专题12 反比例函数K几何意义的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题12 反比例函数K几何意义的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、求比例系数K的值 类型二、根据K的几何意义求面积 类型三、根据K的几何意义求点的坐标 类型四、规律性探索问题 压轴专练 类型一、求比例系数K的值 例1．如图，在平面直角坐标系中，点C，D分别在函数，的图象上，轴，点F是x轴上一点，线段与y轴负半轴交于点E．若的面积为12，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，由可得，由三角形的面积公式可得，进而可得，由轴可知与同底等高，因而，得轴，由点C，D分别在函数，的图象上可得，，进而可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ， ， ， ， ， 轴， 与同底等高， ， 轴， 轴， 点C，D分别在函数，的图象上， ， ， ， 解得：或（正值不符合题意，故舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数的几何意义，三角形的面积公式，绝对值方程等知识点，添加适当辅助线构造同底等高三角形是解题的关键． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线（点在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、三角形相似等知识，作轴于点，求出点的坐标即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 【详解】解：作轴于点， 由题意可知，，，， 矩形的顶点， ，， ， 点的对应点正好落在边的中点处， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， ，， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 点落在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 变式1-2．如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作于点，设则得，代入，求出过点作直线轴，垂足为点，作于点，证明作轴于点得设，求出，设，求得，得，故可求出k的值． 【详解】解：作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设则， ∴， ∵点A在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作直线轴，垂足为点，作于点， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 作轴于点， ∵点在上， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由①②得，∴， ∴， 故答案为：． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，顶点和的中点均在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，进而得到菱形的边长为，过点作轴，过点轴，如图所示，由菱形性质得到相关线段长及角度，再由含的直角三角形性质得到、，将代入反比例函数表达式得一元二次方程求解得到或，最后由待定系数法代值求解即可得到答案． 【详解】解：设， ， 菱形的边长为， 过点作轴，过点轴，如图所示： ，， ， 在中，，，则，， 即； 在中，，，则，， 即； 顶点和点均在反比例函数的图象上， ，即， 解得或， 或（与重合，舍去）， ，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，涉及反比例函数图象与性质、菱形性质、平行线性质、含的直角三角形性质、解一元二次方程等知识，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 类型二、根据K的几何意义求面积 例2．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，由菱形沿轴向上平移得到菱形，可得轴，，，，由点在反比例函数的图像上，可得，，，，，再由，得到，求出，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为． 【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则 ∵菱形沿轴向上平移得到菱形， ∴轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为， 故答案为：． 变式2-1．如图，等边的顶点A在双曲线且底边在x轴上，F为中点，O为的中点，连接交于E，四边形的面积为4，则 ． 【答案】 【分析】设等边的边长为a，则， 可求，，过A作轴于G，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，则，根据中点坐标公式求出，根据待定系数法求出设直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，请求出，根据割补法得出，则可求，最后根据待定系数法求出k的值即可． 【详解】解∶设等边的边长为a，则， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， 过A作轴于G， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴，即， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．待定系数法等知识，设等边的边长为a，求出E的坐标是解题的关键． 变式2-2．如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的应用． 设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则，则，得到，推出，代入反比例函数可得到，直线的解析式是，进而得到直线与轴点的交点，根据，求出，作轴于点，轴于，得到，，，推出得到，连接，即可求解． 【详解】解：设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则， ∴ ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即， 又∵点在反比例函数 图象上， ∴， 整理可得：， ∴， ∴， 又∵ ∴， 设直线的解析式是， ∴，解得：， ∴直线的解析式是， 令，则， ∴直线与轴点的交点， ∴ ， 作轴于点，轴于， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 变式2-3．如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由题意可得为的中点，，设，，由中点坐标公式可得，，代入反比例函数的解析式可得，作轴于，则，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵C、D两点为线段的三等分点， ∴，即为的中点， ∴， 设，， 由中点坐标公式可得，， 代入反比例函数解析式可得：， ∴， 如图，作轴于， 则，， ∴， ∴面积为， 故答案为：． 类型三、根据K的几何意义求点的坐标 例3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点，连接并延长交反比例函数的图象于点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，如图所示，设与轴交于点，取线段的中点，连接，可证，由，得到，即，根据三角形面积公式得到，则，如图所示，作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，过点作于点，可证，则，再证，得到，，所以有，根据线段和差得到，则，由三角形面积公式得到，解得，，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，设与轴交于点，取线段的中点，连接， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴，则， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，过点作于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数与几何图形面积的综合运用，掌握反比函数图象的对称轴，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线的判定和性质，特殊角的直角三角函数的祭祀，对称轴点的特点，全等三角形的判定和性质，将不规则图形面积转换为规则图形面积的计算，数形结合分析思想是解题的关键． 变式3-1．如图，的直角顶点A在反比例函数的图象上，斜边在x轴上，延长到点D，使，以，为边作平行四边形．若的面积为10，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的性质以及三角形面积公式的综合运用，解题的关键是通过作辅助线． 过点作轴于点，由已知条件推出四边形ABCD是正方形，因为点在反比例函数图象上，根据反比例函数的几何意义，，根据已知的面积为10，进而，再通过证明，得到，设，利用的值列出方程，解出的值，从而确定点的坐标，根据平行四边形性质及，得出点A，D关于原点对称，由点的坐标求出点的坐标． 【详解】如图，过点A作轴于点E，则， 根据题意，得四边形ABCD是正方形， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， 解得， ∴，，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴点A，D关于原点对称， ∴点D的坐标为． 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交于，过作于，过作于，证明，可得是的中点，反比例函数过点，证明，可得，求解，可得反比例函数，即，可得，，设，则，，由，解得：（舍去），再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于，过作于，过作于， ∵矩形翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是的中点，反比例函数过点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴反比例函数，即， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 设，则，， 由对折可得：， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∵矩形，结合对折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式3-3．如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键． 过点作于点，根据等边三角形的性质求出的长度，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；再过点D作F于点，设，，根据等边三角形的性质表示出的长度，然后表示出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到的值，进而得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵点是等边的边的中点， ，， ，， ∴点C的坐标是 由 得：   ∴该双曲线所表示的函数解析式为 过点作于点，设，则， ∴点的坐标为 ∵点D是双曲线上的点， 由 ，得 即：  解得： ， (舍去)， ， ∵， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为． 类型四、规律性探索问题 例4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论. 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为.    ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 变式4-1．如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，找到规律，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2024除以3，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， … 由上可知， …，3个为一组依次循环， ∵， ∴， 故答案为：． 变式4-3．如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在轴上，且，…，直线与双曲线交于点，，，，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题结合反比例函数考查了点坐标的规律探究，解题的关键在于先求解 的坐标，推导一般性规律，再利用规律求解． 先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，求出的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：联立， 解得， ∴，， 由题意可知， ， 为等腰直角三角形， ， 根据，…，，，得，为等腰直角三角形， 过点作交轴于点，根据等腰三角形的性质，则， 设，则， ∴， 解得（舍去）， ， ∵为等腰直角三角形，根据三线合一得， ， 同理可得，, 则， 即 ∴, 化简得 故答案为：． 1．如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为 ，的坐标为 ． 【答案】 4 【分析】过点作轴于点C，根据正方形的性质，反比例函数的性质，构造一线三直角全等模型，一元二次方程的解法，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解方程是解题的关键． 【详解】过点作轴于点C， 正方形， 则， ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上，且、横坐标相等， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故正方形的面积为4， 故答案为：4； 过点作轴于点D，过点作轴于点E，轴于点F， ∵正方形， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点和边上的点． （1）的值为 ； （2）若过点作直线交轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 4 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，然后得到，然后根据反比例函数的性质得到，求出，，进而求解即可； （2）首先利用待定系数法求出直线的表达式为，然后根据平行设直线的表达式为，代入求出直线的表达式为，进而求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形，， ． ， ． 反比例函数在第一象限的图象经过点，， ， 解得， ， ． 故答案为：4； （2）由（1）知，， ，． 设直线的表达式为． 把代入，得 解得 ∴直线的表达式为． 直线交轴于点， 设直线的表达式为． 把代入，得， ， 直线的表达式为． 令，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、平行线、正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图，直线与双曲线交于两点，过点作交轴于点，连接并延长交双曲线于点D，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】作轴于点E，轴于点F，设，则，求出反比函数的解析式，解直角三角形求出点的坐标，再求出直线的解析式，联立求出点D的坐标，利用两点间距离公式求出，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点F， 设，则， ∴，， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线， 令，即， ∴， 解得：或， 则当时，， 根据题意，则， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及一次函数与反比例函数交点问题，解直角三角形，因式分解法解一元二次方程，两点间距离公式及二次根式的应用，求得一次函数与反比例函数的交点坐标是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，可证，得到，，根据一次函数可得，，即得，，得到，即得反比例函数，同理得到，再根据平移得，最后代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵一次函数，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点向左平移个单位后为， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移，一次函数与坐标轴的交点，正确添加常用辅助线是解题的关键． 5．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点A作，交双曲线于点B，取的中点C，连接交双曲线于点D，则D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数与一次函数的交点．分别过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，先求出反比例函数关系式为，设，先证明，可得，求出，得，再求出点C的坐标，再联立方程组求解即可． 【详解】解：如图，分别过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， 将代入反比例函数，得， 反比例函数关系式为， 设， ， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， （舍去）， ， 点C为的中点， ， 设直线函数关系式为，将代入得：，解得：， 直线函数关系式为， 联立方程组得：，解得：或（舍去）， , 故答案为：． 6．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 7．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为20，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点A作轴于点E，过点作轴于点F，证明再设，，把，分别代入，化简得，再结合菱形的性质得，则，，，结合面积的关系，故，整理，因为四边形的面积为20，则，解出的值，即可作答． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点作轴于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴ ∵点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点， ∴设，， ∴， ∴ ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ∴， 连接， ∵四边形为菱形， ∴与垂直平分， 即， 故点E在上， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合． 连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N，先证明，再由角相等得到，进而得到，设，，求出，由直线与双曲线相交于点A，B，得到，由根与系数的关系得到，进而求出，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N， 由题意可知，O为的中点，即为斜边上的中线， ∴， 即 ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵直线与双曲线相交于点A，B， 设，， ∴ ． ∵直线与双曲线相交于点A，B， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：3． 9．如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积． 根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E，设与y轴交于G，则，由矩形的性质得到，根据点的坐标得到，则，；证明，得到，则，证明，得到；再证明，得到，则，则可得到，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图所示，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E， 设与y轴交于G，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点Q， ∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，即点Q是的中点， ∴点Q是反比例函数上的点， 过点Q作于点H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点M是反比例函数上的点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题． 12．如图，点A在反比例函数的图象上，且点A是线段OB的中点，点C为y轴上一点，连接BC交反比例函数图象于点D，连接AC，AD，若，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】先表示出，再求出，，从而可求得，进而可求得点的纵坐标，再说明，列出比例式，求得，从而可求得点的坐标，再点与点都是反比例函数图象上的点，得出，从而可得，可解得：． 【详解】解：设，连结，作于，于，过点作轴于点，过点作于点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 设点到的距离为， ， ， ， ， ∴， ∵点A是线段OB的中点， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 过点作于点， 则， ， 而， ， ∴， ∴点的坐标为 又点与点都是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象点的特殊，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，解题关键是根据点在反比例函数图象，则点的横纵坐标的积为比例系数． 13．如图，四边形为矩形，点，在轴上，边与轴正半轴交于点，点在线段上，延长交轴与点，连结，，，反比例函数经过点；若，，则的值为 ． 【答案】49 【分析】题目主要考查反比例函数与图形、一次函数综合问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设点A的坐标为，得出，设点，得出，设点G的坐标为，确定，得出，利用待定系数法确定直线的表达式为：，确定，得出，结合面积关系求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵反比例函数经过点A， ∴， ∵四边形为矩形，点，在轴上， ∴设点， ∴， 设点G的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将点A、G代入得：， 解得: ， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：49． 14．如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，中点坐标等知识点，进行等积转化是解题的关键． 连接，过点作轴于点，可证明，则，设，求出，再由中点坐标公式可得，将代入，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点， ∵四边形是矩形， ∴经过点，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴，即， 将代入， 则 解得：， 故答案为：6． 15．如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先求得，，设，利用等积法求得，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点，记直线交轴于点， 在直线中， 当时，，当时，， ∴，， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：48． 16．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，表示出直线解析式，得出，求解即可，同理，当在原点左侧时，，求解即可． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ； ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 17．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．设点横坐标，进而表示出点坐标，数形结合找到等量关系，即可解答． 【详解】解：延长交轴于点， 设点的横坐标为， ∵点是直线上一点， ∴，即：点的坐标， ∵平行于轴，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方， ∴点的坐标， ∵的面积为， 由图可得：， 即：， 解得：， ∴ 点的坐标， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点，连接，，则当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质得点的坐标为，则，，可得，，进而根据三角形的面积公式得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解，掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 反比例函数K几何意义的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、求比例系数K的值 类型二、根据K的几何意义求面积 类型三、根据K的几何意义求点的坐标 类型四、规律性探索问题 压轴专练 类型一、求比例系数K的值 例1．如图，在平面直角坐标系中，点C，D分别在函数，的图象上，轴，点F是x轴上一点，线段与y轴负半轴交于点E．若的面积为12，，则k的值为 ． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线（点在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ． 变式1-2．如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，顶点和的中点均在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 类型二、根据K的几何意义求面积 例2．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 变式2-1．如图，等边的顶点A在双曲线且底边在x轴上，F为中点，O为的中点，连接交于E，四边形的面积为4，则 ． 变式2-2．如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为 ． 变式2-3．如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 类型三、根据K的几何意义求点的坐标 例3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点，连接并延长交反比例函数的图象于点，若的面积为，则点的坐标为 ． 变式3-1．如图，的直角顶点A在反比例函数的图象上，斜边在x轴上，延长到点D，使，以，为边作平行四边形．若的面积为10，则点D的坐标为 ． 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ． 变式3-3．如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 类型四、规律性探索问题 例4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为 变式4-1．如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 变式4-3．如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在轴上，且，…，直线与双曲线交于点，，，，则的坐标是 ． 1．如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为 ，的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点和边上的点． （1）的值为 ； （2）若过点作直线交轴于点，则点的坐标是 ． 3．如图，直线与双曲线交于两点，过点作交轴于点，连接并延长交双曲线于点D，连接，则的值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 5．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点A作，交双曲线于点B，取的中点C，连接交双曲线于点D，则D的坐标为 ． 6．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 7．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为20，则的值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则 ． 9．如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ． 12．如图，点A在反比例函数的图象上，且点A是线段OB的中点，点C为y轴上一点，连接BC交反比例函数图象于点D，连接AC，AD，若，，则k的值为 ． 13．如图，四边形为矩形，点，在轴上，边与轴正半轴交于点，点在线段上，延长交轴与点，连结，，，反比例函数经过点；若，，则的值为 ． 14．如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则 ． 15．如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 17．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点，连接，，则当的面积最大时，的值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$