专题04 全等三角形易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题04全等三角形易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高） 全等三角形是八年级几何的基石，也是考试中容易丢分的地方。为了帮你精准避坑，特梳理了常见的易错点，并附上了典型例题分析，希望能让你的学习之路更顺畅。 下面从全等三角形易错与角平分线两部分分析整理主要易错点类型和核心问题。 全等三角形易错点 易错点类型 核心问题 易错后果 对应关系理解不清 未能准确识别全等三角形中顶点、边、角的严格对应关系。 用错判定定理，导致全等判断错误或漏解 。 判定定理误用 混淆判定定理（如误用“SSA”、“AAA”），或错误套用等式性质。 论证过程无效，结论错误 。 条件使用不当 将图形直观印象当作已知条件，或错误处理局部与整体的关系。 引入无效条件，推理偏离正确方向 。 动态问题考虑不周 在动点问题中，忽略点位置变化导致的多种情况。 答案不完整，漏解 。 角平分线易错点 易错点类型 核心问题 易错后果 性质与判定混淆 未能区分“点在平分线上”与“点到角两边距离相等”的因果关系。 推理方向错误，条件使用不当 。 判定条件应用错误 忽略“到角两边距离相等”的前提是“点在角的内部”。 错误判定一个点在角平分线上 。 辅助线添加不当 遇到角平分线时，无法正确构造全等三角形（如添加垂线段）。 思路中断，无法有效解题 。 忽略分类讨论 在涉及三角形内外角平分线的问题中，未考虑点位置的不同情况。 答案不完整，漏解 。 1. 对应关系理解不清 例1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 典型错解 与全等，当作△COE≌△AOB，∴CO=AO=3， ∴BC=4-3=1； 避坑指南： 在审题时，要主动标记对应顶点。如果题目表述模糊，必须有分类讨论的意识。记住，“全等”一词本身可能包含多种对应情况，而用符号“≌”表示时，对应关系是确定的 正确解法： 【答案】或/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】∵， ∴，， ①如图，此时， ∴， ∴； ②如图，此时， ∴， ∴； 故答案为：或． 针对练习1 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（   ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等． A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·云南玉溪·期中）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）小飞用铁丝围了两个全等的三角形，其中一个三角形的三边长分别为5，7，8，另一个三角形的三边长分别为5，，，且，均为正整数，则 ． 5．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为 ． 2. 判定定理误用 例2．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，已知是的中点，平分，求证：．小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再证明即可（如图2）．下列作辅助线的方法中，可以证明“”的有______个 ①．过点作交于点 ②．在上取一点，使，连接 ③．在上取一点，使，连接 ④．在上取一点，使 典型错解 选项A：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项B：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项C：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项D：证明（SSA），得出结论． 所以答案为4 错因分析： “SSA”不能判定三角形全等，因为存在两种可能情况 正确解法： 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 选项A：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项B：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项C：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项D：由已知条件无法证明，故不能证明结论． 【详解】解：A．如图，过作，垂足为点， 可得， 则， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； B．如图， 在上取一点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； C． 如图，在上取一点，使，连接 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； D． 如图，在上取一点，使， ，，， 不能证明， 这种辅助线的添加方式不能证明结论． 故选：D． 针对练习2 1．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，点B在上，且，只需添加 条件，即可利用来判定． 2．（25-26八年级上·山东·期中）如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以为 （写出一个即可）． 3．（25-26八年级上·北京通州·期中）如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． (1)如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 3. 条件使用不当 例3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，为的延长线上的点，用直尺和圆规依次完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解答问题． (1)以为边在的右侧作； (2)在上取点，使，再在的上方作，使，和交于点； (3)请判断和之间的数量关系，并说明理由． 典型错解： （1）解：所作如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 错因分析： 凭想当然得出，典型的“看图说话” 正确解法： 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查角的尺规作图及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）已点A为圆心，适当长为半径画弧，再以点C为圆心，以点A为圆心时的半径画弧，然后问题可求解； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于点F，同理（1）的作法可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 针对练习3 1．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（   ） A． B． C．3 D．2 2（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分； (2)； (3)若，，求． 4. 动态问题考虑不全 例4．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时， s． 典型错解： 解：∵，， ∴， ∵， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 错因分析： 动点D在射线BM上运动，由于D在不同线段上运动时，对应关系可能不同，容易漏解 正确解法： 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 针对练习4 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等． 3．（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 5. 角平分线性质判定混淆 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的外角和的平分线交于点，那么点是否在的平分线上？请证明你的结论． 典型错解： 解：点是在的平分线，证明如下： 如图，过点作于点，作于点，作于点， ， 又，， 点在的平分线． 错因分析： 不清楚何时使用性质定理，何时使用判定定理 正确解法： 【答案】点在的平分线，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，，推出，即可判定． 【详解】解：点是在的平分线，证明如下： 如图，过点作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ， 又，， 点在的平分线． 针对练习5 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，已知是的角平分线，，，，则的周长为 ． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 6判定条件应用错误 例6．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 典型错解： 【详解】（1）证明：∵为的平分线 ∴； 错因分析： 应用判定定理时，必须同时满足两个条件：“点在角的内部”和“点到角两边的距离相等”。距离是指点到直线的垂线段的长度 正确解法： 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 7.辅助线添加不当 例7．（25-26八年级上·广东江门·期中）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形，并完成推理过程． 已知：平分，于E点，于D点，求证：． (1)定理证明：结合图1及已知和求证，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 典型错解： （2）在AD上截取AD=AB，AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，则△ABE≌△ADE，∴BE=DE，∠B=∠ADE，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，而∠B=∠C，所以∠C=∠CDE，∴DE=CE，∴BE=CE 错因分析： 遇到角平分线问题时，常见的辅助线是“过角平分线上的点向角的两边作垂线段”。但何时作、如何作，容易出错 正确解法： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）证明，从而得到； （2）过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明，从而得到． 【详解】（1）解： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 针对练习7 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，和的角平分线相交于点，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为，下列结论：；；平分；．其中正确的是 ．（填序号） 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 4．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 8.忽略分类讨论 例8．（24-25九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 典型错解 1处 错因分析： 求解与三角形外角平分线相关的问题时，可能只找到一种情况 正确解法： 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 针对练习8 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 2．（22-23八年级上·江苏南京·月考）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．（19-20八年级上·山西临汾·期末）如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 一、单选题 1．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 2．如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 3．如图，点C在线段BD上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿AC向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动：过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N、设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 s． 4．如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 5．如图，在中，，的角平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则 ． 三、解答题 6．如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 7．如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，求证：； (2)如图②，点、在射线、上滑动，且，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 8．已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 易 错 题 型 解 析 巩 固 提 高 易 错 题 型 归 纳 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题04全等三角形易错点详解(易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）解析版 全等三角形是八年级几何的基石，也是考试中容易丢分的地方。为了帮你精准避坑，特梳理了常见的易错点，并附上了典型例题分析，希望能让你的学习之路更顺畅。 下面从全等三角形易错与角平分线两部分分析整理主要易错点类型和核心问题。 全等三角形易错点 易错点类型 核心问题 易错后果 对应关系理解不清 未能准确识别全等三角形中顶点、边、角的严格对应关系。 用错判定定理，导致全等判断错误或漏解 。 判定定理误用 混淆判定定理（如误用“SSA”、“AAA”），或错误套用等式性质。 论证过程无效，结论错误 。 条件使用不当 将图形直观印象当作已知条件，或错误处理局部与整体的关系。 引入无效条件，推理偏离正确方向 。 动态问题考虑不周 在动点问题中，忽略点位置变化导致的多种情况。 答案不完整，漏解 。 角平分线易错点 易错点类型 核心问题 易错后果 性质与判定混淆 未能区分“点在平分线上”与“点到角两边距离相等”的因果关系。 推理方向错误，条件使用不当 。 判定条件应用错误 忽略“到角两边距离相等”的前提是“点在角的内部”。 错误判定一个点在角平分线上 。 辅助线添加不当 遇到角平分线时，无法正确构造全等三角形（如添加垂线段）。 思路中断，无法有效解题 。 忽略分类讨论 在涉及三角形内外角平分线的问题中，未考虑点位置的不同情况。 答案不完整，漏解 。 1. 对应关系理解不清 例1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 典型错解 与全等，当作△COE≌△AOB，∴CO=AO=3， ∴BC=4-3=1； 避坑指南： 在审题时，要主动标记对应顶点。如果题目表述模糊，必须有分类讨论的意识。记住，“全等”一词本身可能包含多种对应情况，而用符号“≌”表示时，对应关系是确定的 正确解法： 【答案】或/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】∵， ∴，， ①如图，此时， ∴， ∴； ②如图，此时， ∴， ∴； 故答案为：或． 针对练习1 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（   ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用．设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则，， 解得：， ； ②，， 则，， 解得：，， 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南玉溪·期中）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定与性质、角的和差等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，；再根据角的和差可得；再证明，然后利用平行线的性质以及等量代换可得、、，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有4个． 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）小飞用铁丝围了两个全等的三角形，其中一个三角形的三边长分别为5，7，8，另一个三角形的三边长分别为5，，，且，均为正整数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 根据全等三角形的性质，分类讨论即可列出方程，解方程即可． 【详解】设第二个三角形的边长为5、、，由于与边长为5、7、8的三角形全等， ∴或 若，则，不是正整数，不符合条件； 若，则，同时，则，均为正整数． 故． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 2. 判定定理误用 例2．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，已知是的中点，平分，求证：．小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再证明即可（如图2）．下列作辅助线的方法中，可以证明“”的有______个 ①．过点作交于点 ②．在上取一点，使，连接 ③．在上取一点，使，连接 ④．在上取一点，使 典型错解 选项A：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项B：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项C：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项D：证明（SSA），得出结论． 所以答案为4 错因分析： “SSA”不能判定三角形全等，因为存在两种可能情况 正确解法： 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 选项A：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项B：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项C：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项D：由已知条件无法证明，故不能证明结论． 【详解】解：A．如图，过作，垂足为点， 可得， 则， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； B．如图， 在上取一点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； C． 如图，在上取一点，使，连接 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； D． 如图，在上取一点，使， ，，， 不能证明， 这种辅助线的添加方式不能证明结论． 故选：D． 针对练习2 1．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，点B在上，且，只需添加 条件，即可利用来判定． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握证明三角形全等，是解题的关键．根据与的夹角为，与的夹角为，即可得出答案． 【详解】解：由图和已知，得：，， ∴当时，； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东·期中）如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以为 （写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记三角形的判定定理是解决问题的关键． 根据题意，可知，，添加，由即可证明；添加，由即可证明；添加，由即可证明；从而得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， 添加时， 在和中， ， ； 添加时， 在和中， ， ； 添加时， 在和中， ， ； 故答案为：或或（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·北京通州·期中）如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． (1)如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，图形与证明见解析 (2)，图形与证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识； （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）先证，得，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1），理由如下：如图1所示：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2）与的数量关系：，证明如下： 如图2， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，难点在于作辅助线构造出全等三角形，求一条边等于另两边之和，通常利用“截长补短”法求解． 延长到G，使，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于360°，求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证. 【详解】解：如图，延长到G，使，连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 由图可知，， ∴． 3. 条件使用不当 例3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，为的延长线上的点，用直尺和圆规依次完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解答问题． (1)以为边在的右侧作； (2)在上取点，使，再在的上方作，使，和交于点； (3)请判断和之间的数量关系，并说明理由． 典型错解： （1）解：所作如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 错因分析： 凭想当然得出，典型的“看图说话” 正确解法： 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查角的尺规作图及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）已点A为圆心，适当长为半径画弧，再以点C为圆心，以点A为圆心时的半径画弧，然后问题可求解； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于点F，同理（1）的作法可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 针对练习3 1．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，，．，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；根据已知条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 2（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、外角性质等知识，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两个三角形全等的判定定理判定，再由全等三角形性质即可得证； （2）由两个三角形全等的性质得到，再由外角性质得到，从而确定答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， 是的一个外角， ， 则． 3．（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分； (2)； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作于，根据角平分线性质得；根据中点得进而得，再根据角平分线的判定得 平分； （2）根据“”证明和得和，根据，即可得证； （3）根据和得和，代入已知 ,即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：由（1）得， 在和中， ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ （3）由（2）可得，， ∴，， ∴． 4. 动态问题考虑不全 例4．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时， s． 典型错解： 解：∵，， ∴， ∵， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 错因分析： 动点D在射线BM上运动，由于D在不同线段上运动时，对应关系可能不同，容易漏解 正确解法： 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 针对练习4 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 分两种情况讨论， ①当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 5. 角平分线性质判定混淆 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的外角和的平分线交于点，那么点是否在的平分线上？请证明你的结论． 典型错解： 解：点是在的平分线，证明如下： 如图，过点作于点，作于点，作于点， ， 又，， 点在的平分线． 错因分析： 不清楚何时使用性质定理，何时使用判定定理 正确解法： 【答案】点在的平分线，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，，推出，即可判定． 【详解】解：点是在的平分线，证明如下： 如图，过点作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ， 又，， 点在的平分线． 针对练习5 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，已知是的角平分线，，，，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据和面积的两种计算方法可得出，即可求出，再计算周长即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 过点作于点， 是的角平分线， ， ， ， 即：， ， 的周长为：； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明得出，根据线段关系，即可求解． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，根据角平分线的性质得到，则，再根据角平分线的判定进行证明即可． 【详解】解：过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵于点，于点 ∴平分． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，结合图形熟练掌握是解题关键． （1）根据，平分，，得出，证明； （2）根据全等三角形的性质得出，证明得，即可得，从而求出． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6判定条件应用错误 例6．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 典型错解： 【详解】（1）证明：∵为的平分线 ∴； 错因分析： 应用判定定理时，必须同时满足两个条件：“点在角的内部”和“点到角两边的距离相等”。距离是指点到直线的垂线段的长度 正确解法： 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 7.辅助线添加不当 例7．（25-26八年级上·广东江门·期中）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形，并完成推理过程． 已知：平分，于E点，于D点，求证：． (1)定理证明：结合图1及已知和求证，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 典型错解： （2）在AD上截取AD=AB，AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，则△ABE≌△ADE，∴BE=DE，∠B=∠ADE，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，而∠B=∠C，所以∠C=∠CDE，∴DE=CE，∴BE=CE 错因分析： 遇到角平分线问题时，常见的辅助线是“过角平分线上的点向角的两边作垂线段”。但何时作、如何作，容易出错 正确解法： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）证明，从而得到； （2）过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明，从而得到． 【详解】（1）解： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 针对练习7 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，和的角平分线相交于点，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为，下列结论：；；平分；．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了角平分线判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，通过角平分线定义和三角形内角和定理可判断；证明可判断；过作于点，作于点，作于点，通过三角形角平分线判定与性质可判断；设，通过三角形面积可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 如图，过作于点，作于点，作于点， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴在平分线上， ∴平分，故正确； 设， 由， 设，， ∴， ∴， ∴， 由上得， ∴的面积为， ∴，故错误； 综上可得：正确， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 【答案】（1）（）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查角平分线性质，全等三角形的判定与定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由角平分线性质定理得，根据三角形面积可得结论； （2）分别过点作轴于点，轴于点，根据证明可得，进而可求出的值； （3）分别过点作轴于点，轴于点， 根据角平分线性质定理得，由（2）得可得，即可求出． 【详解】解：∵平分交于点，过点分别作， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分别过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵点， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 （3）分别过点作轴于点，轴于点，如图， ∵， 由（1）可知，∴， ∴， 由（2）可知， ∴，     ∴． 4．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关判定定理的内容推出全等三角形即可； （1）证得，即可； （2）过点作轴于点，证即可； （3）过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，证推出，再证推出；在轴上取点，使，证即可求解； 【详解】（1）证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 8.忽略分类讨论 例8．（24-25九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 典型错解 1处 错因分析： 求解与三角形外角平分线相关的问题时，可能只找到一种情况 正确解法： 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 针对练习8 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 【答案】（1）图见解析，点O在的角平分线上；三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等；（2）图见解析，点O在的角平分线上；点O到三角形三条边的距离相等；（3）图见解析，4个 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答的关键． （1）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上； （2）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上； （3）分别画出三角形内角的平分线，再画出三角形外角的平分线，角平分线的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图①，点O在的角平分线上，说明如下： 过O作，，， ∵O在的平分线上， ∴， ∵O在的平分线上， ∴， ∴， ∴O也在的平分线上； 新发现：三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等； （2）如图②，点O在的角平分线上． 过O作，，， ∵O在的平分线上， ∴， ∵O在的平分线上， ∴， ∴， ∴O也在的平分线上； 新发现：点O到三角形三条边的距离相等； （3）如图③，符合条件的点有4个：点G，H，I，J． 2．（22-23八年级上·江苏南京·月考）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得． 【详解】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点． 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键． 3．（19-20八年级上·山西临汾·期末）如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识， （1）根据角平分线的性质判断即可； （2）作三角形两个内角平分线的交点或两个外角平分线的交点都得到图形． 【详解】（1）解：如图： ∵外角平分线的交点有3处，内角平分线的交点有1处， ∴满足条件的点有4处， 故答案为：4； （2）解：如图，点即为所求， 一、单选题 1．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 2．如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点E作于F，先证明得到，，进而证明得到，再根据线段之间的关系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点E作于F， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故选：B 二、填空题 3．如图，点C在线段BD上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿AC向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动：过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N、设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 s． 【答案】1或3 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故答案为：1或3． 4．如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．根据题意可证，可得，，再根据，由此即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，的角平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，根据点为的中点，求出，过作于，于，将转化为三角形的面积的比，即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 即， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 7．如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，求证：； (2)如图②，点、在射线、上滑动，且，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点点P作于E，于F，根据垂直的定义得到，由角平分线的性质可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； 在中， ∴ ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点P作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解； （3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及 可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，过点作于点，作， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴，且， ∴， ， ∴， ， ， ∵与面积之和为5， ， ， ， 设，则， ， ， 如图，作交于， ∵是角平分线， ，， ， 平分， ， ， （）， ， ， ，， （）， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等，能根据题意添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 易 错 题 型 解 析 巩 固 提 高 易 错 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