专题05 一次函数的图像与性质7个知识点13种题型（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学期末复习讲义以一次函数为核心，通过知识框架表格系统梳理7个核心考点，明确复习目标与考情规律，再分层呈现变量与常量、函数定义等8个知识点，用对比与补充说明突出“单值对应”等本质特征及k、b的作用，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“题型+方法”双轨设计，13类题型涵盖从常量识别到函数与方程综合应用，每题型配答题模板（如待定系数法四步法）和易错点拨，通过实际问题图像分析（如行程问题距离与时间关系）培养模型观念与推理意识。分层练习（基础通关、重难突破、综合拓展）适配不同学生，助力教师实施精准复习教学。

专题05 一次函数的图像与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能判断两个变量是否构成函数关系，明确函数中 “单值对应” 的本质特征 基础必考点，多以选择题形式考查 “函数关系的判定”，难度较低 求自变量取值范围 能根据函数表达式（整式、分式、根式）及实际情境，确定自变量的取值范围 高频基础点，小题为主，易结合分式分母不为 0、根式被开方数非负考查 待定系数法 能利用待定系数法求正比例函数、一次函数的表达式（已知点坐标或图像信息） 核心工具考点，是解答函数表达式类题目的基础，小题、解答题均会涉及 正比例函数的图像与性质 能画出正比例函数(y=kx)的图像，掌握k的正负对图像位置、增减性的影响 高频基础点，多以选择 / 填空题考查图像特征、增减性，易与一次函数对比考查 一次函数的图像与性质 能画出一次函数(y=kx+b)的图像，分析k（增减性）、b（与y轴交点）的作用 核心重难点，小题考查图像与性质的对应关系，解答题常结合图像分析实际问题 一次函数与方程的关系 能理解一次函数图像与对应一元一次方程解的联系（图像与 x 轴交点的横坐标为方程的解），并通过函数求解方程 高频基础点，多以选择 / 填空题考查 “函数图像与方程解的对应关系”，难度中等 一次函数与不等式的关系 能通过一次函数图像（或表达式），确定对应一元一次不等式的解集（图像在 x 轴上方 / 下方区域对应的自变量范围） 高频综合点，常结合函数图像考查，小题、解答题均有涉及，易与实际问题结合 知识点01 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 知识点02 函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1. 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 知识点03 函数自变量的取值范围 类型 举例 取值范围 整式型 全体实数 分式型 分母不能为零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 知识点04 正比例函数的图像与性质 定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点05 一次函数的图像与性质 定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 知识点06 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 知识点07 一次函数与方程（组）、不等式 一次函数与一元一次方程思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 一次函数与二元一次方程（组）思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 一次函数与一元一次不等式思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 题型一 常量与变量 易｜错｜点｜拨 不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速直线运动中的速度v就是一个常量. 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）校车司机李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）      A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】根据在一个变化过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同的值的量称为变量即可判断． 本题考查常量与变量，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、路程 B．速度、时间 C．路程、时间 D．速度、路程与时间 【答案】C 【分析】此题主要考查了自变量和因变量．在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断． 【详解】解：由题意得：，路程随时间的变化而变化，则行驶时间t是自变量，行驶路程s是因变量； 故选：C． 3．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）把两根木条和的一端按如图所示的方式固定在一起，木条转动至．在转动过程中，下面的量是常量的为（    ）    A．的长度 B．的长度 C．的面积 D．的度数 【答案】A 【分析】根据常量和变量的定义，根据转动过程中，量是否发生变化进行判断． 【详解】解：木条转动至过程中， ∵的长度始终保持不变， ∴的长度是常量， 故选∶D． 【点睛】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键． 4．（22-23八年级上·浙江金华·期末）笔记本每本元，买本笔记本共支出元，下列选项判断正确的有（    ） A．是常量时，是变量 B．是变量时，是常量 C．是变量时，也是变量 D．无论是常量还是变量，都是变量 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的表达式，再对各项判断即可得出答案． 【详解】解：∵笔记本每本元，买3本笔记本共支出元， ∴, ∴a是常量时，y是常量，故项错误； a是变量时，y是变量，故项错误； a是变量时，y也是变量，故项正确； 无论都是常量或者都是变量，故错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了常量与变量的区别与联系，理解常量与变量的概念是解题的关键． 题型二 函数的识别 答｜题｜模｜板 代入一个x值，去求y的值，如果可以求出两个y值，那么就不是函数，否则就是函数关系式. 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图图象中，表示y是x的函数的个数有（    ）    A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于任意自变量值，有唯一确定的函数值与之对应．即可得到答案. 【详解】解：属于函数的有：    ∴y是x的函数的个数有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的定义，理解对任意自变量的值，函数值的唯一确定性是解题的关键． 6．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）下面四个关系式：①；②；③；④．其中是的函数的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值， ∴①；③；④．当x取值时，y有唯一的值对应； 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的定义，掌握函数的定义并准确理解其含义是解题的关键． 题型三 求自变量的取值范围 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 8．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）已知等腰三角形的周长为20厘米，底边长为厘米，腰长为厘米，与的函数关系式为，那么自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 则0＜20-2x＜2x， 由20-2x＞0，解得x＜10， 由20-2x＜2x，解得x＞5， 则5＜x＜10． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键． 9．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．全体实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义以及开立方，根据负数的立方根是负数，0的立方根是0，正数的立方根是正数，得为任意实数，结合分式有意义，即分母不为0，即可作答． 【详解】解：∵ ∴为任意实数， 即 故选：B 题型四 从函数图像中获取信息 答｜题｜模｜板 对于已知的函数图像，要弄清楚函数图像上点的意义，对于实际问题，要正确理解图像的横纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位，图像的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义. 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段所在直线的函数表达式为，正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的应用，结合图象可得快车的行驶时间与慢车的速度可判断①②，由图象可得当时，两车相距千米，可得，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可. 【详解】解：快车出发（小时）后两车相遇， ∴①正确，符合题意； 慢车的速度是（千米/小时） ∴②错误，不符合题意； 当时，两车相距（千米）； ∴， 设直线为, ∴， 解得：， ∴直线为， ∴③正确，符合题意； 故选：D 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案． 本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 【详解】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意； 步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变， 在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少． 故选：B． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）某公司生产了，两款新能源电动汽车．如图，，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系． （1）根据图象判断，，两款电动汽车充满电后，续航里程更长的是 （填或）； （2）当两款电动汽车的行驶路程都是时，，两款电动汽车的剩余电量的差为 ． 【答案】 【分析】（）根据函数图象，可知续航里程更长的是款新能源车； （）根据图象中的数据，可以计算出款新能源车每行驶的路程和款新能源车每行驶的路程，然后即可计算出当两款电动汽车的行驶路程都是时，两款电动汽车的剩余电量，再作差即可； 本题考查了函数图象的应用，解题的关键是读懂图象，从中获取信息． 【详解】（1）由图象可得，续航里程更长的是A款新能源车， 故答案为：； （2）由图象可得， 款新能源车每行驶的路程为：， 款新能源车每行驶的路程为：， 当两款电动汽车的行驶路程都是时， 款新能源车剩余电量为， 款新能源车剩余电量为：， ∴当两款电动汽车的行驶路程都是时，，两款电动汽车的剩余电量的差为， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 【答案】 60 45 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，求出的值，再利用路程除以时间求出速度即可； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间，即可． 【详解】解：（1）由图象可知：小明游玩行走的时间为（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴小明游玩行走的速度为（米/分钟）； 故答案为：60． （2）由题意，得：小亮游玩行走的时间为（分钟）；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为（分钟）， ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少（分钟）； 故答案为：45． 题型五 一次函数的定义 答｜题｜模｜板 1）必须为整式. 2）自变量的最高次数是1次，系数不等于0. 3）正比例函数也是一次函数. 14．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）若是正比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，进行解答即可． 【详解】解：因为是正比例函数， 所以， 所以． 故选：C． 【点睛】此题考查的是正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解决此题的关键． 15．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）函数是一次函数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）点在的函数图象上，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由点代入函数解析式可得b与a的关系，进而求出的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵点在的函数图象上， ∴， 即， ∴； 故答案为3． 题型六 待定系数法求函数解析式 答｜题｜模｜板 1）设:设函数解析式为. 2）代:将已知点的坐标或x，y的对应值代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程组. 3）解:解方程组求得系数k，b的值. 4）写:将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式. 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，结合表格数据确定函数解析式是解题关键．根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴当时，． 故选：C． 18．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）在直角三角形中，，，，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，即可用函数表示，与x轴和y轴的交点坐标分别为：．即可得结论． 【详解】解：∵在直角三角形中，， ∴， 即， ∴， 当时，， 当时，． 所以函数与x轴和y轴的交点坐标分别为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、函数的图象，解决本题的关键是根据函数关系准确画出函数图象． 19．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）若一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，先把和两点代入，求出，再令，则，解得，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过和两点， ∴把和两点代入， 得， 解得， ∴， 故， 解得， 故答案为：1． 20．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知y与成正比例，且当时，； (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． (3)当时，求x的最大值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，把，，代入即可求得k的值，从而得到y与x之间的函数关系式； （2）把代入求得的关系式即可求得y的值； （3）根据一次函数的增减性可得y随x的增大而增大，从而得到当时，x的值最大，即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，x的值最大， 此时， 解得：， ∴当时，x的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 题型七 正比例函数的图像与性质 答｜题｜模｜板 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 21．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的增减性，熟练掌握时，y随x的增大而减小是解题的关键．根据正比例函数y随x的增大而减小可作出判断． 【详解】解：∵正比例函数，， ∴y随x的增大而减小， 又∵点和点中，， ∴， 故选：A． 22．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）正比例函数的图象经过，两点，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】设该正比例函数的解析式为，把，代入，可得，即可求解． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 把，代入得： ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的特征，熟练掌握正比例函数图象上点的特征是解题的关键． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点． (1)点P在直线上，求a的值； (2)点Q的坐标为，直线轴，求点P坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标为 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征：点的坐标满足于正比例函数解析式；平行于y轴的直线上的点的坐标特征：横坐标相等． （1）把代入，求解即可； （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征得，求得，即可解决问题． 【详解】（1）解：把代入，得 解得：； （2）解： ∵点点Q的坐标为，且直线轴， ∴， 解得：， ∴ ∴． 24．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）已知正比例函数． （1）若函数图象经过一、三象限，求的取值范围； （2）若点在函数图象上．求该函数的表达式． 【答案】（1）   （2） 【分析】（1）根据正比例函数图象的性质，得k-1＞0，解不等式即可求得k的取值范围； （2）只需把点的坐标代入即可计算． 【详解】解：（1）∵函数的图象经过第一、三象限 ； （2）∵点在函数图象上 故函数解析式: 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数y=kx(k≠0)的图象的性质：k>0时，图象经过第一、三象限；k＜0时，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式． 题型八 一次函数的图像与性质 答｜题｜模｜板 正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 25．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象经过的象限， 分两种情况讨论得出结论，再判断答案即可． 【详解】解：当时，，所以直线经过第一，三，四象限； 当时，不能确定，所以直线经过第二，四象限． 所以不论何种情况一次函数的图象一定经过第四象限． 故选：D． 26．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，在直角坐标系中，有A，B，C，D四点．当时，直线的函数值分别是，，，，则这四个值中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，画出函数图象是解答本题的关键． 画出四条直线的函数图象即可找到当时函数值最大的直线． 【详解】解：如图所示， 由图象可知，直线所对应的函数值最大． 故选：C 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于一次函数 ，下列结论正确的是 （    ） A．图象经过第一， 三， 四象限 B．随的增大而增大 C．图象经过 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解一元一次不等式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据一次函数的图像和性质，逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：A、一次函数 中，，， 图象经过第一， 二， 四象限，选项结论错误，不符合题意； B、一次函数 中，， 随的增大而减小，选项结论错误，不符合题意； C、当时，， 图象经过，选项结论错误，不符合题意； D、， 当时， ， 解得，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 28．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数，当时，y的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵自变量取值范围是， ∴当时，y有最大值为． 故答案为：5． 29．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为6， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图象经过第一象限，且， ∴， ∴， ∴． 题型九 画一次函数图像 30．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数． （1）设一次函数的表达式为，把当时，；时，代入利用待定系数法求解即可． （2）先求出时x的值，再根据一次函数的图像和性质得出当时，，然后画出的一次函数图像即可． 【详解】（1）解：由题知，设一次函数的表达式为， 则， 解得： 所以一次函数的表达式为． （2）解：当， 解得：， ∵， ∴当时，， 函数图象如图所示， 31．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图是函数的图象的一部分． (1)请你画出图象的另一部分； (2)当k取不同数值时，一次函数一定经过同一个点 　 　； (3)当时，函数和的图象交点个数是 　 　； (4)请找出一个k的值，使函数和的图象有两个交点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 (4)k=，理由见解析 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）时，，即可得出结论； （3）根据图象即可求得； （4）观察图象即可求得． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：时，， 当取不同数值时，一次函数一定经过同一个点， 故答案为：； （3）解：当时，则， 当时，， 直线过点，， 过点， 观察图象可知函数和的图象有1个交点， 故答案为1； （4）解：当，函数和的图象有两个交点，理由如下； 当经过点时，，此时有一个交点； 当时，此时有一个交点， 当时，有两个交点． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交和平行问题，解题的关键是利用数形结合求解． 32．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）填表，画函数图像见解析；（）；（）的取值范围为；（） 或； 的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解； 先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， 描点， 连线， 如图， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）由一次函数（为常数，）的图像过点， ∴， ∵关于，的方程组无解， ∴一次函数与图像无交点， ∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得：， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点， ∴此时， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或， 故答案为：或； 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数 时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 题型十 一次函数平移问题 答｜题｜模｜板 将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号. 33．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）将直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，首先求出一次函数图象与轴的交点坐标为，如果平移后直线经过原点，则要平移后图象要经过点，所以要向右平移个单位长度． 【详解】解：当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点， 则直线与轴的交点坐标为， 需要向右平移个单位长度， 故选：C． 34．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）将直线平移后，得到直线，则原直线（    ） A．沿轴向上平移了7个单位 B．沿轴向下平移了7个单位 C．沿轴向左平移了7个单位 D．沿轴向右平移了7个单位 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将直线沿轴向上平移了7个单位得到直线， 故选A． 35．（24-25八年级上·浙江温州·期末）把一次函数的图象向右平移m个单位，得到的图象与的交点坐标为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键；由题意易得平移后的解析式为，然后把点代入进行求解即可 【详解】解：把一次函数的图象向右平移m个单位，得到的一次函数解析式为，即． 把点代入得， 解得； 故答案为． 题型十一 一次函数与一元一次方程 答｜题｜模｜板 关于x的一元一次方程的解是直线与x轴交点的横坐标. 36．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 37．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 38．（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解的关系．一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案． 【详解】解：∵由一次函数的图象交x轴于点， ∴关于的一元一次方程的解就是． 故答案为：． 39．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 题型十二 一次函数与二元一次方程组 答｜题｜模｜板 关于x、y的二元一次方程组的解是直线和直线的交点坐标. 40．（24-25八年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据交点坐标判断即可． 【详解】解：当：和：相交于一点时， 即：，则， 解得：， ∴直线和的交点在y轴的右侧， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 42．（24-25九年级·浙江·自主招生）若方程组有无穷多组解，则直线不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象所经过的象限，方程组的解， 根据方程组有无穷组解可得，求出解可得一次函数关系式，即可得出答案. 【详解】解：∵方程组有无穷组解， ∴， 解得， 一次函数关系式为， 则一次函数经过第一，二，三象限， 所以不经过第四象限. 故答案为：四. 43．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是一次函数的图象与性质、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，根据图象比较函数值大小是解决此题的关键．然后根据图象对自变量x分类讨论，分别求出对应m的取值范围，即可求出m的最小值． 【详解】解：由图象可得：直线与直线的交点坐标为， ∵对任意一个x，m都取，中的较大值， 由图象可知：当时，，， ∴此时； 当时，， ∴此时； 当时，＞，， ∴此时， 综上所述：， ∴m的最小值是2． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线过点， (1)求直线的解析式． (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标． (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小： 利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； 联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标； 根据图形，找出点C左边的部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线过点，， ， 解方程组得， 直线的解析式为； （2）直线与直线相交于点C， 联立， 解得， 点C的坐标为； （3）由图可知，时， 题型十三 一元一次方程与不等式 答｜题｜模｜板 关于x的一元一次不等式的解集是以直线和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图像所对应的x的取值范围. 45．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于题中出现了一次函数和不等式，可以考虑用一次函数和不等式的相关知识解决问题； 根据题意，不等式的解集即为直线在上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断，即可选出正确答案，此题便得到解决． 【详解】解：根据题意得， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 46．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）一次函数与x轴的交点为，则不等式的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图像是解题的关键．根据函数图像得出时，，即可求解． 【详解】解： ， 一次函数中，y随x的增大而增大， 一次函数图像与x轴的交点为， 时，函数图像在x轴上方，即， 不等式的解为：， 故答案为：． 47．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式∶从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k、b的值，于是可得到直线的解析式； （2）写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， 则的取值范围为． 48．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点到的距离为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）等积法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）由图象可知：的自变量的取值范围：； （3）∵，， ∴ 设点到的距离为，则：， ∴， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯一y值与之对应”进行判断即可．本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是； 其中选项A、B、C有且只有一个交点，故不符合题意， 而选项D中存在有两个交点的情况，故符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象， 则下列说法错误的是 （    ） A．乙车前6秒行驶的路程为48米 B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米 C．当两车速度相等时， 乙车行驶19.6米 D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度 【答案】C 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．根据图中自变量时间与因变量速度关系结合速度、时间及路程的关系依此判断即可． 【详解】解：A、根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为米，故正确，本选项不符合题意； B、根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则每秒增加米/秒，故B正确，本选项不符合题意； C、当两车速度相等时的时间为秒，乙车行驶米，故C错误，本选项符合题意； D、由图象知，3秒时甲的速度为米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，故D正确，本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）下列函数中，是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k，b为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故符合题意； B．不是整式函数，不是一次函数，故不符合题意；     C．，自变量的次数不是1，不是一次函数，故不符合题意； D．不含自变量，不是一次函数，故不符合题意； 故选A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，掌握待定系数法求一次函数关系式的方法是关键． 根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【详解】解：设直线的方程为：， 将点与代入可得：， 解得：， ∴直线的方程为：， 将四个选项代入，可知B符合要求． 故选：B． 5．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方， ∴不等式的解为， 故答案为：A． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意得到，解得，则直线l：，再把代入即可求出． 【详解】解：∵直线l：与互相垂直， ∴， 解得， ∴直线l：， 把代入得到，，解得， 故选：B 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断． 【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意； B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意； C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意； D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，进一步得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限， 故选：A． 9．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．先结合直线是由直线平移得到的，则，故，再令，求出对应的的值，即可作答． 【详解】解：∵直线是由直线平移得到的， ∴， 故， 令，所以， 解得， 即直线与轴的交点坐标是， 故答案为： 10（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴则方程组的解为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数． （1）当m 时，y随x的增大而减小； （2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当m ，n 时，函数图象过原点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）的图象与性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方． （1）当，随的增大而减小； （2）当，且，函数的图象与轴的交点在轴的下方； （3）当，且，函数图象经过原点． 【详解】解：（1）当，即，随的增大而减小， 所以当，为任何实数时，随的增大而减小； 故答案为： （2）当，且时，一次函数的图象与轴的交点在轴的下方， 解不等式得，，且， 所以当，且时，函数的图象与轴的交点在轴的下方； 故答案为：，， （3）当，且，一次函数图象经过原点， 解不等式、方程得，，且， 所以当，且时，函数图象经过原点． 故答案为：，. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点的纵坐标为；点的纵坐标为 ；②或 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入直线解析式中求出点的坐标，再把点的坐标代入直线解析式中即可求出的值； （2）①令，分别求出即可得到答案；②根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ； 点在直线：上， ， ． 的值为，的值为； （2）解：由（1）知直线：， 又直线与直线，分别交于点，， 当时， 点的纵坐标为； 点的纵坐标为． 当 ， ， 即或， 所以或． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和坐标轴交点问题，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，，，然后利用的面积为3得到，求出，得到，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴当时， ∴ ∴ ∴当时， 解得 ∴ ∴ ∵的面积为3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)用含k的代数式表示m． (2)若，求k的取值范围． (3)已知，C为x轴上一点．当为直角三角形时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到直角三角形的性质、解不等式等，分类求解是解题的关键． （1）把和代入计算即可； （2）由结合（1）中结论列不等式求解即可； （3）由为直角三角形结合勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：把和代入得：， 整理得：，； （2） 解：∵， ∴， ∴； （3） 解：当时，， 设， ∵， ∴，，， 当为斜边时，，则，解得 则（与重合舍去）或，即点； 当为斜边时，，则，解得 则，即点； 当为斜边时，，则，解得 则（与重合舍去）； 综上，或． 2．（浙江省杭州市上城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值，求的函数表达式； (3)对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)一次函数解析式为或 (3)，或且， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）把代入中可求出的值； （2）讨论：当时，根据一次函数的性质得到时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；当时，利用一次函数的性质得到时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式； （3）结合图象，分两个函数平行和有交点两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴； （2）解：当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最大值，即时，， 把代入得， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值，即时，， 把代入得， 解得， 此时一次函数解析式为； （3）解：如图： 分为两种情况： ①当一次函数与一次函数的图象没有交点时， 即当一次函数与一次函数的图象平行时， 若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方， 此时， 即，； ②当一次函数与一次函数的图象有交点时， 若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴， 此时时，都成立， 即，； 综上，，的取值范围为：，或且，． 3．（浙江省台州椒江北书学校2024-2025学年下学期八年级期中测试试卷（数学））【概念引入】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，请写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象，小红同学制作了如下表格： … 0 1 2 … … 2 0 … 请你补全表格中空白处的数据，并根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象． 【拓展提升】已知直线与的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点在y轴上，当的面积为8时，求m的值． 【答案】理解运用：（1）；（2）表格见解析，图象见解析；拓展提升：或 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 理解运用：（1）根据伴随函数的定义求解即可得； （2）分别求出当和时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得； 拓展提升：联立函数的解析式，分别求出点的坐标，再根据的面积为8建立方程，解方程即可得． 【详解】解：理解运用：（1）由题意得：一次函数的伴随函数为． （2）当时，， 当时，． 则补全表格如下： … 0 1 2 … … 0 2 0 … 根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象如下： 拓展提升：如图2，设直线与轴交于点， ∵直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方）， ∴联立，解得，即， 联立，解得，即， 将代入得：，即， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 解得或， 所以的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数的图像与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能判断两个变量是否构成函数关系，明确函数中 “单值对应” 的本质特征 基础必考点，多以选择题形式考查 “函数关系的判定”，难度较低 求自变量取值范围 能根据函数表达式（整式、分式、根式）及实际情境，确定自变量的取值范围 高频基础点，小题为主，易结合分式分母不为 0、根式被开方数非负考查 待定系数法 能利用待定系数法求正比例函数、一次函数的表达式（已知点坐标或图像信息） 核心工具考点，是解答函数表达式类题目的基础，小题、解答题均会涉及 正比例函数的图像与性质 能画出正比例函数(y=kx)的图像，掌握k的正负对图像位置、增减性的影响 高频基础点，多以选择 / 填空题考查图像特征、增减性，易与一次函数对比考查 一次函数的图像与性质 能画出一次函数(y=kx+b)的图像，分析k（增减性）、b（与y轴交点）的作用 核心重难点，小题考查图像与性质的对应关系，解答题常结合图像分析实际问题 一次函数与方程的关系 能理解一次函数图像与对应一元一次方程解的联系（图像与 x 轴交点的横坐标为方程的解），并通过函数求解方程 高频基础点，多以选择 / 填空题考查 “函数图像与方程解的对应关系”，难度中等 一次函数与不等式的关系 能通过一次函数图像（或表达式），确定对应一元一次不等式的解集（图像在 x 轴上方 / 下方区域对应的自变量范围） 高频综合点，常结合函数图像考查，小题、解答题均有涉及，易与实际问题结合 知识点01 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 知识点02 函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1. 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 知识点03 函数自变量的取值范围 类型 举例 取值范围 整式型 全体实数 分式型 分母不能为零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 知识点04 正比例函数的图像与性质 定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点05 一次函数的图像与性质 定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 知识点06 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 知识点07 一次函数与方程（组）、不等式 一次函数与一元一次方程思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 一次函数与二元一次方程（组）思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 一次函数与一元一次不等式思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 题型一 常量与变量 易｜错｜点｜拨 不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速直线运动中的速度v就是一个常量. 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）校车司机李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）      A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、路程 B．速度、时间 C．路程、时间 D．速度、路程与时间 3．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）把两根木条和的一端按如图所示的方式固定在一起，木条转动至．在转动过程中，下面的量是常量的为（    ）    A．的长度 B．的长度 C．的面积 D．的度数 4．（22-23八年级上·浙江金华·期末）笔记本每本元，买本笔记本共支出元，下列选项判断正确的有（    ） A．是常量时，是变量 B．是变量时，是常量 C．是变量时，也是变量 D．无论是常量还是变量，都是变量 题型二 函数的识别 答｜题｜模｜板 代入一个x值，去求y的值，如果可以求出两个y值，那么就不是函数，否则就是函数关系式. 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图图象中，表示y是x的函数的个数有（    ）    A．1 B．2个 C．3个 D．4个   6．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）下面四个关系式：①；②；③；④．其中是的函数的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 题型三 求自变量的取值范围 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）已知等腰三角形的周长为20厘米，底边长为厘米，腰长为厘米，与的函数关系式为，那么自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．全体实数 题型四 从函数图像中获取信息 答｜题｜模｜板 对于已知的函数图像，要弄清楚函数图像上点的意义，对于实际问题，要正确理解图像的横纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位，图像的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义. 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段所在直线的函数表达式为，正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A．B．C．D． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）某公司生产了，两款新能源电动汽车．如图，，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系． （1）根据图象判断，，两款电动汽车充满电后，续航里程更长的是 （填或）； （2）当两款电动汽车的行驶路程都是时，，两款电动汽车的剩余电量的差为 ． 13．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】（1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 题型五 一次函数的定义 答｜题｜模｜板 1）必须为整式. 2）自变量的最高次数是1次，系数不等于0. 3）正比例函数也是一次函数. 14．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）若是正比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）函数是一次函数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）点在的函数图象上，则代数式 ． 题型六 待定系数法求函数解析式 答｜题｜模｜板 1）设:设函数解析式为. 2）代:将已知点的坐标或x，y的对应值代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程组. 3）解:解方程组求得系数k，b的值. 4）写:将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式. 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 18．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）在直角三角形中，，，，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．  B．  C．  D．   19．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）若一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 20．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知y与成正比例，且当时，； (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． (3)当时，求x的最大值． 题型七 正比例函数的图像与性质 答｜题｜模｜板 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 21．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）正比例函数的图象经过，两点，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D．4 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点． (1)点P在直线上，求a的值； (2)点Q的坐标为，直线轴，求点P坐标． 24．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）已知正比例函数． （1）若函数图象经过一、三象限，求的取值范围； （2）若点在函数图象上．求该函数的表达式． 题型八 一次函数的图像与性质 答｜题｜模｜板 正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 25．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，在直角坐标系中，有A，B，C，D四点．当时，直线的函数值分别是，，，，则这四个值中最大的是（ ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于一次函数 ，下列结论正确的是 （    ） A．图象经过第一， 三， 四象限 B．随的增大而增大 C．图象经过 D．当时， 28．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数，当时，y的最大值为 ． 29．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 题型九 画一次函数图像 30．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 31．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图是函数的图象的一部分． (1)请你画出图象的另一部分； (2)当k取不同数值时，一次函数一定经过同一个点 　 　； (3)当时，函数和的图象交点个数是 　 　； (4)请找出一个k的值，使函数和的图象有两个交点，并说明理由． 32．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 题型十 一次函数平移问题 答｜题｜模｜板 将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号. 33．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）将直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 34．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）将直线平移后，得到直线，则原直线（    ） A．沿轴向上平移了7个单位 B．沿轴向下平移了7个单位 C．沿轴向左平移了7个单位 D．沿轴向右平移了7个单位 35．（24-25八年级上·浙江温州·期末）把一次函数的图象向右平移m个单位，得到的图象与的交点坐标为，则 ． 题型十一 一次函数与一元一次方程 答｜题｜模｜板 关于x的一元一次方程的解是直线与x轴交点的横坐标. 36．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 38．（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 39．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    题型十二 一次函数与二元一次方程组 答｜题｜模｜板 关于x、y的二元一次方程组的解是直线和直线的交点坐标. 40．（24-25八年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A．B．C．D． 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 42．（24-25九年级·浙江·自主招生）若方程组有无穷多组解，则直线不经过第 象限． 43．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 44．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线过点， (1)求直线的解析式． (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标． (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 题型十三 一元一次方程与不等式 答｜题｜模｜板 关于x的一元一次不等式的解集是以直线和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图像所对应的x的取值范围. 45．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）一次函数与x轴的交点为，则不等式的解为 ． 47．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 48．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点到的距离为 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象， 则下列说法错误的是 （    ） A．乙车前6秒行驶的路程为48米 B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米 C．当两车速度相等时， 乙车行驶19.6米 D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）下列函数中，是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 9．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ． 10（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数． （1）当m 时，y随x的增大而减小； （2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当m ，n 时，函数图象过原点． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)用含k的代数式表示m． (2)若，求k的取值范围． (3)已知，C为x轴上一点．当为直角三角形时，求点C的坐标． 2．（浙江省杭州市上城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值，求的函数表达式； (3)对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围． 3．（浙江省台州椒江北书学校2024-2025学年下学期八年级期中测试试卷（数学））【概念引入】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，请写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象，小红同学制作了如下表格： … 0 1 2 … … 2 0 … 请你补全表格中空白处的数据，并根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象． 【拓展提升】已知直线与的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点在y轴上，当的面积为8时，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $