第六章 反比例函数（举一反三讲义）数学北师大版九年级上册

第六章 反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【北师大版】 【培优篇】 4 【题型1 反比例函数图象上点的坐标特征】 4 【题型2 反比例函数的图像与性质的运用】 7 【题型3 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 10 【题型4 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 13 【题型5 反比例函数的应用】 19 【拔尖篇】 23 【题型6 反比例函数中的动点问题】 23 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 29 【题型8 反比例函数中的定值、最值问题】 39 【题型9 反比例函数中的几何变换问题】 47 【题型10 反比例函数与其它知识的交互问题】 54 知识点1 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点2 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点3 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点4 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点5 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 知识点6 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【培优篇】 【题型1 反比例函数图象上点的坐标特征】 【例1】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ． 【答案】1 【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4）， ∴k＝﹣3×（﹣4）＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2）， ∴y1＝＝，y2＝＝， ∵y1﹣y2＝4， ∴﹣＝4， ∴m＝1， 经检验，m＝1是原方程的解． 故m的值是1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键． 【变式1-1】已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出，再根据，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，, ∴， A.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B.∵，∴点可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数图象上一点， ∴， A、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、，点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； C、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合，且k为定值． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， 解得 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键． 【题型2 反比例函数的图像与性质的运用】 【例2】（2025·吉林长春·二模）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的解析式和自变量的取值范围，确定函数值的符号，进而分析选项． 先明确反比例函数的比例系数为负，可知其图象在第二、四象限；再根据，确定点A在第二象限，点B在第四象限，进而得出,；最后根据和的符号分析各选项． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数，所以其图象位于第二、四象限． ∵和均在该函数图象上，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限． ∴． A选项：的正负无法确定，因为不知道和的具体数值，此选项不符合题意； B选项：，并非，此选项不符合题意； C选项：，此选项符合题意； D选项：的正负无法确定，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 【变式2-2】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【变式2-3】已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 【题型3 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数以及正比例函数的性质，利用正比例函数以及反比例函数图象分布规律进而分析得出即可． 【详解】解：A、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项符合题意； B、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； C、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； D、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案． 【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意； C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意； D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； 故选C． 【变式3-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 【题型4 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 【变式4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与k的几何意义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质证明，故，因为矩形的面积为14，即，因为点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．进行列式计算，即可作答． 【详解】解：分别过点作轴，轴，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵轴，作轴， ∴， ∴， 即， ∵矩形的面积为14， 则， 即， ∴， ∵点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上． ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)2 (2)3 (3)见详解 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中． （1）设点，则点，则； （2）的面积的面积，即可求解； （3）确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：设点，则点， 则， 故答案为： 2 ； （2）解：连接， 则 的面积 的面积； （3）解：设点，则点， ∵点与点关于点对称，故点， 则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得， 解得， 直线的表达式为：， 令，则， 故点， 故，而， 又 ∵， 故四边形为平行四边形． 【题型5 反比例函数的应用】 【例5】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 依据题意，的值即为乙醇质量，再根据图象即可确定甲瓶乙醇质量最多，丙瓶乙醇质量最少，乙、丁两瓶乙醇质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为乙醇质量， 描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两瓶乙醇质量相同． 点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， 甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少， 故答案为：甲． 【变式5-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意可得反比例函数的解析式，再列不等式即可解答，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 设反比例函数段的解析式为， ， ∴反比例函数段的解析式为 ， 的高度不高于3m，即 ， ， 解得， ， Q到的距离至少为． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【变式5-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线 过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 【拔尖篇】 【题型6 反比例函数中的动点问题】 【例6】如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点C的坐标，根据点D的运动路线，分析得到k的取值范围公共部分是，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，， ∴轴，轴， ∴点C的坐标为， 当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为， 此时k的取值范围为， 当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为， 此时k的取值范围为， ∴k的取值范围公共部分是， ∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点， ∴和只会被经过一次， ∵，6不在在内， ∴图象L不可能经过两次， ∵，4在内，且不是线段和的端点， ∴图象L经过两次的是， 故选：C 【变式6-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 连接交于点O，过点C作于点G，连接，根据菱形的性质以及，可得到为定值，从而得到y关于x的函数是反比例函数关系，结合图2可得，，然后在中，利用勾股定理可得，从而得到，进而得到关于的函数图象过点，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点C作于点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， ∴y关于x的函数是反比例函数关系， 根据题意得：当时，点E与点A重合，此时点F与点G重合， 当时，点E与点B重合，点F与点O重合， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴关于的函数图象过点， 设关于的函数表达式为， 把点代入得：， ∴关于的函数表达式为． 故答案为：． 【变式6-2】如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设点坐标为），得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于，轴于， ∵点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 设点坐标为，则，， ∴点坐标为， ∵， ∴点在反比例函数（）图象上． 故答案为：（）． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析， (2)①见解析；② (3)当时，；当时， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键． （1）运用待定系数法得出直线的解析式，得出点M的坐标即可； （2）①根据中心对称得出点的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线的解析式； ②由平行四边形性质可得，即，建立方程求解即可； （3）先求得点G的坐标，再求得直线平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 【详解】（1）证明：由题意得：， 设直线的解析式为，则 解得：，则直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为，即线段经过一定点； （2）①证明：由（1）知：， ∵点与点关于原点对称． ∴， ∵双曲线为常数，经过点， ∴, ∵双曲线与交于点， ∴， 设直线的解析式为，则。 解得：，则直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 轴， 轴， ； ②解：四边形是平行四边形， ，即， 即； （3）解：由（2）②知，轴，， ∵将直线沿轴向下平移经过点得到直线， ∴，把的坐标代入得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 【例7】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． （1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）先联立直线和双曲线求得点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； ∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）联立， 解得：，， ∴， 由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 设P点坐标为， 则， ∴， ∵， 当P在A的左侧时，， ∴， ∴， 当P在A的右侧时，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 【变式7-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 【变式7-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为； (3)，此时的周长最小为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． （）先求出，然后通过待定系数法即可求解； （）求出，过作轴于点，过作轴于点，由，然后求出即可； （）求出，如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则有，根据两点之间线段最短可知即为所求，直线解析式为，当时，，从而得出，最后通过距离公式即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：∵直线图象上点的横坐标为， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴； （2）解：由（）得， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点纵坐标为， ∴， 如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点， ∴，， ∴根据两点之间线段最短可知即为所求， ∵， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 此时的周长最小为． 【题型8 反比例函数中的定值、最值问题】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论； ②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形； ③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值； ④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值． 【详解】①如图，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点在函数图像上，点在函数图像上， 设，则， ∴， 又∵点的坐标是， 在中，， 当时，，， 此时，， ∴四边形可能是菱形， ∴①符合题意； ②由①得，当时，，， ∴， 此时， ∵点的坐标是， ∴轴， ∴， 由①知，四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形，但， ∴四边形不为正方形， ∴②不符合题意； ③由①得，当点的横坐标为时，，， ∴四边形的周长为：， 当点的横坐标为时，，则， ∴，， ∴四边形的周长为：， ∴四边形的周长不为定值， ∴③不符合题意； ④如图，过点作轴于点， 又∵， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的面积为定值， ∴④符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征． 【变式8-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设 ，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设 ． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设 ． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设 ． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 【变式8-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【题型9 反比例函数中的几何变换问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分析图形可得，当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，设PB＝a，则Q（k，1+a），根据四边形APQM是矩形，可得M（1，1+a），而M在y＝上，可得1+a＝k，根据AP＝MQ，可得2﹣a＝k﹣1，进而求出k的值，即可判断． 【详解】解：分析图形可知： 当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值， ∵P在y＝上且yP＝1， ∴P（k，1）， 设PB＝a，则Q（k，1+a）， ∵四边形APQM是矩形， ∴M（1，1+a）， 而M在y＝上， ∴1+a＝k， ∵AP＝MQ， ∴2﹣a＝k﹣1， 由， 解得， ∴0＜k≤2， ∴k＝不符合条件． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，矩形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够判断出当反比例函数图像和矩形在公共点M处时k取最大值． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴的正半轴上，将反比例函数的图像向下平移个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点，且图像与边交于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质． 设，，则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， ∴， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ， ． 故答案为： 【变式9-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点（点位于第三象限），且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)当时，求线段的长； (2)将双曲线沿直线进行翻折，翻折后的图形与轴和轴分别相交于两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，两点间距离公式，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出点坐标，然后求出一次函数图象与反比例函数图象的交点，再由两点间距离公式即可求解； （2）先确定是等腰直角三角形，设点Q的对应点为点，连接，由翻折得：，，可得，则，代入得，求出，则同理可得：，由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， 当时，， ， 联立方程组， 解得或， ， ； （2）解：如图，一次函数， 当； 当， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设点Q的对应点为点，连接， 由翻折得：，， ∴， ∴， ∴， 代入得， ∴， ∴ 同理可得：， ∴， ∴， 解得：． 【变式9-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）求出B、C的坐标，根据列式求解即可； （3）求出，，则可得到直线的解析式为，进而可得，，证明，得到，则；连接，可证明，得到，则，故点即为点N的一个位置，在轴上取点满足，则此时，则满足题意． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 当时，， ， 将代入中，解得， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：在中，当时，，当时，， ，， ∴； （3）解：在中，当时，， ， 当时，， ， 设直线为，将代入中，得， 直线的解析式为， 在中，当，， ∵轴， ， ∴， ∴， 又∵， ， 连接， ∵， ∴， ， ， 点即为点N的一个位置， 在轴上取点满足， 则此时， ∴满足题意， 综上，点坐标为或． 【题型10 反比例函数与其它知识的交互问题】 【例10】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 【变式10-1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键． 过点作于点，根据等边三角形的性质求出的长度，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；再过点D作F于点，设，，根据等边三角形的性质表示出的长度，然后表示出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到的值，进而得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵点是等边的边的中点， ，， ，， ∴点C的坐标是 由 得：   ∴该双曲线所表示的函数解析式为 过点作于点，设，则， ∴点的坐标为 ∵点D是双曲线上的点， 由 ，得 即：   解得： ， (舍去)， ， ∵， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为． 【变式10-2】（2025·广东深圳·三模）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的性质，得到为等边三角形，均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，旋转求出的长，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，再利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，如图： ∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∵反比例函数经过其对角线的交点M，， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①4；②1，3 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用待定系数法进行求解即可； ②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可； （2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可； （3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ∴； 即的值为4； ②如图，过点D作轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴m，n的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点C作轴于点N， 同（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， 即当时，； （3）解：如图，过点E作轴于点H， 由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点G是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵点在上， ∴， 整理得，， 故答案为：6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【北师大版】 【培优篇】 4 【题型1 反比例函数图象上点的坐标特征】 4 【题型2 反比例函数的图像与性质的运用】 5 【题型3 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 6 【题型4 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 7 【题型5 反比例函数的应用】 8 【拔尖篇】 10 【题型6 反比例函数中的动点问题】 10 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 11 【题型8 反比例函数中的定值、最值问题】 13 【题型9 反比例函数中的几何变换问题】 15 【题型10 反比例函数与其它知识的交互问题】 17 知识点1 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点2 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点3 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点4 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点5 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 知识点6 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【培优篇】 【题型1 反比例函数图象上点的坐标特征】 【例1】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ． 【变式1-1】已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【题型2 反比例函数的图像与性质的运用】 【例2】（2025·吉林长春·二模）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【变式2-3】已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【题型3 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型4 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【变式4-2】如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【题型5 反比例函数的应用】 【例5】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式5-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【变式5-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【变式5-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【拔尖篇】 【题型6 反比例函数中的动点问题】 【例6】如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【变式6-2】如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 【例7】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【变式7-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型8 反比例函数中的定值、最值问题】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是 ． 【变式8-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式8-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 反比例函数中的几何变换问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴的正半轴上，将反比例函数的图像向下平移个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点，且图像与边交于点，则的值是 ． 【变式9-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点（点位于第三象限），且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)当时，求线段的长； (2)将双曲线沿直线进行翻折，翻折后的图形与轴和轴分别相交于两点，若，求的值． 【变式9-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【题型10 反比例函数与其它知识的交互问题】 【例10】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式10-1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【变式10-2】（2025·广东深圳·三模）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $