专题二十 圆（垂径定理、圆周角、圆心角、确定圆的条件、圆内接四边形、点圆位置、线圆位置）课件 2026年中考数学一轮复习

该初中数学中考复习课件聚焦“圆”的核心考点，全面覆盖垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧弦关系、圆内接四边形性质等中考必考点。严格对接中考说明，分析近三年考点分布，其中垂径定理及应用占比达25%，圆周角相关计算与证明占20%，并归纳出九种常考题型，突出备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题引领+技巧突破”的设计，精选2024-2025年多地中考真题作为例题，如“老碗面”实际情境题，通过构建数学模型培养几何直观；详解垂径定理作辅助线通法，强化推理能力。配套练习覆盖易错点，帮助学生掌握得分技巧，教师可直接用于专题复习，提升中考冲刺效果。

专题二十 圆（垂径定理、圆周角、圆心角、确定圆的条件、圆内接四边形、点圆位置、线圆位置） 【题型一】垂径定理 【例1】（2025秋•新城区校级月考）若气温为零上5记作+5，则﹣3表示气温为（　　） A．零上3 B．零下﹣3 C．零下3 D．零下51．（2025•宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【分析】由垂径定理求出ADAB＝4，由勾股定理即可求出OD的长． 【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D， ∴ADAB8＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OD3． 故选：A． 【变式1】（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【变式2】（2025•长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　 　 ． 【变式3】（2025•南通）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　 　 ． 【题型二】垂径定理的应用 【例1】（2023•陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　） A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【分析】首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm，则OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2＝122+（R﹣8）2，求出R即可． 【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm， ∴OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm． 设⊙O的半径OA为Rcm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm． 在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°， ∴OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝122+（R﹣8）2， ∴R＝13， 即⊙O的半径OA为13cm． 故选：A． 【变式1】（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 【变式2】（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 【变式3】（2025•德州模拟）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则震要的灯带的长度至少是（　　） A． B． C． D． 【题型三】圆心角、弧、弦的关系 【例1】（2025•朝阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝30°，则∠BOD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．110° 【分析】利用圆周角定理求出∠AOD可得结论． 【解答】解：∵∠AOD＝2∠E，∠E＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°． 故选：C． 【变式1】（2025•渭滨区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　） A．130° B．80° C．65° D．50° 【变式2】（2025•武汉模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【变式3】（2024•南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形． 【题型四】圆周角定理 【例1】（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】根据圆周角和圆心角的关系得∠ACB∠AOB＝20°，再根据∠OCA＝30°即可得出∠BCO的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°， ∵∠OCA＝30°， ∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°． 故选：C． 【变式1】（2025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【变式2】（2025•广元）如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H，交⊙O于点A，OH：HA＝3：2，点M是上异于C，D的一点，连接CM，DM，则sin∠CMD的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　 　 ． 【题型五】圆内接四边形的性质 【例1】（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝110°，根据得到∠ADB＝∠BDC，即可得到∠BDC的度数． 【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°． 故选：C． 【变式1】（2025•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式2】（2025•陕西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2＝100°，则∠B的度数为　 　 ． 【变式3】（2025•盐城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，连接OB，OD，则∠BOD＝　 　 °． 【题型六】相交弦定理 【例1】（2024•吉木萨尔县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，则O到CD的距离为 　　 ． 【分析】连接AD、BC、OC，过O作OH⊥CD交CD于H，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明△ADE∽△CBE，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得OH即可求解． 【解答】解：如图，连接AD、BC， 则∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE， ∴△ADE∽△CBE， ∴， ∵AE＝2，BE＝8，CE＝2DE， ∴2DE2＝AE•BE＝2×8＝16，AB＝10， ∴，， ∴， 过O作OH⊥CD交CD于H，连接OC， 则， 在Rt△OHC中，， ∴， 即O到CD的距离为， 故答案为：． 【变式1】（2024•西湖区校级二模）如图在圆O中，AB是直径，弦CD与AB交于点E，如果AE＝1，EB＝9，∠AEC＝45°，点M是CD的中点，联结OM，并延长OM与圆O交于点N，那么MN＝　 　 ． 【变式2】（2024•凉州区二模）如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB＝PC•PD． 【变式3】（2024•汝南县一模）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P． 求证：AP•BP＝CP•DP． 证明： 如图1，连接AC，BD． ∵∠C＝∠B，∠A＝∠D． ∴△APC∽△DPB，（根据） ∴@， ∴AP•BP＝CP•DP， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： （1）请将上述证明过程补充完整． 根据：　 　 ；@：　 　 ． （2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径． 【题型七】点与圆的位置关系 【例1】（2025•巴中）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接CD．则∠ACD为（　　） A．70° B．50° C．45° D．40° 【分析】由BC是圆的直径得∠BAC＝90°，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵BC是圆的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝90°， ∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠D＝45°， 故选：C． 【变式1】（2024•广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【变式2】（2025•连云港一模）已知⊙O的直径是4cm，OP＝4cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 【变式3】（2025•兴庆区校级一模）已知⊙O的直径为8，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 【题型八】确定圆的条件 【例1】（2025•厦门模拟）如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（　　） A．经过点A，B，C，只能作一个圆 B．经过点A，B，D，只能作一个圆 C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆 D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆 【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆判断即可． 【解答】解：A、经过点A，B，C，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点A，B，D，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点A，以AD的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点A，B，以AD的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025•大庆二模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【变式2】（2025•河南模拟）下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．平面内的三点确定一个圆 【题型九】三角形的外接圆与外心 【例1】（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 【分析】根据题意，等腰△ABC 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD＝3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴BD＝DC＝4，OD⊥BC， 锐角三角形ABC中，AB＝AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得：， 设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r， 即|5﹣r|＜3＜5+r， 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 故选：B． 【变式1】（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 　 　 ． 【变式2】（2025•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2，则的长为　 　 ． 【题型十】直线与圆的位置关系 【例1】（2025•广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若圆D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线AC的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式求出CD，DH的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高，AB＝4，BC＝2， ∴AC2， ∴CD， ∴ADCD＝3， 过D作DH⊥AC于H， ∴DHAD1.4， ∴圆D与直线AC的关系是相离， 故选：B． 【变式1】（2025•市南区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝5cm，以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 【变式2】（2025•钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【变式3】（2024•甘南州）如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝18，，求BE的长． 【课后练习】 1．（2025•内江）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是　 　 ． 2．（2025•任城区二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 3．（2025•陕西模拟）AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，连接AD．若⊙O的半径为5，则弦AD的长为（　　） A．5 B． C． D．10 4．（2025•雁塔区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 5．（2025•项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025•姑苏区校级一模）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知∠A＝30°30′3″，则弧BC的度数不可能是（　　） A．61° B．62° C．63° D．64° 7．（2025•滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC＝60°，则sin∠BDC的值为　 　 ． 8．（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　 　 ． 9．（2025•扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝　 　 °． 10．（2025•无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 11．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 12．（2025•广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　 　 ． 13．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　 　 cm． 14．（2025•常州模拟）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　 ． 15．（2025•海南）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝7． （1）△AEB面积的最大值为　 　 ； （2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为　 　 ． 16．（2025•徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 17．（2024•镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二十 圆（垂径定理、圆周角、圆心角、确定圆的条件、圆内接四边形、点圆位置、线圆位置） 【题型一】垂径定理 【例1】（2025秋•新城区校级月考）若气温为零上5记作+5，则﹣3表示气温为（　　） A．零上3 B．零下﹣3 C．零下3 D．零下51．（2025•宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【分析】由垂径定理求出ADAB＝4，由勾股定理即可求出OD的长． 【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D， ∴ADAB8＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OD3． 故选：A． 【变式1】（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【分析】根据菱形的判定与性质证明证明OB⊥AC，根据等边三角形的判定与性质证明∠AOB＝60°，利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOB计算即可． 【解答】解：如图，连接OB． ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB＝OC， ∵OA＝OC， ∴OA＝AB， ∴▱OABC是菱形， ∵OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOBπ×12． 故答案为：． 【变式2】（2025•长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　6　 ． 【分析】由垂径定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的长． 【解答】解：∵OC⊥AB于点C， ∴AB＝2AC＝2×3＝6， ∴OA＝AB＝6， 故答案为：6． 【变式3】（2025•南通）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　6　 ． 【分析】对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2得直线y＝kx﹣3k+2过定点（3，2），再求出AP＝2得点P在⊙A内部，根据垂径定理得当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，此时BC＝2BP，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP＝3，进而可得BC的最小值． 【解答】解：对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2， ∴直线y＝kx﹣3k+2过定点P（3，2）， ∵点A（3，0）， ∴AP2， 又∵⊙A的半径为，AP， ∴点P在⊙A内部， 根据垂径定理得：当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，如图所示： 则BP＝CP， ∴BC＝2BP， 在Rt△ABP中，AB，AP＝2， 由勾股定理得：BP3， ∴BC＝2BP＝6， 即BC的最小值为6． 故答案为：6． 【题型二】垂径定理的应用 【例1】（2023•陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　） A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【分析】首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm，则OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2＝122+（R﹣8）2，求出R即可． 【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm， ∴OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm． 设⊙O的半径OA为Rcm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm． 在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°， ∴OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝122+（R﹣8）2， ∴R＝13， 即⊙O的半径OA为13cm． 故选：A． 【变式1】（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 【分析】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5， 设拱门所在圆的半径为rm， ∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m， ∴OD＝2.5﹣r， ∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2， 解得：r＝1.3， ∴拱门所在圆的半径为1.3m； 故选B． 【变式2】（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径． 【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示， ∵CD垂直平分AB，AB＝40cm， ∴BD＝20cm， ∵CD＝10cm，OC＝OB， ∴OD＝OB﹣10， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（OB﹣10）2+202＝OB2， 解得OB＝25， 即圆形工件的半径为25cm， 故选：C． 【变式3】（2025•德州模拟）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则震要的灯带的长度至少是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD＝60°，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AD，BC，交于O点， 由条件可知BC是直径， ∴， ∵四边形ABDC是矩形， ∴， ∵CD＝2， ∴OC＝OD＝CD， ∴∠COD＝60°， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：C． 【题型三】圆心角、弧、弦的关系 【例1】（2025•朝阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝30°，则∠BOD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．110° 【分析】利用圆周角定理求出∠AOD可得结论． 【解答】解：∵∠AOD＝2∠E，∠E＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°． 故选：C． 【变式1】（2025•渭滨区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　） A．130° B．80° C．65° D．50° 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答． 【解答】解：∵∠AOC＝130°， ∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°， ∵， ∴∠BOC＝∠BOD＝50°． 故选：D． 【变式2】（2025•武汉模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】连接AC，BC，OB，OC，设OD＝a，证明△OAC是等边三角形得AC＝OA＝OB＝2a，∠OCD＝30°，进而得CD，再证明△OBC是等边三角形得OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，则∠BCD＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出a＝2，继而可得⊙O半径． 【解答】解：连接AC，BC，OB，OC，如图所示： ∴OA＝OC＝OB， 设OD＝a， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC，AD＝OA＝a， ∴OA＝OC＝AC＝2a， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠OCA＝60°， ∴∠OCD∠OCA＝30°， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD， ∵点C是弧AB的中点， ∴AC＝BC， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∵OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°， ∴∠BCD＝∠OCB+∠OCD＝60°+30°＝90°， ∴△BCD是直角三角形， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2， ∵BD， ∴（， 整理得：a2＝4， 解得：a＝2，a＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴OA＝2a＝4， 即该圆的半径为4． 故选：A． 【变式3】（2024•南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】由AC是⊙O的直径，可得∠B＝∠D＝90°，证明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形，即可解答． 【解答】证明：∵对角线AC是⊙O的直径， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴△ABC和△CDA是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△CDA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）， ∴AB＝CD， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【题型四】圆周角定理 【例1】（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】根据圆周角和圆心角的关系得∠ACB∠AOB＝20°，再根据∠OCA＝30°即可得出∠BCO的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°， ∵∠OCA＝30°， ∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°． 故选：C． 【变式1】（2025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【分析】直接利用圆周角定理求解． 【解答】解：∵∠AOB和∠C都对， ∴∠C∠AOB100°＝50°． 故选：B． 【变式2】（2025•广元）如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H，交⊙O于点A，OH：HA＝3：2，点M是上异于C，D的一点，连接CM，DM，则sin∠CMD的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】只要证明∠CMD＝∠COA，求出sin∠COA即可． 【解答】解：连接OD，如图， 由条件可知， ∴∠COA＝∠DOA， ∴， ∵∠COD和∠CMD所对的弧都为， ∴， ∴∠CMD＝∠COA， 设OH＝3x，则OC＝5x，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】（2025•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　　 ． 【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB＝90°，求出∠DCB＝∠DAB＝45°，得到BD＝AD＝1，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DCB＝45°， ∴∠DCB＝∠DAB＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°， ∴BD＝AD＝1， ∴． 故答案为：． 【题型五】圆内接四边形的性质 【例1】（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝110°，根据得到∠ADB＝∠BDC，即可得到∠BDC的度数． 【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°． 故选：C． 【变式1】（2025•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝40°、∠BCD＝90°，再根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°， 由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝40°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°， 故选：B． 【变式2】（2025•陕西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2＝100°，则∠B的度数为　80°　 ． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据圆周角定理得到∠B∠AOC，再根据四边形内角和是360°列式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， 由圆周角定理得：∠B∠AOC， ∵∠1+∠2＝100°， ∴∠AOC+∠D＝360°﹣100°＝260°， ∴2∠B+180°﹣∠B＝260°， ∴∠B＝80°， 故答案为：80°． 【变式3】（2025•盐城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，连接OB，OD，则∠BOD＝　140　 °． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，再根据圆周角定理求出∠BOD． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝2×70°＝140°， 故答案为：140． 【题型六】相交弦定理 【例1】（2024•吉木萨尔县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，则O到CD的距离为 　　 ． 【分析】连接AD、BC、OC，过O作OH⊥CD交CD于H，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明△ADE∽△CBE，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得OH即可求解． 【解答】解：如图，连接AD、BC， 则∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE， ∴△ADE∽△CBE， ∴， ∵AE＝2，BE＝8，CE＝2DE， ∴2DE2＝AE•BE＝2×8＝16，AB＝10， ∴，， ∴， 过O作OH⊥CD交CD于H，连接OC， 则， 在Rt△OHC中，， ∴， 即O到CD的距离为， 故答案为：． 【变式1】（2024•西湖区校级二模）如图在圆O中，AB是直径，弦CD与AB交于点E，如果AE＝1，EB＝9，∠AEC＝45°，点M是CD的中点，联结OM，并延长OM与圆O交于点N，那么MN＝　　 ． 【分析】由题意可知ON＝OA＝5，则OE＝4，易证得△EOM是等腰直角三角形，求得PMOE＝2，即可求得MN＝ON﹣OM． 【解答】解：在圆O中，AB是直径，AE＝1，EB＝9， ∴AB＝10， ∴OA＝5， ∴OE＝4， ∵点M是CD的中点， ∴OM⊥CD， ∵∠AEC＝45°， ∴△EOM是等腰直角三角形， ∴PMOE＝2， ∴MN＝ON﹣OM， 故答案为：． 【变式2】（2024•凉州区二模）如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB＝PC•PD． 【分析】连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论． 【解答】解：连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD． 【变式3】（2024•汝南县一模）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P． 求证：AP•BP＝CP•DP． 证明： 如图1，连接AC，BD． ∵∠C＝∠B，∠A＝∠D． ∴△APC∽△DPB，（根据） ∴@， ∴AP•BP＝CP•DP， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： （1）请将上述证明过程补充完整． 根据：　有两个角对应相等的两个三角形相似　 ；@：　　 ． （2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根据（1）中结论代入求解即可． 【解答】解：（1）连接AC，BD． ∵∠C＝∠B，∠A＝∠D． ∴△APC∽△DPB，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴AP⋅BP＝CP⋅DP， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F， 设圆O的半径为rcm，则PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm， 根据（1）中结论得，即为4×（10﹣4）＝（r+5）（r﹣5）， 解得：r＝7或r＝﹣7（不符合题意，舍去），⊙O的半径为7cm． 【题型七】点与圆的位置关系 【例1】（2025•巴中）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接CD．则∠ACD为（　　） A．70° B．50° C．45° D．40° 【分析】由BC是圆的直径得∠BAC＝90°，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵BC是圆的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝90°， ∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠D＝45°， 故选：C． 【变式1】（2024•广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】先根据垂径定理得出AD＝BDAB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：设AB与OC交于点D， ∵弦AB的长为4，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOD＝2∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴OA＝2OD， 设OD＝x，则OA＝2x， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2， 解得x＝±2（负值舍去）， ∴OA＝2x＝4， ∵OP＝5， ∴OP＞OA， ∴点P在圆外． 故选：C． 【变式2】（2025•连云港一模）已知⊙O的直径是4cm，OP＝4cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【解答】解：∵点到圆心的距离d＝4＞2＝r， ∴该点P在⊙O外． 故选：A． 【变式3】（2025•兴庆区校级一模）已知⊙O的直径为8，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 【分析】比较⊙O的半径和点P到点O的距离的大小，即可根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O位置关系． 【解答】解：∵⊙O的直径为8，即圆的半径为4， 而PO＝4， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：B． 【题型八】确定圆的条件 【例1】（2025•厦门模拟）如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（　　） A．经过点A，B，C，只能作一个圆 B．经过点A，B，D，只能作一个圆 C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆 D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆 【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆判断即可． 【解答】解：A、经过点A，B，C，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点A，B，D，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点A，以AD的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点A，B，以AD的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025•大庆二模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【变式2】（2025•河南模拟）下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．平面内的三点确定一个圆 【分析】由对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件，即可判断． 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故不符合题意； B、对顶角相等，故符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故不符合题意； D、平面内，不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； 故选：B． 【题型九】三角形的外接圆与外心 【例1】（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 【分析】根据题意，等腰△ABC 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD＝3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴BD＝DC＝4，OD⊥BC， 锐角三角形ABC中，AB＝AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得：， 设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r， 即|5﹣r|＜3＜5+r， 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 故选：B． 【变式1】（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 　π　 ． 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°， ∴劣弧的长为：π， 故答案为：π． 【变式2】（2025•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2，则的长为　π　 ． 【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°， ∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°， ∴OC＝OBBC22， ∴的长为：π， 故答案为：π． 【题型十】直线与圆的位置关系 【例1】（2025•广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若圆D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线AC的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式求出CD，DH的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高，AB＝4，BC＝2， ∴AC2， ∴CD， ∴ADCD＝3， 过D作DH⊥AC于H， ∴DHAD1.4， ∴圆D与直线AC的关系是相离， 故选：B． 【变式1】（2025•市南区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝5cm，以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 【分析】利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用三角形面积求出DC的长，进而利用直线与圆的位置关系得出答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∴∠B+∠DCB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵sinB＝sin∠ACD， ∴AD＝4cm， ∴CD3（cm）， ∵r＝2.8cm， ∴CD＞r， 故以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相离． 故选：A． 【变式2】（2025•钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【变式3】（2024•甘南州）如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝18，，求BE的长． 【分析】（1）DE为⊙O的切线，理由为：连接BD，OD，由直径所对的圆周角为直角及垂直定义得到BD⊥AC，再由AB＝CB，利用三线合一得到D为AC中点，根据O为AB中点，得到OD为中位线，利用中位线的性质得到OD∥BC，由DE与BC垂直得到DE与OD垂直，即可得证； （2）由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用等角的余角相等得到∠BDE＝∠A，即sin∠BDE＝sinA，在Rt△ABD中，利用三角函数定义求出BD的长，在Rt△BDF中，利用锐角三角函数定义求出BF的长，由BF与OD平行，得到△BEF∽△OED，由相似得比例求出BE的长即可． 【解答】解：（1）DE为⊙O的切线，理由为： 证明：连接OD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵AB＝CB， ∴点D为AC的中点， ∵点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝∠DFC， ∵DE⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD， ∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠A+∠OBD＝90°，∠BDE+∠ODB＝90°， ∴∠A＝∠BDE，即sinA＝sin∠BDE， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，sinA，AB＝18， ∴BD＝ABsinA＝186， 在Rt△BDF中，sin∠BDE，BD＝6， ∴BF＝BDsin∠BDE＝62， ∵BF∥OD， ∴∠FBE＝∠DOE，∠EFB＝∠EDO， ∴△BEF∽△OED， ∴，即， ∴， 解得：BE． 【课后练习】 1．（2025•内江）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是　2　 ． 【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到ADAB＝4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB8＝4， 在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4， ∴OD3， ∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 2．（2025•任城区二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 【分析】由垂径定理得AC＝BCAB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出结论． 【解答】解：由题意得：OC⊥AB， ∴AC＝BCAB，∠OCA＝90°， 由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知： OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得： AC4（cm）， ∴AB＝2AC＝8（cm）． 故选：C． 3．（2025•陕西模拟）AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，连接AD．若⊙O的半径为5，则弦AD的长为（　　） A．5 B． C． D．10 【分析】连接OA，OD，BD，BC，可证明∠BED＝90°，∠DBC＝∠BDA，再由∠ABC＝∠ADC，可得∠ABD＝∠CDB＝45°，则∠AOD＝2∠ABD＝90°，据此由勾股定理可得答案． 【解答】解：由条件可知∠BED＝90°，∠DBC＝∠BDA， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABD＝∠CDB＝45°（当AB与CD互相垂直平分线时，如图所示），即AB与CD是直径情况下， ∴∠AOD＝2∠ABD＝90°， ∴， 故选：B． 4．（2025•雁塔区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 5．（2025•项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】连接OC，先证明CD＝AF＝8，进而得，从而即可得解． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴，CE＝DE． ∵C是的中点，AF＝8， ∴， ∴CD＝AF＝8， ∴CE＝DE＝4， ∵OC＝5， ∴， ∵OA＝5， ∴AE＝OA﹣OE＝2， 故选：B． 6．（2025•姑苏区校级一模）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知∠A＝30°30′3″，则弧BC的度数不可能是（　　） A．61° B．62° C．63° D．64° 【分析】连接CD，OB，OC，得到∠BOC＝2∠BDC，由三角形外角的性质得到∠BDC＝∠A+∠ACD，继而得到∠BOC＝2∠A+2∠ACD＝61°6''+2∠ACD，得出弧BC的度数不可能是61°，即可得到答案． 【解答】解：连接CD，OB，OC，AB＞AD，AC＞AE， ∴∠BOC＝2∠BDC， ∵由外角的性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝30°30′3″， ∴∠BOC＝2∠A+2∠ACD＝61°6''+2∠ACD， ∴弧BC的度数最小为：61°6''， ∴不可能是61°， 故选：A． 7．（2025•滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC＝60°，则sin∠BDC的值为　　 ． 【分析】连接OB，由OC⊥AB，根据垂径定理推导出∠BOC＝∠AOC＝60°，则∠BDC∠BOC＝30°，所以sin∠BDC＝sin30°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB， ∵OC⊥AB， ∴， ∴∠BOC＝∠AOC＝60°， ∴∠BDC∠BOC＝30°， ∴sin∠BDC＝sin30°， 故答案为：． 8．（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　66°　 ． 【分析】连接BC，如图，先利用圆周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余计算出∠ACD的度数． 【解答】解：连接BC，如图， ∵， ∴∠BCD＝∠CDB＝24°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°． 故答案为：66°． 9．（2025•扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝　40　 °． 【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝100°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB40°， 故答案为：40． 10．（2025•无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 【分析】（1）连接BC，由圆周角定理推出BC⊥AD，得到BC垂直平分AD，即可证明AB＝BD； （2）连接AE，由圆周角定理得到∠E＝90°，由cos∠ABE，求出BE＝1，由勾股定理得到AE2＝8，求出DE＝4，由勾股定理求出AD＝2． 【解答】（1）证明：连接BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∵CD＝CA， ∴BC垂直平分AD， ∴AB＝BD； （2）解：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴∠E＝90°， ∴cos∠ABE， ∴BE＝1， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝8， 由（1）知BD＝AB＝3， ∴DE＝BD+BE＝4， ∴AD2． 11．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行即可解答； （2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 12．（2025•广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 　6　 ． 【分析】作直径DE，连接BE，根据圆周角定理得出∠A＝∠E，∠EBD＝90°，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝60°＝∠E，解直角三角形求出BD即可． 【解答】解：如图，作直径DE，连接BE， 则由圆周角定理得：∠A＝∠E，∠EBD＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠E＝60°， ∵⊙O的半径为6， ∴DE＝12， ∴BD＝DE×sin∠E＝12×sin60°＝126． 故答案为：6． 13．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm． 【分析】根据“点P在圆上⇔d＝r”求解即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上， ∴点P到圆心O的距离为5cm， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 14．（2025•常州模拟）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　3　 ． 【分析】利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可． 【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x， 当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3， 则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆， 故答案为：3． 15．（2025•海南）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝7． （1）△AEB面积的最大值为　4　 ； （2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为　　 ． 【分析】（1）利用点的轨迹的知识确定点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，再利用圆的有关性质解答即可； （2）连接DE，利用三角形的中位线定理得到MNDE，则DE取得最小值时，MN长度最小；设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，则此时DE最小． 【解答】解：（1）∵点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°， ∴点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆， 设AB的中点为O，当OE⊥AB时，△AEB面积取得最大值，如图， 则OA＝OBAB＝2， ∴△AEB面积的最大值4． 故答案为：4； （2）连接DE，如图， ∵CD、CE的中点为M、N， ∴MNDE， ∴DE取得最小值时，MN长度最小． 由（1）知：点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，如图， 则此时DE最小，OE＝OA＝OB＝2． 过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F， ∵∠BAD＝120°， ∴∠OAF＝60°， ∴OF＝OA•sin60°，AF＝OA•cos60°＝1， ∴DF＝AD+AF＝8， ∴OD， ∴DE＝OD﹣OE2， ∴线段MN长度的最小值DE． 故答案为：． 16．（2025•徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，由等腰三角形的性质可求∠OCB＝30°，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝60°，即可求解； （2）由扇形的面积公式和三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OB，OC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠ABC＝∠BCD＝60°， ∴∠OCD＝∠BCO+∠BCD＝90°， ∴OC⊥CD， 又∵OC是半径， ∴CD与⊙O相切； （2）如图，过点O作OH⊥BC于H， ∵OB＝OC＝2，∠OCB＝30°， ∴OH＝1，BH＝CH， ∴BC＝2， ∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△BOC21． 17．（2024•镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． 【分析】连接OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ODA，再由折叠的性质得∠CAD＝∠OAD，进而证明AC∥OD，则∠ODB＝∠ACB＝90°，因此OD⊥BC，然后由切线的判定即可得出结论． 【解答】解：BC与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， 由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥BC， ∵OD是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $