当汽车所受阻力低于 时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应（   ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数是解题的关键，设反比例函数的解析式为，将代入，求出，利用为了安全汽车所受阻力应不低于，得，求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入，得， 解得：， 则反比例函数的解析式为， ∵为了安全汽车所受阻力应不低于， ∴， 得， 即不大于 故选：B． 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 掌握反比例函数与一次函数的实际应用，关键在于识别变量关系、建立数学模型，并结合图像分析交点与变化趋势. 【典例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 【变式1】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 【变式2】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小 时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙 尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题关键． 将点坐标代入反比例函数解析式，直接计算 k 的值． 【详解】∵ 点 在函数  的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选C． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知点在反比例函数的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的坐标代入求解，根据坐标关于原点的对称规律直接求解即可． 【详解】将代入，则，那么， 则点关于原点对称的点的坐标 故选：D 【点睛】此题考查反比例函数上的点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的点的坐标规律． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据可知反比例函数图象分布在第一，第三象限，结合，可知点在第三象限，点在第一象限，进而可得出． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象分布在第一，第三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 6．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．过点A作轴于点G，易证四边形为矩形，求出，再根据反比例函数图象得到，即可求出答案． 【详解】解：过点A作轴于点G， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由反比例函数经过第二象限，得， ∴． 故选：C． 7．（2024秋•金水区校级期末）调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 【答案】B． 【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以写出该函数的解析式，从而可以判断①；再根据图象，可知Ⅰ＜0.25时，R＞880，从而可以判断②；根据图象中的数据可以判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：I与R成反比例函数， ∵当R＝880时，I＝0.25， ∴IR＝880×0.25＝220， 即I与R的函数关系式是I（R＞0），故A不符合题意； 当Ⅰ＜0.25时，R＞880，故B符合题意； 当R＝1000时，I，即I＝0.22，故C不符合题意； 当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A，B两点，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． 根据交点判断即可． 【详解】解：由图可知，若，则的取值范围是或， 故选：D． 9．（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意可得，则，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴关于原点对称，则， ∴， ∴， 反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，而当时，，所以当时，或．关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式． 【详解】解：反比例函数中，， 图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，或 故答案为：或 11．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线 ＞上，连接交于，连接，则图中是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·广东佛山·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据，设，则，，可求出，对应的，，，可求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意，设， ∴，，，， ∴，，，，， ∴，，，，，┈，， ，，，，，┈，， ∴，，，，，┈，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交轴于点． (1)求的值及一次函数的解析式 (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数图象与不等式等知识点，熟练掌握函数图象法和待定系数法是解题的关键． （1）先将点代入可得反比例函数的解析式，再点代入反比例函数的解析式可得c的值，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数的图象经过点，一次函数的图象必经过点，再分和两种情况，分别结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 将点代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：由（1）已得：反比例函数的解析式为， 当时，，即反比例函数的图象经过点， 将代入一次函数得：， ∴一次函数的图象必经过点， ①如图，当时， 此时，当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，不符合题意； ②如图，当时， 将点代入一次函数得：，解得：， 结合函数图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，则． 综上，a的取值范围为． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、两点，若已知． (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集 ； (3)点为y轴上一点，若的面积为10，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查求一次函数与反比例函数的解析式、函数图像解不等式、三角形面积等知识点，正确求得函数解析式、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将代入求出m的值，再将代入求出n，然后运用待定系数法求出一次函数即可； （2）根据函数图像直接写成不等式的解集即可； （3）先求出出一次函数与x轴的交点坐标，进而得到，再根据列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代得， ∴， 把，分别代入， 得：，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，， ∴由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时， ∴的解为：或． （3）解：设一次函数与y轴交点为C， 在中，令，则，即， ∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为，则， ∵， ∴，即，解得：或． 15．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 16．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)①，②= (2)，D的坐标为，E的坐标为，直角三角形， 【分析】本题考查勾股定理逆定理，以及反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比函数系数k的几何意义是解题的关键． （1）①根据矩形的性质得故可得点B的坐标；②根据反比函数系数k的几何意义可得结论； （2）由且可求出，得，根据求出，可得点D的坐标，进而求出解析式；同理可求出点E的坐标． 分别求出，，，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据面积公式可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， 则点坐标为， 反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ∴，， ； 故答案为：；； （2）解：当时， ， ， ， ， ∴， ∴． ， ， ∴， ，， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 反比例函数的定义 能准确识别反比例函数，区分其与一次函数、正比例函数的形式差异. 多以选择题、填空题形式考查，题干常结合一次函数、正比例函数设置辨析选项，难度较低. 2. 反比例函数的图象与性质 熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析函数值的变化趋势. 选择题、填空题高频考点，常结合平面直角坐标系考查图象象限判断，或结合取值范围考查函数值大小比较，难度中等. 3. 反比例函数解析式的确定 会用待定系数法求反比例函数解析式，能结合图象上点的坐标求解参数k. 选择题、填空题、解答题均有涉及，解答题中常作为第一小问，为后续综合题铺垫，难度中等. 4. 反比例函数k 的几何意义 理解k的几何意义，能运用该性质解决与三角形、矩形面积相关的问题. 期末必考考点，选择题、填空题、解答题均会出现，常结合网格、坐标系考查面积计算，部分题目会设置隐藏的垂线条件，难度中等偏上. 5. 反比例函数与一次函数的综合应用 能联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小，会解决行程、工程等实际应用问题. 解答题压轴题高频考点，常综合考查数形结合思想，需要结合图象分析函数性质，实际应用题会联系生活场景，难度较大. 6.反比例函数的实际应用 能从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题，如求最值、取值范围等. 解答题常考题型，题干会给出生活实际场景，需要提炼等量关系，难度中等，常与分式方程结合考查. 知识点01 反比例函数的定义 ◆1、反比例函数定义：一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． ◆2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 注意：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 知识点02 反比例函数的图象与性质 ◆1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． ◆2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，随的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点03 待定系数法求反比例函数的解析式 ◆用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 知识点04 反比例函数的应用 ◆1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． ◆2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． ◆3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 题型一 反比例函数的定义 解｜题｜技｜巧 反比例函数的定义：一般的，形如y（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 【典例1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 题型二 利用反比例函数的定义求字母的值 解｜题｜技｜巧 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的 x 的次数为－1，且系数不等于0. 【典例1】如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【变式2】已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 题型三 反比例函数的图象 解｜题｜技｜巧 反比例函数的图是由两条曲线组成，它是双曲线．当 (k > 0) 时，图象位于第一、三象限；当 (k < 0) 时，图象位于第二、四象限. 【典例1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）当时，反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 题型四 反比例函数图象与其它图象共存问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与其它图象的共存问题从各函数性质角度分析共存情况，有时需要用排除法来判断. 【典例1】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y＝ax2+k在坐系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型五 利用反比例函数图象与性质比较函数值大小 解｜题｜技｜巧 比较反比例函数值大小的方法 方法一:性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小;当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方,进行函数值大小比较. 方法二:图象法.根据条件在坐标系中描出各点,观察点的位置高低,就可以比较函数值大小.图象法形象直观. 方法三:特殊值法.根据条件取自变量的特殊值,代入解析式求出对应的数值,就可以直接比较函数值大小.特殊值法简单直接. 【典例1】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系 ． 题型六 反比例函数的性质 解｜题｜技｜巧 1、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； 2、当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 【典例1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．若，则 C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取 值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号) 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解｜题｜技｜巧 若是一次函数与反比例函数交于两点，则这两点关于原点中心对称. 【典例1】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限 41．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）【变式1】正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【变式2】如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型八 由反比例函数比例系数k的几何意义求面积 解｜题｜技｜巧 反比例函数比例系数k的几何意义：如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 【典例1】双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内 的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面 积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 题型九 由面积求反比例函数比例系数k 解｜题｜技｜巧 利用k的几何意义，将图形的面积与k联系起来，若围成的矩形面积为S，则|k|=S；若围成的三角形面积为S，则|k|=2S,根据题目给出的面积值，列出方程求解k的值。需要注意的是，k的正负取决于反比例函数图象所在的象限：若图象在第一、第三象限时k>0；若图象在第二、第四象限时k<0. 【典例1】如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点 是反比例函数的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则的值为（　　） A．16 B． C．4 D． 【变式2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 题型十 由反比例函数系数k的几何意义探究规律 解｜题｜技｜巧 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出关键点的坐标是解题的关键． 【典例1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，，则（为正整数）的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 题型十一 反比例函数与一次函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 【典例1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】4（24-25八年级下·福建漳州·期末）若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C．-3 D．3 题型十二 确定反比例函数的解析式 解｜题｜技｜巧 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 【典例1】已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【变式1】已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【变式2】已知反比例函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点B，是否在这个函数图像上？ 题型十三 反比例函数与一次函数的综合 解｜题｜技｜巧 综合利用反比例函数和一次函数的性质解决问题即可解答． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为________； (3)若在y轴上找一点P，使最大，则点P的坐标为________． 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 题型十四 反比例函数与几何图形的综合 解｜题｜技｜巧 利用反比例函数的性质和几何图形的性质来解决问题. 【典例1】在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴，轴上，反比例函数 的图象分别与矩形的边相交于点，． (1)如图1，若， ①点的坐标是___________； ②连接，当时，探究点是否分别为线段的中点，并证明； (2)如图2，过点作，垂足为点，连接，．当时，探究点是否分别为线段的黄金分割点，并证明． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． (1)求m，n的值； (2)写出不等式的解集为____________； (3)①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； (4)记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边 上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十五 实际问题与反比例函数 解｜题｜技｜巧 反比例函数解决实际问题的方法：①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【典例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四 个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1 号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A．4号 B．3号 C．2号 D．1号 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）当汽车的功率P（单位：）一定时，汽车的行驶速度v（单 位：）与汽车所受阻力F（单位：N）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．当汽车所受阻力低于 时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应（   ） A． 大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 掌握反比例函数与一次函数的实际应用，关键在于识别变量关系、建立数学模型，并结合图像分析交点与变化趋势. 【典例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【变式1】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【变式2】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小 时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙 尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知点在反比例函数的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　） A． B．8 C． D． 7．（2024秋•金水区校级期末）调光台灯的灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化而改变．如图是某台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数图象，该图象经过点P（880，0.25），下列说法中错误的是（　　） A． B．当I＜0.25时，R＜880 C．当R＝1000时，I＝0.22 D．当880＜R＜1000时，0.22＜I＜0.25 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A，B两点，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 9．（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线 ＞上，连接交于，连接，则图中是 ． 12．（23-24九年级下·广东佛山·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交轴于点． (1)求的值及一次函数的解析式 (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、两点，若已知． (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集 ； (3)点为y轴上一点，若的面积为10，求a的值． 15．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 16．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $