专题09 期末复习之选择填空压轴题（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义通过考情分析表格系统梳理选择填空压轴题知识体系，将数轴动点、绝对值应用等6大期末考点按“考点-目标-形式”三维呈现，结合题型分层框架图细化整式规律探索、线段折叠等8类核心题型，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型分层+解题攻略”的创新设计，如整式规律探索题型通过列表梳理数字序列、拆分图形组成部分提炼规律，培养推理意识与抽象能力。每个题型配备例题与变式题，基础题巩固方法，综合题深化思维，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题09 选择填空压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴动点与两点距离 1.掌握数轴动点坐标计算（左减右加）； 2.灵活运用两点距离公式； 3.能对动点运动方向分类讨论 1.选填压轴高频题（填空最后1题）； 2.结合情境（运动、路线）命题，难度中等 2.绝对值综合应用 1.熟练运用绝对值非负性； 2.理解绝对值几何意义； 3.解决绝对值最值问题 1.选择压轴常考题（选择最后1-2题）； 2.多与相反数、平方结合，创新情境 3.整式规律探究 1.发现整式项的系数、常数项规律； 2.能根据规律推导第n项表达式； 3.结合数字排列、图形拼接情境 1.填空压轴高频题； 2.探究式命题，侧重逻辑推理，难度中等偏上 4.一元一次方程情境应用 1.行程等复杂情境； 2.建立一元一次方程模型； 3.验证解的实际意义 1.选择/填空压轴交替出现； 2.情境贴近生活（购物、行程），难度中等 5.线段与角的动态计算 1.掌握线段中点、角平分线性质； 2.解决折叠、旋转中的长度/角度问题； 3.运用方程思想求解 1.填空压轴创新题； 2.结合图形操作情境，难度中等偏上 6.跨学科融合问题 1.转化物理、地理等学科中的数学关系； 2.运用有理数、方程知识求解 1.选填压轴创新题； 2.跨学科情境（运动、温差），难度中等 【题型1】整式规律探索——数字序列与图形 1.期末考点总结 核心考点：数字序列的整式提炼、图形拼接中数量关系的代数转化、用含（正整数）的代数式表示第项规律 辅助考点：归纳推理能力、分类讨论（图形多方案拼接）、同类项合并化简规律表达式 2.解题攻略 1：数字规律——列表梳理前3-5项数据，分析相邻项的差（等差）、比（等比）或递推关系（如“后项=前项+2n”），转化为整式形式（如） 2：图形规律——先数前3-5个图形的关键数量（边长、块数、层数），转化为数字序列，再按数字规律提炼整式；或分图形组成部分拆分数量（如“基础块数+新增块数”），分别用整式表示后合并同类项 3：验证规律——将代入整式，验证是否与已知项一致，确保无遗漏拼接情况 关键：避免片面归纳，复杂图形需分类讨论拼接方式，规律表达式需符合整式书写规范（无分母含字母、次数清晰） 【例题1】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·福建南平·期中）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第次操作后得到个整式，，；第次操作后得到个整式，，，…其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第次操作后得到的各整式之和是 ． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·四川内江·期中）观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则 ．（用含有S的式子表示）． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期中）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，……，现有等式表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数）．如，，，则 ． 【题型2】线段折叠问题的长度推理 1.期末考点总结 核心考点：线段中点性质、折叠前后对应线段相等； 辅助考点：一元一次方程、有理数加减运算。 2.解题攻略 步骤1：设折叠后重合的线段长度为x，标注原线段各部分长度； 步骤2：利用“折叠后对应点到折痕距离相等”列出等式； 步骤3：解方程求出x，再计算目标线段长度； 关键：画折叠后的示意图，直观呈现相等关系，避免漏看线段分段。 【例题2】.（25-26七年级上·河南郑州·月考）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【变式题2-1】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·山东济南·月考）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【题型3】角的旋转与角度关系探究 1.期末考点总结 核心考点：角的和差关系、旋转性质（旋转角相等）； 辅助考点：一元一次方程、角平分线性质。 2.解题攻略 步骤1：设旋转角为x，标注旋转前后的角的度数； 步骤2：利用“角平分线分角相等”“对顶角相等”等性质列方程； 步骤3：求解后排除超出0°-180°范围的解； 关键：结合量角器或图形示意图，明确旋转方向（顺时针/逆时针）对角度的影响。 【例题3】.（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【变式题3-2】.（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．    【变式题3-3】.（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数）， ． 【题型4】多条件约束下的有理数组合求值 1.期末考点总结 核心考点：有理数分类、相反数/倒数性质、不等式约束； 辅助考点：代数式求值、逻辑推理。 2.解题攻略 步骤1：列出所有约束条件（如“非负有理数”“互为相反数”“绝对值小于5”）； 步骤2：筛选符合条件的所有有理数（可借助数轴缩小范围）； 步骤3：按要求组合有理数，代入代数式求值； 关键：先确定约束条件的优先级，排除不符合条件的数，避免重复或遗漏。 【例题4】.（25-26七年级上·重庆长寿·月考）下列说法正确的序号是（   ） ①已知a，b是非零的有理数，若，则； ②若a，b为两个负有理数且，则； ③已知a，b，c是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①② 【变式题4-1】.（25-26七年级上·重庆·月考）如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，数d是的倒数，根据图中各点的位置，下列结论正确的是 （   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）数2020的所有的正约数的倒数之和为 ． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）已知与互为相反数，则的值为 ． 【题型5】数轴动点+绝对值几何意义 1.期末考点总结 核心考点：数轴三要素、动点坐标表示（左减右加）、绝对值几何意义（表示与的距离） 辅助考点：分类讨论思想、最值问题 2.解题攻略 步骤1：建立数轴，标注固定点坐标，用含参数的式子表示动点坐标（如动点从点出发，速度为，则的坐标为） 步骤2：根据距离关系列绝对值表达式，利用绝对值非负性或几何意义求最值/特殊值 关键：分动点在目标点左侧、右侧、重合三种情况讨论，避免漏解 【例题5】.（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当 时，的值最小，最小值是 ． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·重庆·期中）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河南焦作·月考）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是 ． 【题型6】整式加减——图形割补与面积计算 1.期末考点总结 核心考点：整式加减（去括号、合并同类项）、规则图形面积公式、不规则图形“割补法”、含字母整式表示面积 辅助考点：图形建模、同类项合并准确性 2.解题攻略 步骤1：建模转化——将场景转化为几何图形，明确边长（含字母）与待求面积范围 步骤2：割补列式——分割/补全不规则图形，用整式表示各部分面积（如长方形面积） 步骤3：化简计算——按法则去括号、合并同类项，得最简整式（有具体值可代入求值） 关键：割补不重复不漏算、符号法则应用、边长与字母对应准确 【例题6】.（25-26六年级上·山东淄博·月考）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多2，记图（1）中阴影区域周长为，图（2）中阴影区域周长为，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题6-1】.（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为，设面积为的长方形一条边为，若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且．若，，则正方形①的边长为 ． 【题型7】数轴、绝对值与实际场景中的极值求解 期末考点总结 核心考点：绝对值非负性（）、数轴上两点距离最值、整式表达的面积/数量最值、物资分配中的整数解极值 辅助考点：分类讨论思想、数形结合、实际场景约束条件（正整数、取值范围） 【例题7】.（25-26八年级上·四川成都·月考）若四位数 能被整除，当四位数最小时， ． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 【题型8】新定义问题 1.期末考点总结 核心考点：理解新定义规则、转化为七上核心知识（整式加减、绝对值、方程）、分类讨论求解 辅助考点：阅读理解能力、举例验证意识、符号运算准确性 2.解题攻略 步骤1：吃透定义——拆解新规则（如“M运算”“奇妙数”），用具体例子验证理解 步骤2：转化建模——将新定义问题转化为已知数学模型（如方程、绝对值运算、整式判断） 步骤3：分类求解——按定义约束条件（如参数取值、正整数要求）分类计算，排除不合理解 关键：不偏离七上知识边界、逐句核对定义细节，避免因理解偏差出错 【例题8】.（25-26六年级上·山东淄博·期中）现定义一种“M运算”：对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和． 例如：对，1，6这三个数进行“M运算”，得，． 则，对，1，6这三个数进行“M运算”的结果为18． 若关于“M运算”有下列说法： ①对a，7这两个数进行“M运算”的结果是2，则a的值是9； ②对b，，10这三个数进行“M运算”的结果是36，则b的值最大为10，最小为； ③对c，，5，11这四个数进行“M运算”，则当时，该运算的结果取得最小值为39． 则以上关于“M运算”的说法中，正确的是 ．（只填写所选择的序号） 【变式题8-1】.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为 ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有 ． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，1，2进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对，0，2025进行“运算”结果是0； ②对进行“运算”的结果是10，则或3； ③在这一列数中插入一个数，然后进行“运算”，当其结果最小时，对应的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题8-3】.（25-26九年级上·重庆·期中）定义：如果多项式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2）当时，多项式（，，，是常数）的值为10，则它的“续和式”是12； （3）设，当时，的值为0；其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑩个图形中“围棋子”的颗数是（   ） A．180 B．181 C．225 D．226 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上三个点分别表示数，点在原点两侧且到原点的距离相等，设点之间的距离为，点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 4．（25-26七年级上·河北邢台·月考）若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是三次四项式，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏南通·期中）有一种特殊的长方形恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示．图中的数字为正方形编号，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为，．当时，第10个正方形的面积是（   ） A．4 B．9 C．36 D．25 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在如图的九宫图的每个格子中填一个数，使得每行，每列以及斜对角的三个数之和都相等．当时， ，和之间的数量关系可用等式 表示． 7．（25-26七年级上·四川成都·月考）对任意一个三位数n，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得 对调百位与个位上的数字得 对调十位与个位上的数字得 这三个新三位数的和为，，所以．若都是“相异数”，其中 (，都是正整数)，规定：，当时， 则k的最大值为 ． 8．（25-26七年级上·重庆万州·月考）两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，再将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的4个新的两位数的和记为． 例如：；． （1）计算： ； （2）若一个两位数，两位数（，，x，y是整数），交换两位数p的十位数字和个位数字得到新数，当的值与q的个位数字的6倍的和能被13整除时，称这样的两个数p和q为“美好数对”，则所有“美好数对”中的最大值是 ． 9．（25-26七年级上·河北沧州·月考）如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为 ． 10．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 选择填空压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴动点与两点距离 1.掌握数轴动点坐标计算（左减右加）； 2.灵活运用两点距离公式； 3.能对动点运动方向分类讨论 1.选填压轴高频题（填空最后1题）； 2.结合情境（运动、路线）命题，难度中等 2.绝对值综合应用 1.熟练运用绝对值非负性； 2.理解绝对值几何意义； 3.解决绝对值最值问题 1.选择压轴常考题（选择最后1-2题）； 2.多与相反数、平方结合，创新情境 3.整式规律探究 1.发现整式项的系数、常数项规律； 2.能根据规律推导第n项表达式； 3.结合数字排列、图形拼接情境 1.填空压轴高频题； 2.探究式命题，侧重逻辑推理，难度中等偏上 4.一元一次方程情境应用 1.行程等复杂情境； 2.建立一元一次方程模型； 3.验证解的实际意义 1.选择/填空压轴交替出现； 2.情境贴近生活（购物、行程），难度中等 5.线段与角的动态计算 1.掌握线段中点、角平分线性质； 2.解决折叠、旋转中的长度/角度问题； 3.运用方程思想求解 1.填空压轴创新题； 2.结合图形操作情境，难度中等偏上 6.跨学科融合问题 1.转化物理、地理等学科中的数学关系； 2.运用有理数、方程知识求解 1.选填压轴创新题； 2.跨学科情境（运动、温差），难度中等 【题型1】整式规律探索——数字序列与图形 1.期末考点总结 核心考点：数字序列的整式提炼、图形拼接中数量关系的代数转化、用含（正整数）的代数式表示第项规律 辅助考点：归纳推理能力、分类讨论（图形多方案拼接）、同类项合并化简规律表达式 2.解题攻略 1：数字规律——列表梳理前3-5项数据，分析相邻项的差（等差）、比（等比）或递推关系（如“后项=前项+2n”），转化为整式形式（如） 2：图形规律——先数前3-5个图形的关键数量（边长、块数、层数），转化为数字序列，再按数字规律提炼整式；或分图形组成部分拆分数量（如“基础块数+新增块数”），分别用整式表示后合并同类项 3：验证规律——将代入整式，验证是否与已知项一致，确保无遗漏拼接情况 关键：避免片面归纳，复杂图形需分类讨论拼接方式，规律表达式需符合整式书写规范（无分母含字母、次数清晰） 【题型2】线段折叠问题的长度推理 1.期末考点总结 核心考点：线段中点性质、折叠前后对应线段相等； 辅助考点：一元一次方程、有理数加减运算。 2.解题攻略 步骤1：设折叠后重合的线段长度为x，标注原线段各部分长度； 步骤2：利用“折叠后对应点到折痕距离相等”列出等式； 步骤3：解方程求出x，再计算目标线段长度； 关键：画折叠后的示意图，直观呈现相等关系，避免漏看线段分段。 【例题1】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·福建南平·期中）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第次操作后得到个整式，，；第次操作后得到个整式，，，…其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第次操作后得到的各整式之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数式的规律探究，根据题意得到规律是解题的关键．先逐步分析前面几次的操作，可发现规律，操作所得整式的和每六次一循环，然后根据，即可得出第次操作对应周期中的第次操作后的和． 【详解】解：初始整式为和，和为． 第次操作后，得到整式、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、、、、，和为； 此后每次操作，所得整式的和循环一次． 因为，余数为， 所以第次操作后得到的各整式之和与第次操作后相同，为． 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·四川内江·期中）观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则 ．（用含有S的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数的运算规律，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 通过观察给定的等式，得出规律：，然后将所求的和表示为从 到 的和与从 到 的和的差，利用规律代入计算． 【详解】解：根据规律， ， ， ∴， 已知 ，且 ， ∴原式． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期中）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，……，现有等式表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数）．如，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的数字规律，关键是根据题中所给规律进行求解即可． 首先确定2025是第1013个奇数，然后计算前n组奇数个数之和，找到使和大于等于1013的最小n，确定组号，再计算在前44组后的位置，得到，进而求解即可． 【详解】∵，，，，，， ∴第一奇数为1，第二个奇数为3，第三个奇数为5， ∴第k个奇数为． ∴令， 解得， ∴2025是第1013个奇数， ∵第1组有1个奇数，第2组有2个奇数，第3组有3个奇数， ∴第n组有n个奇数， ∴前n组奇数个数之和为， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴前44组奇数个数为，前45组奇数个数为， ∴2025在第45组，即． 前44组有990个奇数，第1013个奇数在第45组中的位置为，即， ∴． 故答案为：． 【题型3】角的旋转与角度关系探究 1.期末考点总结 核心考点：角的和差关系、旋转性质（旋转角相等）； 辅助考点：一元一次方程、角平分线性质。 2.解题攻略 步骤1：设旋转角为x，标注旋转前后的角的度数； 步骤2：利用“角平分线分角相等”“对顶角相等”等性质列方程； 步骤3：求解后排除超出0°-180°范围的解； 关键：结合量角器或图形示意图，明确旋转方向（顺时针/逆时针）对角度的影响。 【例题2】.（25-26七年级上·河南郑州·月考）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】2或4或6 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、数轴上两点间的距离和有理数的运算，正确得出折痕表示的数是关键． 根据折叠的性质可得折痕表示的数是，然后根据数轴上两点间的距离和、两点之间的距离为求解即可． 【详解】折叠纸面上的数轴，数轴上表示的点与8表示的点重合， 折合点在数轴上所对应的数为， 设点A，点B在数轴上所表示的数分别为a，b， 数轴上A、B两点之间的距离为2026， ， 又点A、B两点经以上方法折叠后重合， ， 即， 解得，或，， 故答案为：或 【变式题2-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·山东济南·月考）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 【题型4】多条件约束下的有理数组合求值 1.期末考点总结 核心考点：有理数分类、相反数/倒数性质、不等式约束； 辅助考点：代数式求值、逻辑推理。 2.解题攻略 步骤1：列出所有约束条件（如“非负有理数”“互为相反数”“绝对值小于5”）； 步骤2：筛选符合条件的所有有理数（可借助数轴缩小范围）； 步骤3：按要求组合有理数，代入代数式求值； 关键：先确定约束条件的优先级，排除不符合条件的数，避免重复或遗漏。 【例题3】.（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一，如图：，，又，所以，故；情况二，如图：，，所以，故． 【详解】解：情况一，如图： ， ， 又，， ， ； 情况二，如图： ， ， 又， ， ； 综上所述，在射线旋转一周的过程中，经过或秒，射线、射线所在的直线互相垂直， 故答案为：或． 【变式题3-2】.（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．    【答案】14或63.6或134 【分析】设射线旋转的时间为t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． 【详解】解：设射线旋转的时间为t秒， ∵射线绕Q点每秒旋转，射线先转42秒，射线才开始转动， ∴射线还需旋转138秒到达， ∴． ①如图，当，   ，， ∵， ， ∵， ， ， 解得． ②如图，当时，   ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得． ③如图，当时，   ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒． 故答案为：14或63.6或134． 【变式题3-3】.（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数）， ． 【答案】19 【分析】本题考查了角的和差计算，一元一次方程的应用等知识点，难度较大． 先求出当时，在内部，得出，，代入式子计算确定，求解即可． 【详解】解：如图： 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，在内部， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：19． 【题型5】数轴动点+绝对值几何意义 1.期末考点总结 核心考点：数轴三要素、动点坐标表示（左减右加）、绝对值几何意义（表示与的距离） 辅助考点：分类讨论思想、最值问题 2.解题攻略 步骤1：建立数轴，标注固定点坐标，用含参数的式子表示动点坐标（如动点从点出发，速度为，则的坐标为） 步骤2：根据距离关系列绝对值表达式，利用绝对值非负性或几何意义求最值/特殊值 关键：分动点在目标点左侧、右侧、重合三种情况讨论，避免漏解 【例题5】.（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴与实数，由绝对值的意义，当表示与数，3，6三个数的距离和，当时，到三个数的距离和最小是． 【详解】表示数轴上表示与的距离，与的距离，与的距离，这三个距离的和， 当时，， 故答案为：；． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·重庆·期中）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 【答案】 【分析】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．假设车站距离号楼米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【详解】解：设车站距号楼米，则总路程， 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 比较各区间最小值，当时，最小为； 故车站应建在距号楼米处，路程之和最小为米． 故答案为：，． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河南焦作·月考）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律； 根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度. 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 【题型6】整式加减——图形割补与面积计算 1.期末考点总结 核心考点：整式加减（去括号、合并同类项）、规则图形面积公式、不规则图形“割补法”、含字母整式表示面积 辅助考点：图形建模、同类项合并准确性 2.解题攻略 步骤1：建模转化——将场景转化为几何图形，明确边长（含字母）与待求面积范围 步骤2：割补列式——分割/补全不规则图形，用整式表示各部分面积（如长方形面积） 步骤3：化简计算——按法则去括号、合并同类项，得最简整式（有具体值可代入求值） 关键：割补不重复不漏算、符号法则应用、边长与字母对应准确 【例题6】.（25-26六年级上·山东淄博·月考）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多2，记图（1）中阴影区域周长为，图（2）中阴影区域周长为，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，理解题意并列出正确的代数式是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差，计算即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图（2）得大长方形的长为， ∵大长方形的长比宽多， ∴它的宽为， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式题6-1】.（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为，设面积为的长方形一条边为，若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算的应用，由题意可得图②中，，由此表示出阴影部分的面积，然后令含的项的系数之和为，列方程求得的值，从而求解． 【详解】解：由题意可得：，， ， 又阴影部分的值总保持不变， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且．若，，则正方形①的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是结合图形表示出图①和图②中阴影部分的周长．设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决． 【详解】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b， ， 则图（1）中阴影部分的周长和， ， 图（2）中阴影部分的周长和为： ， ， ， 解得， 故答案为：． 【题型7】数轴、绝对值与实际场景中的极值求解 期末考点总结 核心考点：绝对值非负性（）、数轴上两点距离最值、整式表达的面积/数量最值、物资分配中的整数解极值 辅助考点：分类讨论思想、数形结合、实际场景约束条件（正整数、取值范围） 【例题7】.（25-26八年级上·四川成都·月考）若四位数 能被整除，当四位数最小时， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了整式的运算的应用，利用代数式把这个四位数表示出来是解题的关键．先利用代数式表示这个四位数得，其中，结合其能被21整除，将这个代数式变形为，则能被21整除，然后结合a、b的取值范围，即可讨论得到该四位数的最小值． 【详解】解：， 能被21整除，，， 能被21整除， ∵要使最小，即a的值最小，且， ∴当时，没有符合题意的b的值； 当时，没有符合题意的b的值； 当时，则，此时能被21整除，且最小， 当四位数最小时，． 故答案为：4． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体，然后再根据从正面和上面看的图分别添加小正方体求解即可． 【详解】解：根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体， 当最左边一列（任意一行）加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最少有6个． 1 1 1 1 情况1 1 1 1 1 情况2 1 1 1 1 情况3 当最左边一列三行各加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最多是8个． 1 1 故选：B． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、线段等知识点，发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报是解题的关键． 先发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，再确定线段的条数即可解答． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，因为图中有线段、、、、、、、、、共10条，所以发出警报的点P位置最多有10个． 故答案为：10． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 【答案】 【分析】此题主要考查了行程问题，小数加法、乘法的应用，根据已知得出划船周期为分钟，进而分析得出甲游划的路线即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：甲划船的全部时间为小时分钟，他每划行分钟，休息分钟，周期为分钟， 所以甲一共可分为个分钟划行时间段，中间有个分钟休息， 如果甲开始向下游划，当他用个分钟的时间段向下游划时， 这时他离开码头的距离为：（千米）， 而返回用个分钟的时间段游划的距离和休息时水流所带距离为（千米）， 因为， 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到点时他将无法返回出发地； 如果甲开始向上游划，那么他可以用个时间段向上游划， 这时他最远离开码头的距离为：（千米）， 又（千米）， 所以最后一个时间段，完全可以返回码头， 故答案为：． 【题型8】新定义问题 1.期末考点总结 核心考点：理解新定义规则、转化为七上核心知识（整式加减、绝对值、方程）、分类讨论求解 辅助考点：阅读理解能力、举例验证意识、符号运算准确性 2.解题攻略 步骤1：吃透定义——拆解新规则（如“M运算”“奇妙数”），用具体例子验证理解 步骤2：转化建模——将新定义问题转化为已知数学模型（如方程、绝对值运算、整式判断） 步骤3：分类求解——按定义约束条件（如参数取值、正整数要求）分类计算，排除不合理解 关键：不偏离七上知识边界、逐句核对定义细节，避免因理解偏差出错 【例题8】.（25-26六年级上·山东淄博·期中）现定义一种“M运算”：对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和． 例如：对，1，6这三个数进行“M运算”，得，． 则，对，1，6这三个数进行“M运算”的结果为18． 若关于“M运算”有下列说法： ①对a，7这两个数进行“M运算”的结果是2，则a的值是9； ②对b，，10这三个数进行“M运算”的结果是36，则b的值最大为10，最小为； ③对c，，5，11这四个数进行“M运算”，则当时，该运算的结果取得最小值为39． 则以上关于“M运算”的说法中，正确的是 ．（只填写所选择的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算． 说法①中，由“M运算”定义得，解得或9，说法不全面；说法②中，由条件得，解得；说法③中，分情况求值，进而判断即可． 【详解】说法①：对a，7进行“M运算”为，由结果为2得，则或，解得或，说法①错误； 说法②：对b， ，10进行“M运算”为，由结果为36得． 当时，，，则，解得； 当时，，则恒成立； 当时，，，则，解得（不在范围内）； 故，即b最大为10，最小为，说法②正确； 说法③：对c， ，5，11进行“M运算”，固定部分为，变量部分为，总结果． 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，； 故当时，该运算的结果取得最小值为39，说法③正确． 故答案为②③． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为 ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有 ． 【答案】 5 100，125，200，250，500 【分析】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题． （1）由奇妙数”的定义，分别对3、5、6三个数进行判断即可； （2）由题意，根据“奇妙数”的定义通过分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，把3写在1的右边，得13，写在2的右边得23，……由于13、23、33，都不能被3整除，故3不是“奇妙数”；把6写在1的右边，得16，写在2的右边得26，……由于16、26，都不能被6整除，故6不是“奇妙数”；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是“奇妙数”； 故答案为：5； （2）根据题意，这个三位数的“奇妙数”为， 则， ∴为正整数， ∵k为正整数， ∴为正整数， ∴y的可能值为：100，125，200，250，500； 故答案为：100，125，200，250，500． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，1，2进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对，0，2025进行“运算”结果是0； ②对进行“运算”的结果是10，则或3； ③在这一列数中插入一个数，然后进行“运算”，当其结果最小时，对应的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，绝对值的几何意义，整式的加减运算等，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． ①按照定义运算即可判断；②根据Q运算结果为10得到方程，然后解方程即可判断；③根据在数轴上的意义，分析得出q应位于原数列的中间两个数之间时运算结果最小，即可判断． 【详解】解：①，故①错误； ②∵， ∴ ，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； ∴ 或 3，故②正确； ③该数列共有项，插入q后共2023项， ∵在数轴上表示数对应的点之间的距离， ∴插入q后，要使Q运算总和最小，则q应位于原数列的中间两个数之间， 其中间两项为第1011项和第1012项，第1011项为，第1012项为， ∴对应的取值范围是，故③正确； 综上，正确个数为2个， 故选：C． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·重庆·期中）定义：如果多项式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2）当时，多项式（，，，是常数）的值为10，则它的“续和式”是12； （3）设，当时，的值为0；其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义问题，求解代数式的值，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键． （1）根据“续和式”的定义，分别计算出，，的值，再代入到计算即可； （2）将代入得到一个关于，，的等式，再把多项式的“续和式”表示出来，将代入求解即可； （3）将用含的代数式表示出来，再将代入求解即可． 【详解】解：与互为“续和式”， ，，， ，，． ． 故结论（1）正确． ，，， ，，， 的“续和式”是． 当时，多项式的值为10， ． 当时，， 故结论（2）错误． ， 当时，的值为0． 故结论（3）正确． ∴ 正确结论有2个． 故选：C． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑩个图形中“围棋子”的颗数是（   ） A．180 B．181 C．225 D．226 【答案】D 【分析】根据规律，第个图形有（颗），计算当时的代数式的值即可． 本题主要图形变化规律,解决本题的关键是要分析总结归纳图形变化规律. 【详解】解：根据题意，第一个图形有（颗）； 第二个图形有（颗）， 第三个图形有（颗）， 根据规律，第n个图形有（颗）， 当时，， 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义表示到的距离与的距离的差，进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值． 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上三个点分别表示数，点在原点两侧且到原点的距离相等，设点之间的距离为，点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是相反数的含义，一元一次方程的应用，绝对值的含义，由点A和点B在原点两侧且到原点距离相等，可知A和B表示的数互为相反数，据此建立方程求出t与s的关系，再代入计算距离d和e，最后求比值． 【详解】解：∵点A和点B在原点两侧且到原点距离相等， ∴A表示的数与B表示的数互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴数轴上三个点分别表示数， ∴点之间的距离为， 点之间的距离为， ∴． 故选：D 4．（25-26七年级上·河北邢台·月考）若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是三次四项式，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程得到，根据解为整数推出是6的奇数因数，得到整数的可能值，再根据多项式是三次四项式，要求，排除，最后求满足条件的整数之和． 【详解】解∶∵方程， 化简得， 两边同乘10得， 即， ∴， ∴． ∵解为整数， ∴是6的因数，且为奇数（因为整数）， 6的奇数因数有、， ∴时， 时， 时， 时． 多项式是三次四项式， ∵系数， ∴需系数，即， ∴满足条件的为，，， 其和为， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的项、项数或次数，解一元一次方程（三）——去分母，已知方程的解，求参数，多项式系数、指数中字母求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 5．（25-26七年级上·江苏南通·期中）有一种特殊的长方形恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示．图中的数字为正方形编号，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为，．当时，第10个正方形的面积是（   ） A．4 B．9 C．36 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减运算，代数式求值；结合图形找到各正方形的边长关系是解题关键． 根据各个正方形边长的和差关系依次表示出第3、4、5、6、7正方形的边长，由1、3、7正方形边长得到第10个正方形的边长；再代入计算即可． 【详解】解：由图可知第3个正方形的边长为， ∴第4个正方形的边长为， 第5个正方形的边长为， 第6个正方形的边长为， 第7个正方形的边长为， 第10个正方形的边长为， ∵， ∴第10个正方形的边长为， ∴第10个正方形的面积为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在如图的九宫图的每个格子中填一个数，使得每行，每列以及斜对角的三个数之和都相等．当时， ，和之间的数量关系可用等式 表示． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质解一元一次方程，整式的加减的应用；根据幻方的性质，设幻和为，利用已知条件、、，通过行列和对角线的和相等，逐步求出、，并得到与的关系，进而推导出、、的关系式． 【详解】解：设每行，每列以及斜对角的三个数之和为S， 由第一行：，代入、，得，即． 由第一列：，代入、，得，即． 由和，得，故． 由副对角线：，代入，得．代入，得，解得． 由主对角线：，代入、，得，即．代入，得，故． 由第三列：，代入、，得，即．代入，得，故． 由和，得，即． 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·四川成都·月考）对任意一个三位数n，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得 对调百位与个位上的数字得 对调十位与个位上的数字得 这三个新三位数的和为，，所以．若都是“相异数”，其中 (，都是正整数)，规定：，当时， 则k的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减，和新定义运算，理解“相异数”的概念及的算法是解题的关键．根据的算法得出，，再由得出，列出符合题意的的取值，即可得出k的最大值． 【详解】解：对于，百位数字为，十位数字为2，个位数字为5，对调数位后三个新三位数为：，，， ∴新三位数和为：， ∴， 对于，百位数字为7，十位数字为，个位数字为3，对调数位后三个新三位数为：，，， ∴新三位数和为：， ∴， 由，得，即， 的取值范围为，的取值范围为，且s和均为“相异数”，故 、，、， ∴或或或或， ∵， ∴或或或或， ∴的最大值为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆万州·月考）两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，再将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的4个新的两位数的和记为． 例如：；． （1）计算： ； （2）若一个两位数，两位数（，，x，y是整数），交换两位数p的十位数字和个位数字得到新数，当的值与q的个位数字的6倍的和能被13整除时，称这样的两个数p和q为“美好数对”，则所有“美好数对”中的最大值是 ． 【答案】 120 302 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解和新定义，通过给定的条件求出x和y的值是解决本题的关键． （1）根据题意求出组成的四个两位数即可解答； （2）根据给定的条件求出x和y的值，可以找出两对美好数对，然后分别求出的值即可找出最大值． 【详解】解：（1）根据题意得，， 故答案为：120； （2）∵两位数，则p的十位是，个位是，因此（交换后）为 ， 两位数，则q的个位数字是（因为 54的个位是 4，加y后个位为，且，无进位）， ∵能被13整除， 代入，得： ， 因此能被13整除，即能被13整除（因为4与 13 互质）， ∵，，则的范围是：到， 在中，能被13整除的数有13、26， 若， 时，（符合）， ∴，， ∴； 若， 时，（符合）， ∴，， ∴； 因此，所有“美好数对”中的最大值是302． 故答案为：302． 9．（25-26七年级上·河北沧州·月考）如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为 ． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 10．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $