精品解析：山东省日照市东港区义务教育学校学生发展质量监测2025-2026学年下学期测评 九年级数学试题

义务教育学校学生发展质量监测2026年春季学期测评 九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形． 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的正数的科学记数法表示，掌握科学记数法的形式与规则即可求解． 【详解】解：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中要求，为原数中左起第一个非零数字前所有零的个数， 中，左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且， ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 6. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 7. 如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案． 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B 8. 如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，点是线段上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则为（　　） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图当点E在线段上时，设交于G，先证明，设，由勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，设交于G，由对折可得：，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， ． 10. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到该一元二次方程的两根和与两根积，再分别计算和根的判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；按此规律，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转规律求出各线段长度，推导扇形面积的变化规律，再结合项数奇偶性确定对应的半径，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：由题意，每次旋转角度为，扇形面积公式为（）， 已知， ，， 为等腰直角三角形，， 同理，，……， 可得规律：当为偶数时，， 扇形面积： 规律：， ． 15. 如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作，使，连接，可证，得到，即得，可知当点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，过作，使，连接，   ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的值最小为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值 （1）计算：． （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和零指数幂的运算方法计算即可得到答案； （2）根据分式的化简方法将分式化简，再求得的值，代入即可求得分式的值． 【小问1详解】 解：． ； 【小问2详解】 解： ， ∴将代入原式． 17. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2）此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 18. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； 【小问2详解】 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）87，89，40 （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； 【小问2详解】 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； 【小问3详解】 解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 20. 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，燃油车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 22. 已知二次函数 （1）若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最小值． （2）若点，恰有一点在已知二次函数的图象上，当时，函数值随的增大而增大． ①点在该二次函数的图象上，求函数的表达式及其图象的对称轴． ②若点在抛物线上，对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，对称轴为直线；② 【解析】 【分析】（1）将化为顶点式，得出c和b的数量关系，再代入，即可解答； （2）①根据题目所给的该二次函数的增减性，得出，然后进行分类讨论，得出b的值，即可解答；②和①同理得出，根据二次函数的性质得出，根据，推出，即可得出b的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 当时，有最小值，此时； 【小问2详解】 解：①∵点在该二次函数的图象上， ∴， ∵当时，函数值随的增大而增大， ∴该二次函数图象对称轴， ∴， 当在二次函数的图象上时，， 此时（舍去）， 当在二次函数的图象上时，， 此时， ∴，对称轴为直线； ②∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23. 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，则线段与线段的数量关系为___________． （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； （3）问题解决：如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点，在旋转的过程中，当点在同一直线上时，在两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2）成立，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质得到点在同一直线上，则利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得，，即可求证； （2）连接，证明，则，即； （3）如图，当点在同一直线上，连接，先证明 ，继而得到，则，则，可得，故，即可求解；如图，当点O为中点时，，在中，由勾股定理得，则，而此时三点共线，故点B和点E重合，由点M是直线与直线的交点，得到三点重合，故此时的长为的长． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵和均为等边三角形，是和的中点， ∴，，即， ∴点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 同理，， ； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图所示，连接， ∵均是等边三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ∵为等边三角形， ∴， ∵点O为中点，， ∴，， 如图，当点O为中点时，， ∵等边的边长为， ∴在中，， ∴， ∵此时三点共线， ∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点， ∴三点重合， ∴此时的长为的长， 即， 综上所述，此时的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 义务教育学校学生发展质量监测2026年春季学期测评 九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. -3 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 9. 如图，在矩形中，，点是线段上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则为（　　） A. B. 5 C. 6 D. 10. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 12. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 13. 关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；按此规律，则___________． 15. 如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值 （1）计算：． （2）先化简再求值：，其中． 17. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 18. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 20. 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 22. 已知二次函数 （1）若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最小值． （2）若点，恰有一点在已知二次函数的图象上，当时，函数值随的增大而增大． ①点在该二次函数的图象上，求函数的表达式及其图象的对称轴． ②若点在抛物线上，对于，都有，求的取值范围． 23. 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，则线段与线段的数量关系为___________． （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； （3）问题解决：如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点，在旋转的过程中，当点在同一直线上时，在两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $