精品解析：福建省龙岩市长汀县2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026年第一学期期中质量监测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为2的整式方程）判断即可． 【详解】解：A．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； B．含有两个未知数，不是一元二次方程； C．是分式方程，不是一元二次方程； D．未知数的次数为1，不是一元二次方程； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 4. 设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=（x-1）2-3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据二次函数的对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小． 解：∵函数的解析式是y=(x-1)2-3， ∴对称轴是x=1， ∴点A关于对称轴的点A′是(4,y1)， 那么点B在对称轴上，点C 、A′都在对称轴的右边， ∵， ∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y随x的增大而增大， ∵4＞2＞1. ∴y1＞y3＞y2. 故选B. 5. 如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，由旋转的性质可得，再由三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴， ∴， 故选：C． 6. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（　　） A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4），根据顶点坐标的变化寻找平移方法． 【详解】解：根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0）， 而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4）， ∴平移方法为：向左平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键． 7. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案． 【详解】解：， 移项得： 配方得： 而c， 解得： 故选：C. 【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程． 设这批椽的数量为株，可得一株椽的价钱为文，根据题意列方程即可． 【详解】解：∵这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， 依题意得， 故选：A． 9. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′， ∴BC＝B′C′．故①正确； ②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°， ∴∠BAB′＝50°． ∵∠CAB＝20°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°． ∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°， ∴∠AB′C′＝∠B′AC． ∴AC∥C′B′．故②正确； ③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°， ∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°． ∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°． ∴CB′与BB′不垂直．故③不正确； ④在△ACC′中， AC＝AC′，∠CAC′＝50°， ∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°． ∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确． ∴①②④这三个结论正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若方程的两根为和，且，则；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线和轴交点的问题以及二次函数与系数关系，解题的关键是：①正确．根据对称轴公式计算即可．②正确．由图象可知抛物线经过和，列出方程组求出、即可判断．③正确．利用函数图象即可判断．④错误．利用即可判断． 【详解】解：①正确．， ．①故正确． ②正确．由图象可知抛物线经过和， ， 解得， ． ， ，故②正确． ③正确．抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线经过， 抛物线解析式为， 的两根为抛物线与直线的交点的横坐标， 由图象可得，故③正确． ④错误．由①知， ，即，， ，故④错误． 正确的有①②③，共三个， 故选：A． 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 12. 已知抛物线的顶点在x轴上，则m的值为________． 【答案】-9 【解析】 【分析】将抛物线的函数表达式写成顶点式，找出顶点坐标，根据顶点再x轴上则纵坐标为0即可求解． 【详解】解：， ∴该函数的顶点坐标为（-3，-9-m）， ∵函数顶点在x轴上， ∴-9-m=0，解得：m=-9， 故答案为：-9 【点睛】本题主要考查了将二次函数的表达式转化为顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式特征，会根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键． 13. 三角形与一组平行线a和b的位置如图所示，点A在直线b上，已知，将三角形绕点A顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为________． 【答案】10°##10度 【解析】 【分析】当BCa时，则∠1=∠B=30°，即可求出转动的最小角度． 【详解】解：当BCa时，则∠1=∠B=30°， ∴转动的最小角度为=40°-30°=10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为 ___． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再根据中心对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵B与关于A中心对称， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确求出是解题的关键． 16. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称轴的对称点，进而结合图象可得当时x的取值范围． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为， 抛物线与x轴的一个交点为， 则关于对称的点为， 即抛物线与x轴另一个交点为， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 用合适的方法解以下方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）使用因式分解法解一元二次方程； （2）通过移项后使用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得， 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不存在实数k，使得和互为相反数，理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， 解得， 又∵， ∴不存在实数k，使得和互为相反数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，跟的判别式，解一元二次方程： （1）根据跟的判别式可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由相反数的定义得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是________个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是________；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是________度． （2）连接，交于点，求的长． 【答案】（1）；y轴； （2） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的基本变换与坐标，等边三角形的性质，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． （1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）连接后可得底角为的等腰三角形，进而可得，在中根据勾股定理求得直角边的长． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是120°； 故答案为：；y轴；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 已知一本数学书长为，宽为，厚为．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长． 【答案】正方形的边长为 【解析】 【分析】设正方形的边长为，再分别表示矩形的相邻的两边的长，利用面积公式列方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，由题意得 ， 整理得， 或 解得，． 经检验：不合题意，舍去，取． 答：正方形的边长为； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决图形面积问题是解题的关键． 21. 如图，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△DEF，A与点D ，点B与点E，点C与点F是对应点． （1）请利用网格线画图找到旋转中心，将其标记为点P并写出其坐标； （2）写出其旋转角α的度数； （3）在△DEF的DF边上利用网格线画图找一点Q，连接EQ，使 =． 【答案】（1）如图，旋转中心为点P， ； 旋转中心点P的坐标为（-1，2）； （2）α=90°； （3）如图，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点P，即为旋转中心； （2）根据旋转角的定义判断即可； （3）由旋转的性质知，取格点W，连接EW交DF于点Q，利用平行四边形的性质得到点Q是DF的中点，则点Q即为所求． 【小问1详解】 解：点P的坐标为（-1，2）； 【小问2详解】 解：旋转角为∠APD=90°，即α=90°； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 22. 二次函数的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在所给直角坐标系中画出二次函数的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P，使得的周长最短（直接写出点P的坐标）． 【答案】（1）b=-4，c=3； （2）顶点坐标为，对称轴是直线； （3）如图的抛物线就是所求作的： 点P的坐标为． 【解析】 【分析】（1）将点A，C的坐标代入二次函数的解析式，即可求解； （2）根据配方法，可得答案； （3）描出五点，用平滑的曲线连接可画出二次函数的图象，根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得答案． 【详解】【解】（1）将点A，C的坐标代入二次函数的解析式，得， 解得， ∴b=-4，c=3； （2）由（1）知二次函数的解析式为． 所以二次函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线； （3）令，则， 解得：， ∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）， 令，则， ∴C点坐标为（0，3）， 由（2）知顶点坐标为E（2，1）， 先描出点，C（0，3），A（1，0），E（2，1），B（3，0），F（4，3）， 将上述五点在直角坐标系内画出，然后用平滑的曲线连接即可, ∵A与B关于对称轴对称，PA=PB， PA+PB=BC，△PAC的周长最小， 设直线BC的解析式为， 把B（3，0），代入得：， ∴直线BC的解析式为， 当时， 即P点坐标为（2，1）． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，利用二次函数的性质得出PA+PB=BC是解题的关键． 23. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． （1）求y关于x的函数表达式． （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 【解析】 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； 【小问2详解】 解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 24. 如图，已知抛物线与轴交于两点（在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴的动点，是轴上的动点． （1）求面积； （2）当取何值时，是等腰三角形？ （3）当点运动到何处时，点三点在同一条直线上？ 【答案】（1） （2）或或或 （3）点在点时，点三点在同一条直线上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数的性质； （1）分别令，解方程得出的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）勾股定理求得的长，进而分三种情况讨论，求得点的坐标，即可求解； （3）先待定系数法求得直线的解析式，进而根据配方法求得顶点式，进而得出的坐标，将其代入直线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得： ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是轴的动点，是等腰三角形 当时，或 当时， ∵， ∴，则 当时， 解得： ∴， 综上所述，或或或 ∴或或或 【小问3详解】 解： 设直线的解析式为，代入， 解得： ∴直线的解析式为 ∵， ∴ ∴当点三点在同一条直线时，在上， ∴ 解得： ∴，此时重合，即点在点时，点三点在同一条直线上 25. 阅读与思考 构图法在初中数学解题中的应用 构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法．巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论．以下通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用． 例：17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题： 求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”． 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段进行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当四点共线时，线段的长为所求的最小值【依据】，此时点P为的“费马点”． 任务：【发现】用数学的眼光观察 （1）上面文中的“依据”是________． 【探索】用数学的思维思考 （2）请你根据文中所给解决思路．证明：当点P为的“费马点”时， ． 【应用】用数学的语言表达 （3）如图，在等腰直角三角形内任取一点P，连接． 求证：． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． （1）根据两点之间线段最短即可求解； （2）根据当点P为的“费马点”时， 、、、在同一直线上，的值为最小，确定当时，满足三点共线； （3）作辅助线，把绕点逆时针旋转90度得到，连接，根据勾股定理可得，进而可得垂直平分，设交于点，连接，则，根据点P是内一点得出，即可得证． 【详解】（1）上面文中的“依据”是两点之间线段最短； 如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接， 当点P为的“费马点”时， 、、、在同一直线上， ， ， 由旋转得：， ∴， ∴， 所以当点P为的“费马点”时，， （3）如图，把绕点逆时针旋转90度得到，连接， ∴，，，，， ∴ 当、、在同一直线上时，的值为最小， ∵ ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴垂直平分 设交于点，连接， ∴， ∴ ∵点P是内一点 ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第一学期期中质量监测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=（x-1）2-3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（　　） A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位 7. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若方程的两根为和，且，则；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 方程的解为：________． 12. 已知抛物线的顶点在x轴上，则m的值为________． 13. 三角形与一组平行线a和b的位置如图所示，点A在直线b上，已知，将三角形绕点A顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为________． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为 ___． 16. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是______. 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 用合适的方法解以下方程． （1） （2） 18. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是________个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是________；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是________度． （2）连接，交于点，求的长． 20. 已知一本数学书长为，宽为，厚为．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长． 21. 如图，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△DEF，A与点D ，点B与点E，点C与点F是对应点． （1）请利用网格线画图找到旋转中心，将其标记为点P并写出其坐标； （2）写出其旋转角α的度数； （3）在△DEF的DF边上利用网格线画图找一点Q，连接EQ，使 =． 22. 二次函数的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在所给直角坐标系中画出二次函数的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P，使得的周长最短（直接写出点P的坐标）． 23. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． （1）求y关于x的函数表达式． （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 24. 如图，已知抛物线与轴交于两点（在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴的动点，是轴上的动点． （1）求面积； （2）当取何值时，是等腰三角形？ （3）当点运动到何处时，点三点在同一条直线上？ 25. 阅读与思考 构图法在初中数学解题中的应用 构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法．巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论．以下通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用． 例：17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题： 求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”． 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段进行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当四点共线时，线段的长为所求的最小值【依据】，此时点P为的“费马点”． 任务：【发现】用数学的眼光观察 （1）上面文中的“依据”是________． 【探索】用数学的思维思考 （2）请你根据文中所给解决思路．证明：当点P为的“费马点”时， ． 【应用】用数学的语言表达 （3）如图，在等腰直角三角形内任取一点P，连接． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $