专题10 特殊一元一次方程的解题技巧（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义通过梳理一元一次方程的基础概念、核心思想与易错点构建知识体系，以框架图呈现定义、性质及解题思想的内在联系，突出分母化整、整体思想等重难点，帮助学生形成系统认知。 讲义亮点在于分5大特殊题型设计分层练习，如分母含小数方程通过分数性质化整，整体思想题型引导学生合并同类项，培养运算能力与推理意识。典例与变式结合，助力不同层次学生掌握技巧，教师可据此实施精准复习教学。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题10 特殊一元一次方程的解题技巧（5大基本题型） 题型1：分母含小数的一元一次方程 题型2：分母为整数但需拆分化简的一元一次方程 题型3：含括号且需利用倒数关系简化的一元一次方程 题型4：可通过“整体思想”合并求解的一元一次方程 题型5：分母需分组通分的一元一次方程 一、基础概念与性质 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数为1（次），等号两边均为整式的方程。其标准形式为（，a、b为常数）。 2. 等式的基本性质： (1) 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（若，则）。 (2) 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（若，则；若且，则）。 3. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的数，分数值不变。此性质是分母化整技巧的核心依据。 二、解题的核心思想与方法​ 1. 整体思想：将方程中重复出现的含未知数的项或常数项视为一个整体，合并后再求解。 2. 转化思想：将复杂方程通过变形转化为简单的一元一次方程（如形式）。例如，含绝对值的方程需通过绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程；含分母的方程需通过去分母转化为整数系数方程。 3. 分类讨论思想：对于含字母系数的方程（如），需根据系数a和常数项b的取值范围分类讨论解的情况：当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数解（任意实数均为解）；当且时，方程无解（矛盾式）。 三、易错点与注意事项​ 1. 去分母时漏乘：方程两边乘以最小公倍数时，不含分母的项也需乘以该数 2. 移项不变号：移项时需改变符号 3. 系数化为1时颠倒分子分母：系数化为1时，需将未知数的系数作为分母 【题型1】分母含小数的一元一次方程 核心思路：先将分母中的小数化为整数（利用分数的基本性质：分子分母同乘非零数，分数值不变），再按常规步骤求解。 基本步骤： 1. 分母化整：将每个分母的小数转化为整数； 2. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，消去分母； 3. 去括号：利用乘法分配律展开括号（注意符号变化）； 4. 移项合并：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项； 5. 系数化为1：两边同除以未知数的系数，得到解。 【题型2】分母为整数但需拆分化简的一元一次方程 核心思路：将分母为整数的分数拆分为“整数＋分数”的形式，简化计算。 基本步骤： 1. 拆分分数：将分子为多项式的分数拆分为“分子为单项式的分数之和”； 2. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数； 3. 移项合并：将含未知数的项与常数项分别合并； 4. 系数化为1：得到解。 【题型3】含括号且需利用倒数关系简化的一元一次方程 核心思路：若括号外的系数与括号内的某一项互为倒数，可先去括号（利用乘法分配律），简化计算。 基本步骤： 1. 观察结构：识别括号外的系数与括号内的项是否互为倒数； 2. 去括号：利用乘法分配律展开括号； 3. 去分母：若仍有分母，乘最小公倍数消去； 4. 移项合并：求解未知数。 【题型4】可通过“整体思想”合并求解的一元一次方程 核心思路：将含未知数的项或常数项视为整体，合并后再求解。 基本步骤： 1. 识别整体：找出方程中重复出现的“整体项”； 2. 合并整体：利用乘法分配律合并整体项； 3. 求解整体：将整体视为一个未知数，求解其值； 4. 求原未知数：将整体值代入，求出原未知数。 【题型5】分母需分组通分的一元一次方程 核心思路：将分母相同或可通分的项分为一组，先合并再求解。 基本步骤： 1. 分组通分：将分母相同的项合并； 2. 去分母：乘分母的最小公倍数消去分母； 3. 移项合并：求解未知数。 【解题技巧总结】 1. 观察结构：先看方程的结构（如分母是否有小数、是否有括号、是否有整体项），选择合适的技巧； 2. 简化计算：优先使用“分母化整”“拆分法”“整体合并”等技巧，减少计算量； 3. 检验解：解完方程后，将解代入原方程，检验是否符合（避免计算错误）。 【注意事项】 1. 分母化整时，需确保分子分母同乘非零数，避免改变分数值； 2. 去括号时，注意符号变化； 3. 整体合并时，需确保整体项的系数正确。 【题型1】分母含小数的一元一次方程 【典例1】解方程： 【变式1】解方程： 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程： 【题型2】分母为整数但需拆分化简的一元一次方程 【典例1】解方程： 【变式1】解方程：； 【变式2】解方程： 【变式3】解方程：． 【题型3】含括号且需利用倒数关系简化的一元一次方程 【典例1】解方程： 【变式1】解方程： 【变式2】解方程： 【变式3】解方程： 【题型4】可通过“整体思想”合并求解的一元一次方程 【典例1】数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【变式1】阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 【变式2】用整体思想解方程． 【变式3】阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则_． (3)已知，，，则_． 【题型5】分母需分组通分的一元一次方程 【典例1】解方程： 【变式1】解方程：． ∴． 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程： / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题10 特殊一元一次方程的解题技巧（5大基本题型） 题型1：分母含小数的一元一次方程 题型2：分母为整数但需拆分化简的一元一次方程 题型3：含括号且需利用倒数关系简化的一元一次方程 题型4：可通过“整体思想”合并求解的一元一次方程 题型5：分母需分组通分的一元一次方程 一、基础概念与性质 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数为1（次），等号两边均为整式的方程。其标准形式为（，a、b为常数）。 2. 等式的基本性质： (1) 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（若，则）。 (2) 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（若，则；若且，则）。 3. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的数，分数值不变。此性质是分母化整技巧的核心依据。 二、解题的核心思想与方法​ 1. 整体思想：将方程中重复出现的含未知数的项或常数项视为一个整体，合并后再求解。 2. 转化思想：将复杂方程通过变形转化为简单的一元一次方程（如形式）。例如，含绝对值的方程需通过绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程；含分母的方程需通过去分母转化为整数系数方程。 3. 分类讨论思想：对于含字母系数的方程（如），需根据系数a和常数项b的取值范围分类讨论解的情况：当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数解（任意实数均为解）；当且时，方程无解（矛盾式）。 三、易错点与注意事项​ 1. 去分母时漏乘：方程两边乘以最小公倍数时，不含分母的项也需乘以该数 2. 移项不变号：移项时需改变符号 3. 系数化为1时颠倒分子分母：系数化为1时，需将未知数的系数作为分母 【题型1】分母含小数的一元一次方程 核心思路：先将分母中的小数化为整数（利用分数的基本性质：分子分母同乘非零数，分数值不变），再按常规步骤求解。 基本步骤： 1. 分母化整：将每个分母的小数转化为整数； 2. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，消去分母； 3. 去括号：利用乘法分配律展开括号（注意符号变化）； 4. 移项合并：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项； 5. 系数化为1：两边同除以未知数的系数，得到解。 【题型2】分母为整数但需拆分化简的一元一次方程 核心思路：将分母为整数的分数拆分为“整数＋分数”的形式，简化计算。 基本步骤： 1. 拆分分数：将分子为多项式的分数拆分为“分子为单项式的分数之和”； 2. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数； 3. 移项合并：将含未知数的项与常数项分别合并； 4. 系数化为1：得到解。 【题型3】含括号且需利用倒数关系简化的一元一次方程 核心思路：若括号外的系数与括号内的某一项互为倒数，可先去括号（利用乘法分配律），简化计算。 基本步骤： 1. 观察结构：识别括号外的系数与括号内的项是否互为倒数； 2. 去括号：利用乘法分配律展开括号； 3. 去分母：若仍有分母，乘最小公倍数消去； 4. 移项合并：求解未知数。 【题型4】可通过“整体思想”合并求解的一元一次方程 核心思路：将含未知数的项或常数项视为整体，合并后再求解。 基本步骤： 1. 识别整体：找出方程中重复出现的“整体项”； 2. 合并整体：利用乘法分配律合并整体项； 3. 求解整体：将整体视为一个未知数，求解其值； 4. 求原未知数：将整体值代入，求出原未知数。 【题型5】分母需分组通分的一元一次方程 核心思路：将分母相同或可通分的项分为一组，先合并再求解。 基本步骤： 1. 分组通分：将分母相同的项合并； 2. 去分母：乘分母的最小公倍数消去分母； 3. 移项合并：求解未知数。 【解题技巧总结】 1. 观察结构：先看方程的结构（如分母是否有小数、是否有括号、是否有整体项），选择合适的技巧； 2. 简化计算：优先使用“分母化整”“拆分法”“整体合并”等技巧，减少计算量； 3. 检验解：解完方程后，将解代入原方程，检验是否符合（避免计算错误）。 【注意事项】 1. 分母化整时，需确保分子分母同乘非零数，避免改变分数值； 2. 去括号时，注意符号变化； 3. 整体合并时，需确保整体项的系数正确。 【题型1】分母含小数的一元一次方程 【典例1】解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； 【详解】解： ， ∴ 【变式1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键．根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的基本方法，包括去括号、移项、合并同类项、系数化为1及去分母等步骤．先将方程两边同时乘3去掉分母，再去括号得到，最后移项并合并同类项后得到，最终系数化为1后得出结果． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3】解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解法是解题的关键．先去分母，去括号、移项，合并同类项、系数化为1，求解即可． 【详解】解： ， ， ． 【题型2】分母为整数但需拆分化简的一元一次方程 【典例1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键．根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得； 【变式1】解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的基本方法，包括去括号、移项、合并同类项、系数化为1及去分母等步骤．先将方程两边同时乘6去掉分母，再去括号得到，最后移项并合并同类项后得到，最终系数化为1后得出结果； 【详解】解：， ， ， ． 【变式2】解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解法是解题的关键．去分母，去括号、移项，合并同类项、系数化为1求解即可； 【详解】 解： ， ， ． 【变式3】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【题型3】含括号且需利用倒数关系简化的一元一次方程 【典例1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【变式1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．先计算倒数，再根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得. 【变式2】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．先计算倒数，再根据去括号，合并同类项，移项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 倒数运算，得 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【变式3】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．先计算倒数，再根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得 去分母，得， 移项，合并同类项，得. 【题型4】可通过“整体思想”合并求解的一元一次方程 【典例1】数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【答案】见解析 【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算． 【详解】解：小亮：原方程可化为 ； 小颖：原方程可化为 ． 【变式1】阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题意，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意求出即可得到答案； （2）模仿材料中的拆项和换元法，将复杂方程转化为简单方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 设， 则原方程可化为， 解得， ， 解得． 【变式2】用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 【变式3】阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则_． (3)已知，，，则_． 【答案】(1) (2)26 (3) 【分析】本题主要考查代数式的求值及整式的加减计算，解一元一次方程，关键是根据题意利用整体思想进行求解问题； （1）先移项，再仿照题中所给方法解方程； （2）由得到，将化为，再整体代入求值； （3）先利用整式的加减将变形为，再变形为，最后利用整体的思想代入求值． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ∴， 故答案为：26； （3）解：， ∴， 故答案为：． 【题型5】分母需分组通分的一元一次方程 【典例1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】， ， ， ， ， 解得． 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤．按照去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式3】解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． / 学科网（北京）股份有限公司 $