专题2.1 函数的解析式与定义域、值域（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数解析式、定义域、值域核心考点，按定义域求法（给定解析式、抽象函数）、值域求法（8种方法）、解析式求法（4种）梳理知识体系，通过命题规律分析、知识点系统梳理、7大题型方法指导及真题与变式训练，帮助学生构建函数问题解题框架，体现复习的系统性和针对性。 资料采用举一反三分层设计，例题与变式题梯度训练，结合数学思维引导学生掌握抽象函数定义域“内函数值域法”等解题模型，通过题型归类和方法总结提升复习效率，助力学生夯实基础并提升综合应用能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题2.1 函数的解析式与定义域、值域（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、函数的解析式与定义域、值域 函数的解析式与定义域、值域问题是历年高考数学的重点、热点内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在高考二轮复习过程中，在熟练掌握函数的基础知识和基本解题方法的同时，也要加强训练综合性较强的题目。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的概念 北京卷：第11题，5分 新课标I卷：第8题，5分 北京卷：第7题，4分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的概念的考查不会有大的变化；函数的概念依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查求函数值、函数的定义域与值域问题，或与基础知识点（如：集合、常用逻辑用语等）相结合考查，难度不大。 知识点1 函数的定义域的求法 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 知识点2 函数的值域的求法 1．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)反解法； (3)配方法； (4)不等式法； (5)单调性法； (6)换元法； (7)数形结合法； (8)导数法. 知识点3 函数解析式的四种求法 1．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 具体函数的定义域的求解】 【例1】（2025·陕西商洛·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得． 【解答过程】由题意，解得且， 故选：B． 【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．且. 【答案】D 【解题思路】根据真数大于零，分母不为零求解. 【解答过程】由题意得，且，则且， 则函数的定义域为且. 故选：D. 【变式1-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由偶次方根的被开方数非负得到一元二次不等式，解得即可求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【解答过程】由，即，解得， 所以， 又， 所以. 故选：C. 【变式1-3】（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【解答过程】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】 【例2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【解答过程】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，复合函数的定义域求法可求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 【变式2-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】先利用函数的定义域求得集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【解答过程】∵函数的定义域为， 所以， 令，解得，即，即， ∵， ∴“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【解答过程】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【题型3 函数值域的求解】 【例3】（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【解答过程】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 【变式3-1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【解答过程】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 【变式3-2】（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【解题思路】由函数的单调性即可求解. 【解答过程】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为：. 【变式3-3】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【解题思路】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【解答过程】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 【题型4 求函数值】 【例4】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【答案】D 【解题思路】由题设可得或，结合已知排除，再由得，结合即可得. 【解答过程】由题设，则或， 若，令，则对于任意有，而，不符； 所以，则，故， 由. 故选：D. 【变式4-1】（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值. 【解答过程】函数，对，有， 取，得，而，则， 对，令，得， 即，因此，函数周期为4， 令，得，而，则， 所以. 故选：A. 【变式4-2】（2025·广西河池·三模）已知函数，则 . 【答案】 【解题思路】直接代入即可求解. 【解答过程】因为， 则， 故答案为： 【变式4-3】（2025·贵州黔东南·一模）若函数满足，则 ． 【答案】2 【解题思路】分别令，，得到，，进而解方程组即可. 【解答过程】由， 令，得， 令，得， 两式联立，解得. 故答案为：2. 【题型5 已知函数类型求解析式】 【例5】（2025·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【解答过程】设， 则 ， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法可求答案. 【解答过程】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·陕西·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【解答过程】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【题型6 已知f(g(x))求解析式】 【例6】（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】令，则，所以，即， 则 故选：D． 【变式6-1】（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，用换元法求出函数解析式即可. 【解答过程】令，则，因此，， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（2025·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【解答过程】令，，则，由可得， 对于A，，故A错误； 对于B，，不满足，B错误； 对于C，，即，即，C正确； 对于D，，即不成立，D错误． 故选：C． 【变式6-3】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解题思路】通过配凑，得，进而求得函数的解析式，要注意的影响. 【解答过程】因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 【题型7 分段函数及其应用】 【例7】（2025·贵州·模拟预测）已知函数则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据分段函数解析式即可求得函数值. 【解答过程】因为， 所以． 故选：B. 【变式7-1】（2025·山东·一模）若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性求解函数的值域，结合分类讨论对数函数的单调性即可求解. 【解答过程】当时，单调递减，此时， 当时，，若，则在单调递增，此时， 因此要使的值域是，故，解得， 当，则在单调递减，此时， 此时无法满足的值域是，故不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：A. 【变式7-2】（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据分段函数性质代入求出，再代入计算即可求得结果. 【解答过程】由函数可知， 所以. 故选：A. 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解. 【解答过程】因为时，单调递减， 又在上单调递减， 所以时，单调递减，则只需满足解得. 故选：B. 考点一 函数的解析式与定义域、值域 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解答过程】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【解答过程】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【解题思路】利用分段函数的形式可求. 【解答过程】因为故， 故答案为：. 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【解题思路】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解答过程】函数，所以. 故答案为：1. 6．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ． 【答案】 【解题思路】分段讨论的范围即可. 【解答过程】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 函数的解析式与定义域、值域（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、函数的解析式与定义域、值域 函数的解析式与定义域、值域问题是历年高考数学的重点、热点内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在高考二轮复习过程中，在熟练掌握函数的基础知识和基本解题方法的同时，也要加强训练综合性较强的题目。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的概念 北京卷：第11题，5分 新课标I卷：第8题，5分 北京卷：第7题，4分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的概念的考查不会有大的变化；函数的概念依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查求函数值、函数的定义域与值域问题，或与基础知识点（如：集合、常用逻辑用语等）相结合考查，难度不大。 知识点1 函数的定义域的求法 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 知识点2 函数的值域的求法 1．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)反解法； (3)配方法； (4)不等式法； (5)单调性法； (6)换元法； (7)数形结合法； (8)导数法. 知识点3 函数解析式的四种求法 1．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 具体函数的定义域的求解】 【例1】（2025·陕西商洛·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．且. 【变式1-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】 【例2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【题型3 函数值域的求解】 【例3】（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【变式3-3】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【题型4 求函数值】 【例4】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【变式4-1】（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【变式4-2】（2025·广西河池·三模）已知函数，则 . 【变式4-3】（2025·贵州黔东南·一模）若函数满足，则 ． 【题型5 已知函数类型求解析式】 【例5】（2025·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·陕西·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 已知f(g(x))求解析式】 【例6】（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【题型7 分段函数及其应用】 【例7】（2025·贵州·模拟预测）已知函数则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（2025·山东·一模）若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点一 函数的解析式与定义域、值域 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 6．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $