专题05 投影与视图（期末复习知识清单，5知识6题型）九年级数学上学期北师大版

该初中数学专题知识清单系统梳理了投影与视图核心内容，涵盖平行投影、中心投影、正投影及三视图四大知识范畴，通过5个知识清单与6类典型题型，搭建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 清单以“★”标注重难点如三视图画法规律，“※”突出正投影特征等易错点，题型精选陕西本地期末真题培养空间观念与几何直观。设计“长对正高平齐宽相等”口诀辅助记忆，既便于学生自主梳理知识，又为教师教学提供精准内容支持。

专题05 投影与视图（5知识&6题型） 【清单01】平行投影与中心投影的概念 平行投影 由 形成的投影是平行投影 中心投影 由 发出的光线形成的投影叫做中心投影 平行投影与中心投影的区别 ①太阳光线是 的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；②灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例；③灯光是从 发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；④太阳光是平行光 ※【清单02】正投影 线段的正投影 图形的正投影 几何体的正投影 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 在一个平面上的正投影是一个平面图形 【清单03】视图的概念 ·刻画一个几何体：需要画出它在三个互相垂直的投影面上的正投影（视图）． 其中正对着我们的面叫做正面（前面），下方的面叫做水平面（上面），右边的面叫做侧面。 ·三视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为 ；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为 ；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为 ．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图。 ★说明：主视图反映几何体的长与高，俯视图反映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽． 【清单04】常见的空间几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 ※【清单05】三视图的画法 ·三视图的画法符合以下规律： ①主视图的长与俯视图的长对正 ②主视图的高与左视图的高平齐 ③俯视图的宽与左视图的宽相等 简述为：长对正，高平齐，宽相等 ★ 要注意看不见的轮廓线应画成虚线 【题型一】判断平行投影和中心投影 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在有阳光的某天下午，咱区某初中的小明，在不同时刻对一景物拍了三张风景照m、n、r，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则m、n、r的先后顺序是（  ） A．m、r、n B．m、n、r C．r、m、n D．r、n、m 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B．C．D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）陕西皮影是一种以兽皮雕刻影偶进行表演的传统傀儡戏艺术形式，被列入国家首批非物质文化遗产名录．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（    ） A．逐渐变小 B．不变 C．逐渐变大 D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列各种现象不属于中心投影的是（ ） A．中午用来乘凉的树影 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．陕西皮影戏中的影子 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”） 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）阳光下旗杆的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【题型二】根据平行投影或中心投影作图 【例3】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，甲，乙两银木杆与地面垂直，线段是甲木杆在太阳光下的投影，请在图中画出此时乙木杆在太阳光下的投影． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某小组学生同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，由这些数据可计算出旗杆的高度为 ． 【题型三】判断简单几何体的三视图 ★【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）下列几何体中，俯视图与左视图相同的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（   ） A． B． C． D． 【例5】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这个六角螺母的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【题型四】画正方体组合体的三视图 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是由个大小完全相同的正方体搭成的几何体，请在下面方格中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【题型五】图形与坐标——投影与相似三角形的应用 【例7】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． ★【题型六】投影与相似三角形的实际应用 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，身高的小鹏从距路灯的底部（点O）的点A处沿方向行走到达点C处，小鹏在点A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在点M处． (1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小鹏在点C处时，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置； (2)若路灯（点P）距地面，小鹏从点A走到点C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少？ 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为1.72米，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 【例9】（24-25九年级上·陕西西安·期末）太阳能光伏发电因其消洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，、均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，已知太阳能电板，测得电板上两个支撑点的距离，钢架连接点．若某一时刻的太阳光线垂直照射，求太阳能电板的影子的长． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为米，落在墙上的影长为米，求树高． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 投影与视图（5知识&6题型） 【清单01】平行投影与中心投影的概念 平行投影 由平行光线形成的投影是平行投影 中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影 平行投影与中心投影的区别 ①太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；②灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例；③灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；④太阳光是平行光 ※【清单02】正投影 线段的正投影 图形的正投影 几何体的正投影 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 在一个平面上的正投影是一个平面图形 【清单03】视图的概念 ·刻画一个几何体：需要画出它在三个互相垂直的投影面上的正投影（视图）． 其中正对着我们的面叫做正面（前面），下方的面叫做水平面（上面），右边的面叫做侧面。 ·三视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图。 ★说明：一个几何体的三个视图分别从不同方向反映了一个几何体的形状与大小，主视图反映几何体的长与高，俯视图反映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽． 【清单04】常见的空间几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 ※【清单05】三视图的画法 ·三视图的画法符合以下规律： ①主视图的长与俯视图的长对正 ②主视图的高与左视图的高平齐 ③俯视图的宽与左视图的宽相等 简述为：长对正，高平齐，宽相等 ★ 要注意看不见的轮廓线应画成虚线 【题型一】判断平行投影和中心投影 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在有阳光的某天下午，咱区某初中的小明，在不同时刻对一景物拍了三张风景照m、n、r，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则m、n、r的先后顺序是（  ） A．m、r、n B．m、n、r C．r、m、n D．r、n、m 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键． 直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案． 【详解】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大， 投影长度， ∴m、n、r的先后顺序是r、n、m． 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义； 根据平行的投影的定义可知，在同一时刻，物体的高度与其影长之比是定值，并且方向一致，据此判定即可， 【详解】A．影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D．树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意． 故选A． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）陕西皮影是一种以兽皮雕刻影偶进行表演的传统傀儡戏艺术形式，被列入国家首批非物质文化遗产名录．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（    ） A．逐渐变小 B．不变 C．逐渐变大 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，当光源远离剪影时，根据相似三角形的性质，幕布上的投影大小会减小． 【详解】解：设光源到剪影的距离为，剪影到幕布的距离为，剪影高度为，投影高度为， ∴由相似三角形得： ∵增大，和不变， ∴减小， ∴减小， 故皮影逐渐变小， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列各种现象不属于中心投影的是（ ） A．中午用来乘凉的树影 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．陕西皮影戏中的影子 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】中心投影、平行投影 【分析】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义．根据中心投影，平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中午用来乘凉的树影是平行投影； 晚上在房间内墙上的手影，都市霓虹灯形成的影子，陕西皮影戏中的影子都是中心投影． 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源， ∴光线从一点发出，形成中心投影． 故选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【难度】0.85 【知识点】中心投影 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律， 熟记中心投影的特点和规律是解题的关键． 平行投影的影子只能在同侧，中心投影的影子可以在两侧，根据中心投影的特点解答即可． 【详解】解：∵两根木杆的影子方向不同， ∴这是中心投影． 故答案为：中心． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）阳光下旗杆的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】平行投影 【分析】本题考查投影．根据太阳光是平行光，得到投影为平行投影，即可． 【详解】阳光下旗杆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 【题型二】根据平行投影或中心投影作图 【例3】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，甲，乙两银木杆与地面垂直，线段是甲木杆在太阳光下的投影，请在图中画出此时乙木杆在太阳光下的投影． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】平行投影 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行投影，利用平行投影的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所作： 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【答案】(1)见解析 (2)8米 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影 【分析】本题考查了平行投影、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，过点作交直线于点，则影长即为所求； （2）先证明，再利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作交直线于点， 如图，影长即为所求： （2）解：， ， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：大树的高度为8米． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某小组学生同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，由这些数据可计算出旗杆的高度为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平行投影 【分析】本题考查平行投影． 根据同一时刻的阳光光线平行，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，，    则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 故答案为：． 【题型三】判断简单几何体的三视图 ★【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）下列几何体中，俯视图与左视图相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．根据各个几何体的俯视图、左视图的形状进行判断即可． 【详解】解：A、如图圆柱的俯视图是矩形，左视图是圆，因此选项A不符合题意； B、如图圆锥的俯视图是圆，左视图是等腰三角形，因此选项B不符合题意； C、如图球的俯视图，左视图都是圆，因此选项C符合题意； D、如图三棱柱的俯视图是三角形，左视图是矩形，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键． 从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 根据主视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据主视图的画法，从前往后看，看到的是一个长方形， 故选：C． 【例5】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形判定则可，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是解题的关键． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是： 故选：． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这个六角螺母的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键． 根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个正六边形和圆，是实线． 故选：A． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的左视图，从左面观察几何体的形状图为左视图，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，几何体的左视图是 故选：C． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】 解：几何体的俯视图为：． 故选：C． 【变式5-4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图所示， 米斗的俯视图为 故选：A. 【题型四】画正方体组合体的三视图 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是由个大小完全相同的正方体搭成的几何体，请在下面方格中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题考查的知识点是作图——三视图，解题关键是理解三视图的定义． 根据三视图的定义画图即可． 【详解】解：如图所示： 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【详解】解：这个组合体的三视图如图所示： 【题型五】图形与坐标——投影与相似三角形的应用 【例7】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点，利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如解图，延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点， 点， ， ， ， ， 即，解得， 木杆在轴上的投影长是6． ★【题型六】投影与相似三角形的实际应用 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，身高的小鹏从距路灯的底部（点O）的点A处沿方向行走到达点C处，小鹏在点A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在点M处． (1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小鹏在点C处时，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置； (2)若路灯（点P）距地面，小鹏从点A走到点C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少？ 【答案】(1)见解析 (2)变短了，身影的长度变短了 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题关键． （1）连接并延长，与过点且垂直于里面的直线的交点为路灯P的位置，连接并延长，与路面的交点为影子N的位置； （2）设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为，根据相似三角形的性质，分别求出，，即可求解． 【详解】（1）解：路灯P的位置和影子N的位置如图所示． （2）解：变短了． 由题意可知，，，，， 设小鹏在A点处时身影为，C处的身影为， 由题意知：， ∴，即， 解得， 由题意知， ∴，即， 解得， ∴， 即小鹏从点A走到点C时，身影的长度变短了． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为1.72米，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【答案】43米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行投影，熟练掌握是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，得到，代入数据即可得到结论． 【详解】由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得． 答:塔高度为43米． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：． 【例9】（24-25九年级上·陕西西安·期末）太阳能光伏发电因其消洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，、均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，已知太阳能电板，测得电板上两个支撑点的距离，钢架连接点．若某一时刻的太阳光线垂直照射，求太阳能电板的影子的长． 【答案】太阳能电板的影子的长为 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，得出．在中，由，进而得，，过点作于，易证四边形是矩形，由矩形的性质得出，即，再根据，得出，进而得出，根据相似三角形的判定可证，利用相似三角形的性质即可解答，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意，得，，，，， ，， 四边形是矩形， ，， ． 在中，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理， 得， ，解得 答：太阳能电板的影子的长为． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为米，落在墙上的影长为米，求树高． 【答案】树高为3米 【难度】0.65 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键，设墙上的影高落在地面上时的长度为米，树高为米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式，先求出的值，再求出即可． 【详解】解：设墙上的影高落在地面上时的长度为米，树高为米． ∵长为1米的竹竿的影长为米，树落在墙上的影长为米， ∴ 解得 经检验是方程的根． ∴树的影长为： 解得， 答：树高为3米． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $