专题06轴对称易错点祥解(易错点归纳+易错题型解析+巩固提高) 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题06轴对称易错点详解(易错点归纳+易错题型解析+巩固提高) 八年级的“轴对称”这一章，内容不难但细节很多。为了帮你避开常见的“坑”，现梳理了本章的主要易错点，并准备了下面的表格，让你能快速把握重点： 易错点类别 核心问题 易错表现 关键提醒 概念理解 轴对称 vs. 轴对称图形 混淆两个概念，认为“轴对称”即“轴对称图形” 。 轴对称指两个图形的位置关系；轴对称图形指一个图形自身的性质 。 对称轴认识 对称轴是直线，数量判断 误将线段、射线当作对称轴，或漏数对称轴条数（如正方形有4条） 。 对称轴是直线（如线段有2条对称轴：其垂直平分线及所在直线） 。 等腰三角形 边、角不明时未分类讨论 求边长或角度时，未考虑腰和底的不同情况导致漏解 。 遇到腰和底不确定时，务必分情况讨论，并用三边关系检验 。 坐标系中的轴对称 点关于坐标轴对称的坐标规律 点关于x轴、y轴对称时，坐标符号变化记混 。 口诀：关于x轴对称，横不变纵变号。关于Y轴纵不变横变号。 线段垂直平分线 性质、判定不清，概念不清 判断线段垂直平分线直线上一点到线段两端距离相等就认为直线是线段的垂直平分线，或经过线段中点就认为是线段垂直平分线。 性质是“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，而其判定恰恰相反。注意，要判定一条直线是线段的垂直平分线，需要满足两个条件：垂直和平分 最短路径问题 不能确定动点位置 不能在问题中识别模型 这类问题的核心是利用轴对称进行“化折为直”。关键步骤是找到定点关于动点所在直线的对称点，然后连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求点 1.概念理解不清 例1. 关于轴对称，以下是一些说法正确的的是________ ①图形成轴对称与轴对称图形是同一回事 ②如果两个图形的大小、形状完全一样，那么这两个图形一定关于某条直线对称 ③ 轴对称图形是指一个图形自身的特性，而成轴对称是指两个图形之间的关系 ④圆的对称轴是直径 ⑤正方形的对角线是它的对称轴 ⑥ 角的对称轴是这个角的平分线 典型错解： ①②③④⑤⑥! 错因分析： ①轴对称与轴对称图形的区别：如果把两个成轴对称的图形看作一对“双胞胎”，那么轴对称图形就是一个“独苗”自己就能对称 ②对称轴是直线，不是线段 正确解法 ①这是错误的。轴对称是“图形的关系”，而轴对称图形是“特殊图形 ②这是错误的。两个图形的大小、形状完全一样并不足以说明它们成轴对称，还需要考虑它们的位置关系23。 ③ 正确；轴对称图形是指一个图形自身的特性，而成轴对称是指两个图形之间的关系 ④⑤ ⑥错误对称轴是直线而不是线段， 射线 故正确的只有③ 针对练习1 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 2．（24-25八年级山西大同期末）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等； B．两个等边三角形一定全等； C．轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 D．直角三角形是轴对称图形 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国纹样万千世界，春节申遗成功后的首届春晚——2025年农历乙巳蛇年春晚，一个新纹样诞生，巳（sì）这里是甲骨文的（sì），进行重复旋转成以下几种纹样，寓意“巳巳如意，生生不息”．下面纹样中，不是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东·课后作业）在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 5．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 6．（25-26八年级上·吉林松原·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，作一个，使是轴对称图形； (2)在图②中，作一个，使与成轴对称； (3)在图③中，作一个，使． 2.等腰三角形中漏解 例2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 典型错解： （3）36°90° 错因分析 当题目只给出等腰三角形的两条边长而未指明哪条是腰时，必须分两种情况讨论 正确解法： 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 针对练习2 1．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（17-18八年级上·安徽阜阳·期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（   ） A． B．或 C．或 D．或或 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，点在边上运动，当为等腰三角形时，的度数是 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为 ． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． (3)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 3.坐标系中的轴对称特点混淆 例3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点关于轴的对称点为点，则的值为 ． 典型错解： a+b=7 错因分析： 关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变号 关于y轴对称：纵坐标(y)不变，横坐标(x)变号 正确解法： 【答案】-7 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点坐标为． 已知对称点为， ∴． ∴． 故答案为：． 针对练习3 1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知点与点关于直线成轴对称，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）已知点关于y轴的对称点为，则b的值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，平面直角坐标系中． 点A与点B关于y轴对称． (1)写出点B坐标 ； (2)在y轴上是否存在点 M，使成立？若存在，求符合条件的点M的坐标． 4 线段的垂直平分线性质判定的应用出错 例4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若的周长是，的长是，求的周长． (2)若，求证：A是的垂直平分线． 典型错解： （2）∵，DE⊥AB CE⊥AC， ∴DE=CE ∴E在CD的垂直平分线上，∴A是的垂直平分线 正确解法 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是16，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为； （2）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ，AD=AC ∴点E在线段的垂直平分线上．点A在线段的垂直平分线上 ∴A是的垂直平分线 针对练习4 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，垂直平分吗？请说明理由． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想垂直平分，为了说明猜想的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：在筝形中，____________；求证：____________； 证明： 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 5.最短路径问题 例5．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 典型错解 过A分别作m、n的垂线，垂足分别为B、C，连接BC，则AB+BC+AC就是最短路径 错因分析 这类问题的核心是利用轴对称进行“化折为直”。关键步骤是找到定点关于动点所在直线的对称点，然后连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求点 正确解法 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 针对练习5 1．（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 3．（2021·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 6.（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 1．如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 2．如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为 ． 3．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是 ． 4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 5．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 6．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系． 已知：在中，， (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段，和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等． 7．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． (1)当时，______； (2)当时，求证：； (3)在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 8．请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 9．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 易 错 题 型 解 析 易 错 题 型 归 纳 巩 固 提 高 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题06轴对称易错点详解(易错点归纳+易错题型解析+巩固提高)（解析版） 八年级的“轴对称”这一章，内容不难但细节很多。为了帮你避开常见的“坑”，现梳理了本章的主要易错点，并准备了下面的表格，让你能快速把握重点： 易错点类别 核心问题 易错表现 关键提醒 概念理解 轴对称 vs. 轴对称图形 混淆两个概念，认为“轴对称”即“轴对称图形” 。 轴对称指两个图形的位置关系；轴对称图形指一个图形自身的性质 。 对称轴认识 对称轴是直线，数量判断 误将线段、射线当作对称轴，或漏数对称轴条数（如正方形有4条） 。 对称轴是直线（如线段有2条对称轴：其垂直平分线及所在直线） 。 等腰三角形 边、角不明时未分类讨论 求边长或角度时，未考虑腰和底的不同情况导致漏解 。 遇到腰和底不确定时，务必分情况讨论，并用三边关系检验 。 坐标系中的轴对称 点关于坐标轴对称的坐标规律 点关于x轴、y轴对称时，坐标符号变化记混 。 口诀：关于x轴对称，横不变纵变号。关于Y轴纵不变横变号。 线段垂直平分线 性质、判定不清，概念不清 判断线段垂直平分线直线上一点到线段两端距离相等就认为直线是线段的垂直平分线，或经过线段中点就认为是线段垂直平分线。 性质是“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，而其判定恰恰相反。注意，要判定一条直线是线段的垂直平分线，需要满足两个条件：垂直和平分 最短路径问题 不能确定动点位置 不能在问题中识别模型 这类问题的核心是利用轴对称进行“化折为直”。关键步骤是找到定点关于动点所在直线的对称点，然后连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求点 1.概念理解不清 例1. 关于轴对称，以下是一些说法正确的的是________ ①图形成轴对称与轴对称图形是同一回事 ②如果两个图形的大小、形状完全一样，那么这两个图形一定关于某条直线对称 ③ 轴对称图形是指一个图形自身的特性，而成轴对称是指两个图形之间的关系 ④圆的对称轴是直径 ⑤正方形的对角线是它的对称轴 ⑥ 角的对称轴是这个角的平分线 典型错解： ①②③④⑤⑥! 错因分析： ①轴对称与轴对称图形的区别：如果把两个成轴对称的图形看作一对“双胞胎”，那么轴对称图形就是一个“独苗”自己就能对称 ②对称轴是直线，不是线段 正确解法 ①这是错误的。轴对称是“图形的关系”，而轴对称图形是“特殊图形 ②这是错误的。两个图形的大小、形状完全一样并不足以说明它们成轴对称，还需要考虑它们的位置关系23。 ③ 正确；轴对称图形是指一个图形自身的特性，而成轴对称是指两个图形之间的关系 ④⑤ ⑥错误对称轴是直线而不是线段， 射线 故正确的只有③ 针对练习1 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和对称轴的定义，根据轴对称的性质及对称轴的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，该选项说法错误，不符合题意； 、等腰三角形是以底边上的中线所在的直线为对称轴的轴对称图形，该选项说法错误，不符合题意； 、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，选项说法正确，符合题意； 、一条线段是以经过该线段中点并且垂直于这条线段的直线为对称轴的轴对称图形，该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级山西大同期末）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等； B．两个等边三角形一定全等； C．轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 D．直角三角形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，等边三角形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据全等三角形的判定，等边三角形的性质，轴对称图形的概念，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．周长相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； B．两个等边三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； C．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，正确，该选项符合题意； D．直角三角形不一定是轴对称图形，原说法错误，该选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国纹样万千世界，春节申遗成功后的首届春晚——2025年农历乙巳蛇年春晚，一个新纹样诞生，巳（sì）这里是甲骨文的（sì），进行重复旋转成以下几种纹样，寓意“巳巳如意，生生不息”．下面纹样中，不是轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； B、图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； C、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； D、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东·课后作业）在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．利用轴对称的性质进行判断，全等三角形不一定轴对称，但轴对称的三角形一定全等；对应点可能在对称轴上；对称轴通常唯一． 【详解】解： A、 全等三角形不一定关于某直线对称，例如通过平移得到的全等三角形，故该选项不符合题意； B、 如果两个三角形关于某直线轴对称，则它们全等，这是轴对称的基本性质，故该选项符合题意； C、 成轴对称的两个图形的对应点不一定在对称轴的两侧，有些点（如对称轴上的点）对应自身，故该选项不符合题意； D、 成轴对称的两个三角形对于给定的对称关系只有一条对称轴，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的相关概念． 根据轴对称的相关概念逐一判断即可． 【详解】解：A．关于某直线成轴对称的两个图形全等，原说法正确； B． 面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误； C． 两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，原说法正确； D． 成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合，原说法正确； 故选：B 6．（25-26八年级上·吉林松原·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，作一个，使是轴对称图形； (2)在图②中，作一个，使与成轴对称； (3)在图③中，作一个，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，利用相关性质正确画出图形是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质即可求解； （2）根据轴对称图形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求． 2.等腰三角形中漏解 例2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 典型错解： （3）36°90° 错因分析 当题目只给出等腰三角形的两条边长而未指明哪条是腰时，必须分两种情况讨论 正确解法： 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 针对练习2 1．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． 由于等腰三角形的一个内角为，但未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：若是顶角，则顶角为；若是底角，再由三角形内角和定理求解顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴ 分两种情况： ① 若为顶角，则顶角度数为； ② 若为底角，则另一个底角也为， ∴ 顶角度数为：， ∴ 顶角为或， 故选：A． 2．（17-18八年级上·安徽阜阳·期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，分是钝角三角形和是锐角三角形两种情况，根据一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：设在等腰中，， 如图所示，当是钝角三角形时， 当时，如图所示，取中点E，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，同理可得， ∴； 如图所示，当为锐角三角形时， 当时，同理可得； 当时，同理可得，此时，，不符合题意； 综上所述，该等腰三角形的顶角的度数为或或， 故选：D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，点在边上运动，当为等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．先根据三角形内角和定理，得出，点在边上运动，当为等腰三角形时，需分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别计算的度数即可． 【详解】解：在中，，， ， ①当时，， ； ②当时，， ， ； ③当时，， ，不符合点P在边上的位置关系； 综上可知，的度数为或． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ∵， ∴， ∴ 当是钝角三角形时，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． (3)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析； (3)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． （1）证明，，从而得出结论； （2）是腰时，，；是底时，，，可画出图形； （3）分为，及三种情形，画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； （2）解：如图当是腰时，， ∴，， ∴， ∴， ∴此时都是等腰三角形； 如图，当是底时，，， ∴，， ∴， ∴此时都是等腰三角形； （3）解：如图2， 当，时，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴当时，是等边三角形，即此时； 如图3， 当，时，则， ∴； 如图4， 当，时，则， ∴； 综上所述：的度数为或或． 3.坐标系中的轴对称特点混淆 例3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点关于轴的对称点为点，则的值为 ． 典型错解： a+b=7 错因分析： 关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变号 关于y轴对称：纵坐标(y)不变，横坐标(x)变号 正确解法： 【答案】-7 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点坐标为． 已知对称点为， ∴． ∴． 故答案为：． 针对练习3 1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握轴对称的性质． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解，最后代数求值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，且， 解得， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知点与点关于直线成轴对称，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了轴对称的点的坐标的性质，根据已知得出两点坐标是解题关键．根据关于直线对称，则纵坐标相等，横坐标关于直线对称，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于直线成轴对称， 点与点纵坐标相等，横坐标到直线的距离相等， 点的坐标是． 故选：． 3．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）已知点关于y轴的对称点为，则b的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接计算即可． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，平面直角坐标系中． 点A与点B关于y轴对称． (1)写出点B坐标 ； (2)在y轴上是否存在点 M，使成立？若存在，求符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查三角形的面积、坐标与图形的性质、轴对称的性质等知识点，根据三角形的面积相等、构建方程是解答本题的关键． （1）根据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可解答； （2）先根据A、B的坐标求得，再结合点C的坐标可求得的面积为，进而得到；设M的坐标为，则，再根据三角形的面积公式列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A与点B关于y轴对称，， ∴． 故答案为：． （2）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴， 设M的坐标为，则， ∵， ∴，解得：或6． ∴M的坐标为或． 4 线段的垂直平分线性质判定的应用出错 例4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若的周长是，的长是，求的周长． (2)若，求证：A是的垂直平分线． 典型错解： （2）∵，DE⊥AB CE⊥AC， ∴DE=CE ∴E在CD的垂直平分线上，∴A是的垂直平分线 正确解法 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是16，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为； （2）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ，AD=AC ∴点E在线段的垂直平分线上．点A在线段的垂直平分线上 ∴A是的垂直平分线 针对练习4 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，垂直平分吗？请说明理由． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质；先利用角平分线的性质证明，及，再利用全等三角形的性质得到，即可得到垂直平分 【详解】解：垂直平分，理由如下 是的角平分线，且，分别是和的高 ， 在和中 ， ， 又， 垂直平分． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想垂直平分，为了说明猜想的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：在筝形中，____________；求证：____________； 证明： 【答案】，；垂直平分；证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，由，得出A、C两点均在的垂直平分线上，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：已知：在筝形中，，；求证：垂直平分； 证明：∵，， ∴A、C两点均在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 5.最短路径问题 例5．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 典型错解 过A分别作m、n的垂线，垂足分别为B、C，连接BC，则AB+BC+AC就是最短路径 错因分析 这类问题的核心是利用轴对称进行“化折为直”。关键步骤是找到定点关于动点所在直线的对称点，然后连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求点 正确解法 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 针对练习5 1．（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 3．（2021·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6.（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 1．如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线判定，三角形中线性质，垂线段最短，当时，最小，由，，得垂直平分，则有，从而求得的面积为，所以，得，最后利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，最小， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是 ． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； （2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． （）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′（SSS）. （）解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键. 5．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系． 已知：在中，， (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段，和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，则由，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：∵， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 7．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． (1)当时，______； (2)当时，求证：； (3)在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在是等腰三角形，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）首先得到，然后证明出，，利用即可得证； （3）首先表示出，，然后分三种情况讨论，分别求出的大小即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由（2）得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴①当时， ∴ ∴ ∴； ②当时， ∴ ∴ ∴，不符合题意，应舍去； ③当时， ∴ ∴ ∴， 综合所述，存在是等腰三角形，或． 8．请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）4 【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形三边关系等相关知识，等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用三角形三边关系及轴对称性质证明反射路径最短即可． （2）通过作对称点确定反射光线在挡板上的最高和最低位置； （3）过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D，通过轴对称的性质得出，过点P作于F， 进而可得出，由光入射角等于反射角的规律可得出进一步得出是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）． ，， ． 故答案为∶三角形两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）如图所示，作A关于的对称点，连接并延长交于点Q，连接并延长交为P，则点P和点Q即为所求； （3）如图，过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D， ∴， 则 过点P作于F， ∵， ∴， ∴， ∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点， ∴，     又∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为∶4． 9．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 易 错 题 型 解 析 巩 固 提 高 易 错 题 型 归 纳 学科网（北京）股份有限公司 $