2026-2027学年高二数学上学期期中检测模拟题（广东深圳适用）

2026-2027学年高二（上）期中检测模拟题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （     ） A． B． C． D． 2．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 （    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （     ） A． B． C． D． 4．若圆与圆有唯一公切线，则的值为（    ） A．或25 B． C．25 D．以上均不对 5．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为 （     ） A． B． C．或 D．或 6．设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为 (　　) A． ，1 B．0,1 C．0， D． ，2 7．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为 （      ） A． B． C． D． 8．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为 （     ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，则 （ ） A．过点与直线垂直的直线方程为 B．过点与直线平行的直线方程为 C．与直线关于原点对称的直线方程为 D．与直线关于对称的直线方程为 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是 （     ） A． B． C．的长为 D． 11．椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则 （    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线方程为，它的一个方向向量为，则的值为_________． 13．已知，若，则m的值为______． 14．椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的 轨迹方程为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线：上，且过和点． 16．（15分）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 17．（15分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.    (1)若P是的中点，证明：； (2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 18．（17分）设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 19．（17分）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C A D D BCD AD 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】因为倾斜角为 ，所以斜率 ， 由直线 得斜率 ，所以 ，即 ． 2．C 【分析】根据已知求出，即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 3．A 【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，，． 由离心率 得 ，故 ，即 ，解得 ． 4．B 【分析】根据已知确定圆的圆心和半径，由公切线条数知两圆内切，再由列方程求参数值. 【详解】由，则，半径， 由，则，半径， 所以，而两圆有唯一公切线，即两圆内切，且， 所以，可得， 若显然不成立， 若， 综上，. 故选：B 5．C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 6．A 【详解】如图2，在直角坐标系中，表示直线，记，它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线的距离的平方即为所求的最小值， 即；又，问题即为求线段上的点与原点距离平方的最大值，显然有,故选A.    点睛：本题主要考查了点到直线的距离公式和直线方程的应用，解答中把转化为直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线的距离的平方即为所求的最小值，和线段上的点与原点距离平方的最大值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，试题有一定的思维含量，属于中档试题. 7．D 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 8．D 【分析】利用椭圆定义写出各焦半径，用勾股定理求出m与a的关系，进而得到a,c关系式求出离心率. 【详解】 连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率. 9．BCD 【分析】根据两直线平行求直线方程，可判断AB的真假；用代替，代替，可得直线关于原点的对称直线方程，可判断CD的真假. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 因为垂直线过点，所以，解得， 所以过点与直线垂的直线方程为故A错误， 设与直线平行的直线方程为，， 因为平行线过点，所以，解得， 所以过点与直线平行的直线方程为.故B正确. 用代替，代替，可得直线关于原点对称的直线方程为： ，即为.故C正确， 直线关于对称的直线上任取点，则点关于直线的对称点坐标为，点在直线上，所以为，即， 与直线关于对称的直线方程为，故D正确， 10．AD 【分析】AB选项，根据空间向量基本定理进行求解；C选项，表达出，平方后由空间向量数量积公式得到，得到模长；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，A正确， B选项，，B错误： C选项，， 则 ， 则，C错误： D选项，对于， ， 故，又， 则，D正确. 故选：AD. 11．AC 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 12． 【详解】直线的斜率， 因为直线方向向量为，所以斜率为， 所以． 13． 【详解】已知， 因为，则， 可得，解得． 14． 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 15．(1)圆的标准方程为 (2)圆的标准方程为 【分析】（1）小问由圆心和圆上的点，可得圆的半径，根据两点间的距离公式，可计算出圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）小问首先设圆心为，半径为，由圆心在直线：上，可得，再根据圆过点和点，可得，由两点间的距离公式，可得，整理可得，联立方程组，解得，再将，代入，解得，最后可得圆的标准方程. 【详解】（1）因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，， 联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 16．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将目标式转化为原点与直线上的点的距离，进而结合几何意义与点到直线的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，求解参数得到直线方程即可. （3）将直线方程变形为，得直线恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 17．(1) 以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 设，其中，， 若P是的中点，则，，， 于是，∴，即. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直； （2）求平面法向量，由二面角的余弦值为和平面，解得P点坐标，可求四面体的体积. 【详解】（1）略 （2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量. 设是平面的一个法向量， 则取，得. 又平面的一个法向量是， ∴， 而二面角的余弦值为，因此， 解得或（舍去），此时. 设（），而，由此得点，， ∵平面，且平面的一个法向量是， ∴，即，解得，从而. 将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高， 故四面体的体积. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $