精品解析：广东省江门市棠下中学2025-2026学年高二上学期12月阶段考试数学试题

2025-2026学年第一学期高二级12月阶段考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A 30° B. 45° C. 120° D. 135° 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 4. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆相交于A，B两点，则面积为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ） A. 规则一，规则二 B. 规则一，规则三 C. 规则二，规则三 D. 规则一，规则二，规则三 8. 已知互不相等数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则的面积为 10. 设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 点到轴的距离为 D. 四边形的面积为15 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距为6，则k的值为_____________. 13. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则为________. 14. 18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 四、解答题，本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算. 15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点； （2）渐近线方程为，且经过点. 16. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 17. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 19. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二级12月阶段考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】由直线倾斜角与斜率关系，当斜率存在时求解即可． 【详解】设直线倾斜角为， 又直线l：，即， 所以，则． 故选：D． 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案. 【详解】由，得，所以直线的斜率为， 又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为， 故选：C. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程写出双曲线的渐近线方程，可得关于的方程，求解即可． 详解】双曲线，则， 其渐近线方程为， 依题意，解得． 故选：A． 4. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 5. 直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法1：利用点到直线距离公式求得点O到直线的距离，再利用弦长公式求得，进而代入面积公式求解即可. 方法2：易知，然后利用直角三角形求解面积即可. 【详解】方法1：点O到直线的距离， 又，所以. 方法2：根据图象可知，所以. 故选：D. 6. 已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立双曲线与直线的方程，利用列式求解即可. 【详解】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 7. 某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ） A. 规则一，规则二 B. 规则一，规则三 C. 规则二，规则三 D. 规则一，规则二，规则三 【答案】B 【解析】 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 8. 已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】应用平均数、方差求法，用表示出，即可得. 【详解】由，则， 设的平均数为， 所以. 所以， 而， 因为互不相等， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在，故D错误. 故选：BC 10. 设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 点到轴的距离为 D. 四边形的面积为15 【答案】BCD 【解析】 【分析】过向作垂线，垂足为，易知、、，结合已知求出双曲线参数，再依次判断各项的正误. 【详解】由题意，，如图，过向作垂线，垂足为，，， 因为，则，得，故A错误； 由，得，且， 又， ，，所以双曲线的离心率，故B正确； 的面积， ，则点到轴的距离为，故正确； 的面积，则四边形的面积为，故D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点坐标和中点坐标，然后由空间向量的数量求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；写出点坐标，由空间向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹，然后求得圆弧的圆心角即可求得路径长，判断C选项；由空间向量投影求得圆心到直线的距离，即可求得圆心到过直线的平面的最大距离，从前求得切面圆的半径，然后得到面积，判断D选项. 【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 因分别为的中点，则，，则，， 对于A，设与所成的角为，则，故A正确； 对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误； 对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径， 故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离， ∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆， 圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距为6，则k的值为_____________. 【答案】11或29 【解析】 【分析】焦点在轴上进行讨论，根据题意焦距为6，即可求得m的值. 【详解】由已知，得， 当焦点在轴上时，，解得， 当焦点在轴上时，或，解得， 综上，11或29. 故答案为：11或29. 【点睛】本题考查椭圆里的关系，注意焦点在轴上两种情况的讨论，属于基础题. 13. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求出分位数，再根据平均数定义得到方程，求得的值. 【详解】因为该组数据共6个，且， 所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6， 则，解得． 故答案为：． 14. 18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系求出. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 因圆与圆有且仅有一个公共点， 则或， 即或（无解），得， 故的值为. 故答案为： 四、解答题，本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算. 15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点； （2）渐近线方程为，且经过点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率公式及过定点即可求出标准方程. （2）由渐近线方程即可将双曲线方程设为，再将定点代入即可. 【小问1详解】 设所求双曲线方程为. ,，所以,解得 所以双曲线的标准方程为 【小问2详解】 由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为. 因为在双曲线上， 即， 所以双曲线的标准方程为 16. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 17. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【答案】（1）kg （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． （3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解. 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 【小问3详解】 由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得，则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 19. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）是， （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据和过点可求结果； （2）设，所以，，从而得到． （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 ，， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 依题意得在椭圆上， 直线和的斜率都存在且不为， 设，所以， ， ， 所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去，整理得， ，则， 则， ， 点到直线的距离为， ， 当，即时面积最大，且最大值为， 此时直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $