第8章 整式乘法与因式分解 知识清单 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了沪科版七年级下册第8章“整式乘法与因式分解”内容，涵盖整式乘法、乘法公式、因式分解三大知识范畴，搭建了从“幂的运算性质”到“乘法公式应用”再到“因式分解方法”的递进式学习支架。 清单通过“知识拓展”“关键提醒”分级呈现知识体系，如标注“积的乘方逆用”等拓展点，“关键提醒”强调符号处理等易错点，结合例题解析培养学生运算能力与推理意识。设计“公式逆用技巧”“因式分解步骤口诀”，助力不同学生高效掌握，教师可据此精准教学，提升复习针对性。

第8章 整式乘法与因式分解 知识清单2025-2026学年沪科版数学七年级下册 知识要点梳理 一 整式的乘法 1. 同底数幂的乘法 一般有: 都是正整数). 即同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加. 知识拓展 1. 这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如 都是正整数）. (2)在今后的计算中注意公式的逆用： (3)幂的底数 可以是单项式，也可以是多项式，如 . 例14.1 计算： 1. ; 1. . 解 (1) 原式 ; 1. 原式 ; (3)方法一：原式 方法二：原式 2. 幂的乘方 一般有 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则的逆用： 都是正整数）. 例14.2 下列运算中正确的是（ ） 1. 1. 1. 1. 解析 与 不是同类项，不能合并，A错误； ，B错误； 与 不是同类项，不能合并，C错误； ，D正确. 答案D 3.积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （ 为正整数）。 知识拓展 (1)三个或三个以上的因数的积的乘方，也具备这一性质，如 为正整数）. (2)此性质可逆用： 例14.3 已知 ，求 的值. 解析 将代数式 变形为含 的代数式，依据是幂的运算法则. 解 4. 整式的乘法法则 (1)单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2) 单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。表示为 。 例14.4 计算：(1) 1. . 解 (1) 原式 1. 原式 . 关键提醒 单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为前面学过的单项式乘以单项式的问题。计算时易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果中若有同类项时要合并，从而得出最简结果。 例14.5 计算：(1) 1. . 解 (1) 原式 . （2）原式 (3)多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.表示为 例14.6 计算：(1) 1. . 解 (1) 原式 . （2）原式 二 乘法公式 1. 平方差公式 平方差公式： .即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作(乘法的)平方差公式. 关键提醒 公式中的字母 和 可以是数，也可以是式子（包括单项式、多项式等），只要符合平方差的结构特征，就可以运用该公式. 2. 完全平方公式 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 知识拓展 公式中的字母 和 可以是数，也可以是式子（包括单项式、多项式等).完全平方公式有如下变形： 或 或 . 3. 添括号法则 . 即：添括号时，如果括号前面是正号，添括号后，括号中的各项都不变符号；如果括号前面是负号，添括号后，括号中的各项都改变符号. 三 因式分解 1. 因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 关键提醒 因式分解时应注意以下几点：结果一定是积的形式，分解的对象是多项式。每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原多项式的次数。分解因式必须分解到不能分解为止。 例14.7 下列式子中，从左到右变形属于因式分解的是（ ） 1. 1. 1. 1. 解析 根据因式分解的概念，只有B选项满足：等号左边是多项式，等号右边是几个整式的积的形式，并且经检验运算过程正确，故选B. 答案B 2. 因式分解的方法 1. 提公因式法. ① 公因式：我们看多项式 ，它的各项都有一个公共的因式 ，我们把因式 叫作这个多项式各项的公因式. 关键提醒 公因式 既可表示单项式，也可表示多项式.常用的变形： ② 提公因式法：把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以公因式所得的商，像这种分解因式的方法叫作提公因式法. 关键提醒 提取公因式后，括号内的各项是用公因式去除这个多项式的各项得到的商，特别注意不漏掉1.在因式分解的过程中，常常把含有相同字母且字母次数相同的多项式作为公因式提出来，此时要特别注意字母的排列顺序的变化和其指数的奇偶性. 例14.8 若代数式 可以分解因式，则常数 不可以取（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析 因为代数式 可以分解因式，所以常数 不可以取0. 答案B (2)公式法. ① 平方差公式法： . 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 关键提醒 能用平方差公式分解因式的多项式的特点：①应是二项式或视作二项式的多项式，②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方. ③二项异号. ② 完全平方公式法： ， 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 关键提醒 ①运用完全平方公式分解因式的条件：a.应是三项式；b.其中两项同号，且各为一整式的平方；c.还有一项可正可负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍. ② 分解因式时首先考虑有无公因式，之后再考虑用运用公式法分解. 例14.9 下面分解因式正确的是（ ） 1. 1. 1. 1. 解析 根据因式分解的概念，A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式，但错误，应是 答案C 3. 因式分解的步骤 （1)先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法，即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果，必须是几个整式的积(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止. 例14.10 把下列各式分解因式： 1. ; 1. 1. ; 1. . 解 (1) 原式 . 1. 原式 . 1. 原式 1. 原式 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $