广东省中山市中山纪念中学2025-2026学年高一上学期二段考数学试题

中山纪念中学2028 届高一上学期数学二段考试题 考试时长：120 分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 则A∩B= ( ) A. {0} B. {0,1} C.{1,2} D.{0,1,2} 2.使a>b成立的一个充分不必要条件是 ( ) A. a>b-1 C. a>b+1 3.函数. 的零点所在区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C. (3,4) D (4.5) 4.角α的终边过点(2,1), 则 ( ) 5 函数 的图象大致是 ( ) 6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时， 则下列说法正确的是 () A. f(x)在(-1,0)是增函数 B. f(x)>0的解集为(-1,1) D. f(x)的最大值为 7.已知 当 时，f(x)≥mx恒成立，则m的取值范围 () 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 8.已知函数 若存在实数 使得 则 的最小值为 A. B. D. 2 ( ) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是( ） 是第三象限角 B.若圆心角为π/3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C.若角α的终边过点P(-3,4), 则 D.若角α为锐角，则角2α为钝角 10.下列说法不正确的是( ） A.函数 的零点是(-1,0)和(5,0) B.正实数a,b满足a+b=2, 则不等式 的最小值为 C.函数 的最小值为2 的一个必要不充分条件是-3<x<2 11.记函数f(x)的定义域为D, 若存在非负实数k, 对任意的x∈D, 总有|f(x)-f(-x)|≤k, 则称函数f(x)具有性质P(k).则下列结论正确的是( ) A.所有偶函数都具有性质 P(0) 具有性质 P(2) C.若 则一定存在正实数k，使得f(x)具有性质P(k) D.已知a>0, 若函数 具有性质 P(k)(k>0), 则a∈(0,k] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若幂函数 为偶函数，则不等式. 的解集为 13.函数 的值域是 . 14.设函数 且a≠1)，给出下列四个结论： ①当a=2时, 方程f(x)=a有唯一解; ②当a∈(0,1)时, 方程f(x)=a有三个解; ③对任意实数a(a>0且a≠1), f(x)的值域为[0,+∞); ④存在实数a，使得f(x)在区间(0，+∞)上单调递增. 其中所有正确结论的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知二次函数f(x)满足: f(x+1)=f(x)+2x+2, f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)为定义在R上的奇函数, 且当x>0时g(x)=f(x), 求g(x)在R上的解析式. 16.(本小题15分) 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD，BC围成的.设圆弧AB，CD所在圆的半径分别为r₁，r₂(单位：米)，圆心角为θ(单位：弧度). (1)若 求花坛的面积. (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计 1200元，当线段AD的长度为多少米时，花坛的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题15分) (1)已知 且α是第四象限角，求sinα和tanα的值； (2)已知sinα-3cosα=0, 求 的值； (3)已知 且 求 的值. 18.(本小题17分) 设函数， (1)判断函数 f₁(x)的单调性并用定义证明； (2)若存在x∈[0,2], 使得 mfo(x)-f₁(x)+3≤0成立, 求实数m的取值范围; (3)设函数: 若方程g(x)=0在 有唯一实数解，求λ的取值范围. 19.(本小题17分) 已知函数 其中a>0且a≠1. (1)试判断函数f(x)的奇偶性并证明； (2)当a=2时, 求函数f(x)的值域; (3)若对 都存在以、 )为边长的三角形，求正整数n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】A集合A=0,12B=号<2<2}={纠-1<<1以，∴An8=0.故选A 2.【答案】C对于A,取a=1,b=1,可知a>b-1,但a=b,故a>b-1不是a>b的充分条件，A 错； 对于B,取a=-2,b=1，,可知a2>b2,但a<b,故a2>b2不是a>b的充分条件，故B错误； 对于C,由a>b+1，,所以a>b,反之不成立，故C正确； 对于D,当a<0时，由2<1，得a<b,故<1不是a>b的充分条件，故D错误.故选C. a 3.【答案】B:由于y=f(x)单增，所以至多有一个零点；f(2)=1n2+4-7<0, f(3)=1n3+8-7>0,由于f(2)f(3)<0,零点所在区间为(2,3).故选B. 2.25 4.【答案】C因为角a的终边过点(2,1)，所以cosa= 22+z5,所以sin(a+2)=cosa 2W5 5 sin(-g）) sinz 5.【答案】A因为(x)的定义域为R,且f(-x)= g-z)}2+e g(+0-f@,所以1(x)是奇 sing 函数，故排除BC,又xe0引，则g(e+e)>0,si>0f回=ge 、>0,故排除D,故选：A 6.【答案】D哺二次面数图像性质可知闲0以之上单调递指，在兮，+o)上单调递减，而函数（是 定义在R上的偶函数，∴x)在(0)止是减函数，故A不正确： 当x≥0时，f(x)=x-x2,f(x)>0白的解集为(0,1)，函数f(x)是定义在R上的偶函数，.f(x)>0的解 集为(-1,0)U(0,1),故B不正确； 由B透项的分析可知在(2之)上是减函数，f八字<f心-孕<f八，故c不正确 对于D,当x≥0时，f网=x-=-分”+子，的最大值为立故D正确：放选D 7.【答案】B喉题意f=1os写-g写=(ogme-2oe-1)=(ogsg-3ogs+2, 令logx,当x∈3V同时，te-1,月，不等式f(a)≥miogw#P-3t+2≥mt, 对于t∈-1，，mt≤e-t+2恒成立， 当t=0时，0≤2成立，m∈R; 第1页，共7页 当-1≤K0时，m≥t+号-3，函数y=1+子-3在[1,0)上单调递减，当1时. 6+呈-3别a=-6,因此m≥-6： 当0<时，+子-3，又因为+经3≥2得-8=2v反-8，当组仅当=万时取举号 因此m≤-3+2V2,所以m的取值范围是[-6，-3+2W②.故选：B. 8.【答案】C~f)=f6,6+是=名+，即5-5+上-=0,6-0-1)=0， 1 3 为为3 x无3 为<为，x6=1, fx)=8）,5+1=2%,名=车+，是 22x1 6-5+86-x）=%-西+是+2-) 1+2+1 2一名+1 1. -)=22 一为)+ 1 22x 1 =%-5>0,2 1 、222-)1=25 一 1 当且仅 2-)= 即写一要，等号成立，道石=号时，化g-动的说小值 2 2 为2√2，故选：C. 9.【答案】BC选项A:-7红终边与5匹相同，为第二象限角，所以A不正确： 6 π 选项B:设扇形的半径为，T/3=T,r=3,扇形面积为x3×元=3 所以B正确； 3 选项c:角a的终边过点P(3,4,根据三角函数定义，cos=一亏，所以C正确： 选项D:角a为锐角时，0<a< 乞，0<2a<π，所以D不正确. 故选BC 10.【答案】ABC对于A,令y=0,则x1=-1,x2=5,所以该函数的零点是-1和5，故错误； 对于B,因为，b部是正数，所以（日+品a+创=1+名+品+片名+品+异， a4b4a.464' 由基本不等式可知乌+品>2 22×忌=1，当且仅当名=品即a=分6=号时取等号， 4 2 一X a 4b a 4b 3 所以+a+=总+只+之1+2-3， a 4b' a4b41 王=五而+b=2，所以立+五≥， 故不等式子+名的混小食为层时a=争。-子，截错误 第2页，共7页 对于C,y= +3+2+F+2+22N+2 ==2, √x2+2√+2 √x2+2 :+2=【一，则x=事成立，所以上述不等式取不到等号，即y=>2,故c错 √x2+2 对于D,由x2<1可得-1<x<1,如果x∈(-1,1)，那么一定可以得到x∈(-3,2)，必要性满足 如果x∈(-3,2)，那么不一定能翻x∈(-1,1)，例如x=-2,充分性不满足，所以x2<1的一个必要不 充分条件是-3<x<2,故正确.选ABC 11.【答案】ABD对于A,设画f(x)是定义在D上的偶函数，对任意的x∈D,f(x)-f(-x)H=0, 所以，所有偶函数都具有性质P(导，A对； 对于B,对任意的xeR,f真H2红-29卡4x， x2+1(-x)2+1x2+' @p一—g3 1 1 西2州商 号成立，又因为f(0)-00故对任意的x∈R,()-F(-xH≤2，所以，f网=荐具有 质P(2),故B正确： 对于C,因为|f(x)-f(-x)H2x+1)-(2x2-x+1)户2引x,且函数y=2x的值域为[0，+o∞)， 所以，不存在实数k,使得f(x)-f(-x)!≤k,C错； o-rh品品0, ≤k,因为a>0,易知k>0,因 为e*>0,则e+1>1,则0< 名<2，所以.-1品11，即-129s1, 1+e1+e 所以， :1,使外政，则又因方0， 0<a≤k, 所以，若函数f=具有葡质，则a∈(0.k,D对.故适：ABD. 12.【答案】(0,1)因为fx)=(m-5)x4m为幂函数， 则m2+m-5✉1，解得m=-3或2. 当m=-3时，f(x)=x3,不是画函数，舍去， 当m=2时，f()=x；是偶函数 第3页，共7页 不等式x<√：，即x2<√E,作出y=x2和y=√天的图象，由图象可知，当x2<√：时，0<x<1, 故解集为(0,1)，故答案为(0,1). 13.【答案】3-9,39]设t=-2x2-8x+1=-2(红+2)2+9，-3x≤1，.当x=-2时，t有最大值是 9:当x=1时，t有最小值是9，六9≤t≤9，由函数y=宁扩在定义域上是减函数，一原函数的值域 是3-9,3故答案为：3°，31. 4【答案】①②当a2时f网可2一2<2，则方程为x)2 若x之2,2=√x-2+2→x=2,若x<2,22-2曰2=4→x=2,与前提矛盾，舍去， 所以当a=2时，方程f(x)=a有唯一解x=2,故①正确； 当a∈(0,1)时，若x22,a=√x-2+a→x=2,若x<2,∴aa-2引，易知y=a-2在(-∞，2)上 单调递减，则当x≤1oga2时，y=a-2>0,且y=a-2在(-∞，2)上单调递减， 当1og。2<x<2时，y=a-2<0,则f(x)=2-a<2-a2,此时 a-(2-a2)=a2+a-2=(a+2a-1)<0→a<2-a2, 作出函数f(x)与y=a的草图如右， 可知当a∈(0,1)时，方程f(x)=a有三个解，故②正确； 因为a>0且a≠1，可知y=√x-2+a>0恒成立， 若a∈(0,1)，由上可知y=a-2在(-∞，2)上单调递减，且x=1og.20og.2<0)时，y=a-2=0,此时 ya-2l≥0： 若a>1,易知y=a-2在(-∞，2)上单调递增，即y=a-2<a2-2, (i)当√2>a>1时，y=a-2<0,则|a-20, (ii)当a>√2时，在x=1og。2(1og2<2)时，y=a2-2=0,此时ya2-21>0; 则当√>a>1时，f(x)取不到最小值0，故③错误； 由上可知a∈(0,1)和(W2,+o)时，f(x)在(-∞，1og。2)上单调递减， 当√2>a>1时，f(x)在(-∞，2)上单调递减，故④错误.故答案为：①②. 第4页，共7页 15.解：(1)依题意，设f(x)=ax2+bx+1,a≠0，由f(x+1)=f()+2x+2,得 a(+1)2+b(x+1)+1=ac2+ba+1+2x+2, 整理得2ax+a+b=2x+2,于是{ 2a=2 a+b=2,解得a=1,b=1, 所以(x)的解析式为f(x)=x2+x+1. (2)由(1)知，当x>0时，g9)=)=x2+x+1, 由g(x)为定义在R上的奇函数，得g(0)=0, 当x<0时，-x>0，x)=-g(-)=-(-x)2+(-x)+1=-x2+x-1, -2+x-1,x<0 所以g(x)在R上的解析式为g(x)={O,x=0 x2+x+1,>0 16.解：(1)花坛的面积S=x6×二x32×=9（平方米). 21 32 32 (2)弧AB的长为r1O米，弧CD的长为r2日米，线段AD的长为(-)米. 由题意知60×2(G2-5)+90(8+2)=1200, 即4(2-)+3(8+2)=40(). 花坛的面积5=号0-0-吃040a- 2 由()式知，0+58=04 336 记3-1=x,则0<x<10, 所以s-智号a-分号eo10, 2、331 3 50 当x=5时，S取得最大值，即AD=5米时，花坛的面积最大，最大面积为 平方米 3 17.【答案】解：(1)因为a是第四象限角，所以sina<0, sina=-V1-co82a=-1/1-( 122 5 13 6 aina tana= cos o =1公12 13 (2)因为sina-3cosa=0,∴.tana=3, 7分 原式=sim2a+cos2a=tan2a+1_9+110 sin'a-2cos4 a=tan"a-2=g-2=7: …9分 (3) 11=cosa-sina …10分 sina cosa sinacosa (cosa-sina)=1-2sinacosa=1+6=16 得cosa-sina=士 …12分 1010 √10 <a<π，sina>0,cosa<0,则cosa-sina= 2w10 2 …14分 5 于是1-1=osa-ma4o …15分 sina cosa sinacosa 3 18.【答案】解：(1)函数f(x)=3+3的定义域为R,因为Vx∈R,都有-x∈R,且 (-)=3+3=3+3=f1(x),故f1(x)是偶函数.又x>x2>0, *…2分 i0-)(+{*+)6-)-(品)-6--) 因为为>x2>0,于是3>35>1，所以3两-3>0，又为+x2>0,于是3>1，因此 13>0,于是>. …4分 综上，f1(x)在(0，+∞)上单调递增，又f1(x)是偶函数，于是在(-∞，0]上单调递减. …6分 (2)存在x∈[0,2]，使得mfo(x)-f1(x)+3≤0成立，即m·32≤3+3-*-3，则 3驴+32-3=-33*+(32+1在x∈[0,2]上能成立， m 3 即m≤[-3.3+(8)2+1m 8分 设t=3,则m≤h()=2-3t+1 存上≤S1)的对称轴方程为直线t= 3 9 在te写，单调港减，故aa=h的-贺即m≤贺 55 55 10分 (3)油题意得：g()=f-(x)-(2x)-14=A(3-3)-(3-+32)-14, 12分 设t=3-3,又函数t=3-3在x∈[1，+∞)上单调递增，则t≥3一5= 18 …13分 若方程g(x)=0在x∈[1，+∞)有唯一实数解，即 第6页，共7页 8 g)=A(32-3)-(32+314=-+花-16=0在t∈写+o∞)有唯-实数解15分 即入=t+ 1有唯一实数解 16 8 .t+ 在t∈ 4)上连续且单减，在t∈[4，+∞)上连续且单调递增， …16分 又t=8时，入= 26 26 3 3t=4时，入=8，所以入的取值范围为(8U(写+∞). …17分 Q,【答案】解：)因为因=)(a>0且a≠，所以其定义域为R …2分 义-8)=B。)=1og。f因)，所以函数x)是偶函数 …4分 4+1 (2)当a=2时，f(=1o8:x, …5分 因为2*>0， >2,当仅z,即x0时取等 …7 分 所议f)=10g:,>≥log2=山，函数(x)的值域为1，+∞ 9分 :4,十>2，当且仅当x=0时取等，若0<a<1则ix)<0,不符合题意.a>110分 “xe吃m,令t=2,则te5r] 图数y=+片5,2刘]上单调送+，x+字， …12分 y=ge+的的值城为g普.g+之】 即f(x)曲=log。2 5，树g+宁， 14分 .Vx1,X2,x3, 以f(x1),f(x3),f(x3)为边总能围成三角形，·∴2f(x)m>f(x)x ……15分 即21og。2 1 也即2×(2)2-9×2”+2<0 …16分 9=质<r9 9+65 又n为正整数，n=1或2. …17分 4