专题04 椭圆与直线与椭圆的位置关系小题汇总（期末压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题04椭圆与直线与椭圆的位置关系小题汇总 目录 专题04椭圆与直线与椭圆的位置关系小题汇总 类型一、椭圆的定义辨析 类型二、椭圆的标准方程 类型三、轨迹方程 类型四、椭圆上的点到焦点距离问题 类型五、焦点三角形周长问题 类型六、焦点三角形面积问题 类型七、焦点三角形的其他问题 类型八、根据方程表示椭圆求取值范围 类型九、椭圆中的和差最值问题 类型十、 椭圆的离心率 类型十一、离心率的取值范围问题 类型十二、椭圆中的最值、取值范围问题 类型十三、中点弦问题 类型十四、直线与椭圆的位置关系 类型十五、直线与椭圆的位置关系求参数 类型十六、函数与椭圆结合 类型十七、椭圆中的弦长问题 类型十八、椭圆中的面积问题 类型十九、椭圆中的对称问题 类型二十、切线问题 类型二十一、定点问题 类型二十二、定值问题 压轴专练 类型一、椭圆的定义辨析 用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 例1．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 变式1-1．(24-25高二上·海南·)已知椭圆，我们把圆叫做的“外准圆”，把圆叫做的“伴随圆”，设为椭圆的两个焦点，与其伴随圆的一个交点为，直线（为坐标原点）与的外准圆交于两点，若的面积为1，则 ． 变式1-2．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 变式1-3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 类型二、椭圆的标准方程 用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 例2．(22-23高二下·安徽安庆宿松中学·期中)已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．(22-23高二上·江苏盐城中学·期末)已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （    ） A． B． C． D． 变式2-2．(21-22高二上·宁夏银川贺兰县景博中学·期末)已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 变式2-3．(23-24高二上·江苏常州高级中学·期末)椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 类型三、轨迹方程 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： （1）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． （2）方程法：直接根据条件列方程化简即可。 （3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 例3．(24-25高二上·吉林吉林吉林毓文中学·期末)已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．(22-23高二上·福建泉州·期末)已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 变式3-2．(23-24高二上·黑龙江龙东五校·期末)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 变式3-3．(22-23高二上·福建福州第一中学·期末)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C的离心率为，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C． D． 类型四、椭圆上的点到焦点距离问题 例4．(23-24高二上·山东青岛·期末)点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（    ） A．与无关 B． C． D． 变式4-1．(23-24高二上·贵州毕节威宁县·期末)设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．4 B． C． D． 变式4-2．(23-24高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 变式4-3．(24-25高二上·福建龙岩·期末)已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 类型五、焦点三角形周长问题 例5．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 变式5-1．(22-23高二下·山东济南·期末)设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 变式5-2．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 变式5-3．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)（多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 类型六、焦点三角形面积问题 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 例6．(23-24高二上·江西·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 变式6-1．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 变式6-2．(23-24高二上·甘肃武威第八中学·期末)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．(20-21高二上·山西长治第二中学校·期末)椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 类型七、焦点三角形的其他问题 例7．(24-25高二上·海南海口海南华侨中学·期末)已知圆，椭圆的上、下焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，直线OP与圆交于点M，N，若，则 变式7-1．(23-24高二上·江苏南京江宁区·期末)如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    变式7-2．(21-22高二上·云南沧源佤族自治县民族中学·期末)已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式7-3．(23-24高二上·福建厦门厦门外国语学校·期末)如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 类型八、根据方程表示椭圆求取值范围 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示： 1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足B>A>0，解这个不等式就可求出实数K的取值范围． 2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数K的取值范围． 例8．(24-25高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期末)已知：，，：方程表示焦点在轴上的椭圆.若“”为真，“”为真，求的取值范围 . 变式8-1．(22-23高二上·陕西渭南·期末)若m，，且则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-2．(23-24高二上·陕西渭南渭南中学·期末)已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型九、椭圆中的和差最值问题 总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 例9．(24-25高二上·福建莆田第五中学·期末)已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 变式9-1．(23-24高二上·福建宁德·期末)已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式9-2．(22-23高二下·广东汕头·期末)已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 变式9-3．(24-25高二上·浙江杭州钱塘区杭四江东·期末) （多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（    ） A．直线与蒙日圆相切 B．的蒙日圆的方程为 C．记点到直线的距离为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为 类型十、椭圆的离心率 椭圆的离心率的求法： (1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e. (2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b. 例10．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式10-1．(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．(24-25高二下·广东汕尾·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 变式10-3．(24-25高二下·河南南阳·期末)已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型十一、离心率取值范围问题 求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集 例11．(24-25高二上·广东汕头金山中学·期末)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式11-1．(24-25高二上·安徽县中联盟·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-2．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-3．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 类型十二、椭圆中的最值、取值范问题 例12．(25-26高二上·浙江温州十校联合体·期中)已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式12-1．(24-25高二下·湖南永州道县敦颐高级中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 变式12-2．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 变式12-3．(24-25高二上·广东深圳高级中学·期末)已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ． 类型十三、中点弦问题 解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 例13．(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为 ． 变式13-1．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式13-2．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末) （多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（    ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．当时，的面积为 D．若线段中点为，则直线的方程为 变式13-3．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末) （多选）已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 类型十四、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 例14．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 变式14-1．(19-20高二上·陕西西安·期末)已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式14-2．(23-24高二上·湖北新高考联考协作体·期末)已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 变式14-3．(24-25高二上·广东深圳光明区·期末) （多选）已知椭圆，点，以为直径的圆与交于，两点，则（   ） A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 类型十五、直线与椭圆的位置关系求参数 例15．(24-25高二上·广东清远·期末)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 变式15-1．(24-25高二上·福建福州第一中学·)已知直线与以为焦点的椭圆有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 变式15-2．(24-25高二上·河南郑州·期末) （多选）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C．若上存在点，使得，则的取值范围为 D．若为上一点，为左焦点，则的最小值为 变式15-3．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末) （多选）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 类型十六、函数与椭圆结合 例16．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)函数的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 变式16-1．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知点是椭圆上的一点，设是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 变式16-2．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式16-3．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 类型十七、椭圆中的弦长问题 (1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝＝ · 例17．(24-25高二上·河北石家庄·期末)若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 变式17-1．(24-25高二上·广东江门·调研)江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则|AB|的最大值为 ；点是上一点，点N是半圆与轴的交点（如图2所示），点，则的最大值为 . 变式17-2．(22-23高二上·甘肃酒泉普通高中·期末)设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式17-3．(23-24高二上·浙江A9协作体·期中)已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 类型十八、椭圆中的面积问题 例18．(24-25高二下·湖北荆门·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 变式18-1．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期末)设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ） A．20 B．24 C．18 D．28 变式18-2．(24-25高二上·广西河池·期末)人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 . 变式18-3．(24-25高二上·广东部分学校·期末)已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为 ． 类型十九、椭圆中的对称问题 例19．(23-24高二上·浙江金华十校·期末)已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ． 变式19-1．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军中学·期末)已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式19-2．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 . 变式19-3．(24-25高二上·广东茂名电白区·期末) （多选）如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 类型二十、切线问题 例20．(23-24高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 变式20-1．(22-23高二上·浙江宁波余姚·期末)已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 变式20-2．(23-24高二上·四川仁寿实验中学·期末)数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 变式20-3．(23-24高二上·河北保定·期末)过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 类型二十一、定点问题 例21．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 变式21-1．(23-24高二上·辽宁辽阳·期末) （多选）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 变式21-2．(24-25高二上·四川南充·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 变式21-3．(23-24高二上·云南玉溪·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 类型二十二、定值问题 例22．(23-24高二上·江西吉安·期末)已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 变式22-1．(23-24高二上·浙江余姚·期末)设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 变式22-2．(22-23高二上·广东潮阳区·期末)已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 变式22-3．(24-25高二上·河北保定·期末) （多选）已知，分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若，则（    ） A．椭圆C的离心率 B．的取值范围为 C．若l是C在M点处的切线，过，分别作l的垂线，垂足为A，B，则 D．点I的轨迹方程为 压轴专练 1．(24-25高二下·河南南阳六校·期末)已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西上饶·期末)椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·山东实验中学·期末)椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·浙江温州·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期末)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 7．(24-25高二上·山东烟台·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为 ；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04椭圆与直线与椭圆的位置关系小题汇总 目录 专题04椭圆与直线与椭圆的位置关系小题汇总 类型一、椭圆的定义辨析 类型二、椭圆的标准方程 类型三、轨迹方程 类型四、椭圆上的点到焦点距离问题 类型五、焦点三角形周长问题 类型六、焦点三角形面积问题 类型七、焦点三角形的其他问题 类型八、根据方程表示椭圆求取值范围 类型九、椭圆中的和差最值问题 类型十、 椭圆的离心率 类型十一、离心率的取值范围问题 类型十二、椭圆中的最值、取值范围问题 类型十三、中点弦问题 类型十四、直线与椭圆的位置关系 类型十五、直线与椭圆的位置关系求参数 类型十六、函数与椭圆结合 类型十七、椭圆中的弦长问题 类型十八、椭圆中的面积问题 类型十九、椭圆中的对称问题 类型二十、切线问题 类型二十一、定点问题 类型二十二、定值问题 压轴专练 类型一、椭圆的定义辨析 用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 例1．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 变式1-1．(24-25高二上·海南·)已知椭圆，我们把圆叫做的“外准圆”，把圆叫做的“伴随圆”，设为椭圆的两个焦点，与其伴随圆的一个交点为，直线（为坐标原点）与的外准圆交于两点，若的面积为1，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定定义及椭圆定义，结合勾股定理列式计算得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，则的“伴随圆”交轴于点， 依题意，，由的面积为1，得， 由，得， 所以 . 故答案为：2 变式1-2．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先根据椭圆的性质和三角形顶点的坐标得出三角形边的关系，然后利用正弦定理将三角函数的比值转化为边的比值进行计算. 【详解】在中，顶点，，所以的长度为. 因为顶点在椭圆上，所以. 根据正弦定理：. 则. 故选：A. 变式1-3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 【答案】 【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，则，则， 又，所以，则点N为下顶点． 由余弦定理， 所以 所以，则，所以椭圆方程为，则点， 又，所以． 故答案为：. 类型二、椭圆的标准方程 用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 例2．(22-23高二下·安徽安庆宿松中学·期中)已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，由椭圆的定义得，在中，由余弦定理得，根据同角三角函数的平方关系得，在中， 由余弦定理得，再结合的面积为，即可求出，进而得出椭圆的方程． 【详解】设，则，，则， 由椭圆的定义可知， 所以， 所以，，，， 在中， ， 则， 所以， 在中， ， 即， 整理可得， 因为三角形的面积为， 故，即， 得， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：A． 变式2-1．(22-23高二上·江苏盐城中学·期末)已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程. 【详解】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点， 如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为. 故选：A 变式2-2．(21-22高二上·宁夏银川贺兰县景博中学·期末)已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即， ，又，所以，． 故选：B． 变式2-3．(23-24高二上·江苏常州高级中学·期末)椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用几何法求出点坐标；再将点坐标代入椭圆方程即可求解. 【详解】    设. 由直线过右焦点且斜率为1；直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，可得：. 由，可得：，整理可得：. 则. 将代入可得：， 又因为 所以. 故答案为： 类型三、轨迹方程 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： （1）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． （2）方程法：直接根据条件列方程化简即可。 （3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 例3．(24-25高二上·吉林吉林吉林毓文中学·期末)已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆 外切，同时与圆 内切， 则，又 ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 变式3-1．(22-23高二上·福建泉州·期末)已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答. 【详解】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图， 有，则， 因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长的椭圆，则短半轴长， 所以点Q的轨迹方程为. 故答案为： 变式3-2．(23-24高二上·黑龙江龙东五校·期末)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及距离公式得出结果. 【详解】方程， 即为方程表示：动点到定点的距离与到定直线的距离的比为且小于1， 所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆. 故选：A 变式3-3．(22-23高二上·福建福州第一中学·期末)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C的离心率为，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合离心率设出椭圆的方程，确定出椭圆的蒙日圆的直径，再利用垂直关系借助勾股定理及均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，设椭圆方程为，其半焦距为c，有，即， 则该椭圆的蒙日圆方程为，因为点均在这个圆上，且， 于是是这个圆的直径，而，即有， 因此，当且仅当时取等号，即， 的面积，即面积的最大值为，则，解得，则， 所以椭圆C的长轴长为. 故选：B 类型四、椭圆上的点到焦点距离问题 例4．(23-24高二上·山东青岛·期末)点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（    ） A．与无关 B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，， 因为动点在椭圆上，则， 因为点到直线的距离为，所以， 又， 所以 ． 故选：C． 变式4-1．(23-24高二上·贵州毕节威宁县·期末)设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可. 【详解】 点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， ，设 ，在Rt中，， ，解得， 在Rt中， 所以直线的斜率为， 故选：B. 变式4-2．(23-24高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】结合图形得，即求焦半径的最小值. 【详解】圆的圆心， 椭圆的焦点为，， 因为， 即求焦半径的最小值. 先证焦半径公式： 设是椭圆上任一点， 是椭圆的两焦点， 则 因为，所以，. 由焦半径公式知，则当时， 取得最小值， 则 . 故答案为：    变式4-3．(24-25高二上·福建龙岩·期末)已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，假设右焦点为， 由对称性和椭圆定义可知：，， 设，则， 故， 则当时，取得最小值，最小值为20． 故答案为：20. 类型五、焦点三角形周长问题 例5．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 变式5-1．(22-23高二下·山东济南·期末)设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【答案】 【分析】化标准，得到，，然后根据正弦定理求出.进而根据余弦定理推出的面积.根据等面积法，可知，即可求出，即可得解. 【详解】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：. 变式5-2．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 变式5-3．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)（多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 【答案】AD 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：AD 类型六、焦点三角形面积问题 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 例6．(23-24高二上·江西·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【答案】/ 【分析】用椭圆的定义和焦点三角形中余弦定理得到的结论为突破口，结合三角形的面积公式解决问题. 【详解】不妨设，，焦距，如图： 由的面积为，得， 由余弦定理，得，则， 所以，即， 所以， 所以，易得，， 所以，所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以． 故答案为： 变式6-1．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】求出点关于直线的对称点,代入椭圆方程求得，利用余弦定理结合椭圆定义求得，代入三角形面积公式得答案. 【详解】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 变式6-2．(23-24高二上·甘肃武威第八中学·期末)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 变式6-3．(20-21高二上·山西长治第二中学校·期末)椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以 ，即可求解 【详解】易得．设，，则． 在中，由余弦定理得， 即，则， 所以． 设点到轴的距离为，则，故，解得． 故选：C． 类型七、焦点三角形的其他问题 例7．(24-25高二上·海南海口海南华侨中学·期末)已知圆，椭圆的上、下焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，直线OP与圆交于点M，N，若，则 【答案】3 【分析】由椭圆和圆的对称性可设点在第一象限，根据椭圆的定义可求，结合余弦定理可判断，求出的坐标后可求的横坐标，故可求. 【详解】由椭圆和圆的对称性可设点在第一象限， 由椭圆的定义可得，结合题设可得， 故， 而为三角形内角，故， 所以，故，所以， 故，由可得，而， 故， 故答案为：3. 变式7-1．(23-24高二上·江苏南京江宁区·期末)如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    【答案】/ 【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可. 【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得， 由椭圆C的方程为，所以,, 由椭圆的定义可知：， 由椭圆的光学性质得到直线平分，可得. 故答案为：. 变式7-2．(21-22高二上·云南沧源佤族自治县民族中学·期末)已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，再结合图形，利用几何关系即可求出结果. 【详解】因为椭圆方程为，所以，可得， 如图，中，分别为和的中点，所以， 又因为点在椭圆上，可得，所以， 由此可得，    故选：B. 变式7-3．(23-24高二上·福建厦门厦门外国语学校·期末)如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 类型八、根据方程表示椭圆求取值范围 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示： 1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足B>A>0，解这个不等式就可求出实数K的取值范围． 2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数K的取值范围． 例8．(24-25高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期末)已知：，，：方程表示焦点在轴上的椭圆.若“”为真，“”为真，求的取值范围 . 【答案】 【分析】依题意可得假真，则命题的否定为真命题，从而求出的取值范围，再由椭圆表示焦点在轴上的椭圆求得为真命题的的范围，取交集得答案． 【详解】∵ “”为真，“”为真，∴假真， 则命题“，”是真命题， ∴，解得. 若真，由，得， 又∵椭圆的焦点在轴上，∴，即. ∴当假真时，，即的取值范围是. 故答案为：. 变式8-1．(22-23高二上·陕西渭南·期末)若m，，且则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得：，由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得：，然后根据充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由可得：， 又因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 由不一定能推出，但由一定能推出， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件， 故选：. 变式8-2．(23-24高二上·陕西渭南渭南中学·期末)已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，列不等式求出的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】将曲线C的方程化为， 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即， 而“”不能推出“”；“”可以推出“”， 故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 类型九、椭圆中的和差最值问题 总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 例9．(24-25高二上·福建莆田第五中学·期末)已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以 ，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 变式9-1．(23-24高二上·福建宁德·期末)已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 变式9-2．(22-23高二下·广东汕头·期末)已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解. 【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接， 则， 如图：    当点P在位置M时，取到最大值， 当点P在位置N时，取到最小值， 所以的取值范围是，即， 所以的最大值 ，最小值 ， 所以. 故选：C. 变式9-3．(24-25高二上·浙江杭州钱塘区杭四江东·期末) （多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（    ） A．直线与蒙日圆相切 B．的蒙日圆的方程为 C．记点到直线的距离为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为 【答案】AC 【分析】分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误. 【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、， 所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为， 因为，可得. 对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为， 所以，直线与蒙日圆相切，A对； 对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错； 对于C选项，由椭圆的定义可得，则， 所以，， 因为，直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上， 所以，， 所以，矩形的面积为，D错. 故选：AC. 类型十、椭圆的离心率 椭圆的离心率的求法： (1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e. (2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b. 例10．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 变式10-1．(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 变式10-2．(24-25高二下·广东汕尾·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出对应点，作出符合题意的图形，利用求出，进而结合题意求出，再利用向量垂直的坐标表示得到，再将点坐标代入方程得到，再代入中化简得到，最后求解离心率即可. 【详解】由题意得椭圆的参数方程为， 如图，故设，，， 则，， 因为，所以，， 解得，故， 因为点B关于原点O的对称点为，所以， 则，， 因为，所以， 故， 化简得， 则， 将代入椭圆方程， 得到，化简得， 把代入中， 得到，同除可得，解得或（舍去）. 故选：B 变式10-3．(24-25高二下·河南南阳·期末)已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 类型十一、离心率取值范围问题 求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集 例11．(24-25高二上·广东汕头金山中学·期末)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由 ，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 变式11-1．(24-25高二上·安徽县中联盟·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 变式11-2．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立坐标系，设椭圆方程，，，，求，根据关系列不等式，结合离心率定义求结论. 【详解】以椭圆的中心为原点，以为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设椭圆方程，，，，， 则，，， ，. 因为，即，又， 故 又， 所以. 故选：B. 变式11-3．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 类型十二、椭圆中的最值、取值范问题 例12．(25-26高二上·浙江温州十校联合体·期中)已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 变式12-1．(24-25高二下·湖南永州道县敦颐高级中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先计算得出，，，再结合两角差正切公式计算应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意有，，， 设直线与x轴的交点为Q， 设，有，， 可得， 当且仅当时取等号，可得的最大值为. 故答案为： 变式12-2．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 变式12-3．(24-25高二上·广东深圳高级中学·期末)已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，则的值为 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知条件可得、， 设，因为点为椭圆上一点， 所以，，， 所以的面积，当且仅当时取等号， 所以当的坐标为或时的面积取最大值，最大值为， 由已知可得， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以，所以 所以 故 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：；. 类型十三、中点弦问题 解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 例13．(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由 ，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 变式13-1．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 变式13-2．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末) （多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（    ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．当时，的面积为 D．若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BD 【分析】选项A，的取值范围为进而可得； 选项B，直线 轴时，取得最小值，即求椭圆的通径即可； 选项C，根据求焦点三角形的面积方法可得； 选项D，由中点弦的求法可得. 【详解】选项A：由椭圆的方程可得椭圆的长半轴，短半轴， 设半焦距为，则， 因在椭圆上，则的取值范围为，即，故A错误； 选项B：设， 由题意，则的最小值时，直线 轴， 当时，由可得，故，故B正确； 选项C：    由椭圆的定义可得， 故，即 在中由余弦定理可得， 得，即， 故，故C错误； 选项D：因在椭圆上，故，， 两式相减可得，可得， 故直线的斜率为，又直线过点， 故直线的方程为，即，故D正确， 故选：BD 变式13-3．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末) （多选）已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】ACD 【分析】求出的值，利用椭圆的离心率公式可判断A选项；设点，由题意得出，求出的值，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】椭圆的焦点分别为、，则，， ，可得，故， 对于A选项，椭圆的离心率为，A对； 对于B选项，假设在椭圆上存在点，使得，且， ，， 所以，， 解得，合乎题意， 所以，椭圆上存在点使得，B错； 对于C选项，设点、，由题意可得， 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 则，上述两个等式作差可得， 即，即， 所以，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即，C对； 对于D选项，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以，的周长为，D对. 故选：ACD.    类型十四、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 例14．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 变式14-1．(19-20高二上·陕西西安·期末)已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称关系，求得直线的方程，代入椭圆方程，利用，求得的范围，再根据的关系即可求m的取值范围. 【详解】设设椭圆上存在关于直线对称的两点为, 根据对称性可知线段被直线垂直平分， 且的中点在直线上，且， 故可设直线的方程为， 联立，整理可得: ， 所以， 由，可得，解得， 所以 因为的中点在直线上， 所以，所以，所以， 故选:C. 变式14-2．(23-24高二上·湖北新高考联考协作体·期末)已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】依题设出直线方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，算得圆心坐标和半径长，由圆心到直线距离与半径比较即得直线与圆的位置关系. 【详解】 如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：， 设线段的中点为，由韦达定理， 则，即， ，则圆的半径为， 此时，圆心到直线的距离为：， 由可知直线与圆相离. 当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离. 故选：C. 变式14-3．(24-25高二上·广东深圳光明区·期末) （多选）已知椭圆，点，以为直径的圆与交于，两点，则（   ） A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 【答案】AB 【分析】求出以为直径的圆方程，与椭圆方程联立求出的坐标，再逐项求解判断. 【详解】依题意，以为直径的圆的方程为， 选项A，由及对称性得，则，A正确； 选项B，直线方程为，即，由， 得，，直线与只有一个交点，B正确； 选项C，设直线与轴交点为，，， ，四边形不是平行四边形，C错误； 选项D，设，则，，， 则， 而，因此当时，，D错误. 故选：AB 类型十五、直线与椭圆的位置关系求参数 例15．(24-25高二上·广东清远·期末)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由离心率，四边形的面积为求得椭圆方程，再根据，设直线的方程为，求得的轨迹方程，最后根据两点之间距离公式即可求解． 【详解】由题知，解得， 所以椭圆， 因为，所以， 又直线的斜率存在， 设直线的方程为，则的中点， 联立，整理可得， ，即， ， 所以 ， 所以， 可得，符合， 可得的轨迹方程为整理可得， 两式平方相加可得， 即的轨迹方程为，表示焦点在轴上的椭圆，即， 所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 变式15-1．(24-25高二上·福建福州第一中学·)已知直线与以为焦点的椭圆有且仅有一个公共点，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆方程为，其中，再将其与直线方程联立，根据判别式等于0即可. 【详解】因为该椭圆是以为焦点的椭圆， 则可设其标准方程为，其中， 联立得， 则，结合，解得， 则椭圆方程为. 故选：B. 变式15-2．(24-25高二上·河南郑州·期末) （多选）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C．若上存在点，使得，则的取值范围为 D．若为上一点，为左焦点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A，根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B，将存在点使，转化为以为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若，则，，则的周长为，故A正确； B. 直线恒过定点，若直线与恒有公共点， 则且，故B错误； C. 若上存在点，使得，则， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得：， 综上可知，的取值范围为 ，故C正确； D.，椭圆方程为，，，， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，当三点共线，且，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 变式15-3．(24-25高二上·江西景德镇一中·期末) （多选）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程求出即可求解离心率判断A，根据椭圆定义及勾股定理求解判断B，设点，求出点的横坐标及点的纵坐标，利用距离公式计算化简判断C，由的斜率关系，利用两点斜率公式及点在椭圆上列式求解点的坐标，然后利用两点距离公式求解判断D. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由， 可得，故B选项错误； 对于C选项，设点，有，又由， 直线的方程为，令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为，令，可得点的横坐标为， 有 ，故C选项正确； 对于D选项，若，由直线的斜率为，有， 有，代入，有， 有，平方后有，代入， 有，有， 又由，有，可得， 可得，故D选项正确． 故选：ACD 类型十六、函数与椭圆结合 例16．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)函数的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】令，可知，结合椭圆可设，代入结合三角函数求最值即可. 【详解】令，则，且， 设， 可得， 其中， 所以的最大值为. 故选：D. 变式16-1．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知点是椭圆上的一点，设是直线上任意两个不同的点，若时，则使得是等腰直角三角形的点有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】设点，求出点到直线的距离的取值范围，对点是否为直角顶点进行分类讨论，即可求解. 【详解】椭圆方程为，椭圆与直线均关于原点对称， 设点，， 设点到直线的距离为， 则， ①若为直角顶点，如下图： 则由，得顶点到边的高为， 即，此时满足为等腰直角三角形的点有四个； ②若不是直角顶点，如下图： 则由，得顶点到边的高为， 即，此时满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个， 综上，使得是等腰直角三角形的点有6个. 故选：C. 变式16-2．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为 在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 变式16-3．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解. 类型十七、椭圆中的弦长问题 (1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝＝ · 例17．(24-25高二上·河北石家庄·期末)若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 变式17-1．(24-25高二上·广东江门·调研)江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则|AB|的最大值为 ；点是上一点，点N是半圆与轴的交点（如图2所示），点，则的最大值为 . 【答案】 / 【分析】点A到原点距离恒为1，判断点B到原点距离最大时在椭圆左端点，计算即可；由椭圆定义和计算判断即可. 【详解】因为过原点的直线交于点A，交于点， 而点A为半圆上的点，所以点A到原点距离为， 因为半椭圆上的点B在左端点时到原点距离最大为半长轴长， 所以的最大值为：； 因为点N是半圆与轴的交点，所以， 因为，，所以， 因为半椭圆，所以焦点，发现为另一个焦点， 由椭圆定义可知， 因此， 当且仅当，，三点共线时取等号，故的最大值为. 故答案为：；. 变式17-2．(22-23高二上·甘肃酒泉普通高中·期末)设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 变式17-3．(23-24高二上·浙江A9协作体·期中)已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 在椭圆 中，， 则， 圆的圆心，半径， 圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得， ， 由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以， 所以的最小值是. 故选：B 类型十八、椭圆中的面积问题 例18．(24-25高二下·湖北荆门·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 变式18-1．(24-25高二上·贵州六盘水水城区·期末)设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ） A．20 B．24 C．18 D．28 【答案】B 【分析】根据已知求出的值，根据对称性可得，当为短轴顶点，即可得到面积的最大值. 【详解】 由已知可得，，，所以， 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点，. 故选：B. 变式18-2．(24-25高二上·广西河池·期末)人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 . 【答案】 【分析】解法一：由题意，进行仿射变换，将问题转化为在圆中处理，即可求解. 解法二：设，，联立方程组求出，，求得直线AB方程，进而求得到直线AB的距离，进而可得四边形的面积为，计算可求最大值. 【详解】解法一：令，，则椭圆变为 直线方程变为，, 则，，设的夹角为， 所以四边形的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以. 解法二：设，， 联立和消去y得， 所以若，则， 又，，所以直线AB方程：， 点C，D到AB的距离分别为，， ，， 所以，而， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用斜率表示四边形的面积，再根据解析式，利用基本不等式求得面积的最大值. 变式18-3．(24-25高二上·广东部分学校·期末)已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为 ． 【答案】160 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，得到各边长，求出，分的坐标为和两种情况，得到对应的点坐标，设梯形的面积为，利用求出答案. 【详解】椭圆右顶点为，故， 设直线与轴的交点为，过点作轴的垂线，垂足为， 由于直角顶点为，则，又， 所以， 又，故∽， 由于，所以，故， 中，令得， 故， 当的坐标为时，，则， 故， 当的坐标为时，，则， 故． 设梯形的面积为， 当时， ， 当，时， 160，故的面积为160． 故答案为：160． 类型十九、椭圆中的对称问题 例19．(23-24高二上·浙江金华十校·期末)已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理计算可得参数. 【详解】过点且与直线垂直的直线为， 两直线的交点，从而点. 点在椭圆上， 则，即 则,则，，或. 故答案为： 变式19-1．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军中学·期末)已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得直线的方程为，联立两椭圆方程整理得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】根据对称性及可得直线的方程为， 由，可得，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到直线的方程，从而得到，最后将变形为. 变式19-2．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 . 【答案】或 【分析】求出直线的方程以及直线的方程，联立求出两线交点坐标，可得点的坐标，代入椭圆方程，化简可得或，进而可求该椭圆的离心率. 【详解】因为为线段靠近原点处的三等分点，所以， 由截距式方程可得直线的方程为，即① 点关于直线的对称点为，所以直线的斜率为， 由斜截式方程可得直线的方程为②， ①②联立解得两线交点坐标， 因为N是线段的中点，又， 所以， 即点，因为M在椭圆上， 代入椭圆方程： 化简可得， 解得或，所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常见方法，1，直接求出的值求离心率；2，先得到的方程，再根据齐次式求解；3.先求的值，再求离心率. 变式19-3．(24-25高二上·广东茂名电白区·期末) （多选）如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据曲线对称性的定义，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】在曲线上任取一点，点关于直线的对称点为， 则，即点也在曲线上，故曲线关于直线对称，A正确； 由题意知，，，， ，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和， 所以椭圆长轴长为 ；同理可得另外两个顶点坐标为和， 所以椭圆的短轴长为 ，所以， 所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，， 解得，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 类型二十、切线问题 例20．(23-24高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解. 【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，    因为，则， 由四边形的面积可得， 整理得， 设， 则， 且，可知当时，取到最大值， 当时，取到最大值， 即，则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 即弦长的范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得； 2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围. 变式20-1．(22-23高二上·浙江宁波余姚·期末)已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】先得到椭圆在处的切线方程为，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q的坐标，求出当切线斜率不存在时，，当切线斜率存在时，设为，由与圆相切得到，求出椭圆两切线方程，得到，求出，求出的最大值. 【详解】当点坐标为时，此时切线的斜率不存在， 不妨设，此时中令得：， 所以不妨令， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得： ， 所以， 把代入，得：， 于是 则椭圆的切线斜率为， 所以椭圆的切线方程为，整理得：， 方程两边同除以，得到， 当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为， 中令，可得， 故当切线斜率不存在，切线也满足， 综上：椭圆在处的切线方程为， 故过的两切线分别为和， 联立可得：，此时，同理可得时，， 当切线的斜率存在时，设为， 因为与相切，所以，即， 与联立得： ，设， 则过的椭圆的切线方程为和， 联立得：， ， 则， 综上：的最大值为4. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为. 变式20-2．(23-24高二上·四川仁寿实验中学·期末)数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题. 【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：， 将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为 ，解得，因为，所以 故选：A 变式20-3．(23-24高二上·河北保定·期末)过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线、的方程，即可求出直线恒过定点，讨论直线的斜率存在和不存在，求解即可. 【详解】设， 设切线的方程为， 联立得； ∵与椭圆相切， ∴，整理得：， 所以代入，得， 所以， 从而切线的方程为， 再将代入整理可得，直线的方程为：， 同理直线的方程为：， 直线，的方程过点，所以，， 即，， 则为方程的解，故直线的方程为， 令，则，这直线恒过定点， ①当直线的斜率不存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，则， ②当直线的斜率存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为， 连接，点到直线的距离为， 过点作交于点，可知四边形时矩形， 所以，而在中，， 又，所以，所以， 在中，， 而在中，， 则， 故可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值)，则直线过定点 类型二十一、定点问题 例21．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用特殊情况探讨出定点，再就一般情况验证是求解问题的关键. 变式21-1．(23-24高二上·辽宁辽阳·期末) （多选）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【分析】将点和点代入椭圆方程组成方程组，利用和点在直线上消去多余未知数，化简得到用表示的关系式，因为表示过定点斜率为的直线，所以直线不与轴重合，因为点在椭圆上，根据椭圆性质得到，从而解得范围选出答案. 【详解】由，得．因为点，在椭圆上，所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．    故选：CD 【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到关于的表达式，根据的范围求出的范围. 变式21-2．(24-25高二上·四川南充·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到： ，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 变式21-3．(23-24高二上·云南玉溪·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据离心率即可求解椭圆方程，即可联立直线与椭圆方程，根据点斜式求解直线方程，即可化简求解. 【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点， 椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在， 设直线，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，， 所以，整理得， 又 ， 所以直线QM的方程为，故直线QM过定点． 故答案为： 类型二十二、定值问题 例22．(23-24高二上·江西吉安·期末)已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率. 【详解】则，，设， 则， 设（），则， 直线的方程为，则的坐标为， 直线的方程为，则的坐标为， ∴，解得或． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可. 变式22-1．(23-24高二上·浙江余姚·期末)设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，取右焦点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得，再结合椭圆的离心率的值，从而可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示， 由题意可知，点为椭圆的左焦点， 因为点、，易知点为线段的中点， 又因为为的中点，所以， 取线段的中点，连接，则， 所以，则，所以， 设点、，则点， 所以，两个等式作差可得，可得， 所以， 因为椭圆的离心率为，得， 所以，即，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先得到，再证明中点弦有关斜率之积的结论，从而得到最终答案. 变式22-2．(22-23高二上·广东潮阳区·期末)已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果. 【详解】令，，则，， 由，故，则， 而，，则，， 所以，故， . 故选：B 变式22-3．(24-25高二上·河北保定·期末) （多选）已知，分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若，则（    ） A．椭圆C的离心率 B．的取值范围为 C．若l是C在M点处的切线，过，分别作l的垂线，垂足为A，B，则 D．点I的轨迹方程为 【答案】ABD 【分析】A.根据角平分线定理，以及椭圆的性质，即可判断；B.根据向量数量积的极化恒等式，以及的范围，即可判断；C.根据椭圆的切线方程，以及代入点到直线的距离公式，即可判断；D. 【详解】连接，，，，故A正确； ，因为，所以，，则， 的取值范围为，故B正确； 设，直线l的方程为，即， 则， ，故C错误； 设，，由等面积可得， ，即，故D正确. 故选： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据角平分线的几何性质，以及内切圆的几何性质，结合坐标解决问题. 压轴专练 1．(24-25高二下·河南南阳六校·期末)已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 2．(24-25高二上·江西上饶·期末)椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和的内切圆半径表示的面积，再结合点到直线的距离和线段表示的面积，列式可得关于的关系，再根据的取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为的内切圆的面积是，所以的内切圆的半径为1. 结合椭圆的定义：. 由到直线：的距离为：，所以. 由 ， 又，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两种方法表示的面积，得到的关系，再求离心率的取值范围. 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 4．(24-25高二上·山东实验中学·期末)椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设、，结合椭圆定义及离心率可用表示、，结合勾股定理计算即可得解. 【详解】设、，则有，， 则，即， 则，即， 即，， 则，由， 则有， 整理得，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用表示、，再借助表示出，结合勾股定理计算即可得解. 5．(23-24高二上·浙江温州·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解. 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为， 不妨设，则， 点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且， 所以， 又是的中点， 所以， 所以是正三角形， 所以，可得， 设，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含的式子表示出，从而即可顺利得解. 6．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期末)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 7．(24-25高二上·山东烟台·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为 ；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 【答案】 【分析】直线的方程为，设，联立方程组利用弦长公式求得，结合弦长可得，进而可求离心率，结合，求得椭圆的方程，进而求得的坐标，进而利用外心与内心的性质求得的坐标，进而可求. 【详解】由题意可得直线的方程为，设， 联立，消去，得， 整理得， 所以， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去），所以，所以离心率； 当时，可得，所以椭圆的方程为， 所以，直线的方程为， 代入椭圆方程得，解得或， 可得，故在轴上， 设内切圆的半径为，所以， 所以，所以，即， 又的中点坐标为，的中点坐标为，， 所以的垂直平分线的方程为，即， 的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，所以， 所以. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：关键在于利用直线方程与椭圆方程联立方程组求得弦长，利用已知可得，进而可求离心率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $