精品解析：湖南省长沙市长郡部分学校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

12月份测试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 2. 若代数式和的值互为相反数，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 点A在直线外 B. 射线与射线是同一条 C. 点A到点C的距离是线段的长度 D. 直线和直线相交于点B 4. 如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（ ） A. 的方向是北偏东 B. 的方向是北偏西 C. 的方向是南偏西 D. 的方向是东南方向 6. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．从三个不同方向观察，下列说法正确的是（　　） A. 从正面、左面看到的形状图相同 B. 从正面、上面看到的形状图相同 C. 从左面、上面看到的形状图相同 D. 从正面、左面、上面看到的形状图都相同 7. 如图，下列说法中不能判断点是线段中点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点C、D为线段上两点，，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图所示，，且与关系为（ ） A. 和为 B. 和为 C. 互余 D. 互补 10. 如图，OC是∠AOB的平分线，∠DOC＝3∠BOD，∠BOD＝18°，则∠AOD的度数为（ ） A. 72° B. 80° C. 90° D. 108° 11. 幸福片区改造地下管线，若由甲队单独铺设需要20天，由乙队单独铺设需要30天，现计划由乙队先从一端铺设5天，然后增加甲队从另一端和乙队同时铺设．设甲乙两队共同铺设天后，恰好完成任务，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积分，平一场积分，负一场积分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛如表是某次小组赛的积分表： 排名 球队 积分 甲 乙 丙 丁 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 13. 关于的一元一次方程的解为，则的值为______． 14. 若关于的方程是一元一次方程，则____________． 15. 计算： ________． 16. 一个正方体展开图如图所示，若相对面上标记的两个数均互为相反数，则xy的值为 _____． 17. 如图，，，则∠AOD＝________度． 18. 如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作10次，则M10N10＝___． 三．解答题（共10小题） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 20. 如图，C是线段AB外一点，按要求画图： （1）画射线CB； （2）反向延长线段AB； （3）连接AC，并延长AC至点D，使CD＝AC． 21. 如图，点B是线段AC上一点，且AB＝24cm，BC＝AB， （1）试求出线段AC的长； （2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长． 22. 如图，是的平分线，． （1）若，求的度数； （2）比较和的大小，并说明理由． 23. 某个车间一共有35名工人，每人每天可生产1200个大零件或2000个小零件．2个大零件和5个小零件成一套，问应如何安排生产大零件和小零件的工人使得生产的大、小零件刚好成套． 24. 如图，E为线段上靠近点A三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． （1）若，求线段的长； （2）若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； （3）若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 25. 如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线． （1）求∠MON的度数． （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）． （3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）． 26. 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． （1）如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． （2）如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12月份测试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立，判断各选项的正确性． 【详解】解：A．∵，∴，故原变形错误； B．∵，两边同时除以2，∴，故原变形正确； C．∵，∴，故原变形错误； D．∵，∴，故原变形错误， 故选：B． 2. 若代数式和的值互为相反数，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义列出关于x的方程是解题的关键． 根据相反数的定义得到方程，通过解该方程可以求得x的值． 【详解】解：∵代数式的值与互为相反数， ∴， ∴． 故选：A． 3. 如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 点A在直线外 B. 射线与射线是同一条 C. 点A到点C的距离是线段的长度 D. 直线和直线相交于点B 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A．点A在直线外，原说法正确，但不符合题意； B ．射线与射线是两条不同射线，原说法错误，不符合题意； C．点A到点C的距离是线段的长度，原说法正确，但不符合题意； D．直线和直线相交于点B，原说法正确，但不符合题意； 故选：B． 4. 如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果． 【详解】解：平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆台， 故选：B． 【点睛】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答． 5. 如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（ ） A. 的方向是北偏东 B. 的方向是北偏西 C. 的方向是南偏西 D. 的方向是东南方向 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握角的计算方法是正确解答的前提．由方向角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、的方向是北偏东，错误，故符合题意； B、的方向是北偏西，正确，不符合题意； C、的方向是南偏西，正确，不符合题意； D、的方向是南偏东，即东南方向，正确，不符合题意， 故选：A． 6. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．从三个不同方向观察，下列说法正确的是（　　） A. 从正面、左面看到的形状图相同 B. 从正面、上面看到的形状图相同 C. 从左面、上面看到的形状图相同 D. 从正面、左面、上面看到的形状图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从前往后，从左到右，从上到下看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：观察可知：从正面看和从左面看，看到的图形相同； 故选A． 7. 如图，下列说法中不能判断点是线段中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点的定义，线段的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案，显然都可以确定点是线段中点，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，则点是线段中点； B、，则点是线段中点； C、，则点可以是线段上任意一点； D、，则点是线段中点； 故选：C． 8. 如图，点C、D为线段上的两点，，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键． 9. 如图所示，，且与关系为（ ） A. 和为 B. 和为 C. 互余 D. 互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角，先根据图形得出，则求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由图知：， ∴， ∴ ， ∴， ∴与关系为互余， 故选：C． 10. 如图，OC是∠AOB的平分线，∠DOC＝3∠BOD，∠BOD＝18°，则∠AOD的度数为（ ） A. 72° B. 80° C. 90° D. 108° 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件易求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求解∠AOB的度数，进而可求解∠AOD的度数． 【详解】解：∵∠DOC＝3∠BOD，∠BOD＝， ∴∠DOC＝3×＝， ∴∠BOC＝∠COD−∠BOD＝＝， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠BOC＝， ∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝＋＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的计算，利用数形结合思想解题是关键． 11. 幸福片区改造地下管线，若由甲队单独铺设需要20天，由乙队单独铺设需要30天，现计划由乙队先从一端铺设5天，然后增加甲队从另一端和乙队同时铺设．设甲乙两队共同铺设天后，恰好完成任务，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【详解】解：设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设， 则：， 故选：D． 12. 全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积分，平一场积分，负一场积分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛如表是某次小组赛的积分表： 排名 球队 积分 甲 乙 丙 丁 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析比赛规则可知：胜一场两队共积分，平一场两队共积分，设丁队的积分是分，根据本小组比赛中只有一场战平及甲、乙、丙三队的积分，可列出关于的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设丁队的积分是分， 根据题意得：， 解得：， 丁队的积分是分． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 13. 关于的一元一次方程的解为，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入，得出关于m的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为：3． 14. 若关于的方程是一元一次方程，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． 15. 计算： ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，进行计算，即可求得结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时应注意借位和进位的方法． 16. 一个正方体展开图如图所示，若相对面上标记的两个数均互为相反数，则xy的值为 _____． 【答案】﹣12 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由展开图得：x与-4相对，y与3相对， ∵相对面上标记的两个数均互为相反数， ∴y＝﹣3，x＝4， ∴xy＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体中相对的面，在展开图中相对的面之间一定相隔一个正方形，且没有公共顶点． 17. 如图，，，则∠AOD＝________度． 【答案】122 【解析】 【分析】先求出，再根据即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：122． 【点睛】本题考查了求一个角的余角、角的和差，熟练掌握角的运算是解题关键． 18. 如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作10次，则M10N10＝___． 【答案】×20 【解析】 【分析】根据线段中点定义先求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，从而找到MnNn的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段MN=20，线段AM和AN的中点M1，N1， ∴ ∵线段AM1和AN1的中点M2，N2； ∴ 发现规律：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出是解题关键． 三．解答题（共10小题） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查是一元一次方程的解法，解题关键是通过移项、去括号、去分母、合并同类项等步骤将方程逐步化简为的形式． （1）移项→合并同类项→系数化 1； （2）去括号→移项→合并同类项→系数化 1； （3）去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1； （4）去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1． 【小问1详解】 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问3详解】 ﹣＝1 去分母(方程两边乘6)，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问4详解】 去分母(方程两边乘4)，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20. 如图，C是线段AB外一点，按要求画图： （1）画射线CB； （2）反向延长线段AB； （3）连接AC，并延长AC至点D，使CD＝AC． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】按照要求作图即可． 小问1详解】 解：如图1 【小问2详解】 解：如图2 【小问3详解】 解：如图3 【点睛】本题考查了线段、射线．解题的关键在于理解射线与线段的区别，按要求作图． 21. 如图，点B是线段AC上一点，且AB＝24cm，BC＝AB， （1）试求出线段AC的长； （2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长． 【答案】（1）AC=32cm ；（2）OB=8cm． 【解析】 【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB＋BC，把AB＝24cm，BC＝AB＝8cm代入即可求出结论； （2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO−BC即可得出结果． 【详解】解：（1）∵AB＝24cm，BC＝AB， ∴BC＝8cm， ∴AC＝AB＋BC＝24＋8＝32cm； （2）由（1）知：AC＝32cm， ∵点O是线段AC的中点， ∴CO＝AC＝×32＝16cm， ∴OB＝CO−BC＝16−8＝8cm． 【点睛】本题考查了与线段中点有关计算问题，掌握线段的中点的性质、线段的和、差、倍的运算是解题的关键． 22. 如图，是的平分线，． （1）若，求的度数； （2）比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）的度数为； （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出的度数； （2）依据等式的性质，即可得到． 【小问1详解】 解：∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 23. 某个车间一共有35名工人，每人每天可生产1200个大零件或2000个小零件．2个大零件和5个小零件成一套，问应如何安排生产大零件和小零件的工人使得生产的大、小零件刚好成套． 【答案】应安排生产大零件和小零件的工人各14名，21名． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．设安排x名工人生产大零件，根据每天生产的两种型号的零件刚好配套，列出方程，解之即可． 【详解】解：设安排x名工人生产大零件，则人生产小零件， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴应安排生产大零件和小零件的工人各14名，21名． 24. 如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． （1）若，求线段的长； （2）若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； （3）若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【答案】（1） （2） （3）存在，动点P运动的时间为或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，线段的和差倍分，利用一元一次方程的方法求解是解题的关键． （1）根据三等分点的定义求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）先求出所有线段的和为，结合已知可得出，设，则，，根据三等分点的定义求出，则可得方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①在左边时，；②在右边，在左边时，；③在右边时且在右边时，，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵E为线段上靠近点A的三等分点，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵以A为端点的线段有，，，；以E为端点的线段有，，；以B为端点的线段有，，以D为端点的线段有， ∴所有线段的和为 ， ， ∵所有线段的长度之和是线段长度的5倍， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 又， ∴， ∵E为线段上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，E为线段上靠近点A的三等分点， ∴，， ∴，， ①在左边时，， ，， ∴， 解得； ②在右边，在左边时，， ，， ∴， 解得（舍去）； ③在右边时且在右边时，， ，， ∴， 解得， 综上，存在某个时刻使得成立，此时动点P运动的时间为或． 25. 如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线． （1）求∠MON的度数． （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）． （3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）． 【答案】（1）50°；（2）∠MON＝；（3）． 【解析】 【分析】（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON=∠BOM+∠BON可求解； （2）方法同上； （3）由已知条件求AC的长，再利用中点的定义可求解MC， NC的长，结合MN=MC-NC可求解 【详解】解：（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+60°＝160°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC＝80°， ∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝100°﹣80°＝20°， ∵ON平分∠BOC， ∴∠BON＝∠CON＝30°， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝20°+30°＝50°； （2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC＝（α+β）， ∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α﹣（α+β）＝α﹣β， ∵ON平分∠BOC， ∴∠BON＝∠CON＝β， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝， 故∠MON＝； （3）∵AB＝a，BC＝m， ∴AC＝AB+BC＝a+m， ∵M是AC中点， ∴MC＝， ∵N是BC中点， ∴NC＝， ∴MN＝MC﹣NC＝． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，线段的中点定义，利用线段及角的和差列代数式是解题的关键． 26. 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． （1）如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． （2）如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】（1）射线是射线，的“双倍和谐线”，理由见解析 （2）①当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；②当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下的角度的计算、角平分线的定义和解一元一次方程，列出方程是解题的关键． （1）根据题意可得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①由题意得：，，列出或，分别求解即可； ②由题意得，，，，结合题意得出或，分别求解即可． 【小问1详解】 是，∵平分， ∴， ∴射线与射线形成的角是射线与射线组成的角的2倍， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； 【小问2详解】 ①解：由题意得：，， ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②解：由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， （i）如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； （ii）如图所示：当时， 即：， 则：， 解得：， ∴； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $