专题02 三角形易错点祥解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题02 三角形易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高） 八年级数学的“三角形”这一章，掌握好几个基本概念非常重要，它们也是后续几何学习的基础。为了帮助你更清晰地把握这些容易出错的地方，现整理了下面这份易错点清单。 易错点 核心混淆点与典型错因 避坑指南与正解分析 三边关系应用不当 忽略“任意两边之和大于第三边”中的“任意”二字；求等腰三角形周长时未验证三边关系导致漏解。 判断三条线段能否组成三角形，必须验证最短两边的和大于最长边。求等腰三角形周长时，务必分情况讨论谁是腰谁是底，并逐一验证三边关系，舍去不成立的情况。 高、中线、角平分线概念混淆 钝角三角形的高有两条在三角形外部，作图时容易画错位置 ；混淆中线（连接顶点与对边中点的线段）和角平分线​（平分内角的线段）的定义与性质。 三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段，作高时延长线是常用工具 。中线将三角形面积等分 ；角平分线将内角平分。 角度计算与关系应用错误 三角形折叠（翻折）问题中，找错对应角、对应边关系；忽略多解情况。利用内角和定理、外角性质求角度时推理不严谨。 折叠问题的核心是折叠前后图形全等（对应角相等、对应边相等） 。当条件不唯一时（如构成直角三角形），必须分类讨论。牢记内角和为180°，外角和为360°，外角等于不相邻两内角之和。 等腰三角形问题考虑不周 求等腰三角形周长或角度时，​忽略分类讨论（如腰和底不明、顶角和底角不明） 。 若题设未明确腰、底或顶角、底角，必须分情况讨论 。求角度时，需考虑给定角可能是顶角或底角；求边 1.三边关系应用不当 例1：（24-25八年级·广东深圳）已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 典型错解： 解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 故共有36个，选择B 错因分析： 忽略” 不同形状”的三角形。当三边相同时三角形形状相同，所以 三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次，条件满足的三角形只有30个 正确解法： 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用， 根据已知条件，先得出的可能值是，再结合三角形的三边关系，对应求得的值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； ∵三角形边长相同，形状也就相同， 上述三角形中三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次， ∴满足条件的三角形一共有个， 故选：． 针对练习1 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，， 分别为 的三边，且满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有 个 3．（24-25八年级上·广东惠州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山东济宁·期末）若等腰三角形两边长分别为 m，n，且 m，n 满足 2+3＝n﹣6，求此等腰三角形的周长和面积． 5．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）若的三边a，b，c满足，且，求的取值范围． 2.三角形的高的画法 例2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）在下列图形中，正确画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 典型错解 错解C 错因分析 三角形高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，不是与边垂直的线段。 正确解法： 【答案】A 【分析】本题考查了画三角形的高，掌握三角形高的定义是解决本题的关键． 根据三角形高的定义：三角形高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段（锐角三角形的高位于内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高位于外部），即可判断求解． 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有A选项中的是边上的高， 故选：A． 针对练习2 一、单选题 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京·期末）下列各图中，作出 边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，中，为钝角． (1)画出的高线； (2)P为边上一点，且P点到直线的距离为线段的长度，请画出P点； 3.三角形的中线、角平分线概念混淆 例3．（24-25八年级上·山东德州·期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 典型错解： 错解：A 错因分析 三角形的高、中线、角平分线的定义混淆 正确解法 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 针对练习3 一、单选题 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 2．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于 ． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则 ． 4.三角形的折叠中的错误 例4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 典型错解： 错解27° 错因分析 只考虑了DF||BC的一种情形，忽略了DF与AC平行，DF与BC平行的另一种情形。 正确解法： 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 针对练习4 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 3．（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 5.角度计算与关系应用错误 例5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则 （用含的式子表示）． 典型错解： 错解90°- 错因分析 折叠对应关系出错，误认为∠B=∠BDA/ 正确解法 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 针对练习5 1.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    4．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，则_____，_____； (2)若，求，的度数（用含的代数式表示）． 5.等腰三角形相关问题 例5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 典型错解： 得到的两部分图形的周长差为2，所以四边形的周长的周长，即，整理得，， ， 解得；即AE=3 错因分析: 忽略分类讨论出错，两部分的差等于2有两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长 正确解法 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． 针对练习5 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形周长为15，其中一边长为3，则另外两边长为（　　） A．6，6 B．3，9 C．6，6或3，9 D．无法确定 3．（17-18八年级·河南新乡·月考）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 二、填空题 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 。 一、单选题 1．等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列四个图形中，是的高的是（   ） A． B． C． D． 4．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 6．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 7．已知、分别是的高和中线，若，则等于 ． 8．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 9．如图，有一张三角形纸片，，，是边上的定点，过点将纸片的一角折叠，使点落在下方处，折痕与交于点，当与的一边平行时， 度． 10．如图，等腰中，为腰的中线，将分成长和的两段，则等腰的底边长 三、解答题 11．课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 12．已知在中，、、的对边分别为． (1)化简代数式：　　　　　． (2)若，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，求腰长． 易 错 题 型 解 析 易 错 题 型 归 纳 巩 固 提 高 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题02 三角形易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）（解析版） 八年级数学的“三角形”这一章，掌握好几个基本概念非常重要，它们也是后续几何学习的基础。为了帮助你更清晰地把握这些容易出错的地方，现整理了下面这份易错点清单。 易错点 核心混淆点与典型错因 避坑指南与正解分析 三边关系应用不当 忽略“任意两边之和大于第三边”中的“任意”二字；求等腰三角形周长时未验证三边关系导致漏解。 判断三条线段能否组成三角形，必须验证最短两边的和大于最长边。求等腰三角形周长时，务必分情况讨论谁是腰谁是底，并逐一验证三边关系，舍去不成立的情况。 高、中线、角平分线概念混淆 钝角三角形的高有两条在三角形外部，作图时容易画错位置 ；混淆中线（连接顶点与对边中点的线段）和角平分线​（平分内角的线段）的定义与性质。 三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段，作高时延长线是常用工具 。中线将三角形面积等分 ；角平分线将内角平分。 角度计算与关系应用错误 三角形折叠（翻折）问题中，找错对应角、对应边关系；忽略多解情况。利用内角和定理、外角性质求角度时推理不严谨。 折叠问题的核心是折叠前后图形全等（对应角相等、对应边相等） 。当条件不唯一时（如构成直角三角形），必须分类讨论。牢记内角和为180°，外角和为360°，外角等于不相邻两内角之和。 等腰三角形问题考虑不周 求等腰三角形周长或角度时，​忽略分类讨论（如腰和底不明、顶角和底角不明） 。 若题设未明确腰、底或顶角、底角，必须分情况讨论 。求角度时，需考虑给定角可能是顶角或底角；求边 1.三边关系应用不当 例1：（24-25八年级·广东深圳）已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 典型错解： 解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 故共有36个，选择B 错因分析： 忽略” 不同形状”的三角形。当三边相同时三角形形状相同，所以 三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次，条件满足的三角形只有30个 正确解法： 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用， 根据已知条件，先得出的可能值是，再结合三角形的三边关系，对应求得的值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； ∵三角形边长相同，形状也就相同， 上述三角形中三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次， ∴满足条件的三角形一共有个， 故选：． 针对练习1 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，， 分别为 的三边，且满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，利用两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】解：，， 分别为 的三边， ， ，， ， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 解得：， ． 故先： A． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有 个 【答案】5 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，则，再分，，和四种情况，求出对应情况下a的值，进而求出对应的周长即可得到答案． 【详解】解：∵a、b、c是一个三角形的三边长，， ∴， 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7或8， ∴此时该三角形的周长为或或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7， ∴此时该三角形的周长为或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值为6， ∴此时该三角形的周长为； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴此时不符合题意； 综上所述，该三角形的周长可以为13或14或15或16或17，共有5个不同的值， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·广东惠州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为8，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当腰长为3时，不能构成三角形，不符合题意； ②当腰长为8时，，符合题意，此时周长为； 故答案为：19． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山东济宁·期末）若等腰三角形两边长分别为 m，n，且 m，n 满足 2+3＝n﹣6，求此等腰三角形的周长和面积． 【答案】14和． 【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长和面积． 【详解】∵2+3＝n﹣6， ∴， 解得： ， ∴m＝2， 把m＝2代入2+3＝n﹣6得，n＝6， 当m为底时，三角形的三边长为2，6，6， ∵2＋6＞6， ∴能构成三角形，则周长为14， 如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝6， ∴BD＝CD＝1， ∴， ∴面积为 ； 当n为底时，三角形的三边长为2，2，6， ∵2＋2＝4＜6，不能构成三角形， 综上所述，此等腰三角形的周长和面积分别为14和． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，6分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论． 5．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）若的三边a，b，c满足，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，不等式组的应用等知识．先根据三角形三边关系得到，结合求出，结合得到，即可得到的取值范围为． 【详解】解：∵的三边为a，b，c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 2.三角形的高的画法 例2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）在下列图形中，正确画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 典型错解 错解C 错因分析 三角形高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，不是与边垂直的线段。 正确解法： 【答案】A 【分析】本题考查了画三角形的高，掌握三角形高的定义是解决本题的关键． 根据三角形高的定义：三角形高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段（锐角三角形的高位于内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高位于外部），即可判断求解． 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有A选项中的是边上的高， 故选：A． 针对练习2 一、单选题 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点作的垂线段，垂足为，则是边上的高，故C选项符合题意， 故选：C． 3．（24-25八年级上·北京·期末）下列各图中，作出 边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，中，边上的高应是过边所对的顶点向边所在的直线作垂线段，解决本题的关键是根据三角形的高的定义进行判断即可． 【详解】解：中，边上的高应是过边所对的顶点向边所在的直线作垂线段， A选项：过点作边上的垂线段，不是中边上的高，故A选项不符合题意； B选项：连接顶点与边上的点的线段，不是中边上的高，故B选项不符合题意； C选项：过点向边所在的直线作垂线段，线段是中边上的高，故C选项符合题意； D选项：过点向边做的线段不是垂线段，线段不是中边上的高，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据三角形高的定义即可得出结论． 【详解】解：边上的高垂直于，且过点， 由图形可得，选项A、C、D三角板的摆放位置不正确，选项B三角板的摆放位置正确， 故选：B． 二、解答题 5．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，中，为钝角． (1)画出的高线； (2)P为边上一点，且P点到直线的距离为线段的长度，请画出P点； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画三角形的高，点到直线的距离，掌握三角形的高的定义是解题的关键． （1）分别过点B，C向对边作垂线即可； （2）过点A作的垂线，与的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； 3.三角形的中线、角平分线概念混淆 例3．（24-25八年级上·山东德州·期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 典型错解： 错解：A 错因分析 三角形的高、中线、角平分线的定义混淆 正确解法 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 针对练习3 一、单选题 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 故正确；   故正确； 故错误； 故选：C 2．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 故答案为：10． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和的问题，熟练掌握三角形的高的性质是解题的关键．根据三角形的高的性质及四边形的内角和求解即可． 【详解】，H为高的交点， ， 在四边形内角和为， ， （对顶角相等）． 故答案为：． 4.三角形的折叠中的错误 例4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 典型错解： 错解27° 错因分析 只考虑了DF||BC的一种情形，忽略了DF与AC平行，DF与BC平行的另一种情形。 正确解法： 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 针对练习4 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题的关键是理清角度之间的等量关系． 分、、三种情况，根据折叠的性质及等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，， ， ， ∵， ， ， 当时，， ∵， 则， ， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴，即点F与C重合，不符合题意； 综上所述，或， 故选：． 二、填空题 3．（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质，分为在外和在内两种情况，利用角的和差求出的度数，然后根据折叠求出，然后根据角的和差解答即可． 【详解】解：当在外时，， 由折叠可得， ∴； 当在内时，， 由折叠可得， ∴； 综上所述的度数为或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 5.角度计算与关系应用错误 例5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则 （用含的式子表示）． 典型错解： 错解90°- 错因分析 折叠对应关系出错，误认为∠B=∠BDA/ 正确解法 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 针对练习5 1.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，三角形的中线，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）角平分线求出的度数，三角形的内角和定理求出，利用三角形的外角的性质求出即可； （2）根据中线的定义，结合三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 【答案】18 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键，由三角形的外角的性质可得，再结合角平分线的性质进行等量代换可得，从而可得答案． 【详解】解：∵与的角平分线相交于点 D ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，则_____，_____； (2)若，求，的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据角平分线的定义及邻补角的定义得，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出和的度数；然后根据可得出的度数． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 在中，； ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）可知：， 在中，． 5.等腰三角形相关问题 例5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 典型错解： 得到的两部分图形的周长差为2，所以四边形的周长的周长，即，整理得，， ， 解得；即AE=3 错因分析: 忽略分类讨论出错，两部分的差等于2有两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长 正确解法 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． 针对练习5 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形周长为15，其中一边长为3，则另外两边长为（　　） A．6，6 B．3，9 C．6，6或3，9 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，并验证各种情况是否能构成三角形是解题的关键．根据等腰三角形的性质，结合3可能是腰或底边，分别讨论并验证是否能构成三角形即可． 【详解】解：若3为腰长，则另一腰也为3，那么底边为， 此时三边的长度分别是3，3，9， 但，不满足三角形两边之和大于第三边，故不符合题意； 若3为底边长，则腰长为， 此时三边为6，6，3，其中，那么能构成三角形； ∴另外两边长为6和6， 故选：A． 3．（17-18八年级·河南新乡·月考）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 二、填空题 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 。 一、单选题 1．等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义和三角形三边之间的关系，即可进行解答． 【详解】解：当腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， 所以该三角形的周长为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系和等腰三角形的定义，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点， 故选： A． 3．下列四个图形中，是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是的高，选项不符合题意； B、不是的高，选项不符合题意； C、线段BD是的高，选项符合题意； D、不是的高，选项不符合题意． 故选：C 4．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 5．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 6．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 【答案】50 【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值； 【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， ∵AM=AM， ∴△AME≌△AMN， ∴ME=MN， ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， ∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°； 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数． 7．已知、分别是的高和中线，若，则等于 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查的是三角形的中线和高，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分为锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据三角形的中线和高的概念解答即可． 【详解】解：如图1，，， ， 是的中线， ， 如图2，，， ， 是的中线， ， 故答案为：或． 8．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 9．如图，有一张三角形纸片，，，是边上的定点，过点将纸片的一角折叠，使点落在下方处，折痕与交于点，当与的一边平行时， 度． 【答案】110或125/125或110 【分析】由三角形内角和定理得出∠C=30°，①当AB∥C′D时，∠CDC′=∠A=80°，由折叠性质得∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=40°，∠C=∠C′=30°，则∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=110°；②当AB∥C′E时，设BE交C′D于点F，则∠B=∠BEC′=70°，由对顶角与三角形内角和定理得∠BFD=∠C′FE=80°，由四边形内角和得∠ADF=360°-∠A-∠B-∠BFD=130°，得出∠CDC′=50°，由折叠性质得∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=25°，∠C=∠C′=30°，则∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=125°． 【详解】解：∵∠A=80°，∠B=70°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-80°=30°， ①当AB∥C′D时，∠CDC′=∠A=80°， 由折叠性质得：∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=40°，∠C=∠C′=30°， ∴∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=180°-40°-30°=110°； ②当AB∥C′E时，设BE交C′D于点F，如图所示： 则∠B=∠BEC′=70°， ∴∠BFD=∠C′FE=180°-∠C′-∠BEC′=180°-30°-70°=80°， ∴∠ADF=360°-∠A-∠B-∠BFD=360°-80°-70°-80°=130°， ∴∠CDC′=180°-∠ADF=180°-130°=50°， 由折叠性质得：∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=25°，∠C=∠C′=30°， ∴∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=180°-25°-30°=125°； 故答案为：110度或125． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、四边形内角和、折叠的性质、分类讨论等知识，熟练掌握折叠的性质与三角形内角和定理是解题的关键． 10．如图，等腰中，为腰的中线，将分成长和的两段，则等腰的底边长 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 题中没有指明哪部分的周长， 故应该分两种情况进行分析， 从而求解． 【详解】解：∵为腰的中线， ∴， 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 11．课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【答案】(1)见解析 (2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4；见解析 【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到； （2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可； 根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点A作边上的高， ∵是边边上的中线 ∴ ∴ ∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． （2）如图所示，过点E作于点F， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即 ∴， ∴点E到的距离为4． 如图所示（取各边中点或中线的中点） 12．已知在中，、、的对边分别为． (1)化简代数式：　　　　　． (2)若，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，求腰长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得； （2）先根据三角形中线的定义可得，再设元对周长分两种情况讨论，即或，分别求出的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为． （2）解：画出图形如下：设，，则． 中线把三角形的周长分为和两部分， 或， 即或， 解得或． 当时，三边为，，不符合三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，此时腰长为12，符号题意． 故腰长为． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、整式加减的应用、去绝对值、二元一次方程组的应用、三角形的中线等知识点，解题关键是分两种情况讨论． 易 错 题 型 解 析 巩 固 提 高 易 错 题 型 归 纳 学科网（北京）股份有限公司 $