精品解析：天津市滨海新区生态城第一中学2025--2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2025－2026学年（一）九年级第二次月度练习 数学学科 一、单选题 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛一枚普通的硬币，正面朝上 D. 从装满红球的袋子中摸出一个白球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是，是不可能事件； B、画一个三角形，其内角和为，是必然事件； C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件； D、从装满红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件； 故选：C． 3. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，理解二次函数图象平移的性质是解答关键． 根据二次函数的图象向右平移是减，向下平移是减来进行求解． 【详解】解：的顶点坐标是，的顶点坐标是， 顶点由到需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 平移的过程是向右平移4个单位，向下平移5个单位． 故选：D． 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 故选D． 5. 计算的结果等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算的运算法则是解答本题的关键．先将的值代入计算，再根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 6. 如图，在中，若， ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据得到，根据平行线分线段成比例得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，有最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴由知抛物线开口向上， 故选项错误； ∵顶点坐标是， 故选项正确； ∵对称轴是直线， 故选项错误； ∵当时，取得最小值2，无最大值， 故选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的关键． 8. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 9. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内随的增大而增大， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选：B． 10. 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长等于底面圆的周长列方程解答． 【详解】解：设底面圆的半径是r， ， 解得， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用扇形求底面圆的半径，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 11. 如图，等腰直角三角形中，将绕点B顺时针旋转），得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，进而得到，，即可判断A项；根据，可得四点共圆，即有，结合，可得，故可判定B；若，即有，则是等边三角形，显然，在旋转时，无法不总是等边三角形，故C错误；结合，，可得，故可判定D． 【详解】解：根据旋转的性质，结合有， ，，故A项正确； ，， ， 四点共圆， ， ，， ，故B正确； 若，即有，则是等边三角形， 显然，在旋转时，无法总是等边三角形，故C错误； ， ， ， ，故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． 12. 如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理求出，可判断，设，则，，矩形 的面积为，则，可判断，根据可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的长可以为，故符合题意； ∵四边形是矩形， ∴， 设，则，， ∴， 设矩形 的面积为，则 ， 当的面积为，即 ， 解得：，， ∴当，时，矩形的面积为， 当，时，矩形的面积为， 故符合题意； ， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 故符合题意， 故选：D． 二、填空题 13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 14. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】解：∵∠BCD=30°， ∴∠BOD=60°， ∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 16. 若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ∴一次函数为， ∵， ， 图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 17. 如图，正方形的边长为4，E是边上一点，且，交延长线于点F，平分交于点M，连接． （1）的长为_____； （2）的长为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）四边形是正方形，则有，，然后证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，再由中位线定理可得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接， 由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的端点A，B均落在格点上． （Ⅰ）线段的长等于________； （Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点，在上有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 ①. ②. 连接MN，∠MAN=90°，则MN为直径， 连接AP交圆于Q，由格点△ASP≌△BTA可证得：∠PAB=90°， 连接BQ，BQ为直径，且BQ与MN的交点即为圆心O． 连接AC，交中间水平的网格线于点F，可知F为AC的中点， 连接OF并延长交AB于I，则OI为弦AC的垂直平分线， 连接CI并延长交⊙O于点D， 该点即为所求． 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）先确定圆的两条直径，交点为圆心O；再连接AC交中间水平的网格线于点F，连接AC，作出垂直于AC的直径交AB于I，连接CI并延长交⊙O于D，即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理得：， 故答案为：． （Ⅱ）理由：∵OI为AC的垂直平分线， ∴CI=AI， ∴∠ACI=∠CAI， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理在格点中的应用，圆心位置的确定，垂径定理的推论，同圆中圆周角、弧的关系等知识点．利用垂径定理的推论作出AC的垂直平分线是解题关键． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）提取公因式即可得到，再解两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般方法步骤． 20. 4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】（1） （2） 解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 3 0 1 3 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有6种结果， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 小敏设计的游戏规则公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率公式求解即可； （2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3， ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有1种 ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， （1）①设大米销售量为y，售价为x，则y关于x的函数关系式为 ， ②设利润为w，求利润w与售价x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）大米售价定为多少时利润达到1800元？ （3）大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）①，② （2）6元 （3）每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用及一元二次方程的应用． （1）通过已知条件建立销售量与售价之间的一次函数关系，利用待定系数法求解即可，再根据利润的计算公式建立利润与售价之间的二次函数关系，并标明x的取值范围即可； （2）通过（1）②关于利润的二次函数关系式，将时列出一元二次方程并解得x的值，根据实际情况保留合适的x的值即可； （3）根据利润与售价之间的二次函数关系，再利用二次函数的性质来求解利润的最值问题即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，当售价时，大米销售量；当售价时，大米销售量， 设y关于x的函数关系式为， 将，分别代入得，解得， ∴y关于x的函数关系式为； ②根据题意得每天售出大米的数量可得：， 由条件可知， ∴每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当每天销售该大米的利润达到1800元时， 依题意得：， 解得：（舍去），， ∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元． 【小问3详解】 解：由（1）知：， ， ∵，对称轴为，则该二次函数开口向下， 当时，w随x的增大而增大， 又∵， 当时，（元）， 当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 22. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，． （1）如图①，若点E是的中点，求的大小； （2）如图②，过点D作的切线，交的延长线于点F，若交于点G，，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径， 平分，可得，再根据点E是的中点，，问题得解； （2）连接，先证明，再根据为的切线，可得，即有，即可得四边形为平行四边形，则有 ，由，可得，即有，问题得解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形以及平行四边形的判定与性质等知识，掌握以上基础知识是解答本题的关键． 23. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点G，作于点F，解求，再由，求出，然后根据等腰求出，最后由计算即可． 【详解】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）填空：如图①，当点D落在边上时，则点D的坐标为_______； （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H． ①求证； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） ①证明：由四边形是矩形，知． ∵点D在线段上，得. 由（1）知，， 又，， ∴≌； ②点 （3）S的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标及旋转的性质得，在直角三角形中运用勾股定理可求出的长，从而可确定答案； （2）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，②根据①知，故，在中，运用勾股定理可求得的长，得出坐标； （3）在矩形旋转的过程中，根据当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长，求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴，，. ∵矩形是由矩形旋转得到的， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴点D的坐标是； 【小问2详解】 解：①略 ②由≌，得． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点H的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴S的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线段的运动路径是解题的关键． 25. 已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． （1）当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； （2）若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】（1）①， ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； 【小问2详解】 如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年（一）九年级第二次月度练习 数学学科 一、单选题 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛一枚普通的硬币，正面朝上 D. 从装满红球的袋子中摸出一个白球 3. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，若， ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，有最大值是 8. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，等腰直角三角形中，将绕点B顺时针旋转），得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 14. 若点与点关于原点对称，则____________． 15. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是_____． 16. 若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 17. 如图，正方形的边长为4，E是边上一点，且，交延长线于点F，平分交于点M，连接． （1）的长为_____； （2）的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的端点A，B均落在格点上． （Ⅰ）线段的长等于________； （Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点，在上有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 21. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， （1）①设大米销售量为y，售价为x，则y关于x的函数关系式为 ， ②设利润为w，求利润w与售价x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）大米售价定为多少时利润达到1800元？ （3）大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，． （1）如图①，若点E是的中点，求的大小； （2）如图②，过点D作的切线，交的延长线于点F，若交于点G，，求的长． 23. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）填空：如图①，当点D落在边上时，则点D的坐标为_______； （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H． ①求证； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． （1）当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； （2）若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $