福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学2025-2026学年高二上学期两校联考二（12月）数学试卷

晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二 数学试卷 (考试时间：120分钟 满分：150分) 命题者：潘玉琴许明怨 审核者： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的： 1.在等差数列{a}中，4+a,+a,=6,a,+4,+a,=12,则{a}的公差为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.若过点(1的直线1的倾斜角为a,且cosa=5,则1的方程为(） A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.2x-y+3=0D.2x-y-3=0 3.四面体OABC中，AB=2AD,OE=2EC,设OA=a,OB=b,OC=c,则DE=() 23 C.a-B+2c D.-a+B-2c 4.己知椭圆C:x+ +存=1(a>b>o),过C的右焦点作x轴的垂线交C于A,B两点， AB=b,则C的离心率e为() A.号 B.3 C. D. 5.已知实数x,y满足(x-2)+y2=4,则3x-4y的取值范围为() A.[-16,4] B.[-8,12] C.[-10,10] D.[-4,16] 6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，点D,E 分别为PA,PC的中点，AP=4AM,PA=AC=2AB=4,则点M到平 面BDE的距离是() A.分 B.2 C.3 D.√5 2 2 7.已知抛物线T:y2=6x的焦点为F,过F的直线与T交于点A,B,且与T的准线 交T点D,若04且4F时网，则的值为() A.√2 B.2 C.3 D.4 8.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原 1 点0，且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与 到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则C在第一象限的点的 纵坐标的最大值。与1的关系为() A.y<1 B.y。=1 C.y。≤1 D.%>1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一 次性随机摸出2个球，则() A.“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件 B.“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件 C,“摸出的球颜色相同”的概幸为 D.“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立 10巴知精国G普若-1，双曲线C三发 示B=L其中a>b>0,它们的离心率分 别为e,e2,则() A.C,可能为等轴双曲线 B.C的焦距小于C,的焦距 C.C与C,恰有四个公共点 D.e2+e2=2 11.直四棱柱ABCD-ABCA的所有棱长都为4，BAD=于，点P在四边形BDDB D 及其内部运动，且满足PA+PC=8,则( ) A.存在点P使得CP/1平面AB,D B.直线AP与平面BDD,B,所成的角为定值 D C.直线4与CcP所成角的范国为到 B D.点P到平面ABD的距离的最小值为2T 7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 21,则a22s= 12.己知数列{a,}的前n项和为S,4=3,a,11-a 13.点P在直线y=2-x上运动，从点P向圆Q:(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线 长的最小值为 14已知椭园C号y=1的左、右焦点分别为，直线y=+1与C交于《、N 两点，设△MWF,的内切圆圆心为I,外接圆圆心为I,则II,的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题13分)在长方体ABCD-ABCD中，底面ABCD为正方形，AA=2,AB=1, E为AD中点，F为CC中点. D A D (1)求证：CE/平面AD,F: (2)求AB与平面ADF成角的正弦值， 16.（本题15分)如图所示，已知双曲线C1与抛物线C2y2=8x有相同的焦点F, 它们在第一象限内的交点为M: (1)写出抛物线C2的焦点坐标和准线方程； (2)若双曲线C1的渐近线为y=±√3x. (1)求双曲线的标准方程： (ii)求点M到双曲线C1两个焦点的距离之和. 3 17.(本题15分)设等差数列{a}的公差为d,且d>1.令4，=心+”，记S,工分 别为数列{an},{b}的前n项和，已知3a,=34+4,S,+T,=21 (1)求{a},{b}的通项公式： (an,n为奇数 (2)若cn 数列{c}的前n项和为H.,求Ho b,n为偶数 18.（本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD,PA⊥AD. B (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=6.E为PB中点，点F在棱PD上，且平 面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 3 (i)求PF: (i)平面AEF交PC于点G,点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正 弦值的取值范围. 19.（本题17分)已知茄圆的标准方程为若+茶-1a>b>0,离心率为5且过 a+ 点A(-2,0),直线1与椭圆交于P、9两点且不过原点. (1)求椭圆的标准方程： (2)若AP⊥A2,求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标： (3)若直线OP,P吧，O2的斜率分别为k,k,k,且=kk,求△OP2面积的取 值范围. 4 晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二 数学参考答案（附评分细则） 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B D B C D 7.如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则． 根据抛物线定义知，，设，， 因为，所以，即，得，所以，所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 8.设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 二、 题号 9 10 11 答案 ABC BD ABD 9.记2个红球为A，B，3个白球为a，b，c，则任意摸出2个球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种， “摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1个红球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc， “摸出的球颜色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球” 有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc， A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确； C：“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确； D：设M＝“摸出的球中有红球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知 P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故D错误． 故选ABC. 10.根据题意，因为，所以不可能为等轴双曲线，A错误； 椭圆，半焦距， 的焦距为， 双曲线，半焦距， 的焦距为，显然，B正确； 因为椭圆中， 双曲线中， 则与只有和两个交点，C错误; ，则，D正确. 故选：BD 11.由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且，则， 根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面， 由，点P在四边形及其内部运动，则， 所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示， 当与重合时，，即，面，面， 所以平面，A对； 由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角， 所以直线与平面所成的角为定值，B对； 由，直线与所成角，即为直线与所成角， 根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大， 即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值;C错 令点P到平面的距离为，到直线的距离为且， 而，，， 由，则，整理可得， 所以，D对. 故选：ABD 三、 题号 12 13 14 答案 14.由题意可得，由解得和， 即，易知直线经过点， 由可得， 故的外接圆圆心为的中点，即， 又的内切圆圆心为，则由对称性可知，点在轴上，不妨设， 易得直线的方程为，即， 则点到直线的距离等于该点到直线的距离， 即，解得或（不合题意，舍去），故得， 故. 四、 15.（1）法1：取的中点,连接,, 依题意可知：且,且 所以且,四边形为平行四边形，故，………………………4分 又平面,平面,所以平面.…………………………6分 法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，，，,, ，，………………………………2分 设平面的法向量， 则，取，得，…………………………4分 ,又面，所以平面，……………………………6分 （2）由（1），…………………………………………………………8分 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. …………………………………13分 16.（1）因为抛物线， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为……………………………4分 （2）(i) 设双曲线的方程为 则，， ∴，， ∴双曲线的方程为……………………………………………………………8分 (ii)由，可得或(舍去) 所以，……………10分 由抛物线的定义可知，…………………………………………………12分 由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，…………………………………14分 ∴点M到双曲线两个焦点的距离之和为.…………………………………15分 17.(1)由,得, …………………………………………………1分 则……………………………………………………3分 又…………………………………………………5分 所以即解得(舍去)…………7分 所以………………………………………………………………………………9分 则……………………………………………………………………10分 (2)……………………12分 ……………………………14分 …………………………15分 18.（1）因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD．……………………………………………………………………3分 （2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量，……………………………………………6分 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．……………………7分因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以．……………9分 （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，．………………………………………………………11分 ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量，………………14分 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．………………………………17分 19.（1）由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为；…………………………………………………………3分 （2）分类讨论： ①当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得，…………………………………6分 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得， 即，所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点．……………………………9分 ②当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点；…………………………………………10分 （3）由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，，……………………………………………………………13分 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则………………16分 ， 所以的取值范围为.……………………………………………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 晋江侨声中学、南安侨光中学 2025秋季高二年两校联考二数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可吗 运孔 (正面上，切勿贴出虚线方框 音 正确填涂 缺考标记 客观题(18为单选题；9-11为多选题) 1[A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. D A B B 囚▣■ 第1页共6页 16. M 囚囚■ 第2页共6页 17. ■ 第3页共6页 ■ 18. P E以 B C I I I ■ 囚■囚 第4页共6页 亚9并亚9嵬 囚■囚 6I ▣ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■ 第6页共6页 晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题者：潘玉琴 许明怨 审核者： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在等差数列中,,,则的公差为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 3.四面体中，，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 4.已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为( ) A． B． C． D． 5.已知实数满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6.如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中点，，，则点到平面的距离是（ ） A. B． C． D． 7.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（ ） A． B．2 C．3 D．4 8.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ） A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件 B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件 C．“摸出的球颜色相同”的概率为 D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立 10.已知椭圆，双曲线，它们的离心率分别为，，则（ ） A．可能为等轴双曲线 B．的焦距小于的焦距 C．与恰有四个公共点 D． 11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（   ）． A．存在点P使得平面 B．直线与平面所成的角为定值 C．直线与所成角的范围为 D．点P到平面的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知数列的前n项和为,,,则 . 13.点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为 . 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M、N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题13分)在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1) 求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 16.（本题15分）如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若双曲线的渐近线为. (i)求双曲线的标准方程； (ii)求点M到双曲线两个焦点的距离之和. 17.（本题15分）设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和,已知, (1)求,的通项公式; (2)若= ，数列的前项和为,求. 18.（本题17分）如图，在四棱锥中，，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 19.（本题17分）已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于、两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $