专题3.2 一元一次不等式与实际问题9种题型（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学讲义以表格系统梳理一元一次不等式与实际问题的核心考点，涵盖列不等式（组）、行程等七类应用问题，明确复习目标与考情规律，通过步骤总结和关键语句提示构建解题框架，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型分类分层设计，从基础列不等式到综合方案选择，例题选自各地期中期末真题，如经济问题培养模型意识，阶梯收费题强化推理能力，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

专题3.2 一元一次不等式与实际问题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 根据实际问题列不等式（组） 能从实际情境中提取不等关系，准确列出一元一次不等式（组），明确变量的实际意义 基础核心考点，是后续解题的前提，多在解答题的第一问考查，易因关键词（“至少”“不超过”）理解错误失分 用一元一次不等式解决实际问题 能解出不等式的解集，并结合实际情境（如整数限制）确定合理的实际解 高频基础题型，解答题为主，侧重 “解集的实际意义”，难度中等 不等式组的行程问题 能结合行程问题中的速度、时间、路程关系，构建不等式组模型，求解范围类问题（如 “最快 / 最慢速度”） 综合题型，解答题为主，常与一次函数结合考查，需明确行程中的不等关系（如 “不迟到”“路程不小于”） 不等式组的工程问题 能根据工作量、工作效率、工作时间的关系，列不等式组求解工程中的资源调配、工期限制等问题 高频综合题型，解答题为主，易涉及 “工作总量≥1”“工期不超过” 等限制条件 不等式组的经济问题 能结合成本、利润、价格等经济量，列不等式组求解利润范围、成本控制等问题 热门应用题型，解答题为主，常与 “最大利润”“最低成本” 等优化目标结合 不等式组的分配问题 能根据物资、人员的分配规则，列不等式组确定分配方案的可行范围，列举合理方案 高频基础题型，解答题为主，需注意变量的正整数限制，常要求 “列举所有方案” 不等式组的方案选择 能构建多个不等式组模型，对比不同方案的结果，确定最优方案（如 “费用最低”“效率最高”） 压轴综合题型，解答题为主，分值占比高，需结合不等式组解集与实际需求决策 不等式组的阶梯收费问题 能识别阶梯收费的临界点，分区间列不等式组，求解费用对应的用量范围等问题 易错题型，小题、解答题均有涉及，易因分段区间混淆导致列不等式组错误 知识点01 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； 解：解所列的不等式（组），求出符合题意的解； 答：写出答案（包括单位名称）. 知识点02 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中，如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时，其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 根据实际问题列不等式（组） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 题型二 用一元一次不等式解决实际问题 答｜题｜模｜板 由实际问题中的不等关系列出不等式(组)，建立解决问题的数学模型，通过解不等式(组)可以得到实际问题的答案. 列一元一次不等式(组)解决实际问题的关键是要从问题中找出不等关系，然后恰当地设出未知数，列出不等式(组)，最后求解不等式(组). 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 6．（25-26八年级上·浙江·期中）某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元． (1)求两种型号羽毛球拍的单价． (2)该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 8．（2025·宁夏银川·一模）每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚． (1)如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？ 题型三 不等式组的行程问题 9．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 10．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 11．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 12．（22-23七年级下·重庆永川·期末）甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 题型四 不等式组的工程问题 答｜题｜模｜板 工程问题与不等式结合时，往往出现由题给情境限制的约束条件.这些约束条件既是解题的关键，也是在解后需要仔细检查是否满足的易错点. 13．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）某县为了美好的环境，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，全力打好水污染防治攻坚战，推动水环境质量逐步改善，准备投资建成东、西城区雨污分流管网建设工程．两城区雨污分流管网计划共配套管网7200米，预计东、西城区各需材料费用2100万元和1900万元，施工工期为30天． (1)若两城区所用材料单价一样，求东、西两城区各配套管网多少米？ (2)有甲、乙两个工程队参与共同完成施工，甲队平均每天的工作量为200米，每天的施工费为3万元；乙队平均每天的工作量是甲的1.2倍，每天的施工费为3.5万元．要使该工程的施工费最低，甲、乙两队需要各做多少天？最低费用为多少？ 15．（2021九年级·浙江·专题练习）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 16．（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 题型五 不等式组的经济问题 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 18．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 19．（24-25八年级上·浙江温州·期末）深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 题型六 不等式组的分配问题 21．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 22．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 23．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）2021年7月的一场暴雨席卷中原腹地，给河南省带来巨大损失，为了增加排水能力，某市决定购进型与型排水设备若干台，下表是、型号排水设备的每台售价与每台每日排水量的相关数据．已知用72万元购买型排水设备的数量和用48万元购买型排水设备的数量相同． 型号 每台售价（万元） 每台每日排水量（吨 型 18 160 型 150 (1)问型排水设备每台售价多少万元？ (2)现恰好花费了180万元购买型与型排水设备，若要使购进型台数不少于型台数的一半，则如何分配购进型与型排水设备数量，使得每日的排水总量最大？ 24．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 题型七 不等式组的方案选择问题 答｜题｜模｜板 方案类问题涉及整数可以枚举出整数解来求得最优方案;方案已经给好的题目可以根据题目给出的条件，对比各个方案来选择最优方案. 25．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 26．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 27．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 28．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就菊花”的真挚情谊．某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元． (1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元； (2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所有购买方案． 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： (1)求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． (2)学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 30．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 31．（20-21七年级下·浙江·期末）某书店购进两种新书，相关信息如下表： 种新书 种新书 进价（元/本） 售价（元/本） 14 16 (1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值； (2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？ 题型八 不等式组的阶梯收费问题 32．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 33．（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 34．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 35．（24-25七年级上·重庆·期末）某企业采购了品牌空调40台，品牌空调60台，准备让旗下的甲、乙两家商场出售，其中70台给甲商场，30台给乙商场．设该企业调配（为正整数）台品牌空调给甲商场，两家商场销售这两种品牌空调的单价如下表（单位：元/台）： 甲商场 2500 2000 乙商场 3000 1700 (1)请根据题意补全、品牌空调调配情况的表格（单位：台）． 甲商场 乙商场 (2)在（1）的条件下，若甲、乙两家商场全部卖出这100台空调的总销售额为219000元，求的值； (3)小麦家去年7，8月份空调共用电460千瓦时（其中7月份用电量少于8月份），两次共交电费元．请根据下表中电费收费标准，求出小麦家8月的用电量． 月用电（单位：千瓦时统计为整数） 单价（单位：元） 180及以内 大于等于181且小于等于400的部分 401及以上部分 36．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法是每月收月租费元，通话时不超过分钟的部分免费，超过分钟的按每分钟元加收通话费；计费方法是每月收取月租费元，通话时间不超过分钟的部分免费，超过分钟的按每分钟元收通话费，现在设通话时间是分钟： (1)当通话时间超过分钟时，请用含的代数式表示计费方法的通话费用． (2)用计费方法的用户一个月累计通话分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？ (3)请你通过计算分析，当通话时间超过多少分钟时采用计费方法合算？ 题型九 不等式组的其它应用 37．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 38．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作． (1)如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围． (2)如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 39．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 40．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学项目化学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.8米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；是关于的一次函数吗？______．（填“是”或“不是”） (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 41．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔 支． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是 ． 7．（20-21八年级下·浙江台州·期末）某商店销售两种笔记本，进价和售价如表所示： 名称 种笔记本 种笔记本 进价（元/本） 售价（元/本） 该商店用元钱购入了这两种笔记本，设购入种笔记本本，种笔记本本，则与的关系式为 ；若两种笔记本全部售完，且种笔记本数量大于种笔记本数量的倍，则能获得的最大利润是 元． 8．（20-21七年级下·浙江台州·期末）梅老师网购了一本《数学演义》，标价为38元，同学们想知道书的售价，梅老师说：打折促销买的，能猜猜实际的售价吗？甲说：“至少25元”，乙说：“至多28元”，丙说：“至多30元”，梅老师又说：“你们三个人中只有一人猜对”．则这本书的实际售价x（元）所在的范围是 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某公司每月生产两种型号的口罩共万只，且所有口罩当月全部售出．两种型号口罩的成本、售价如表所示： 口罩型号 每只成本/元 每只售价/元 (1)设该公司每月生产型口罩万只，该公司的月毛利润为______（用含的代数式表示）． (2)该公司计划月投入口罩生产的成本不超过万元，且型口罩每只售价降低元． ①求月型口罩生产数量的范围； ②求月该公司销售口罩毛利润的最大值． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 3.0 15 脂肪（g） 32.4 3.6 5.2 碳水化合物（g） 50.8 4.5 1.4 素材2 阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？ 任务2 已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： (1)每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ (2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． (3)若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），其平面设计图（如图2）．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且，，，四点在同一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． (1)若，求证：最高点到地面的距离就是线段的长； (2)小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 一元一次不等式与实际问题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 根据实际问题列不等式（组） 能从实际情境中提取不等关系，准确列出一元一次不等式（组），明确变量的实际意义 基础核心考点，是后续解题的前提，多在解答题的第一问考查，易因关键词（“至少”“不超过”）理解错误失分 用一元一次不等式解决实际问题 能解出不等式的解集，并结合实际情境（如整数限制）确定合理的实际解 高频基础题型，解答题为主，侧重 “解集的实际意义”，难度中等 不等式组的行程问题 能结合行程问题中的速度、时间、路程关系，构建不等式组模型，求解范围类问题（如 “最快 / 最慢速度”） 综合题型，解答题为主，常与一次函数结合考查，需明确行程中的不等关系（如 “不迟到”“路程不小于”） 不等式组的工程问题 能根据工作量、工作效率、工作时间的关系，列不等式组求解工程中的资源调配、工期限制等问题 高频综合题型，解答题为主，易涉及 “工作总量≥1”“工期不超过” 等限制条件 不等式组的经济问题 能结合成本、利润、价格等经济量，列不等式组求解利润范围、成本控制等问题 热门应用题型，解答题为主，常与 “最大利润”“最低成本” 等优化目标结合 不等式组的分配问题 能根据物资、人员的分配规则，列不等式组确定分配方案的可行范围，列举合理方案 高频基础题型，解答题为主，需注意变量的正整数限制，常要求 “列举所有方案” 不等式组的方案选择 能构建多个不等式组模型，对比不同方案的结果，确定最优方案（如 “费用最低”“效率最高”） 压轴综合题型，解答题为主，分值占比高，需结合不等式组解集与实际需求决策 不等式组的阶梯收费问题 能识别阶梯收费的临界点，分区间列不等式组，求解费用对应的用量范围等问题 易错题型，小题、解答题均有涉及，易因分段区间混淆导致列不等式组错误 知识点01 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； 解：解所列的不等式（组），求出符合题意的解； 答：写出答案（包括单位名称）. 知识点02 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中，如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时，其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 根据实际问题列不等式（组） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．根据题意，获奖条件是得分不低于150分，即总得分 ，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可． 【详解】设答对x道题，则答错或不答题数为道。 总得分 ， ∵ 得分不低于150分， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键． 【详解】解：设有条船，由题意可得， 故选：C． 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 题型二 用一元一次不等式解决实际问题 答｜题｜模｜板 由实际问题中的不等关系列出不等式(组)，建立解决问题的数学模型，通过解不等式(组)可以得到实际问题的答案. 列一元一次不等式(组)解决实际问题的关键是要从问题中找出不等关系，然后恰当地设出未知数，列出不等式(组)，最后求解不等式(组). 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)见解析 (2)至少租型客车5辆 (3)有两个方案，分别为：方案一：A车5辆B车9辆；方案二：A车6辆B车8辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给信息可以填表得解； （2）依据题意，由总载客量需满足师生总数698人，则，结合为车辆数（整数），从而可以判断得解； （3）依据题意，由总租金元，则，故；又结合（2）中，，且为整数，可得或6，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，填表如下： 车型 车辆数辆 载客量人 租金元 型客车 型客车 故答案为：；；； （2）解：由题意，总载客量需满足师生总数698人， ． ． ． 为车辆数（整数）， 最小取5． 至少需租用型客车5辆． （3）解：由题意，总租金元， ． ． 又结合（2）中，，且为整数， 或6． 共有2种租车方案：租用型客车5辆，型客车辆；租用型客车6辆，型客车辆． 6．（25-26八年级上·浙江·期中）某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元． (1)求两种型号羽毛球拍的单价． (2)该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 【答案】(1)A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． (2)最省钱的购买方案是购买14副A型和6副B型，最少费用为1752元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． （1）设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元”建立方程组求解即可； （2）设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副，结合（1）的结论可得，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元， 由题意得：，解得：． 答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． （2）解：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由如下： 设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副， 由（1）的结论得：， ∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍， ∴，解得：， 在内，w随m的增大而增大， 又∵m是整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为，此时， ∴最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 8．（2025·宁夏银川·一模）每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚． (1)如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上科技类书有60本，则有文学书30本 (2)科技类书最多还可以摆90本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上科技类书有本，则有文学书本，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设科技类书摆本，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设书架上科技类书有本，则有文学书本， 根据题意，可得 ， 解得（本）， ∴有文学书（本）， 答：书架上科技类书有60本，则有文学书30本； （2）设科技类书摆本， 根据题意，可得 ， 解得 ， 答：如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆90本． 题型三 不等式组的行程问题 9．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 10．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 11．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 12．（22-23七年级下·重庆永川·期末）甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时 (2) (3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是 【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度； （2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围； （3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解． 【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米， ∴甲行驶的速度是（千米/时）．                     ∵乙的速度是甲的3倍， ∴乙行驶的速度是（千米/时）． 答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时． （2）由题意，得， 解之，得． 答：所求的取值范围是． （3）∵， ∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．                                         若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中， 则，即，此不等式组无解．         若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中， 则有， 解之，得． 答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组． 题型四 不等式组的工程问题 答｜题｜模｜板 工程问题与不等式结合时，往往出现由题给情境限制的约束条件.这些约束条件既是解题的关键，也是在解后需要仔细检查是否满足的易错点. 13．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为： ． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）某县为了美好的环境，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，全力打好水污染防治攻坚战，推动水环境质量逐步改善，准备投资建成东、西城区雨污分流管网建设工程．两城区雨污分流管网计划共配套管网7200米，预计东、西城区各需材料费用2100万元和1900万元，施工工期为30天． (1)若两城区所用材料单价一样，求东、西两城区各配套管网多少米？ (2)有甲、乙两个工程队参与共同完成施工，甲队平均每天的工作量为200米，每天的施工费为3万元；乙队平均每天的工作量是甲的1.2倍，每天的施工费为3.5万元．要使该工程的施工费最低，甲、乙两队需要各做多少天？最低费用为多少？ 【答案】(1)东城区配套管网3780米，西城区配套管网3420米； (2)甲队做0天，乙队做30天，该工程的施工费最低，最低为105万元． 【分析】本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用． （1）根据东、西城区各需材料费用的比即可得配套管网长度比，从而得到答案； （2）设甲队做x天，乙队作y天，可得，，根据施工工期为30天可得x的范围，设施工总费用为W万元，可得，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：东城区配套管网（米）， 西城区配套管网（米）； 答：东城区配套管网3780米，西城区配套管网3420米； （2）解：设甲队做x天，乙队作y天， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 设施工总费用为W万元， ， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最小值，最小值为105万元， 此时， 答：甲队做0天，乙队做30天，该工程的施工费最低，最低为105万元． 15．（2021九年级·浙江·专题练习）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；（2）①不够用，需追加预算2万元；②甲工程队至少需要施工40天 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断； ②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论． 【详解】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天． 根据题意，得：， 解得 x＝60． 经检验，x＝60是原方程的根． ∴1.5x＝60×1.5＝90． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， ， 解得：y＝36， 36×（2.5+2）＝162（万元）， ∵162＞160， ∴不够， 需追加162﹣160＝2（万元）， 答：不够用，需追加预算2万元； ②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天， 根据题意得：， 由得：2b＝180﹣3a， 把2b＝180﹣3a代入得：2.5a+180﹣3a≤160， a≥40， ∴甲工程队至少需要施工40天． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键． 16．（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 (2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 题型五 不等式组的经济问题 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 18．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 19．（24-25八年级上·浙江温州·期末）深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 【答案】(1)A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元 (2)方案一：购买A种商品6件，B种商品7件；方案二：购买A种商品7件，B种商品6件；方案三：购买A种商品8件，B种商品5件；应选用方案三 【分析】（1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意：用120元购买种商品的数量比购买种商品的数量多2件，列出方程，解方程即可； （2）设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，根据不等关系：①购买种商品的数量不超过种商品数量的2倍，②购买的、两种商品的总费用不超过330元可分别列出不等式，联立求解可得出的取值范围，进而讨论各方案即可． 【详解】（1）解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意得：． 解得． 经检验是原方程的解． ∴． 答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元． （2）解：设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，由题意得：． 解得． ∴整数，7，8． ∴共有三种方案． 方案一：购买A种商品6件，B种商品7件，所需费用为元； 方案二：购买A种商品7件，B种商品6件，所需费用为元； 方案三：购买A种商品8件，B种商品5件，所需费用为元； 答：共有三种购买方案．其中方案三所需费用最少，所以应选用方案三． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识；解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式． 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 题型六 不等式组的分配问题 21．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元 (2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． （2）①依题意；   ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 22．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 23．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）2021年7月的一场暴雨席卷中原腹地，给河南省带来巨大损失，为了增加排水能力，某市决定购进型与型排水设备若干台，下表是、型号排水设备的每台售价与每台每日排水量的相关数据．已知用72万元购买型排水设备的数量和用48万元购买型排水设备的数量相同． 型号 每台售价（万元） 每台每日排水量（吨 型 18 160 型 150 (1)问型排水设备每台售价多少万元？ (2)现恰好花费了180万元购买型与型排水设备，若要使购进型台数不少于型台数的一半，则如何分配购进型与型排水设备数量，使得每日的排水总量最大？ 【答案】(1)12万元 (2)购进型6台与型6台时，使得每日的排水总量最大 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设型排水设备每台售价万元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进型污水处理设备台，根据题意列不等式组求出a的取值范围，求出排水总量w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）设型排水设备每台售价万元， 依题意，得． 解得． 经检验：是原方程的解． 答：型排水设备每台售价12万元； （2）解：设购进型污水处理设备台， ， 解得， 是整数， 是偶数， 排水总量， 随a的增大而减小， 当时，取得最大值，此时， ， 即购进型6台与型6台时，使得每日的排水总量最大． 24．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 题型七 不等式组的方案选择问题 答｜题｜模｜板 方案类问题涉及整数可以枚举出整数解来求得最优方案;方案已经给好的题目可以根据题目给出的条件，对比各个方案来选择最优方案. 25．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 26．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 (2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨， 由题意可得：， 解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：， 解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 27．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 28．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就菊花”的真挚情谊．某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元． (1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元； (2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所有购买方案． 【答案】(1)甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元 (2)所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意易得，进而求解即可； （2）设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元． （2）解：设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆． 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： (1)求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． (2)学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲品牌篮球的单价是90元，乙品牌篮球的单价是70元． (2)学校共有三种购买方案：方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据题意正确列方程（组）． （1）设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个，根据购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元． 根据题意，得， 解得， 答：甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是90元，70元． （2）解：设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个． 根据题意，得， 解得， a为整数， ， 共有三种方案， 方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 30．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 31．（20-21七年级下·浙江·期末）某书店购进两种新书，相关信息如下表： 种新书 种新书 进价（元/本） 售价（元/本） 14 16 (1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值； (2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)的值为8，的值为12 (2)有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本 (3)书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减的应用，正确建立方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得； （2）设该书店购进种新书本，则购进种新书本，根据题意建立一元一次不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数解答即可得； （3）分别求出三种方案的利润，再根据整式的加减法则比较大小，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 答：的值为8，的值为12． （2）解：设该书店购进种新书本，则购进种新书本， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本， 答：有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本． （3）解：方案①购进种新书58本，种新书42本， 则书店获得的利润为（元）； 方案②购进种新书59本，种新书41本， 则书店获得的利润为（元）； 方案③购进种新书60本，种新书40本， 则书店获得的利润为（元）； ∵， ∴，， ∴， 答：书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润． 题型八 不等式组的阶梯收费问题 32．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 33．（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为300． 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用； （1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：当时，（元）， ∵， ∴． ∵， ∴． 答：该月小李家的用电量为120度． （2）当时，，符合题意． 当时， ∴， ∴ ∴， ∴a的最大值为300． 34．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 35．（24-25七年级上·重庆·期末）某企业采购了品牌空调40台，品牌空调60台，准备让旗下的甲、乙两家商场出售，其中70台给甲商场，30台给乙商场．设该企业调配（为正整数）台品牌空调给甲商场，两家商场销售这两种品牌空调的单价如下表（单位：元/台）： 甲商场 2500 2000 乙商场 3000 1700 (1)请根据题意补全、品牌空调调配情况的表格（单位：台）． 甲商场 乙商场 (2)在（1）的条件下，若甲、乙两家商场全部卖出这100台空调的总销售额为219000元，求的值； (3)小麦家去年7，8月份空调共用电460千瓦时（其中7月份用电量少于8月份），两次共交电费元．请根据下表中电费收费标准，求出小麦家8月的用电量． 月用电（单位：千瓦时统计为整数） 单价（单位：元） 180及以内 大于等于181且小于等于400的部分 401及以上部分 【答案】(1)见解析 (2)； (3)8月份的用电量为402千瓦时． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）由题意可知，调配给甲商场空调台，乙商场空调台，由此可解； （2）根据总利润为219000元，可列出方程即可； （3）设7月份的用电量为千瓦时，则8月份的用电量为千瓦时，由题意知求得，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，调配给甲商场空调台，空调台， 甲商场 乙商场 （2）解：由题意可知，， 解得； （3）解：设7月份的用电量为千瓦时，则8月份的用电量为千瓦时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ， ∴8月份的用电量为402千瓦时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，8月份的用电量为402千瓦时． 36．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法是每月收月租费元，通话时不超过分钟的部分免费，超过分钟的按每分钟元加收通话费；计费方法是每月收取月租费元，通话时间不超过分钟的部分免费，超过分钟的按每分钟元收通话费，现在设通话时间是分钟： (1)当通话时间超过分钟时，请用含的代数式表示计费方法的通话费用． (2)用计费方法的用户一个月累计通话分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？ (3)请你通过计算分析，当通话时间超过多少分钟时采用计费方法合算？ 【答案】(1)元 (2)分钟 (3)分钟 【分析】（1）根据计费方法表示出通话费用即可； （2）先根据计费方法表示出通话费用，然后根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）根据题意列出不等式，求出不等式的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意，得：， ∴用含的代数式表示计费方法的通话费用为元； （2）用含的代数式表示计费方法的通话费用为：， 用计费方法的用户一个月累计通话分钟所需的话费为：（元）， ∴， 解得：， ∴若改用计费方法，则可通话分钟； （3）依题意，得：， 解得：， ∴当通话时间超过分钟时，采用计费方法合算． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）正确理解题意列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 题型九 不等式组的其它应用 37．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 【答案】(1)小筐每筐75元，大筐每筐100元。 (2)购买方案有两种：①小筐12筐，大筐4筐，费用1300元；②小筐11筐，大筐5筐，费用1325元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确找出各小问中的数量关系是解答本题的关键． （1）设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据“何老师买了1筐小筐和2筐大筐杨梅共花费275元；郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅，两位老师共花费450元”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据“小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍”列不等式组求解，再确定购买方案． 【详解】（1）解：设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据题意得， ， 解得， 答：所以小筐每筐75元，大筐每筐100元； （2）解：设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据题意得， ， 解得， ∵是正整数， ∴或12， 当时，； 当时，； 购买方案①：小筐12筐，大筐4筐，费用（元）； 方案②：小筐11筐，大筐5筐，费用（元）． 38．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作． (1)如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围． (2)如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了流程图与不等式，理解流程图的计算规定是解题关键． （1）由操作流程可得，如果程序操作恰好执行一次就停止了，则，再求出的取值范围即可． （2）由题意可知，第一次程序操作可得，进而第二次程序操作可得，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：输入，由操作流程可得， 如果程序操作恰好执行一次就停止了，则， 解得：； （2）解：输入， 则第一次程序操作可得，解得， 进而第二次程序操作可得，解得：， 输入的的取值范围是． 39．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 【答案】任务一：地上充电桩需要万元，地下充电桩需要万元 任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元”列二元一次方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过”列一元一次不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【详解】任务一：解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得， 解得， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 万元和万元； 任务二：解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴整数的值为，， 方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 40．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学项目化学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.8米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；是关于的一次函数吗？______．（填“是”或“不是”） (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)；是 (2)最多可以运输18辆购物车 (3)共有4种运输方案：①扶手电梯运2次，直立电梯运3次；②扶手电梯运3次，直立电梯运2次；③扶手电梯运4次，直立电梯运1次；④扶手电梯运5次，直立电梯运0次 【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． （1）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （2）把代入解析式，求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输次，根据题意，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：车身总长L与购物车辆数n的表达式为， 是关于n的一次函数， 故答案为：；是； （2）当时，， 解得：，（辆）， 答：最多可以运输18辆购物车； （3）有3种，设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输次， 由（2）得：一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，3，4，5， ∴共有4种运输方案： ①扶手电梯运2次，直立电梯运3次； ②扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ③扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ④扶手电梯运5次，直立电梯运0次． 41．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 【答案】(1)无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个 (2)的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，结合，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可确定的值，进而可得出的值． 【详解】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， 解得：． 答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个； （2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， ， ， 解得：， 又，均为正整数， 可以为， ． 答：的值为． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是理解不超过为小于等于，不少于为大于等于． 设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过元，可得， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可得， 则可列不等式组为． 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于70分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解. 【详解】解：设小明答对的题数是x道， ， ， ∵x为整数， ∴x的最小整数为16， 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可． 【详解】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为， 则有：， 解得：， ∴一颗玻璃球的体积在以上，以下， 故选：C． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数的个数． 【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果， ∴第一次运行结果，第二次运行结果， 即， 解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为， 则符合条件的整数为、、、、，共个， 故选：B． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔 支． 【答案】10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，建立不等式，求解范围，并结合实际数据量的非负性确定最终结果，理解题意，正确得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∵数据量不能为负数， ∴， 故单帧视频数据量的允许范围是， 故答案为：． 8．（20-21八年级下·浙江台州·期末）某商店销售两种笔记本，进价和售价如表所示： 名称 种笔记本 种笔记本 进价（元/本） 售价（元/本） 该商店用元钱购入了这两种笔记本，设购入种笔记本本，种笔记本本，则与的关系式为 ；若两种笔记本全部售完，且种笔记本数量大于种笔记本数量的倍，则能获得的最大利润是 元． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，关键是掌握各个变量本身的含义和变量间的等量或不等关系，利用变量间的数量关系，即可列出代数式． 【详解】解：根据题意可知，两种笔记本进价为元/本和元/本， 购入本的价格为元，购入本的价格为元， ，即． 由题意可知，笔记本的利润为售价减去进价（元）， 同理，笔记本的利润为（元）， 种笔记本数量大于种笔记本数量的倍， ，解得， 的利润大于的利润，且 取最大正整数值为， 将代入，可得， ， 最大利润为（元）． 故答案为：，． 9．（20-21七年级下·浙江台州·期末）梅老师网购了一本《数学演义》，标价为38元，同学们想知道书的售价，梅老师说：打折促销买的，能猜猜实际的售价吗？甲说：“至少25元”，乙说：“至多28元”，丙说：“至多30元”，梅老师又说：“你们三个人中只有一人猜对”．则这本书的实际售价x（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查推论与论证，一元一次不等式组的应用，根据题意得出不等式组解答即可． 【详解】解：根据题意可得， ∵三个人中只有一人说对了， ∴这本书的价格x（元）所在的范围为， 打折促销买的， ． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 【答案】(1)该同学的身体描述为肥胖 (2) 【分析】本题考查了不等式的应用． （1）先根据计算公式计算出，再根据表格得出结论即可； （2）设在身高1.5米的前提下，设体重x千克后身体达到正常，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵体重67.5千克，身高1.5米， ∴， ∴该同学的身体描述为肥胖； （2）解：设在身高1.5米的前提下，设体重x千克后身体达到正常， 则， ∴解得， ∴该同学应该减轻体重的范围为． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某公司每月生产两种型号的口罩共万只，且所有口罩当月全部售出．两种型号口罩的成本、售价如表所示： 口罩型号 每只成本/元 每只售价/元 (1)设该公司每月生产型口罩万只，该公司的月毛利润为______（用含的代数式表示）． (2)该公司计划月投入口罩生产的成本不超过万元，且型口罩每只售价降低元． ①求月型口罩生产数量的范围； ②求月该公司销售口罩毛利润的最大值． 【答案】(1)万元 (2)①大于等于万只且小于等于万只；②万元 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）①设月型口罩生产万只，则型口罩生产万只，根据题意列出不等式解答即可求解；②设月该公司销售口罩毛利润为元，根据题意求出与的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查列代数式，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，该公司的月毛利润为万元， 故答案为：万元； （2）解：①设月型口罩生产万只，则型口罩生产万只， 由题意得，， 解得， 又∵， ∴， ∴ 答：月型口罩生产数量的范围为大于等于万只且小于等于万只； ②设月该公司销售口罩毛利润为万元， 由题意得，， ∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大， ∴利润的最大值为万元． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； (2)满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件．根据“3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程，求解即可； （2）设增加m辆无人车，则增加名投递员．根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件． 由题意得， 整理得， 解得， ， 答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； （2）解：设增加m辆无人车，则增加名投递员(m为正整数，n为正整数)． 新增投递量需满足：， 解得， ∵m为正整数，n为正整数， ∴，或，， 答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 3.0 15 脂肪（g） 32.4 3.6 5.2 碳水化合物（g） 50.8 4.5 1.4 素材2 阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？ 任务2 已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？ 【答案】任务一：该份早餐中蛋白质总含量为；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而得到所求的量的等量关系和不等关系． 任务一：根据素材1得出谷物、牛奶和鸡蛋中各含蛋白质的百分数，再算出任务一中各食物中蛋白质的含量相加即可； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组解答即可； 任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意列方程组解答即可． 【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，有： ； 答：该份早餐中蛋白质总含量为； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组得： ， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； 任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意得： ， 解得：， ∴或， 当时，， 当时，． 答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： (1)每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ (2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． (3)若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 【答案】(1)每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人 (2)当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元 (3)该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用 （1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据素材2列二元一次方程组求解即可； （2）由素材3求出a的取值范围，求出总租金的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可； （3）设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，根据题意列出二元一次方程，得到，结合题意得到或，求出n的值，进而判断是否符合n为整数且即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 由素材2得：， 解得：， ∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人； （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 由素材3得：， ， ， ， ∵a为整数， ∴， 总租金， ∵，R随a增大而增大， ∴当时，R最小， 此时B型车数量为辆， （元）， ∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元； （3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生， 由题意：， ， ∵n为整数，且（B型车最多搭载20人）， ∴为整数，是23的因数， ∵23为质数， ∴或， 即或， 当时，，不合理， 当时，，合理， 学生数， ∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），其平面设计图（如图2）．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且，，，四点在同一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． (1)若，求证：最高点到地面的距离就是线段的长； (2)小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)长度的最大值为0.25米 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一元一次不等式的实际应用、轴对称图形性质，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． （1）过点B作于点H，可证得，据此即可判定； （2）设米，可得米，点A到的距离为1.2米，由总费用不超过85元列不等式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图：过点作于点， ． 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ． 最高点到地面的距离就是线段长； （2）解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形， 设米，则米． 又点A到的距离为1.2米，即的边上的高为1.2米， 三角形的面积平方米． 又长方形的面积为：（平方米）， ∵总费用不超过180元， ∴． 解得， 故长度的最大值为0.25米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $