专题07 期末复习之几何图形初步 直线、射线、线段与角的计算（考情分析+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义通过考情分析表格系统梳理直线、射线、线段与角的知识体系，分5个核心考点明确复习目标与考察形式，用对比表格呈现三者端点、延伸性等核心区别，构建清晰知识脉络。 亮点在于分层题型设计，从基础的线段比较到培优的动态角旋转问题，如射线旋转构建含时间变量的角度表达式，培养推理意识与几何直观。错题警示提供避坑攻略，同步练习覆盖不同层次，助力教师精准教学与学生自主提升。

专题07 直线、射线、线段与角 期末考点 复习目标 考察形式 1.直线、射线、线段的概念与表示 1.掌握三者端点、延伸性差异； 2.规范表示方法； 3.结合情境识别图形 1.基础必考题，多为选择（1题）/填空（1题）；2.易错点集中在“延长”操作表述 2.线段比较与中点、n等分点 1.掌握叠合法、度量法； 2.理解中点/等分点定义； 3.能进行线段长度计算 1.基础题（选择/填空）：比较长短； 2.提升题（解答）：中点计算； 3.培优题（填空压轴）：n等分点与比例 3.角的表示、分类与度分秒换算 1.规范角的表示方法； 2.区分锐/直/钝角； 3.掌握60进制换算规则 1.基础必考题，覆盖选择/填空（2-3题）； 2.复杂换算多为提升题（解答小题） 4.角的和差、角平分线 1.理解角的和差关系； 2.掌握角平分线定义； 3.能进行角度计算 1.提升题（解答1题）； 2.常结合折叠、图形组合考察 5.折叠/动态/跨学科情境角 1.运用折叠性质； 2.分析动态旋转角度变化； 3.提取跨学科情境中角度信息 1.培优题（填空/解答压轴）； 2.近3年教育强省真题高频创新题型 【题型1】直线、射线、线段概念混淆（易错题型） 1.易错点总结 混淆“延长”操作：如“延长射线”(射线本身向一端无限延伸，不可延长)； 线段延长线方向错误：如“延长线段”与“延长线段”混淆(端点不同，延伸方向相反)； 忽略核心特征：混淆三者端点数量(直线0个、射线1个、线段2个)与延伸性差异。 2.避坑攻略 牢记核心区别表： 图形 端点数量 延伸性 可延长性 直线 0个 双向无限延伸 不可延长 射线 1个 单向无限延伸 仅能反向延长(如延长射线) 线段 2个 不可延伸 双向可延长(延长或) 口诀记忆：“直线无端双向伸，射线一端单向走，线段两端固定长，延长方向看端点”。 【例题1】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-1】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（  ） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为 D．射线和射线是同一条射线 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 【题型2】度分秒换算与混合运算错误（易错题型） 1.易错点总结 进制混淆：误将60进制当10进制（如、)； 换算漏步：跨单位换算跳过中间步骤(如直接算为)； 单位不统一：加减前未统一单位(如与直接相加)； 结果不规范：分/秒≥60未化简(如)。 2.避坑攻略 核心公式：，，，口诀：“大化小乘60，小化大除60”； 换算规范：小→大分步算(如)，大→小小数乘60(如）； 运算原则：先统一单位，再运算，满60进1、借1当60； 结果验证：检查分/秒<60，必要时逆运算核对。 【例题2】.（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 【变式题2-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式题2-2】.（24-25七年级上·陕西安康·月考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【基础题型】 【题型3】线段长短的比较与基础计算 1.期末考点总结 考察两种比较方法的操作逻辑； 结合数轴或图形表述比较结果； 规范使用“”“”“”连接。 2.解题攻略 叠合法：将两条线段一端重合，观察另一端位置(如线段与，与重合，在上则)； 度量法：用刻度尺量出长度(单位统一)后比较； 数轴场景：线段长度(、为端点对应数轴上的数)。 【例题3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线和线段相交于点．在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小；在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·河北承德·期末）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．如图所示，如果点是折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)当时，点在线段_____上； (2)当点与重合时，直接比较，的大小． (3)若为线段的中点，，，求的长度． 【变式题3-2】.（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”） ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·重庆綦江·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置； (2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【提升题型】 【题型4】线段中点相关计算 1.期末考点总结 考察中点定义(将线段分成两条相等线段的点)； 利用中点性质求线段长度； 多中点叠加情境的线段和差推导。 2.解题攻略 核心公式：若是中点，则，； 多中点处理：先标注相等线段(如、分别是、中点，则，)，再用“整体−部分”推导(如)； 关键技巧：画图标注已知长度，避免漏看线段关系。 【例题4】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，在同一直线上从左到右依次有四点，且． (1)若，求的长度； (2)若，点是的中点，点是的中点，，求线段的长． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西防城港·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ， (2)填空：当时，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，此时线段的中点表示的数为 ； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【题型5】角平分线的应用 1.期末考点总结 考察角平分线定义(将一个角分成两个相等角的射线)； 利用角平分线求未知角； 多角平分线情境的比例推导。 2.解题攻略 核心公式：若平分，则，； 多角平分线处理：如、分别平分、，则； 技巧：结合图形标注相等角，用“整体角度”反向验证结果。 【例题5】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·江西九江·月考）【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 ， ； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·山东济南·期末）（1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段， ，点M，N分别为，的中点，求的长． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·四川达州·月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①的度数为 °； ②若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【题型6】角的和差计算 1.期末考点总结 考察角的和差定义； 结合图形(三角尺组合、角拼接)求未知角； 简单折叠情境中“重合角相等”的应用。 2.解题攻略 关系识别：先找已知角与未知角的和差关系(如，)； 折叠性质：折叠后重合的角相等(如折叠后，且，可求)； 计算规范：度分秒统一单位后运算，结果化简(分、秒)。 【例题6】.（2025七年级上·上海·专题练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·山西运城·月考）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_____； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【培优题型】 【题型7】线段n等分点计算(含比例) 1.期末考点总结 考察n等分点定义(将线段分成n条相等线段的点)； 比例分点(如)的线段长度计算； 数轴上n等分点的坐标推导。 2.解题攻略 等分点公式：若是的n等分点，则或(根据分点位置)； 比例分点：如，则总份数，，； 数轴坐标：若、，第个n等分点坐标为()。 【例题7】.（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，四个点将数轴上表示与10两点间的线段五等分，这四个等分点分别表示有理数． (1)求的值． (2)求的值． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·广东深圳·期中）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点所对应的数为___________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为26？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为___________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出：的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）【问题背景】：学习完平面图形的初步认识后，我们知道，从动态角度理解：“线段可由点运动而形成”、“角可由一条射线绕它的端点旋转而形成”；同时我们还知道，如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的角平分线．以此类推：“线段的三等分点”，“角的三等分线”；……． 【发现结论】如图1，当点C为线段中点时，射线为的角平分线；当点C为的三等分点时，射线为的三等分线；当点C为的四等分点时，射线为的四等分线，…．我们发现结论：的长度与的大小可以形成一种一一对应的关系．这种关系我们可以用式子 更形象地加以描述． 【定义概念】对于图1，当，我们把线段称为的特征线，称为线段的特征角，若把特征线的长度记为x，特征角的度数记为，特征线与特征角之间的对应关系则可以表示为：．例如：，，若，则线段的特征角，线段与之间的对应关系就可以表示为． 【知识应用】 在图2中，若线段，． (1)特征线与特征角之间对应的关系用描述是否符合对应规则，请说明理由． (2)当时，求线段的长度． (3)已知特征线与特征角之间的对应关系可用表示，当时，请在图2中仅用无刻度直尺和圆规画出射线的位置． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识准备】若数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，M是的中点，则我们有中点公式：M对应的数为例如：若点A对应的数是2，点B对应的数是6，则的中点M对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且，则 ， ，的中点N所对应的数为 ； (2)【问题探究】在（1）的条件下，若点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动了6秒后，点Q从D点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，R为的中点．设Q点运动时间为t秒，当t为何值时，点R恰好位于原点O； (3)【拓展延伸】若数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，M为靠近A的三等分点，则我们有三等分点公式：M对应的数为若数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，M为靠近A的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为，在（2）的条件下，若E是最靠近Q的四等分点，F为的中点，求的最小值？ 【题型8】角的折叠问题(多次折叠推理) 1.期末考点总结 考察折叠性质(重合部分全等，对应角相等)； 多次折叠后角度递推； 结合平角、周角构建方程求解。 2.解题攻略 标注对应角：第一次折叠，第二次折叠，则； 方程构建：利用平角()或周角()列等式(如，已知，则)； 关键：画图模拟折叠过程，避免角度关系遗漏。 【例题8】.（23-24七年级下·广东惠州·期末）在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分） 证明：过点G作直线， 又，，__________ ，_________， · (2)（类比探究）在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． (3)（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【变式题8-1】.（23-24七年级下·福建泉州·期末）在中，，点、分别在直线、上，． (1)如图1，当点在边上，点在边上时，试说明：； (2)如图2，当点在的延长线上，点在的延长线上时，直线与交于点，点在上，且，平分吗？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当平分时，将沿折叠至，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·山东德州·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【变式题8-3】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小聪回想今天的一天，发现从学校的课外活动，到放学回家的途中，再到去商店购买的笔筒、三角尺和机械手表，其中蕴含着丰富有趣的数学问题． 【基础设问】 （1）每年的6月5日是地球环境日，小聪所在的综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无菌纸盒． ①若准备制作一个无盖的正方体纸盒，经过折叠能围成的固定无盖正方体纸盒的是_____． ②知图1是他们的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是_____． （2）如图2，学校所在的位置为，小聪家所在的位置为，请你写出小聪放学回家距离最短的路径：_____，得出这个结论的依据是：______． （3）小聪从地图上测得学校在她家的北偏西方向（如图3），她看到家里的钟表如图4，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则可以说学校在家的_____． A.2点钟方向     B.10点钟方向    C.11点钟方向     D.8点钟方向． （4）小聪放学回家途经商店时买了一个圆柱形的笔筒，如图5，分别从前面、左面、上面观察这个笔筒，各能得到什么平面图形？ 【能力设问】 （5）小聪将买来的一副三角尺按不同的位置摆放，其中等式一定成立的是_____． （6）小聪打算用如图6的手表做限时训练，小聪将其理解成如图7的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上）．已知表盘的直径为，，若点是靠近点的三等分点，则手表全长_____． 【拓展设问】 （7）如图8，在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合），时针为，小聪一看现在正好是． ①时分针和时针的夹角为_____°． ②作射线，使，请直接写出此时的度数． ③自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时以内，探究经过多久的度数是． 【题型9】动态角问题(射线旋转) 1.期末考点总结 考察射线旋转的角度变化规律(速度×时间旋转角度)； 构建角度表达式(含时间变量)； 分类讨论旋转后的位置关系(重合、垂直、特定夹角)。 2.解题攻略 表达式构建：设旋转时间为秒，初始角度，旋转速度s，顺时针旋转角度为，逆时针为； 分类讨论：根据旋转方向（顺/逆）和范围（）确定的取值； 方程求解：如求旋转后时的，列方程，解出（），排除无效解。 【例题9】.（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式题9-1】.（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图1，数轴（原点未画出）上的点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数． (1)写出和的值： ， ； (2)如图2，为数轴上一点，且在点的右侧，将射线绕点旋转直至与射线重合，此时点A、B落在点处，当点与点重合时，点所对应的数为 ，点所对应的数为 ； (3)点M、N分别从点B、C同时出发，向右移动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，当点追上点时，运动停止． ①求点从出发到追上点所需时间； ②求运动停止时，点到原点的距离． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南新乡·开学考试）已知如图1，点O是直线上的一点，，． (1)求的度数； (2)若绕着点O顺时针旋转（与重合即停止），如图2，分别平分，则在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，说明理由； (3)若的边从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒和每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时两边都停止旋转），分别平分平分．设旋转时间为t秒． 求：①当旋转时间 时，；②当旋转时间 时，． 【变式题9-3】.（24-25七年级上·广东东莞·期末）【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放， 【提出问题】 (1)当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________． (2)将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 3．（25-26七年级上·陕西西安·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 三、解答题 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用度表示下列各角： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有______条线段？ (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 6．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考）【问题探究】（1）已知点是直线上一点，，射线平分． ①如图1，当射线，均在直线上方时，若，求的度数； ②如图2，当射线在直线上方，射线在直线下方时，若，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题解决】（2）如图3，机器人机械臂的关节点固定在末端执行器上，左上臂与左下臂的夹角为，机械臂运动时，左上臂与左下臂的夹角始终为（即），右下臂与左下臂和末端执行器中所成的夹角始终相等（即射线平分）．在机械臂运动过程中，末端执行器中与左下臂的夹角的度数和左上臂与右下臂的夹角的度数存在怎样的数量关系？（即判断与间的数量关系），请说明理由． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，则 ； (2)在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的直角三角尺绕顶点O旋转至图②的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系． 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线、射线、线段与角 期末考点 复习目标 考察形式 1.直线、射线、线段的概念与表示 1.掌握三者端点、延伸性差异； 2.规范表示方法； 3.结合情境识别图形 1.基础必考题，多为选择（1题）/填空（1题）；2.易错点集中在“延长”操作表述 2.线段比较与中点、n等分点 1.掌握叠合法、度量法； 2.理解中点/等分点定义； 3.能进行线段长度计算 1.基础题（选择/填空）：比较长短； 2.提升题（解答）：中点计算； 3.培优题（填空压轴）：n等分点与比例 3.角的表示、分类与度分秒换算 1.规范角的表示方法； 2.区分锐/直/钝角； 3.掌握60进制换算规则 1.基础必考题，覆盖选择/填空（2-3题）； 2.复杂换算多为提升题（解答小题） 4.角的和差、角平分线 1.理解角的和差关系； 2.掌握角平分线定义； 3.能进行角度计算 1.提升题（解答1题）； 2.常结合折叠、图形组合考察 5.折叠/动态/跨学科情境角 1.运用折叠性质； 2.分析动态旋转角度变化； 3.提取跨学科情境中角度信息 1.培优题（填空/解答压轴）； 2.近3年教育强省真题高频创新题型 【题型1】直线、射线、线段概念混淆（易错题型） 1.易错点总结 混淆“延长”操作：如“延长射线”(射线本身向一端无限延伸，不可延长)； 线段延长线方向错误：如“延长线段”与“延长线段”混淆(端点不同，延伸方向相反)； 忽略核心特征：混淆三者端点数量(直线0个、射线1个、线段2个)与延伸性差异。 2.避坑攻略 牢记核心区别表： 图形 端点数量 延伸性 可延长性 直线 0个 双向无限延伸 不可延长 射线 1个 单向无限延伸 仅能反向延长(如延长射线) 线段 2个 不可延伸 双向可延长(延长或) 口诀记忆：“直线无端双向伸，射线一端单向走，线段两端固定长，延长方向看端点”。 【例题1】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，故说法错误； （2）射线是不可度量的，故说法错误； （3）线段和线段是同一条线段，故说法正确； （4）射线和射线不是同一条射线，故说法错误； （5）直线和直线是同一条直线，故说法正确； ∴正确的有2个． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（  ） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为 D．射线和射线是同一条射线 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义以及公理的应用．选项A正确应用了“两点确定一条直线”的原理；选项B混淆了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；选项C错误地认为直线有长度；选项D错误地认为方向相反的射线是同一条射线． 【详解】解：∵两点确定一条直线，选项A中用两个钉子固定木条符合这一原理，∴A正确． ∵选项B中缩短路程是基于“两点之间线段最短”的公理，而非“两点确定一条直线”，∴B错误． ∵直线是无限延伸的，没有固定长度，∴C错误． ∵射线是以A为端点向B方向延伸，射线是以B为端点向A方向延伸，方向相反，不是同一条射线，∴D错误． 故选：A． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)8条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及“两点之间线段最短”是解题的关键． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短作出点P即可； （4）根据线段和射线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． （4）解：图中有线段，，，，，，，，共有8条； 以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以D为端点的射线有1条，共6条． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了画直线和线段，解决本题的关键是根据直线、线段的特点画图． （1）过点、、C分别画直线和即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示，直线和即为所求作； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点， 连接． 【题型2】度分秒换算与混合运算错误（易错题型） 1.易错点总结 进制混淆：误将60进制当10进制（如、)； 换算漏步：跨单位换算跳过中间步骤(如直接算为)； 单位不统一：加减前未统一单位(如与直接相加)； 结果不规范：分/秒≥60未化简(如)。 2.避坑攻略 核心公式：，，，口诀：“大化小乘60，小化大除60”； 换算规范：小→大分步算(如)，大→小小数乘60(如）； 运算原则：先统一单位，再运算，满60进1、借1当60； 结果验证：检查分/秒<60，必要时逆运算核对。 【例题2】.（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1)49；54 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将小数度转换为度分； （2）将度分转换为度； （3）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （4）进行角度减法，不够减时需借位． 【详解】（1）解：， 故答案为：49；54． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ， ， 故答案为：． （4）解：， 故答案为：． 【变式题2-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 【变式题2-2】.（24-25七年级上·陕西安康·月考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 【基础题型】 【题型3】线段长短的比较与基础计算 1.期末考点总结 考察两种比较方法的操作逻辑； 结合数轴或图形表述比较结果； 规范使用“”“”“”连接。 2.解题攻略 叠合法：将两条线段一端重合，观察另一端位置(如线段与，与重合，在上则)； 度量法：用刻度尺量出长度(单位统一)后比较； 数轴场景：线段长度(、为端点对应数轴上的数)。 【例题3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线和线段相交于点．在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小；在射线上取一点，画出线段和，再比较点到点和点的距离的大小． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了比较线段的长、短，解决本题的关键是用圆规作一条线段等于已知线段，把两条线段叠合在一起比较线段的长短． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画弧，交于点， 由图可知； 如下图所示，以点为圆心，为半径画弧，交于点， 由图可知． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·河北承德·期末）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．如图所示，如果点是折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)当时，点在线段_____上； (2)当点与重合时，直接比较，的大小． (3)若为线段的中点，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为2或14 【分析】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键． （1）由“折中点”的定义判断即可； （2）由“折中点”的定义得出即可； （3）分两种情况：点D在上，点D在上，由“折中点”的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 由“折中点”的定义可知点D在线段上； （2）解：当点D与点C重合时，根据“折中点”的定义可知； （3）解：∵为线段的中点，， ∴， 当点D在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当点D在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的长度为2或14． 【变式题3-2】.（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”） ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______． 【答案】(1)6 (2)①；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据线段的和差关系即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②解：，分别为，中点 ，， ，， ， ． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·重庆綦江·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置； (2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18.2 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）由线段的和得出，即可得解； （3）先求出，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求， （2）解：， ， ； 故答案为：； （3）解：，， ， ， ， 故答案为：18.2． 【提升题型】 【题型4】线段中点相关计算 1.期末考点总结 考察中点定义(将线段分成两条相等线段的点)； 利用中点性质求线段长度； 多中点叠加情境的线段和差推导。 2.解题攻略 核心公式：若是中点，则，； 多中点处理：先标注相等线段(如、分别是、中点，则，)，再用“整体−部分”推导(如)； 关键技巧：画图标注已知长度，避免漏看线段关系。 【例题4】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，在同一直线上从左到右依次有四点，且． (1)若，求的长度； (2)若，点是的中点，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义． （1）由可得，从而可得答案． （2）由，证明，结合是的中点，是的中点，进一步求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以． （2）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以． 因为是的中点，是的中点， 所以， 所以． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 【答案】（1）3，5；（2），；（3）运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上线段中点表示的数，解一元一次方程等知识． （1）先求出，根据中点定义得到，根据点在数轴上的位置求出x即可； （2）按照（1）求出，即可得到； （3）根据题意得出、表示的数，进而分①当点E在点F左侧时，②当点E在点F右侧时，根据点和点相距个单位长度，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1），，点A，B分别表示数a，b， ， 点M是线段的中点． ， 表示数x． ， 故答案为：3，5； （2）由题意可知，，即点A，B之间的距离表示为， 点M是线段的中点． ， ，即x表示的数为； 故答案为：，； （3）由题意，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 因为E是中点， 所以点E表示的数为， 因为F是中点， 所以点F表示的数为； ①当点E在点F左侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； ②当点E在点F右侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； 综上，运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 【答案】（1）7cm；（2）cm；（3）会变化，． 【分析】本题考查线段中点有关的计算，线段的和差． （1）由中点的定义得到，再利用，即可得出结果； （2）同法（1）进行求解即可； （3）同法（1）进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； （2），点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （3）会； ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西防城港·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ， (2)填空：当时，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，此时线段的中点表示的数为 ； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【答案】(1)10，1 (2)，2，0 (3)，3.5 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握两点间的距离公式和线段的中点计算公式，是解题的关键： （1）根据题干给定的2个公式进行计算即可； （2）根据点的移动规则，求出点表示的数，进而求出线段PQ的中点表示的数即可； （3）根据时间等于路程除以速度，求出，进而求出此时点表示的数，再根据线段中点公式进行计算即可． 【详解】（1）解：；线段的中点表示的数为； 故答案为：10，1； （2）由题意，点表示的数为；点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； 故答案为：，2，0； （3）由（1）知：， ∴， 此时点表示的数为，线段的中点表示的数是． 【题型5】角平分线的应用 1.期末考点总结 考察角平分线定义(将一个角分成两个相等角的射线)； 利用角平分线求未知角； 多角平分线情境的比例推导。 2.解题攻略 核心公式：若平分，则，； 多角平分线处理：如、分别平分、，则； 技巧：结合图形标注相等角，用“整体角度”反向验证结果。 【例题5】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． 【详解】（1）解：， . , . （2） 是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3） 平分， ， 的余角的度数为. 【点睛】本题考查的知识点是角的计算及余角补角，解题关键是确定角之间的关系． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·江西九江·月考）【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 ， ； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 【答案】（1）①，；②每经过一分钟，时针转过，分针转过；（2） 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握钟面角是解题的关键； （1）①由表盘一周表示的角，结合钟表上有12个数字可得，每两个数字与表的中心所成夹角为，据此可直接进行求解；②根据①及钟面角可进行求解； （2）根据（1）可得，然后可得，进而根据角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：（1）①∵表盘一周表示的角，钟表上有12个数字 ∴每两个数字与表的中心所成夹角为， ∴巴黎时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 故答案为：，； ②由①可知，时针每60分钟转过，分针每5分钟转过， 则每经过一分钟，时针转过，分针转过； 答：每经过一分钟，时针转过，分针转过． （2）由（1）可知，依题意得，，， ， 平分，平分， ，， ． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·山东济南·期末）（1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段， ，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （2）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （3）分两种情况：当点在点的左边时；当点在点的右边时；根据线段的和差以及与线段中点有关的计算方法计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图，当点在点的左边时， ， ∵线段， ， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右边时， ， ∵线段， ， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长为． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·四川达州·月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①的度数为 °； ②若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了与角平分线的定义有关的计算，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①根据以及计算即可得解； ②由角平分线的定义可得，由射线在的内部得出，结合，得出，计算即可得解； （2）分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∵射线在的内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当在的内部时， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 如图，当在的外部时， ， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 综上所述，或． 【题型6】角的和差计算 1.期末考点总结 考察角的和差定义； 结合图形(三角尺组合、角拼接)求未知角； 简单折叠情境中“重合角相等”的应用。 2.解题攻略 关系识别：先找已知角与未知角的和差关系(如，)； 折叠性质：折叠后重合的角相等(如折叠后，且，可求)； 计算规范：度分秒统一单位后运算，结果化简(分、秒)。 【例题6】.（2025七年级上·上海·专题练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查余角的定义、角平分线的定义、角的和差计算，掌握互余的概念，角平分线的定义是关键． （1）根据互余得到，由角的和差即可求解； （2）根据题意得到，由角平分线的定义即可求解； （3）设，则，，所以，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·山西运城·月考）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 【答案】（1）①②（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查角度的计算，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①由，得出，则即可得出结果；②由，得出，则即可得出结论； （2）由，，即可得出结论； （3）设，则，由（2）知，解方程可求得和，因为射线平分，则可求，进而的度数可求． 【详解】解：（1）①，， ， ； ②，， ， ； 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ； （3）∵， 设，则， 由（2）知 ， ， ∵射线平分， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_____； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析，；（3）的度数为或． 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）结合图形求解即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）根据题意得：， 时，．理由如下： 如图， ∵，， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 【培优题型】 【题型7】线段n等分点计算(含比例) 1.期末考点总结 考察n等分点定义(将线段分成n条相等线段的点)； 比例分点(如)的线段长度计算； 数轴上n等分点的坐标推导。 2.解题攻略 等分点公式：若是的n等分点，则或(根据分点位置)； 比例分点：如，则总份数，，； 数轴坐标：若、，第个n等分点坐标为()。 【例题7】.（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，四个点将数轴上表示与10两点间的线段五等分，这四个等分点分别表示有理数． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，代数式求值，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）求出表示与10两点间的线段长，进而求出每一部分的长度，再根据两点间距离进行计算即可； （2）把字母的值代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：表示与10两点间的线段长为． 因为四个点将数轴上表示与10两点间的线段五等分． 所以每部分的长度为， 所以． （2）解：由（1）可得． 所以原式 ． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·广东深圳·期中）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点所对应的数为___________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为26？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为___________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出：的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）1；（2）25；（3）①；②存在，当时，是定值，定值为 【分析】（1）依题意，根据，可得，，进一步求解即可； （2）本题考查定值问题，点表示的数为，点表示的数为，根据的中点为26建立方程即可求解； （3）①根据题目给的已知条件即可直接得出，五等分点公式点对应的数为； ②由题意，得点表示的数为，点F表示的数为，然后根据t的变化寻找定值即可求解． 本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程，整式的加减运算，做题的关键是列出正确的关系式． 【详解】解：（1）∵ ∴ 可得：，， 的中点所对应的数为：， 故答案为：1； （2）∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒 ∴点表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为26； （3）①∵数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点． ∴五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； ②存在，过程如下： 由题意，E是最靠近Q的五等分点，F为的中点 ∴点表示的数为，点所表示的数为， ，， ， 当时，，不是定值， 当时，，是定值， 当时，，不是定值， ∴当时，，是定值，定值为． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）【问题背景】：学习完平面图形的初步认识后，我们知道，从动态角度理解：“线段可由点运动而形成”、“角可由一条射线绕它的端点旋转而形成”；同时我们还知道，如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的角平分线．以此类推：“线段的三等分点”，“角的三等分线”；……． 【发现结论】如图1，当点C为线段中点时，射线为的角平分线；当点C为的三等分点时，射线为的三等分线；当点C为的四等分点时，射线为的四等分线，…．我们发现结论：的长度与的大小可以形成一种一一对应的关系．这种关系我们可以用式子 更形象地加以描述． 【定义概念】对于图1，当，我们把线段称为的特征线，称为线段的特征角，若把特征线的长度记为x，特征角的度数记为，特征线与特征角之间的对应关系则可以表示为：．例如：，，若，则线段的特征角，线段与之间的对应关系就可以表示为． 【知识应用】 在图2中，若线段，． (1)特征线与特征角之间对应的关系用描述是否符合对应规则，请说明理由． (2)当时，求线段的长度． (3)已知特征线与特征角之间的对应关系可用表示，当时，请在图2中仅用无刻度直尺和圆规画出射线的位置． 【答案】(1)符合规则，理由见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题依托新定义考查几何变换，涉及线段的和差定义，角的和差定义，解题的关键是理解新定义． (1)根据新定义，计算判断即可； (2)根据定义求出，可得结论； (3) 根据新定义构建方程组求出m，n，延长，作，射线即为所求， 【详解】（1）解：符合规则，理由如下， ∵特征线与特征角之间对应的关系用， ∴， ∵， ∴特征线与特征角之间对应的关系用描述符合对应规则； （2）解：由题意知，，解得， ∴； （3）解：根据题意得，解得， 【变式题7-3】.（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识准备】若数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，M是的中点，则我们有中点公式：M对应的数为例如：若点A对应的数是2，点B对应的数是6，则的中点M对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且，则 ， ，的中点N所对应的数为 ； (2)【问题探究】在（1）的条件下，若点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动了6秒后，点Q从D点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，R为的中点．设Q点运动时间为t秒，当t为何值时，点R恰好位于原点O； (3)【拓展延伸】若数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，M为靠近A的三等分点，则我们有三等分点公式：M对应的数为若数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，M为靠近A的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为，在（2）的条件下，若E是最靠近Q的四等分点，F为的中点，求的最小值？ 【答案】(1)8，，2； (2)； (3)最小值为40． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，非负数的性质，绝对值的意义，一元一次方程的应用，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据，求出，再根据中点坐标公式求解即可． （2）先表示出t秒时，P点对应的数为，Q点对应的数为，即可求出的中点R点对应的数为，结合点R恰好位于原点，列方程即可求解． （3）根据E是最靠近Q的四等分点，表示出E点对应的数，根据F为的中点，表示出F点对应的数，即可表示出，再分当时，当时，当时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点C对应的数为8，点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为， 故答案为：8，，2． （2）解：P点运动6秒后对应的数为：， t秒时，P点对应的数为，Q点对应的数为， 则的中点R点对应的数为， 又点R恰好位于原点， 所以， 所以． （3）解：因为P点对应的数为，Q点对应的数为， E是最靠近Q的四等分点， 所以E点对应的数为， F为的中点， 所以F点对应的数为， 则 ， 当时，， t越大，越小， 所以当时，有最小值40， 当时，， 当时，， t越小，越小，所以当时，有最小值40， 综上所述，有最小值，最小值为40． 【题型8】角的折叠问题(多次折叠推理) 1.期末考点总结 考察折叠性质(重合部分全等，对应角相等)； 多次折叠后角度递推； 结合平角、周角构建方程求解。 2.解题攻略 标注对应角：第一次折叠，第二次折叠，则； 方程构建：利用平角()或周角()列等式(如，已知，则)； 关键：画图模拟折叠过程，避免角度关系遗漏。 【例题8】.（23-24七年级下·广东惠州·期末）在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分） 证明：过点G作直线， 又，，__________ ，_________， · (2)（类比探究）在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． (3)（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）过点G作直线，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论； （3）由折叠的性质可知，图3图4中，，，进而得出，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线性质，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图1，过点G作直线， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，，， ，， 将长方形纸条沿折叠，得到图4， 图4中，，， ， 恰好平分， ， ， ． 【变式题8-1】.（23-24七年级下·福建泉州·期末）在中，，点、分别在直线、上，． (1)如图1，当点在边上，点在边上时，试说明：； (2)如图2，当点在的延长线上，点在的延长线上时，直线与交于点，点在上，且，平分吗？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当平分时，将沿折叠至，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平分，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的特征，三角形外角的性质等； （1）由直角三角形的两个锐角互余得，即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余得， ，由三角形外角性质得，即可求解； （3）方法一：设，直角三角形的两个锐角互余得，由三角形外角性质得 ，由角的和差得，即可求解； 方法二：设，则 ，由折叠的性质得，，由，即可求解； 掌握相关的性质，能熟练进行角之间的相互转换是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，平分， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴平分． （3）解：方法一： 如图3，， 理由如下： 设，则， 由(2)知： ， ， ∵平分， ∴ ， ∵是的外角， ∴ ， 由图形折叠的特征可知：， ∴ ， ∴ ． 方法二： 如图3，， 理由如下： 设，则 ， ∵平分， ∴ ， 由图形折叠的特征可知： ， ， 由(2)知：， ∴ ， ∴、、三点共线， ∴， ∴ ， ∴ ． ． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·山东德州·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【答案】（1）90°；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、 、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 【变式题8-3】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小聪回想今天的一天，发现从学校的课外活动，到放学回家的途中，再到去商店购买的笔筒、三角尺和机械手表，其中蕴含着丰富有趣的数学问题． 【基础设问】 （1）每年的6月5日是地球环境日，小聪所在的综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无菌纸盒． ①若准备制作一个无盖的正方体纸盒，经过折叠能围成的固定无盖正方体纸盒的是_____． ②知图1是他们的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是_____． （2）如图2，学校所在的位置为，小聪家所在的位置为，请你写出小聪放学回家距离最短的路径：_____，得出这个结论的依据是：______． （3）小聪从地图上测得学校在她家的北偏西方向（如图3），她看到家里的钟表如图4，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则可以说学校在家的_____． A.2点钟方向     B.10点钟方向    C.11点钟方向     D.8点钟方向． （4）小聪放学回家途经商店时买了一个圆柱形的笔筒，如图5，分别从前面、左面、上面观察这个笔筒，各能得到什么平面图形？ 【能力设问】 （5）小聪将买来的一副三角尺按不同的位置摆放，其中等式一定成立的是_____． （6）小聪打算用如图6的手表做限时训练，小聪将其理解成如图7的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上）．已知表盘的直径为，，若点是靠近点的三等分点，则手表全长_____． 【拓展设问】 （7）如图8，在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合），时针为，小聪一看现在正好是． ①时分针和时针的夹角为_____°． ②作射线，使，请直接写出此时的度数． ③自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时以内，探究经过多久的度数是． 【答案】（1）①C，②卫；（2）②，两点之间线段最短；（3）B；（4）从前面、左面观察这个笔筒得到的是长方形，从上面观察这个笔筒，得到的是圆形；（5）C；（6）；（7）①；②的度数为或；③经过分钟或分钟后，的度数是 【分析】（1）①根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；②根据正方体的平面展开图的特征，得出答案； （2）根据两点之间线段最短即可求解； （3）钟表一圈，共有12个数字，则平均分成12份故相邻两个数之间的夹角为，那么北偏西方向，相当于钟表的10点钟方向； （4）根据圆柱的结构特征即可求解； （5）根据三角板的角度特征，进行角度的和差计算即可； （6）先得到，则，那么，再由求解； （7）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可；③根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面， ∴B、D不符合题意； A图形中含有“田”字，根据“田、凹应弃之”可知它不能作为正方体的展开图， 而选项C的图形符合题意， 故答案为：C； ②正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”与“卫”相对， 故答案为：卫； （2）小聪放学回家距离最短的路径：②，得出这个结论的依据是：两点之间线段最短， 故答案为：②，两点之间线段最短； （3）钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小聪从地图上测得学校在她家的北偏西方向， ∴想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则可以说学校在家的10点钟方向， 故答案为：B； （4）小聪放学回家途经商店时买了一个圆柱形的笔筒，从前面、左面观察这个笔筒得到的是长方形，从上面观察这个笔筒，得到的是圆形； （5）A、，故； B、； C、； D、， 故C符合题意， 故答案为：C； （6）解：∵，点是靠近点的三等分点，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （7）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为， 故答案为：75； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； ③：设经过时间为分钟， 由（2）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 【点睛】本题考查了正方形展开图，直线的性质，方向角，从不同方向看几何体，角度的和差计算，钟面角，线段的和差，一元一次方程的应用， 理解题意并正确进行分类讨论是解题的关键． 【题型9】动态角问题(射线旋转) 1.期末考点总结 考察射线旋转的角度变化规律(速度×时间旋转角度)； 构建角度表达式(含时间变量)； 分类讨论旋转后的位置关系(重合、垂直、特定夹角)。 2.解题攻略 表达式构建：设旋转时间为秒，初始角度，旋转速度s，顺时针旋转角度为，逆时针为； 分类讨论：根据旋转方向（顺/逆）和范围（）确定的取值； 方程求解：如求旋转后时的，列方程，解出（），排除无效解。 【例题9】.（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是 (2)的值是秒 (3)存在，的值是秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）当时，，，即得； （2）根据题意，当第二次达到时，可得，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线与射线第一次夹角为时，可得，当射线与射线第二次夹角为时，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 【变式题9-1】.（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图1，数轴（原点未画出）上的点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数． (1)写出和的值： ， ； (2)如图2，为数轴上一点，且在点的右侧，将射线绕点旋转直至与射线重合，此时点A、B落在点处，当点与点重合时，点所对应的数为 ，点所对应的数为 ； (3)点M、N分别从点B、C同时出发，向右移动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，当点追上点时，运动停止． ①求点从出发到追上点所需时间； ②求运动停止时，点到原点的距离． 【答案】(1)， (2)，5 (3)①18秒；②48 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上点的移动，素数、合数、以及相反数的定义等知识点． （1）根据素数、合数、以及相反数的定义求解； （2）由旋转得，，，再结合数轴上两点间的距离公式求解； （3）①根据路程差除以速度差即可求解时间；②根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数 ∴， 故答案为：，； （2）解：由旋转得，， ∴点所对应的数为 ∴点所对应的数为， 故答案为：，5； （3）解：①两点之间的距离为， 点M从出发到追上点N所需时间为（秒）； ②点M到原点的距离为． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南新乡·开学考试）已知如图1，点O是直线上的一点，，． (1)求的度数； (2)若绕着点O顺时针旋转（与重合即停止），如图2，分别平分，则在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，说明理由； (3)若的边从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒和每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时两边都停止旋转），分别平分平分．设旋转时间为t秒． 求：①当旋转时间 时，；②当旋转时间 时，． 【答案】(1) (2)不变， (3)①10或14；② 【分析】本题主要考查了角平分线的相关计算、角度的计算、一元一次方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图形，利用角的和差即可得解； （2）由角平分线可得，，再利用角的和差及整体思维求解即可； （3）①将和分别用含t的式子表示出来，进而分类讨论，建立方程求解即可； ②利用角平分线的定义分别表示出和，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，且， ； （2）的大小不变， 理由如下： 分别平分， ，， ， ； （3）①由题可知， 当在左侧时， ，即， 解得， 当在右侧时， ，即， 解得， 综上，当或14时，， 故答案为：10或14； ②平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， 故答案为： 【变式题9-3】.（24-25七年级上·广东东莞·期末）【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放， 【提出问题】 (1)当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________． (2)将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 【答案】(1)95，82.5 (2)①当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．②． 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程的应用及角平分线的计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据圆周角的度数可直接得出结论；利用角平分线的性质可得出结论； （2）①根据题意可知，需要分两种情况，当追上之前，当追上之后，分别求解即可； ②先算出当与重合后，活动针的位置，再计算当与重合时，的值及的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ； ，， ， 当平分时，， ． 故答案为：95，82.5； （2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是． 设经过秒后，． 当追上之前， 由题意得：， 解得， 此时，活动针对应的读数是：； 当追上之后， 由题意得：， 解得， 此时，活动针对应的读数是：． 综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是． ②设运动的时间为秒，当与重合时， 根据题意可知，， 解得，此时旋转，旋转，即， 此时； 当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时， 由题意可知，， 解得， 此时． 即活动针停止时对应的读数为． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角、射线的定义，直线公理和线段的性质，熟练掌握这些几何基本概念是解题的关键．逐一对每个选项结合角、射线、直线公理、线段性质的概念进行判断，确定正确选项． 【详解】解：平角是由公共端点的两条射线组成的角，直线无端点，故A项错误． 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，故B项错误． 用两个钉子固定木条，应用的是“两点确定一条直线”的公理，故C项正确． 高速公路取直缩短路程，应用的是“两点之间，线段最短”的性质，故D项错误． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较，将的单位统一为度分形式，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：B． 二、填空题 3．（25-26七年级上·陕西西安·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查角的度数大小比较，需要统一单位后比较．根据，将转换为度分形式，再与比较． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用度表示下列各角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度单位的换算，需要将分和秒转换为度，利用，，，的关系进行除法运算． （1）利用度、分和秒之间的换算计算即可； （2）利用度、分和秒之间的换算计算即可； （3）利用度和分之间的换算计算即可； （4）利用度和秒之间的换算计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵ ，， ∴，， 则． （3）解：∵ ， ∴． （4）解：∵， ∴． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有______条线段？ (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和(差)，熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和、差是解题的关键． （1）固定为端点，数线段，依次类推，最后求和即可； （2）根据，计算即可； （3）分点在点左边和右边两种情形分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 共有（条）； 故答案为：； （2）解：∵为中点，， ∴ ∵ ∴； （3）解：，， 第一种情况：点在线段上（点在点右侧），如图所示： ； 第二种情况：点在线段上（点在点左侧），如图所示： ， 综上所述，的长为或． 6．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考）【问题探究】（1）已知点是直线上一点，，射线平分． ①如图1，当射线，均在直线上方时，若，求的度数； ②如图2，当射线在直线上方，射线在直线下方时，若，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题解决】（2）如图3，机器人机械臂的关节点固定在末端执行器上，左上臂与左下臂的夹角为，机械臂运动时，左上臂与左下臂的夹角始终为（即），右下臂与左下臂和末端执行器中所成的夹角始终相等（即射线平分）．在机械臂运动过程中，末端执行器中与左下臂的夹角的度数和左上臂与右下臂的夹角的度数存在怎样的数量关系？（即判断与间的数量关系），请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． （1）①先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数． ②先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来． （2）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据，再进一步可得结论． 【详解】解：（1）①因为， 所以， 所以． 因为射线平分， 所以， 所以． ②因为点是直线上的一点，， 所以． 因为射线平分， 所以， 因为， 所以． （2）和之间的数量关系为．理由如下： 设，则， 因为射线平分， 所以， 因为， 所以． 所以， 即． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，则 ； (2)在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的直角三角尺绕顶点O旋转至图②的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是角的和差、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义和角的和差运算即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差运算即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，进一步可得，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：结论：， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了折叠的性质、平角的定义及垂直的定义，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可得，再根据平角的定义得到得到，即可得到； （2）由折叠得到，再由平角得到求出，即可得到； （3）由折叠得到，，再由平角求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ∴， ； （2）解：由折叠得到， ， ，且， ， ； （3）解：，， ∴由折叠得到，， ， ， ． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $