3.1 椭圆 第二课时 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆第二课时，系统讲解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及应用，通过问题链（如“x和y的范围”“反应椭圆圆扁的量”）连接椭圆方程与几何性质，搭建从方程推导到性质理解的学习支架。 其特色是问题驱动与表格对比结合，推导范围时引导学生从方程抽象出取值区间培养抽象能力，例题4用判别式讨论直线与椭圆位置关系发展推理能力，表格清晰呈现焦点位置差异提升数学语言表达。帮助学生深化几何直观，教师可高效落实性质应用教学。

3.1 椭圆 第二课时 一、范围： [结论]：根据椭圆的图象可知椭圆落在x=±a，y= ± b四条直线围成的矩形内. [问题]：x和y的范围分别是多少呢？ 二、椭圆的对称性 [结论]：从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于原点成中心对称. O P（x，y） P2（-x，y） P3（-x，-y） P1（x，-y） [思考]：关于原点对称，关于y轴对，关于x轴对称 三、顶点 椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点. 在椭圆的标准方程 中，令y=0，得x=±a；令x=0，得y=±b. 因此，A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点(如图3.1 - 4). 线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b. 椭圆的中心O分别将长轴、短轴等分，a和b分别叫作长半轴长和短半轴长. 四、椭圆的离心率 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率，用e表示 [问题]：这四个椭圆圆扁程度不一样，黑色的椭圆最扁.绿色的椭圆最接近圆.有没有一个量可以反应出椭圆的圆扁呢？ o 离心率e的取值范围是（0，1） [1]因为 a > c > 0，所以0 < < 1 四、椭圆的离心率 [2]离心率对椭圆形状的影响： b就越小，此时椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0， 此时椭圆又是如何变化的？ b就越大，此时椭圆就越圆 [结论]：即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量. e 越接近 1，椭圆越扁， e 越接近 0，椭圆越圆. 1）e 越接近 1，c 就越接近 a， 请问：此时椭圆的变化情况？ o 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 [分析]：根据椭圆的方程我们把a,b,c的值求出来，再结合椭圆的几何性质我们便可以求得长轴长、短轴长、焦距等. 由椭圆标准方程可知：a=5,b=3，c2=a2-b2=16,则c=4 所以椭圆长轴长：2a=10’ 短轴长：2b=6，焦距2c=8 顶点坐标为： A1 （-5，0）， A2（5，0）， B1（0，-3），B2 （0，3） 焦点坐标为： F1 （-4，0）， F2（4，0） 例题1. [注意]：很多同学写的可能和解析写的一样，忽视了一个很重要的环节：焦点位置的讨论. 例题2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 长轴长为 18，离心率为； 解 (1) 因为 ，， 所以 ，. 于是 . 椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，因此，所求的椭圆标准方程为 或. 例题3. （2）经过点P（2,2），Q（-3，-1），焦点在x轴上， (2) 设椭圆方程具有标准形式. 将，两点的坐标代入得 ， ① . ② 将，看作未知数，则上述两个式子组成二元一次方程组. ②×4 - ①得 ，即. 于是，，即. [分析]：我们可以将公共点个数问题转化成方程解的个数问题， 二次方程解的个数只需要讨论判别式就好了. [例4]： o 标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率 -a ≤ x≤ a,-b ≤ y≤ b -b ≤ x≤ b,-a ≤ y≤ a 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称. （ a ,0 ）,(0, b) （ b ,0 ）,(0, a) (±c,0) (0, ±c) 长半轴长为a,短半轴长为b. 焦距为2c a2=b2+c2 1.顶点 2.范围 3.对称性 4.离心率 课堂小结 布置作业: 谢谢观看 $