精品解析：吉林省蛟河市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

蛟河市2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试题 数学试卷共6页，包括六道大题，共26道小题．试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．设附加题1道，满分10分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数和绝对值的应用，比较绝对值得，据此即可求解；理解正负数的意义，会用绝对值进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 的那袋大米最接近标准质量， 故选：B． 2. 下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了立体图形的抽象（从实物到几何图形），熟练掌握圆柱等常见立体图形的形状特征是解题的关键． 根据圆柱的形状特征，逐一分析选项中物体对应的几何图形． 【详解】解：∵ 选项A的物体形状抽象为正方体， 选项B的物体形状抽象为球体， 选项C的物体形状抽象为圆柱， 选项D的物体形状抽象为圆锥， ∴ 可以抽象成圆柱的是选项C． 故选：C． 3. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与3 C. 与 D. 5与 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，解题关键是理解相反数的定义，并准确计算每个数的值． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，分别计算每个选项中两个数的值，判断是否只有符号不同，即可作答． 【详解】解：A、，则与互为相反数，故该选项符合题意； B、与3不互为相反数，故该选项不符合题意； C、，与不是互为相反数，故该选项不符合题意； D、，5与不是互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 4. 如图，是直角，则射线表示的方向是（    ） A. 南偏西 B. 南偏东 C. 北偏西 D. 北偏东 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方位角．根据题意，求出即可判断． 【详解】解：如图， 射线表示的方向是南偏东． 故选：B． 5. 若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（ ） A. 7 B. 12 C. 64 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 6. 当x的取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形与代数式的值的对应关系，熟练掌握“将方程转化为表格中整式的形式，再结合表格数据找对应值”是解题的关键． 先将方程变形为与表格中整式形式一致的式子，再结合表格数据找出对应的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 从表格可知，当时，， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 写出一个比小的负数，这个数可以是______．（写一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负数的大小比较，熟练掌握“负数比较大小，绝对值大的数更小”是解题的关键． 先明确的近似值，再根据负数比较大小的规则，找出绝对值比大的负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的负数，这个数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x、y；②系数是；③次数是5，则写出的单项式为__________（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查单项式，掌握单项式的系数、次数的概念是解题的关键． 根据单项式系数、次数的定义写出符合题意的单项式即可． 【详解】解：根据题意可得：符合题意的单项式为：（答案不唯一）． 故答案为： (答案不唯一) ． 9. 在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为______． 【答案】线动成面 【解析】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的动态关系，熟练掌握“线动成面”的原理是解题的关键．根据“点动成线”的类比，分析扇骨（线）移动形成扇面（面）的数学原理． 【详解】解：打开折扇时，扇骨是线，扇面是面，线的移动形成面，对应的数学原理是“线动成面”． 故答案为：线动成面． 10. 用四舍五入法将精确到，得到的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了近似数的四舍五入法，熟练掌握“精确到某一位时，观察其下一位数字进行四舍五入”是解题的关键． 明确精确到即保留两位小数，需观察第三位小数，根据四舍五入规则判断取舍． 【详解】解：精确到，千分位上的数字是，，舍去千分位上的数字及后面的数字得． 故答案为：． 11. 如图，点，在线段上，，，点是中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段中点的性质与线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义并结合线段和差关系计算是解题的关键． 先利用中点性质求出的长度，再结合的长度计算． 【详解】解：∵ 点是的中点，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 12. 图①是一张正方形纸片，小亮用剪刀沿虚线将它剪开，取其中两块正方形纸片，用它们制作成如图2所示的新年挂图，挂图上面的小“福”是边长为的正方形，下面的大“福”是边长为的正方形，小亮用剪刀剪掉部分的面积用代数式表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据减掉部分为两个长方形，长为，宽为，即可列式． 【详解】解：由题意得，小亮用剪刀剪掉部分的面积为， 故答案为：． 13. 已知方程和方程有相同的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 14. 用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查有理数的混合运算法则，难度较小． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． 先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后将未知数系数化为1求解方程． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 18. 请根据图示的对话解答下列问题． （1）__________； （2）求的值； 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】（1）根据相反数的定义解答即可． （2）根据正整数的定义、再通过计算即可． 【小问1详解】 解：的相反数是， ． 【小问2详解】 由题意得，，， ． 【点睛】本题考查了相反数的概念、正整数的概念，代数式求值，求出a，b的值是关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母． 正面 背面 （1）在数轴上表示出卡片正面的数： （2）将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______． 【答案】（1）在数轴上表示出卡片正面的数见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的化简、数轴表示及有理数的大小比较，熟练掌握有理数的相关运算与数轴的对应关系是解题的关键． （1）先化简正面的数，再在数轴上找到对应位置标注． （2）先将化简后的数从小到大排序，再对应背面字母组成单词． 【小问1详解】 解：， ， ， 在数轴上表示出卡片正面的数如下： 【小问2详解】 解：将数从小到大排列：， 对应背面字母： 对应，对应，对应，对应，组成单词：， 故答案为：． 20. 小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是______； （2）请写出正确的化简过程并求值，其中，． 【答案】（1）二，括号外面是“-”号，去括号后，括号内第三项符号未改变 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）根据整式加减运算的步骤逐步判定即可解答； （2）根据整式加减运算的步骤逐步计算，再进行化简即可解答． 【小问1详解】 解：他从第二步开始出错，错误的原因是括号外面是“”号，去括号后，括号内第三项符号未改变， 故答案为：二，括号外面是“”号，去括号后，括号内第三项符号未改变； 【小问2详解】 解：． ． 当，时， 原式． 21. 如图，O为直线上一点，平分． （1）请你数一数，图中有 个小于平角的角； （2）的余角有 ； （3）求出的度数． 【答案】（1）9 （2）、 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据角的定义，在图中找出小于的角即可． （2）根据角平分线的定义，角之间的关系及平角的定义即可得出答案； （3）先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和，即可得出答案． 【小问1详解】 图中小于平角的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：； 【小问2详解】 平分 的余角有、； 【小问3详解】 ，平分， ，， ． 22. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【答案】孩童人数为6人，梨的数量为36个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【详解】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 五、解答题（每小题8分，共24分） 23. 在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则______； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的除法运算以及倒数，理解并掌握倒数的意义是解题的关键． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：，即， ， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， 故答案为：． 24. 聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题． （1）聪聪一共剪开了______条棱； （2）现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，则他有______种粘贴方法，请你帮他在①上补全一种情况． （3）经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是原长方体高的倍．若该纸盒所有的棱长和是，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）8； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的体积，熟练掌握展开图是解题的关键． （1）根据展开图，判断聪聪剪开了8条棱，解得即可； （2）根据长方体展开图的基本意义，解答即可． （3）设长方体的高为，根据题意，得长宽都是，列式列式解答即可． 【小问1详解】 解：根据展开图，得聪聪剪开了8条棱， 故答案为：8． 【小问2详解】 解：根据展开图的意义，可得到如下4种粘贴方式：     故答案为：4． 【小问3详解】 解：设长方体的高为，根据题意，得长、宽都是， 根据题意，得，整理得， 解得． ∴长、宽都是， ∴体积为： ． 答：长方体的体积为． 25. 项目主题 设计劳动践行园 项目情境 学校打算在原有长为a宽为b的长方形土地上设计一个长方形的小池塘，和一个半圆形的蔬菜种植地，作为劳动践行园．劳动践行园除小池塘和种植地外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上． 活动任务一 若长方形土地的长与宽之间满足，小华为学校提供了如图所示的设计方案： 小池塘长m，宽n分别是a、b的，种植地的直径为n． （1）用含a，b的式子表示下列各区域的面积： ①长方形土地的面积：________； ②长方形小池塘的面积：________； ③半圆形蔬菜种植地的面积：________． 驱动问题一 （2）请你判断小华的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 【答案】（1）① ② ③ （2）小华的设计方案满足学校的要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，解题的关键是理解题意，列出代数式． 活动任务一：（1）根据图形列出代数式即可； 驱动问题一：（2）先求出则绿地面积为：，，然后用作差法进行比较即可； 【详解】解: 活动任务一: （1） ①长方形土地的面积: ； ②长方形小池塘的面积：； ③半圆形蔬菜种植地面积： ； 故答案为:① ② ③ ． 驱动问题一： ， ∴长方形土地的面积为：， 长方形小池塘的面积： ， 半圆形蔬菜种植地的面积： ， 则绿地面积为：， ， 又∵， ， ， ∴绿地面积占长方形土地面积的一半以上， ∴小华的设计方案满足学校的要求． 六、解答题 26. 数学课上，张老师出示了如下题目： 将一副三角板按如图所示方式摆放，分别作出，的平分线，；求的度数． 李明与同桌王丽讨论后进行了如下探究： 探究一：特例分析 （1）按如图2摆放，当，，在同一条直线上时，和仍然是和的平分线，则______； （2）按如图摆放，当时，和仍然是和的平分线，则______； 探究二：类比解答 （3）请你完成张老师出示的题目的解答过程； 探究三：拓展应用 （4）若将张老师出示题目中的条件“分别作出，的平分线，；”改为“分别作出射线，，使，；”求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差运算、平角的定义、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系与角的相关性质是解题的关键． （1）先确定三角板角度（、），结合射线共线得出度数，再用角平分线求，最后利用平角计算． （2）先由三角板角度得出的和，结合求出单个角的度数，再用角平分线求、，最后用平角计算． （3）先由三角板角度得出的和，再用角平分线表示，最后用平角计算． （4）先由三角板角度得出的和，再用角的比例关系表示，最后用平角计算． 【详解】解：（1）∵，，且、、共线， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∴； （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 附加题 27. 【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 （1）请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． （2）______． （3）图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． （4）图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 【答案】（1）图形见解析，； （2）； （3），； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了数形结合思想、立方和公式的推导与应用，熟练掌握“利用几何图形的面积/体积表示代数运算，归纳立方和的规律”是解题的关键． （1）类比已知推导方法，构造图形表示、、，通过大正方形面积得出和； （2）根据前面规律归纳的表达式； （3）分类统计不同棱长正方体个数，利用（2）的结论计算总和； （4）先确定大正方体棱长，再用（2）的结论计算所有正方体个数． 【小问1详解】 解：构造图形如图， 表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：， 表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，，，就可以表示个的正方形，即：， 而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【小问2详解】 解：∵ ， ， ， ∴ ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵ 棱长1的正方体：个，棱长2的正方体：个，棱长3的正方体：个，棱长4的正方体：个， ∴ ， ∴ 故答案为：，； 【小问4详解】 解：设图4大正方体棱长为，则大小正方体个数为，由（2）可知大小正方体共有（个）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟河市2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试题 数学试卷共6页，包括六道大题，共26道小题．试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．设附加题1道，满分10分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与3 C. 与 D. 5与 4. 如图，是直角，则射线表示的方向是（    ） A. 南偏西 B. 南偏东 C. 北偏西 D. 北偏东 5. 若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（ ） A. 7 B. 12 C. 64 D. 81 6. 当x取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 写出一个比小的负数，这个数可以是______．（写一个即可） 8. 请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x、y；②系数是；③次数是5，则写出的单项式为__________（写一个即可）． 9. 在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为______． 10. 用四舍五入法将精确到，得到的结果为______． 11. 如图，点，在线段上，，，点是的中点，则的长为______． 12. 图①是一张正方形纸片，小亮用剪刀沿虚线将它剪开，取其中两块正方形纸片，用它们制作成如图2所示新年挂图，挂图上面的小“福”是边长为的正方形，下面的大“福”是边长为的正方形，小亮用剪刀剪掉部分的面积用代数式表示为______． 13. 已知方程和方程有相同的解，则的值为______． 14. 用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 请根据图示的对话解答下列问题． （1）__________； （2）求的值； 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母． 正面 背面 （1）在数轴上表示出卡片正面的数： （2）将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______． 20. 小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）老师说小辉同学解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是______； （2）请写出正确的化简过程并求值，其中，． 21. 如图，O为直线上一点，平分． （1）请你数一数，图中有 个小于平角的角； （2）的余角有 ； （3）求出的度数． 22. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 五、解答题（每小题8分，共24分） 23. 在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则______； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：______． 24. 聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题． （1）聪聪一共剪开了______条棱； （2）现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，则他有______种粘贴方法，请你帮他在①上补全一种情况． （3）经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是原长方体高的倍．若该纸盒所有的棱长和是，求这个纸盒的体积． 25. 项目主题 设计劳动践行园 项目情境 学校打算在原有长为a宽为b的长方形土地上设计一个长方形的小池塘，和一个半圆形的蔬菜种植地，作为劳动践行园．劳动践行园除小池塘和种植地外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上． 活动任务一 若长方形土地的长与宽之间满足，小华为学校提供了如图所示的设计方案： 小池塘的长m，宽n分别是a、b的，种植地的直径为n． （1）用含a，b的式子表示下列各区域的面积： ①长方形土地的面积：________； ②长方形小池塘面积：________； ③半圆形蔬菜种植地的面积：________． 驱动问题一 （2）请你判断小华的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 六、解答题 26. 数学课上，张老师出示了如下题目： 将一副三角板按如图所示方式摆放，分别作出，的平分线，；求的度数． 李明与同桌王丽讨论后进行了如下探究： 探究一：特例分析 （1）按如图2摆放，当，，在同一条直线上时，和仍然是和的平分线，则______； （2）按如图摆放，当时，和仍然是和的平分线，则______； 探究二：类比解答 （3）请你完成张老师出示的题目的解答过程； 探究三：拓展应用 （4）若将张老师出示题目中条件“分别作出，的平分线，；”改为“分别作出射线，，使，；”求的度数． 附加题 27. 【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 （1）请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． （2）______． （3）图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． （4）图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $