第6章 实数 知识清单 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

该初中数学知识清单系统梳理沪科版七年级下册第6章“实数”内容，涵盖平方根、立方根、实数三大核心范畴，构建了从概念定义、性质探究到运算应用的递进式学习支架。 清单通过“概念-性质-应用”三级分类呈现知识体系，设“关键提醒”标注重难点如“负数无平方根”，用对比表格明晰立方根与平方根区别，例题解析培养推理意识与运算能力。设计“易混点辨析”（如算术平方根与平方根），助力不同学生高效掌握，教师可直接用于复习课设计，提升教学针对性。

第6章 实数 知识清单2025-2026学年沪科版数学七年级下册 知识要点梳理 一 平方根 1. 有关概念 （1）算术平方根：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫作 的算术平方根. 的算术平方根记为 ，读作“根号 ”，其中 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0. 关键提醒 ① 负数没有算术平方根. ② 具有双重非负性, 即 且 . (2) 平方根：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫作 的平方根或二次方根。即如果 ，那么 叫作 的平方根，记作 ，读作“正、负根号 ”。 （3）开平方：求一个数 的平方根的运算，叫作开平方. 例6.1 下列说法中，正确的是（ ） A. 一4是 的算术平方根 B. 25 的平方根是 C. 绝对值是 2 的数一定为 2 D. 8 的平方根是 解析 是 的平方根，而不是算术平方根，A错误；绝对值是2的数有2和一2，C错误；8的平方根是 ，D错误；而25的平方根是 ，B正确. 答案B 2. 平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数 (2)0的平方根是0. (3)负数没有平方根. 关键提醒 ① 正数 的算术平方根可以用 表示；正数 的负的平方根可以用符号“ ”表示；正数 的平方根可以用符号“ ”表示，读作“正、负根号 ”。 ② 平方根等于它本身的数只有0，算术平方根等于它本身的数是0和1. 例6.2 下列说法正确的是（ ） A. 任何数的平方根都有两个 B. 只有正数才有平方根 C. 负数既没有平方根，也没有立方根 D. 一个非负数的平方根的平方就是它本身 解析 0 的平方根只有一个即 0, A 错误; 0 也有平方根, B 错误; 负数是有立方根的, 比如 -1 的立方根为 -1, C 错误; 非负数的平方根的平方是其本身, D 正确. 答案D 二 立方根 1. 有关概念 （1)立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数就叫作 的立方根或三次方根.即如果 ，那么 叫作 的立方根. 的立方根（或三次方根）表示为 ，其中 为被开方数，“ ”符号中的3为根指数（这个数不能省略）； 读作“三次根号 ”或“ 的立方根”. 关键提醒 ① 在 中，被开方数 可为正数、零，也可为负数. ② 两个公式： ; (2)开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 例6.3 求下列各数的立方根 (1)729; 1. 1. ; 1. . 解（1）因为 ，所以729的立方根是9，即 1. 因为 ，所以 的立方根是 ，即 . 1. 因为 , 且 , 所以 的立方根是 , 即 . （4）因为 ，且 ，所以 的立方根是2. 2.立方根的性质 (1)正数的立方根是正数. (2) 负数的立方根是负数. (3)0的立方根是0. 关键提醒 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，零的立方根是零. 3.立方根与平方根的联系及区别 立方根与平方根的联系及区别见表6-1. 表6-1 区别 ①在用符号表示平方根时,根指数2可省略;而用符号表示 立方根时,根指数3不能省略. ②只有非负数才有平方根,而任何数都有立方根. ③正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个 联系 ①都与相应的乘方运算互为逆运算. ②零的立方根和平方根都是它本身 例6.4 下列说法中，正确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B. -9 的平方根是 -3 1. 是64的立方根 D.9的立方根是3 解析5是25的算术平方根，A正确；一9没有平方根，B错误；4是64的立方根，C错误；9的立方根是 ，D错误. 答案A 三 实数 1. 无理数的概念 很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数就叫作无理数. 关键提醒 我们目前所接触的无理数有以下三种： 1. 开方开不尽的数，如 1. 圆周率 ，它是圆周长与该圆直径的比值，是无限不循环小数； (3)类似0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）这样的小数也是无理数， 例6.5 在实数 中，无理数有（ ）. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ，所给数据中无理数有 ，共2个. 答案B 2. 实数的概念及分类 概念：有理数和无理数统称为实数 分类： (1)按定义分类 有理数：可分为整数和分数，也可分为有限小数和无限循环小数实数无理数：即无限不循环小数 (2)按正负分类 3. 实数与数轴 任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，数轴上的点和实数是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 例6.6 实数 在数轴上对应的点的位置如图6-1所示，化简 的结果是（ ）. 图6-1 1. 1. 1. 1. 解析 由数轴上 的位置可知，因为 ，所以 ，所以 故B，C，D错误，A正确. 答案A 4. 实数范围内的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和求法与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义和求法完全相同，在有理数范围内的一切方法完全可以在实数范围内运用. 5. 实数的运算 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而有理数的 运算法则和运算性质在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同. 例6.7 计算下列各式的值. 1. 1. . 解（1）原式 1. 原式 . 6. 比较实数大小的几种常用的方法 (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 (2) 求差比较：设 是实数， ; ; . (3) 求商比较：设 是两正实数， (4) 绝对值比较：设 是两负实数，则 . （5）平方法比较：设 是两负实数，则 . 例6.8 比较下列各对实数的大小， 1. 和 (2) 和 3.14; 1. 和 ; (4) 和 . 解 (1) 因为 ，所以 ，所以 （2）因为 ，所以 （3）因为 ，所以 （4）因为 ，所以 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $