专题09 动角问题（3大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义以动角问题为核心，通过知识框架图系统梳理角的基本概念、角平分线性质及动态角度变化规律，构建“基础概念-核心模型-题型应用”的递进式知识体系，清晰呈现角度随时间变化表达式、和差关系等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分类+分层训练”的设计，针对定值问题引导学生通过角平分线性质抽象出不变量，培养推理意识；运动时间问题则通过“速度×时间=角度变化量”建立方程模型，发展模型意识与运算能力。典例与练习结合，基础题巩固方法，综合题提升思维，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习突破难点。

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题09动角问题(3大基本题型) 专题概览 题型1：定值问题 题型2：数量关系问题 题型3：运动时间问题 核心知识点总结 一、角的基本概念与性质 动角问题的解决需以角的基本概念为基石，主要包括： 1.角的度量：角的单位为“度（°）”，角的和差计算是动角问题的核心运算。 2.特殊角关系：邻补角（和为180°）、对顶角（相等）、直角(90°)等特殊角的性质，是分析动角 位置关系的关键。 二、角平分线的定义与性质 角平分线是动角问题中最常见的辅助线，其定义与性质是解题的核心工具： 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 性质：若OC平分∠AOB,则∠AOC=∠COB=】∠AOB。 三、动态角度变化规律（核心模型） 动角问题的本质是角度随时间或位置的变化，需用代数方法（设未知数、列方程）描述这种变化，核心 模型包括： 1. 角度随时间变化的表达式： (1)设射线OA绕点O以速度v(s)旋转，运动时间为t(s),则旋转后的角度为： ① 顺时针旋转：∠AOC=vt或初始角一vt（需根据方向调整)； ②逆时针旋转：∠AOC=初始角+vt。 2. 角度和差关系：动角问题中，角度的变化往往伴随和差关系，需通过代数表达式表示这些关系， 再列方程求解。 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 题型归纳 【题型1】定值问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的和、差、倍数关系保持不变（与旋转角度无关）。 核心：找到“不变量”，通过角平分线、角度和差公式证明其恒定性。 子类型1：角平分线与定值 子类型2：三角板旋转中的定值 核心思路： 1.设动角为x,用x表示其他相关角度； 2.通过角平分线、和差关系建立目标角度的表达式： 3.化简表达式，若结果不含x,则为定值。 【题型2】数量关系问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的倍数关系、和差关系保持不变。 核心：通过设未知数，建立方程表示角度关系，求解未知数。 子类型1：倍数关系 子类型2：和差关系 核心思路： 1.设关键角度为x; 2.用x表示其他相关角度 3. 通过和差关系建立方程 【题型3】运动时间问题 定义：动角按一定速度旋转，求特定位置（如角平分线重合、角度相等)的时间。 核心：用“速度×时间=角度变化量”建立方程，求解时间。 子类型1：角平分线重合 子类型2：角度相等 核心思路： 1.设运动时间为t(s),用t表示各射线的旋转角度 2.根据特定位置的条件建立方程 3. 解方程求t,注意范围限制（如t>0,且旋转角度不超过360°）。 【核心解题思路与步骤总结】 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 动角问题的解题核心是“静态化动态”，即通过设未知数将动态角度转化为静态代数表达式，再利用 角度关系建立方程。以下是通用步骤： 1.第一步：明确图形与已知条件 (1)标注定角、动角、旋转速度； (2)明确所求量（如定值、数量关系、时间t)。 2.第二步：设未知数 (1)设关键角度为未知数； (2)用未知数表示相关角度 3.第三步：建立角度关系 (1)根据角平分线定义； (2)根据角度和差； (3)根据旋转角度。 4. 第四步：解方程与验证 (1)化简方程，求解未知数（如x、t); (2)验证解的合理性（如角度是否为正、是否在图形范围内）。 配套练习 【题型1】定值问题 【典例1】如图，在同一平面内，∠A0B=90°，0C是OA绕点0按顺时针方向旋转aa<90)得到的， OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线. A B (1)若a=60°，即∠A0C=60°，则∠B0C= ,∠DOE= (②)在α的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理 由. 【典例2】活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线EF上，45°角的顶点与60°的顶点重 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 合于点O,斜边OB与直角边0D在直线EF上，然后将直角三角尺0AB绕点0按15/秒的速度顺时针方 向旋转一周，设旋转时间为t秒 E B 图① 图② 图③ (1)旋转前，LA0C= ,∠BOC= (2)希望”小组同学发现：当t=2时，OA是∠B0C的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板OAB旋转至如图③的位置时，∠A0C+∠B0D为定值.请你判断 是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由。 【练习1】已知LA0B=110°，∠C0D=50°，OE平分∠A0C,0F平分∠BOD.(本题中的角均为大 于0°且不大于180°的角) E B(C B D 图1 图2 备用图 (1)如图1，当OB、0C重合时，求∠E0F的度数； (2)当∠C0D从图1所示位置绕点0顺时针旋转0(O不大于70°)时，如图2，∠A0E-∠B0F的值是否 为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值；若不是，请说明理由 (3)当∠C0D从图1所示位置绕点0顺时针旋转0(O不大于130°)时，满足∠A0D+∠E0F=5LC0D, 求0的大小. 【练习2】如图(1)，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使∠B0C=100°.将一直角三角板 的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. B OB 40 (1) (3) 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)将图(1)中的三角板绕点0按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转t秒，此时0M恰好第一次平分钝角 ∠BOC,则t的值为多少？ (2)将图(1)中的三角板绕点O逆时针旋转至图(2)，使一边0M在∠BOC的内部，直线0M恰好平分 ∠BOC,问：直线OW是否平分∠AOC?请说明理由. (3)将图(1)中的三角板绕点O顺时针旋转至图(3)，使ON在∠A0C的内部，请探究： ①∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由 ②∠BOM+∠N0C的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由. 【练习3】【问题初探】 (1)数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如30°，45°，60,90°. ①小明利用三角尺作出了一个120°的角； ②小乐利用三角尺作出了一个15°的角： 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出度的角（写出一种即可）· 【提出问题】 (2)如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，∠A0B=∠DC0=90°， ∠A=45°，∠D0C=30°，在∠BOD,∠A0C(0°<∠B0D≤180°，0°<∠A0C≤180°)内作射线OP, 00,且∠P0B=3∠D0P,∠Q0A=3∠QOC,则∠POQ=度； 【学以致用】 (3)如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中∠A0B=α，∠COD=B,他 把这两个三角形的顶点O及边OD,OB重合在一起，三角形AOB固定，将三角形COD绕点O顺时针旋 转，当边OC与OA重合时，停止运动.在此过程中，在∠BOD,∠AOC内作射线OP,OQ,使 ∠B0D=3LP0D,∠AOC=3∠QOC.这时，小明说“LP0Q的度数是一个定值，并且可以用a,B表 示出来”；小乐说“LP0Q的度数是一个随机值，无法用，B表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说 法正确，并说明理由. B B 图1 图2 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【题型2】数量关系问题 【典例1】如图，∠COD在∠AOB内部转动，OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD. B (1)若LA0B=100°，∠C0D=60°，求∠E0F的度数： (2)试猜想∠EOF,∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系.（直接写出猜想即可） 【典例2】以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线0C,使∠B0C=50°，将一个直角三角 板DOE的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°，且直角三角板D0E在直线AB的上方. D 图1 图2 (I)如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则∠C0D的度数为； (2)如图2，直角三角板DOE的边OD在∠BOC的内部，若OE恰好平分∠AOC,求此时∠COE的度数； (3)在图2中，请直接写出∠C0E与∠BOD之间的数量关系： 【练习1】已知OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，射线OC在∠AOB外部，且在OB下 方 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，当∠A0B是直角，∠B0C=30°时，∠M0N的度数是多少？ (2)如图(2)，当∠A0B=,∠B0C=30°，猜想∠MON与a的数量关系，并说明理由； (3)如图(3)，当∠A0B=Q,∠BOC=B,∠MON与a,B有数量关系吗？如果有，写出结论并说明 理由。 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【练习2】在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中∠A0B 和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB,所以这两个角是“共边角”. B ② 【问题解决】：(1)如图②，∠A0B和∠BOC “共边角”（填“是”或“不是”）； (2)当两个“共边角”为60°和30°时，它们非公共边的两边的夹角是 (3)若OD、OE分别平分“共边角”∠AOC和∠B0C,请以图①为例来说明∠DOE与∠A0B的数量关 系； 【知识迁移】： (4)在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：AB和BC都有公 共端点B,所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n,则这两条线段 的中点之间的距离为 【练习3】【问题探究】(1)已知点O是直线AB上一点，∠C0D=90°，射线OE平分∠BOC. 图1 图2 图3 ①如图1，当射线0C,OD均在直线AB上方时，若LA0C=30°，求∠D0E的度数： ②如图2，当射线0C在直线AB上方，射线0D在直线AB下方时，若∠A0C=a,求∠DOE的度数； (用含a的代数式表示) 【问题解决】(2)如图3，机器人机械臂的关节点O固定在末端执行器AB上，左上臂OD与左下臂 0C的夹角为∠COD,机械臂运动时，左上臂0D与左下臂0C的夹角始终为90°（即∠COD=90°），右 下臂OE与左下臂OC和末端执行器中OB所成的夹角始终相等（即射线OE平分∠BOC)·在机械臂运 动过程中，末端执行器中OA与左下臂OC的夹角的度数和左上臂OD与右下臂OE的夹角的度数存在怎 样的数量关系？（即判断∠AOC与∠DOE间的数量关系），请说明理由 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【题型3】运动时间问题 【典例1】综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法.如图1，数轴上的点A表示的数为α，B表示的数为b,且 a+0+(b-9)=O0点C在线段AB上，图1中有3条线段，分别是线段AB、线段AC、线段BC.若 其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段AB的等分点. B、 A B 图1 备用图 【问题解决】 (1)①点A、B表示的数分别是 ②若点C是线段AB的等分点，请求出此时线段AC的长. 【方法迁移】 (2)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线OC在∠A0B的内部，图中共有3个角： ∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线OC是∠AOB的 “等分线” ①如图3，若∠MPN=60°，且射线P9绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，旋转 的时间为t秒，当PQ与PN成90°时停止旋转.当t为何值时，射线P2是∠MPV的等分线”. ②在①的条件下，射线PG从PM位置开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请 直接写出当射线PQ是∠GPN的等分线”时t的值. M M 图2 图3 备用图 N 【典例3】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光.同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索 其中隐含的数学知识. 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段AD 交于点B、C,O为表盘圆心. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12 O 6 B 图① 图② 3 12 12 16 E/CON D A E CON 图③ 图④ (I)若BC为4cm,CD:AB=3:2,B是AC中点，求手表全长AD的长度. (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，OE为时针，ON为分针，8：30时表盘指针状态如图 ③所示，分针ON与0C重合. ①求LEON的度数； ②作射线OM,使∠EOM=25°，求此时∠B0M的度数. 【练习1】新定义：如图1，已知射线OP在∠MON的内部，图中共有3个角：∠MON,∠MOP和 ∠PON,若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OP是∠MON的立信线”. M M B 图1 图2 图3 (1)一个角的平分线 这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若∠M0N=60°，射线OP绕点O从ON位置开始.以每秒10°的速度逆时针旋转，当OP与 ON首次成180°时停止旋转，设射线OP旋转的时间为t秒.求当t为何值时，射线OP是∠MON的“立 信线”； (3)如图3，射线ON为∠POD的立信线”，且∠D0N=2∠NOP.射线OA、OB分别为∠MOP、∠NOD的 平分线，请猜想∠AOB、∠NOP、∠MOD会有怎样的数量关系？并说明理由； 【练习2】已知LA0C=40,LB0D=20°，∠A0C和∠BOD均可绕点0进行旋转，点M,O,N在 同一条直线上，OP是∠COD的平分线. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P D B D M(A) O N(B) M N A 图1 图2 (I)如图1，当点A与M点重合，点B与N点重合，且射线0C和射线0D在直线MN的同侧时，求 ∠BOP的度数. (2)在(1)的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点0逆时针方向旋转，转速为每秒4°，同时∠A0C从 0M处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为每秒2°， ①当旋转 秒时，0C与0D第一次重合； ②直接写出∠A0C与LBOD第一次从相遇到分开所经历的时间. (3)在(1)的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点0逆时针方向旋转，转速为每秒4°，同时∠AOC从 0M处开始绕点0逆时针方向旋转，转速为每秒2°，如图2所示，当旋转6s时，则∠D0P的度数为 【练习3】如图，直线EF上有一点O,过点O在直线EF的上方作射线OA,∠AOF=30°，现将射线 OA绕点0以每秒16°的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线0C始终平分∠A0F,射线0D始终 是∠A0E的三等分线，且∠40D=了∠A0E.设旋转时间为秒，若∠C0F-∠40D=45°，1的值为一 E 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题09 动角问题（3大基本题型） 题型1：定值问题 题型2：数量关系问题 题型3：运动时间问题 一、角的基本概念与性质 动角问题的解决需以角的基本概念为基石，主要包括： 1. 角的度量：角的单位为“度（°）”，角的和差计算是动角问题的核心运算。 2. 特殊角关系：邻补角（和为180°）、对顶角（相等）、直角（90°）等特殊角的性质，是分析动角位置关系的关键。 二、角平分线的定义与性质 角平分线是动角问题中最常见的辅助线，其定义与性质是解题的核心工具： 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 性质：若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠COB＝∠AOB。 三、动态角度变化规律（核心模型） 动角问题的本质是角度随时间或位置的变化，需用代数方法（设未知数、列方程）描述这种变化，核心模型包括： 1. 角度随时间变化的表达式： (1) 设射线OA绕点O以速度v（°/s）旋转，运动时间为t（s），则旋转后的角度为： 1 顺时针旋转：∠AOC＝vt或初始角－vt（需根据方向调整）； 2 逆时针旋转：∠AOC＝初始角＋vt。 2. 角度和差关系：动角问题中，角度的变化往往伴随和差关系，需通过代数表达式表示这些关系，再列方程求解。 【题型1】定值问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的和、差、倍数关系保持不变（与旋转角度无关）。 核心：找到“不变量”，通过角平分线、角度和差公式证明其恒定性。 子类型1：角平分线与定值 子类型2：三角板旋转中的定值 核心思路： 1. 设动角为x，用x表示其他相关角度； 2. 通过角平分线、和差关系建立目标角度的表达式； 3. 化简表达式，若结果不含x，则为定值。 【题型2】数量关系问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的倍数关系、和差关系保持不变。 核心：通过设未知数，建立方程表示角度关系，求解未知数。 子类型1：倍数关系 子类型2：和差关系 核心思路： 1. 设关键角度为x； 2. 用x表示其他相关角度 3. 通过和差关系建立方程 【题型3】运动时间问题 定义：动角按一定速度旋转，求特定位置（如角平分线重合、角度相等）的时间。 核心：用“速度×时间＝角度变化量”建立方程，求解时间t。 子类型1：角平分线重合 子类型2：角度相等 核心思路： 1. 设运动时间为t（s），用t表示各射线的旋转角度 2. 根据特定位置的条件建立方程 3. 解方程求t，注意范围限制（如t＞0，且旋转角度不超过360°）。 【核心解题思路与步骤总结】 动角问题的解题核心是“静态化动态”，即通过设未知数将动态角度转化为静态代数表达式，再利用角度关系建立方程。以下是通用步骤： 1. 第一步：明确图形与已知条件 (1) 标注定角、动角、旋转速度； (2) 明确所求量（如定值、数量关系、时间t）。 2. 第二步：设未知数 (1) 设关键角度为未知数； (2) 用未知数表示相关角度 3. 第三步：建立角度关系 (1) 根据角平分线定义； (2) 根据角度和差； (3) 根据旋转角度。 4. 第四步：解方程与验证 (1) 化简方程，求解未知数（如x、t）； (2) 验证解的合理性（如角度是否为正、是否在图形范围内）。 【题型1】定值问题 【典例1】如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线． (1)若，即，则________，________． (2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的度数是一个定值，为． 【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算； （2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）在的变化过程中，的度数是一个定值． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 即的度数是一个定值，为． 【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是寻找各角之间的关系进行运算． 【典例2】活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 【练习1】已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 【练习2】如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线平分，理由见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用； （1）根据角平分线的定义得出，结合题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据，求得，即可得出结论； （3）①根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系； ②根据图形可得，进而根据 ，即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又， ， （2）直线平分，理由如下： 设的延长线为，如图2， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即直线平分； （3）①结论：． 理由：如图3中， ，， ，， ， 与的数量关系为：． ② 【练习3】【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出_度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则_度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）90；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个均可得分）； （2）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 【题型2】数量关系问题 【典例1】如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解； （）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 【典例2】以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算． ()根据角的和差关系进行计算即可； ()角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可， ()由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵恰好平分 ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习1】已知是的平分线，是的平分线，射线在外部，且在下方． (1)如图（1），当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图（2），当，，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），当，，与，有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与无数量关系，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中角度计算，角平分线的定义： （1）由角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，，最后根据即可求解； （2）仿照（1），利用角的和差关系及角平分线的定义求解； （3）仿照（1），利用角的和差关系及角平分线的定义求解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：，与无数量关系，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【练习2】在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 【答案】（1）是；（2）或；（3）；（4）或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）分两种情况，画出图形（见解析），根据角的和差解答即可得； （3）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （4）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）∵和都有公共顶点和一条公共边， ∴和是“共边角”， 故答案为：是． （2）由题意，设和是“共边角”，且，， 如图，当在的内部时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 如图，当在的左侧时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 故答案为：或． （3）∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． ①如图，当点在线段上时， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为或， 即这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． 【练习3】【问题探究】（1）已知点是直线上一点，，射线平分． ①如图1，当射线，均在直线上方时，若，求的度数； ②如图2，当射线在直线上方，射线在直线下方时，若，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题解决】（2）如图3，机器人机械臂的关节点固定在末端执行器上，左上臂与左下臂的夹角为，机械臂运动时，左上臂与左下臂的夹角始终为（即），右下臂与左下臂和末端执行器中所成的夹角始终相等（即射线平分）．在机械臂运动过程中，末端执行器中与左下臂的夹角的度数和左上臂与右下臂的夹角的度数存在怎样的数量关系？（即判断与间的数量关系），请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． （1）①先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数． ②先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来． （2）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据，再进一步可得结论． 【详解】解：（1）①因为， 所以， 所以． 因为射线平分， 所以， 所以． ②因为点是直线上的一点，， 所以． 因为射线平分， 所以， 因为， 所以． （2）和之间的数量关系为．理由如下： 设，则， 因为射线平分， 所以， 因为， 所以． 所以， 即． 【题型3】运动时间问题 【典例1】综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 【答案】（1）①，9；②；（2）①当，3，4，9时，射线是的“等分线”．②或或． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的和差计算，线段的和差计算等知识． （1）①根据非负数的性质即可求出答案；②根据等分点的定义分情况进行解答即可；（2）①根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可；②根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可． 【详解】（1）①，， ∴，， 解得，， 故答案为：，9； ②由①可知，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，则， 综上可知，若点C是线段的等分点，线段的长为． （2）①当，即，解得， 当，即，解得， 当，即，解得， 当时，，此时， 即，解得， 综上可知，当，3，4，9时，射线是的“等分线”． ②依题意有：在的外部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 在的外部，当时，若， 即 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴当射线是的“等分线”时的值为或或． 【典例3】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】(1)14 (2)①；②在内部时，，在外部时 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过的角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走了， ； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 【练习1】新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 【练习2】已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 【练习3】如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． / 学科网（北京）股份有限公司 $