专题3.2 一元一次不等式及其解法（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题3.2 一元一次不等式及其解法 教学目标 1.理解一元一次不等式的概念 2.掌握解一元一次不等式的步骤 3.熟练求解一元一次不等式 4.解决简单的实际问题 教学重难点 1.重点 （1）准确理解 “一个未知数”“次数是 1”“整式不等式” 三个核心要素，能快速识别一元一次不等式； （2）掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的完整流程，明确每一步与一元一次方程解法的相似性，为熟练解题提供框架； （3）理解数轴表示解集的直观意义，能规范标注 “空心圈”“实心点” 和方向，这是数形结合思想的具体应用。 2.难点 （1）“系数化为 1” 时不等号方向的处理; （2）去分母时的符号问题需强调 “每一项都要乘最简公分母”，并结合分配律分析符号； （3）不等式解集的准确理解； （4）实际问题中不等关系的转化：将 “至少”“最多”“不超过”“不少于” 等词语准确转化为不等号并合理设未知数、列出不等式。 知识点01 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 【即学即练】 1．下列不等式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【即学即练】 1．解不等式，并将解集表示在数轴上． 知识点03 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 【即学即练】 1．某商场举办购物抽奖活动，顾客消费每满50元可获得一次抽奖机会．每次抽奖若中奖可得10元现金券，未中奖则需支付2元手续费．小明希望最终获得的现金券总额不少于64元，他至少需要中奖多少次？若规定总抽奖次数为20，设中奖次，则可列不等式（    ） A． B． C． D． 2．神木黑豆，陕西省榆林市神木市特产，全国农产品地理标志．某特产商店购进、两种包装的神木黑豆，已知购进1包包装的神木黑豆和2包包装的神木黑豆需要100元，购进3包包装的神木黑豆和1包包装的神木黑豆需要150元． (1)分别求、两种包装的神木黑豆的单价； (2)若该特产店老板计划购进、两种包装的神木黑豆共100包，且总费用不超过3600元，求最多可以购进包装的神木黑豆多少包？ 题型01 一元一次不等式的定义 【典例1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 题型02 求一元一次不等式的解集 【典例2】解下列不等式： (1) (2) 【变式1】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】解不等式： (1)； (2)． 【变式3】（1）解方程：； （2）解不等式：． 【变式4】（1）解方程：． （2）解不等式：． 题型03 求一元一次不等式的整数解 【典例3】解不等式：，并写出它的正整数解． 【变式1】解不等式：，并写出它的正整数解． 【变式2】解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【变式3】解不等式：，并写出它的所有负整数解． 题型04 求一元一次不等式解的最值 【典例4】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式2】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【变式3】不等式8-3x>0的最大整数解为 ． 题型05 解lxl>a型的不等式 【典例5】【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【变式1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【变式3】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 题型06 列一元一次不等式 【典例6】小七同学骑自行车上学、放学，已知他上学的平均速度是，放学回家的平均速度是，来回一趟的时间不少于，设小七家和学校的距离是，根据题意，列出不等式是 ． 【变式1】某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为 ． 【变式2】太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【变式3】某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（    ） A． B． C． D． 题型07 用一元一次不等式解决实际问题 【典例7】贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【变式1】为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【变式2】第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会（哈洽会）期间，某食品企业与俄罗斯供应商及黑龙江本地合作社达成合作，计划采购两种特色商品进行跨境销售已知采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元，采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元． (1)求俄罗斯巧克力和东北木耳每箱的采购价格各是多少元？ (2)若该企业计划采购这两种商品恰好共箱，且采购总资金不超过元，则该企业采购俄罗斯巧克力不少于多少箱？ 【变式3】某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动某安全用品商店准备购进，两种头盔已知，若购进个种头盔和个种头盔需要元；若购进个种头盔和个种头盔需要花费元． (1)请分别求出每个种头盔和种头盔的进价． (2)该商店的每个种头盔售价为元，每个种头盔售价为元商店计划购进种头盔和种头盔共个，要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于元，种头盔最多购进多少个？ 一、单选题 1．已知某一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的最小整数解是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观礼台附近的空地平整为临时停车位，完成平整时间是小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平整了．若施工方在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 4．如图是某机器零件的设计图纸（长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若是非负数，则的取值范围是 ． 6．某电器商场促销，某型号电器的售价是每台600元，进价是每台500元．若商场需保证利润率不低于，则该型号电器每台最多打 折销售． 7．若方程组的解x，y满足，则k的取值范围是 ． 8．如图，班级为布置图书角购买了一个长度为的简易书架，打算在上面摆放辅导书和名著阅读．已知每本辅导书厚度为，每本名著阅读厚度为，为了营造阅读氛围，先摆放了50本名著阅读，剩余空间最多还能摆放 本辅导书． 9．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如，则的取值范围是 ． 三、解答题 10．解下列不等式： (1) (2) 11．对有理数、定义运算：，其中、为常数，已知． (1)若，则______． (2)请用含有的代数式表示； (3)若，求的取值范围； 12．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算） 会员卡 办卡需元，每活动小时收费元 普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时 小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）． (1)如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示） (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？ 13．【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 14．为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示． A种头盔 B种头盔 批发价（元／个） 60 40 零售价（元／个） 80 50 (1)该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？ (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 一元一次不等式及其解法 教学目标 1.理解一元一次不等式的概念 2.掌握解一元一次不等式的步骤 3.熟练求解一元一次不等式 4.解决简单的实际问题 教学重难点 1.重点 （1）准确理解 “一个未知数”“次数是 1”“整式不等式” 三个核心要素，能快速识别一元一次不等式； （2）掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的完整流程，明确每一步与一元一次方程解法的相似性，为熟练解题提供框架； （3）理解数轴表示解集的直观意义，能规范标注 “空心圈”“实心点” 和方向，这是数形结合思想的具体应用。 2.难点 （1）“系数化为 1” 时不等号方向的处理; （2）去分母时的符号问题需强调 “每一项都要乘最简公分母”，并结合分配律分析符号； （3）不等式解集的准确理解； （4）实际问题中不等关系的转化：将 “至少”“最多”“不超过”“不少于” 等词语准确转化为不等号并合理设未知数、列出不等式。 知识点01 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 【即学即练】 1．下列不等式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知其定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义进行分析即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，故此选项符合题意； B、是不等式，但不含有未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D、是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意． 故选：A． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【即学即练】 1．解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，运用去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的方法解不等式，然后把解集表示在数轴上． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上表示为： 知识点03 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 【即学即练】 1．某商场举办购物抽奖活动，顾客消费每满50元可获得一次抽奖机会．每次抽奖若中奖可得10元现金券，未中奖则需支付2元手续费．小明希望最终获得的现金券总额不少于64元，他至少需要中奖多少次？若规定总抽奖次数为20，设中奖次，则可列不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设中奖次，未中奖次，根据最终获得的现金券总额不少于64元，列出不等式即可． 【详解】解：设中奖次，未中奖次，根据题意得： ， 故选：C． 2．神木黑豆，陕西省榆林市神木市特产，全国农产品地理标志．某特产商店购进、两种包装的神木黑豆，已知购进1包包装的神木黑豆和2包包装的神木黑豆需要100元，购进3包包装的神木黑豆和1包包装的神木黑豆需要150元． (1)分别求、两种包装的神木黑豆的单价； (2)若该特产店老板计划购进、两种包装的神木黑豆共100包，且总费用不超过3600元，求最多可以购进包装的神木黑豆多少包？ 【答案】(1)、两种包装的神木黑豆的单价分别为每包元和元 (2)最多可以购进包装的神木黑豆60包 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出二元一次方程组和不等式是解题的关键： （1）设、两种包装的神木黑豆的单价分别为元/包和元/包，根据购进1包包装的神木黑豆和2包包装的神木黑豆需要100元，购进3包包装的神木黑豆和1包包装的神木黑豆需要150元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进包装的神木黑豆包，根据总费用不超过3600元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设、两种包装的神木黑豆的单价分别为每包元和元，由题意，得： ，解得：， 答：、两种包装的神木黑豆的单价分别为每包元和元； （2）设购进包装的神木黑豆包，则购进包装的神木黑豆包，由题意，得：， 解得：； 答：最多可以购进包装的神木黑豆60包． 题型01 一元一次不等式的定义 【典例1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式未知数最高次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、是多项式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：①⑤为一元一次不等式，共2个，其它都不是． 故选B． 【变式2】下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含有一个未知数且未知数最高指数为1次的不等式叫作一元一次不等式，化简后，根据定义判定即可． 本题考查了一元一次不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．含有2个未知数，不符合题意； B．未知数的最高次数是2，不符合题意； C．整理后不含未知数，不符合题意； D．是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 题型02 求一元一次不等式的解集 【典例2】解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先去括号，后移项，依次计算即可． （2）先去分母，再去括号，后移项，依次计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， 去分母，得  ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 【变式1】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式；根据解一元一次不等式基本步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为1可得：， 将解集表示在数轴上如下： 【变式2】解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟记解一元一次不等式的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟记解一元一次不等式的方法步骤是解决问题的关键． （1）先去括号、再移项、最后合并同类项即可得到答案； （2）先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， ； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， ． 【变式3】（1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式. （1）按照解一元一次方程的步骤解答即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤解答即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， （2）， ， ， ． 【变式4】（1）解方程：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的解法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出未知数的值即可； （2）根据 “去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1” 求出未知数的取值即可 【详解】解：（1）， 去括号，得：， 移项得，， 合并，得：， 系数化为1，得． （2） 去分母，得： 去括号，得： 移项得： 合并同类项，得：， 解得：． 题型03 求一元一次不等式的整数解 【典例3】解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】不等式的解集为，不等式的正整数解为：1，2 【分析】本题考查了求不等式的解集，先根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后找出其中的正整数解即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 ∴不等式的解集为 ∴不等式的正整数解为：1，2． 【变式1】解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】，不等式的正整数解为：1，2，3 【分析】本题考查了解一元一次不等式并求正整数解. 先求出一元一次不等式的解集，再求正整数解即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴不等式的正整数解为：1，2，3． 【变式2】解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，它的所有非负整数解为，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出不等式的解集，再写出非负整数解即可． 【详解】解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 它的所有非负整数解为，，． 【变式3】解不等式：，并写出它的所有负整数解． 【答案】，它的所有负整数解为， 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再求出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 所以它的所有负整数解为，． 题型04 求一元一次不等式解的最值 【典例4】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【变式1】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【变式2】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】不等式8-3x>0的最大整数解为 ． 【答案】2 【分析】先解出不等式的解集，再求其最大整数解． 【详解】解：∵8-3x≥0， ∴-3x≥－8， ∴x≤， ∴不等式8-3x≥0的最大整数解是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 题型05 解lxl>a型的不等式 【典例5】【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 【变式1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【变式2】【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 【变式3】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 40．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 题型06 列一元一次不等式 【典例6】小七同学骑自行车上学、放学，已知他上学的平均速度是，放学回家的平均速度是，来回一趟的时间不少于，设小七家和学校的距离是，根据题意，列出不等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小七家和学校的距离是，根据时间路程速度，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：小七家和学校的距离是， 依题意，得． 故答案为：． 【变式1】某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列不等式，设小芬可以购买该种商品件，结合题意可得，根据一次性购买件以上，超过部分打八折，进一步列不等式即可． 【详解】解：设小芬可以购买该种商品件， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意可得载重量为吨的卡车共有辆，载重量为吨的卡车共有辆，再根据题意列出不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【变式3】某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，设答对x道题，根据总得分不低于60分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道， 由题意可得：． 故选：C． 题型07 用一元一次不等式解决实际问题 【典例7】贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 【变式1】为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】(1)每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 (2)5辆 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式； （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； （2）解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为5． 答：B型车至少销售5辆． 【变式2】第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会（哈洽会）期间，某食品企业与俄罗斯供应商及黑龙江本地合作社达成合作，计划采购两种特色商品进行跨境销售已知采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元，采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元． (1)求俄罗斯巧克力和东北木耳每箱的采购价格各是多少元？ (2)若该企业计划采购这两种商品恰好共箱，且采购总资金不超过元，则该企业采购俄罗斯巧克力不少于多少箱？ 【答案】(1)俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元 (2)该企业采购俄罗斯巧克力不少于箱 【分析】设俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元，根据“采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元，采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设该企业采购俄罗斯巧克力箱，则采购东北木耳箱，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元； （2）解：设该企业采购俄罗斯巧克力箱，则采购东北木耳箱， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该企业采购俄罗斯巧克力不少于箱． 【变式3】某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动某安全用品商店准备购进，两种头盔已知，若购进个种头盔和个种头盔需要元；若购进个种头盔和个种头盔需要花费元． (1)请分别求出每个种头盔和种头盔的进价． (2)该商店的每个种头盔售价为元，每个种头盔售价为元商店计划购进种头盔和种头盔共个，要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于元，种头盔最多购进多少个？ 【答案】(1)种头盔的进价是元，种头盔的进价是元； (2)种头盔最多购进个． 【分析】（1）设种头盔的进价是元，种头盔的进价是元，根据若购进个种头盔和个种头盔需要元；若购进个种头盔和个种头盔需要花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设种头盔购进个，则种头盔购进个，根据要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：设种头盔的进价是元，种头盔的进价是元， 由题意得：， 解得：， 答：种头盔的进价是元，种头盔的进价是元； （2）设种头盔购进个，则种头盔购进个， 由题意得：， ， 解得， 要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于元，种头盔最多购进个． 一、单选题 1．已知某一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示解集．先由数轴得到不等式的解集为，再逐项解不等式，即可判断． 【详解】解：由数轴可得，不等式的解集为． A、解不等式得，不合题意； B、解不等式得，不合题意； C、解不等式得，符合题意； D、解不等式得，不合题意． 故选：C 2．不等式的最小整数解是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，涉及一元一次不等式解集求法，熟练掌握一元一次不等式解集求法是解决问题的关键．通过移项、系数化为1解不等式，确定解集范围后，找出满足条件的最小整数即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， ， 比它大的最小整数是2， 故选：B． 3．年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观礼台附近的空地平整为临时停车位，完成平整时间是小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平整了．若施工方在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设施工方在剩余时间内每小时平整土地，根据题意列不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设施工方在剩余时间内每小时平整土地， 由题意得，， 故选：． 4．如图是某机器零件的设计图纸（长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据图中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】解：由图可得， ， 解得， 故选：D． 二、填空题 5．若是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的定义，一元一次不等式的解集，根据非负数的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：是非负数， ∴， 解得，， 故答案为： ． 6．某电器商场促销，某型号电器的售价是每台600元，进价是每台500元．若商场需保证利润率不低于，则该型号电器每台最多打 折销售． 【答案】九 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设该型号电器每台打x折销售，利用利润=售价-进价，结合商场需保证利润率不低于，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设该型号电器每台打x折销售， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为9， ∴该型号电器每台最多打九折销售． 故答案为：九． 7．若方程组的解x，y满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参二元一次方程组，先将未知数用已知字母的代数式表示出来，然后再根据题目给出的范围求出参数的取值范围；本题属于中档题，运算过程要仔细． 先解方程组，先将用k的代数式表示；再由建立k的不等式，最后解该不等式，求出k的取值范围． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 又， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．如图，班级为布置图书角购买了一个长度为的简易书架，打算在上面摆放辅导书和名著阅读．已知每本辅导书厚度为，每本名著阅读厚度为，为了营造阅读氛围，先摆放了50本名著阅读，剩余空间最多还能摆放 本辅导书． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意正确列不等式是解题关键．设剩余空间还能摆放本辅导书，根据题意列一元一次不等式，结果取最大整数解即可． 【详解】解：设剩余空间还能摆放本辅导书， 则， 解得：， 为整数， 剩余空间最多还能摆放本辅导书， 故答案为：． 9．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，正确理解二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据行列式的定义列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 10．解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解答的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可． 【详解】（1）解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 11．对有理数、定义运算：，其中、为常数，已知． (1)若，则______． (2)请用含有的代数式表示； (3)若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式． （1）由可知，进而得到，将代入计算即可； （2）根据作答即可； （3）先根据定义求出，将代入得到，根据列不等式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知， 即； （3）， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 12．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算） 会员卡 办卡需元，每活动小时收费元 普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时 小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）． (1)如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示） (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？ 【答案】(1)， (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式． （1）利用小明选择办会员卡一个月所需费用办卡费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办会员卡一个月所需费用；利用小明选择办普通卡一个月所需费用每小时所需费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办普通卡一个月所需费用； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：小明选择办会员卡一个月需要花费元； 选择办普通卡一个月需要花费元． 故答案为：，； （2）若，则， 当时，小明办普通卡更划算； 若，则， 当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，则， 当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 13．【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元 (2)， (3)购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出二元一次方程组，即可解答； （2）根据题意，列出代数式并化简，即可解答； （3）购买A款运动盲盒去甲商店更合算，即甲店的费用比乙店少，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：小明在甲商店成为会员购买，所需费用为 （元）； 若在乙商店购买，所需费用为（元）； 故答案为：；． （3）解：当， 解得， ， ∴； 答：购买A款运动盲盒的数量m在范围内时，去甲商店更合算． 14．为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示． A种头盔 B种头盔 批发价（元／个） 60 40 零售价（元／个） 80 50 (1)该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？ (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？ 【答案】(1)第一次批发种头盔40个，批发种头盔80个 (2)种头盔第二次最少采购36个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一次批发种头盔个，批发种头盔个，根据第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该商店第二次采购了m个A种头盔，则采购了个B种头盔，根据将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，结合批发价和零售价，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一次批发种头盔个，批发种头盔个，依题意得： ， 解得：． 答：第一次批发种头盔40个，批发种头盔80个． （2）解：设第二次采购个种头盔，则采购个种头盔， 根据题意得：， 解得：， 为非负整数， 的最小值为36． 答：种头䀁第二次最少采购36个． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$