重难点2-3 抽象函数综合性质的应用（8重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习精练（新高考通用）

重难点2-3 抽象函数综合性质的应用 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中抽象函数的性质考查主要集中在选择题和填空题中，偶尔也会在解答题中出现．题目难度从基础到较难不等，涉及多种函数性质的综合应用，且难度逐年上升，题目更加注重综合推理能力，常结合导数、不等式等知识点进行考查． 2025年北京卷，单选题，5分 2024年全国1卷，单选题，5分 预计2026年高考中，抽象函数的性质仍将以选择题和填空题的形式出现，且可能作为压轴小题。题目将继续考查学生的综合推理能力．可能出现创新题型，如结合实际问题或新定义的函数性质进行考查． 一、抽象函数的定义域： 1、已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域． 2、已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域． 4、运算型的抽象函数：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的． 二、抽象函数的单调性： 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 三、抽象函数的奇偶性： 判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． （1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 四、函数的周期性常用结论： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 五、函数的对称性常用结论： 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称． 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称． 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称． 重难点题型【一】、求抽象函数的定义域 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 重难点题型【二】、求抽象函数的函数值 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意，都有，且函数为奇函数，，则 ． 重难点题型【三】、求抽象函数的解析式 1．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 . 2．已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 3．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是 . 4．（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 重难点题型【四】、求抽象函数的单调性 1．已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值； （2）证明：为单调增函数； （3）若，求在上的最值. 2．定义在R上的单调函数满足对任意，均有，且. (1)求的值，判断并证明的奇偶性； (2)判断函数单调性，求在区间上的最小值. 3．已知函数，对任意的，且当时，． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)设函数，判断的奇偶性并说明理由． 4．已知定义在区间上的函数，对任意均有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并予以证明； (3)若，解不等式. 重难点题型【五】、求抽象函数的奇偶性 1．已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（   ） A．的值不确定 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 2．（2025·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 3．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 4．已知函数是定义在上的偶函数，且，则 ． 重难点题型【六】、抽象函数的对称性与周期性 1．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知是定义在R上的奇函数，，且，则（   ） A．-3 B．0 C．3 D．6 2．（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 3．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 7．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 8．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数满足：①为奇函数；②，则 . 重难点题型【七】、利用抽象函数解不等式 1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 7．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 重难点题型【八】、利用抽象函数的比较大小 1．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 2．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆渝中·月考）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010 3．已知函数在定义域上单调，且均有，则的值为（    ） A．3 B．1 C．0 D． 4．（24-25高一下·江西赣州·月考）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 5．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 6．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·河南·月考）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（20-21高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是 . 12．（2019·上海闵行·三模）函数的值域是，则函数的值域为 13．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 14．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 15．（2024·贵州遵义·模拟预测）定义在上的偶函数满足，则 ； . 16．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 17．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 四、解答题 18．（2024·甘肃白银·一模）设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知数列满足，数列的前项和为，证明：. 19．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且，. (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点2-3 抽象函数综合性质的应用 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中抽象函数的性质考查主要集中在选择题和填空题中，偶尔也会在解答题中出现．题目难度从基础到较难不等，涉及多种函数性质的综合应用，且难度逐年上升，题目更加注重综合推理能力，常结合导数、不等式等知识点进行考查． 2025年北京卷，单选题，5分 2024年全国1卷，单选题，5分 预计2026年高考中，抽象函数的性质仍将以选择题和填空题的形式出现，且可能作为压轴小题。题目将继续考查学生的综合推理能力．可能出现创新题型，如结合实际问题或新定义的函数性质进行考查． 一、抽象函数的定义域： 1、已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域． 2、已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域． 4、运算型的抽象函数：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的． 二、抽象函数的单调性： 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 三、抽象函数的奇偶性： 判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． （1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 四、函数的周期性常用结论： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 五、函数的对称性常用结论： 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称． 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称． 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称． 重难点题型【一】、求抽象函数的定义域 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3．若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 4．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可. 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得，则， 由，解得， 所以的定义域是. 故答案为： 重难点题型【二】、求抽象函数的函数值 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的值域、比较函数值的大小关系、抽象函数的定义域 【分析】令，即可判断A；令，可得，令，可判断B；令，可判断D；由题意可得，结合，，可得，再根据对数的运算性质及单调性，即可判断C. 【详解】解：对于A，令，则有，即，故A错误； 对于B，令，则有， 又因为，， 所以， 令， 则有，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 令，则有，令，则有， 由B可知， 所以， 所以， 同理可得， 所以，故C正确； 对于D，由B可知， 令，则有，故D错误. 故选：C． 4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求抽象函数的解析式、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意，都有，且函数为奇函数，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用 【分析】由得，函数为奇函数，图象关于原点对称的图象关于点对称，由周期性、奇偶性即可求. 【详解】任意，都有， ， ，即， 是以2为周期的周期函数， ， ， ， 又函数为奇函数， 的图象关于原点对称， 的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的， 的图象关于点对称， ， ， ， ， ． 故答案为：-1. 重难点题型【三】、求抽象函数的解析式 1．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 . 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、求抽象函数的解析式 【分析】由为奇函数可得的图象关于点中心对称，结合偶函数的性质可构造符合题意. 【详解】由为偶函数，知的图象关于轴对称； 由为奇函数，知的图象关于点中心对称， 据此构造函数，则是偶函数； 为奇函数，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 2．已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【详解】若设，则由， 得，解得：， 所以， 故答案为：（答案不唯一）. 3．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是 . 【答案】（或，答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】求抽象函数的解析式、抽象函数的奇偶性 【解析】由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题. 【详解】在中，令，得；令， 则，故是奇函数，由时，， 知或等，答案不唯一. 故答案为：（或，答案不唯一）. 【点睛】本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大. 4．（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 【答案】(1)5；11 (2) (3)大小关系及理由见解析 【难度】0.4 【知识点】积化和差公式、求函数值、裂项相消法求和、求抽象函数的解析式 【分析】（1）利用条件②代入可求，利用条件③代入可求； （2）利用累加法可得； （3）由（2），可得，所以， 则可得，根据裂项相消法得，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）由条件②可得； 由条件③可得． （2）由条件②）可得： ， ， ， 将上述个等式相加，得； 由条件③可得： ， ， 将上述个等式相加，得． （3）由（2），所以， 则， 则 ， 当且仅当时，，上式取得等号， 即时，均有， 所以，当时，； 当时，； 当时，，所以． 【点睛】关键点点睛： 小问2，由条件，根据累加法求解； 小问3，由（2），得到，则可得到已知求和式，两边乘以利用二倍角公式化简，然后放大，根据裂项相消求和，即可求解． 重难点题型【四】、求抽象函数的单调性 1．已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值； （2）证明：为单调增函数； （3）若，求在上的最值. 【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3． 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值、函数基本性质的综合应用 【详解】试题分析：（1）利用赋值法进行求 的值；       （2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明． （3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值． 试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）， 令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0． （2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1， ∴f（）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0， 即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数． （3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数． 若，则f（）+f（）=f（）=﹣2， 即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0， 即f（5）=1， 则f（5）+f（5）=f（25）=2， f（5）+f（25）=f（125）=3， 即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3． 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键． 2．定义在R上的单调函数满足对任意，均有，且. (1)求的值，判断并证明的奇偶性； (2)判断函数单调性，求在区间上的最小值. 【答案】(1)，为奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析，最小值为. 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、求函数值、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）令得，令得，得到函数的奇偶性； （2）根据得到单调递增，的最小值为，赋值法得到答案. 【详解】（1）中，令得，， 解得， 中，令得，且的定义域为R， 故为奇函数； （2），为单调函数，故只能单调递增， 在区间上的最小值为， 中，令得， 故， 令得， 令得， 故在区间上的最小值为. 3．已知函数，对任意的，且当时，． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)设函数，判断的奇偶性并说明理由． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3)奇函数，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求函数值、函数新定义 【分析】（1）利用赋值法计算求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用赋值结合奇函数定义可证明. 【详解】（1）令得：； （2）在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减. （3）令得：，所以 ，所以， 所以 是奇函数. 4．已知定义在区间上的函数，对任意均有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并予以证明； (3)若，解不等式. 【答案】(1)0 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值 【分析】（1）可对，进行赋值求出； （2）先设，且，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由及可求，然后再根据单调性把原不等式进行转化即可求解． 【详解】（1）令，代入得， 故. （2）在区间上单调递减，证明如下： 任取，且，则， 因为当时，，所以 由得 ，所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由得，即， 又，所以. 由得， 由（2）知，函数在区间上单调递减， 得解得 因此不等式的解集为. 重难点题型【五】、求抽象函数的奇偶性 1．已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（   ） A．的值不确定 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】取特值可判定A；结合A的结论，根据奇函数定义赋值可证明B正确；取特殊函数，可否定CD. 【详解】对于A：设 ，，则，所以 ，故A不正确； 对于B：设 ，，则方程：，结合， 即得，所以是奇函数，故B正确； 对于CD：取，满足， 不是偶函数，，，不满足， 故CD错误. 故选：B 2．（2025·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】令，求得，可判定A不正确；由，得到函数的图象不过坐标原点，可判定B不正确；令，求得或，可判定C不正确；令，化简求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 3．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性 【分析】由得，构造函数，可判断是增函数.由是定义在上的奇函数，可得为奇函数，得，.由可转化为，进而可得. 【详解】因为，所以， 设，因为，所以， 则是增函数，， 因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，． 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为， 故答案为：. 4．已知函数是定义在上的偶函数，且，则 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由抽象函数的周期性求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期性和偶函数的性质求值. 【详解】因为，所以，则， 从而，所以是周期为8的周期函数，故． 令，得．又是定义在上的偶函数，所以， 故． 故答案为：3 重难点题型【六】、抽象函数的对称性与周期性 1．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知是定义在R上的奇函数，，且，则（   ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】由题意可得函数的周期性，利用赋值，可得答案. 【详解】因为，且函数为奇函数， 所以， 所以，所以的周期， 所以． 因为，所以，所以， 则． 故选：C. 2．（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 3．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、奇偶函数对称性的应用、对数的运算 【分析】根据已知确定在时，函数具有周期性，然后结合偶函数定义可把转化到已知解析式的区间上求解即可． 【详解】，都有， 即当时，函数具有周期性，且周期为4， 又是偶函数，. 故选：D. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值 【分析】求得函数的周期，利用周期函数的性质求解即可. 【详解】由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 所以. 故选：B. 6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 7．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和、判断或证明函数的对称性、由递推关系式求通项公式 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为：158 8．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数满足：①为奇函数；②，则 . 【答案】190 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】由题意得，故只需算出即可进一步求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 由， 用代替可得：， 所以，即. 又，，，， 所以， ， ， ， ， 所以. 故答案为：190. 重难点题型【七】、利用抽象函数解不等式 1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A 3．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 4．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 5．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 6．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题意，根据奇函数的性质，可得函数与零的大小关系，利用整体思想，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递减，，， 则当时，，当时，， 由，则，解得， 由，则，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 7．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式 【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解. 【详解】设，则． 由当时，，得，即，故在区间上单调递增． 又，所以，即． 因为为上的偶函数，所以， 即，计算得，所以， 解得或． 故答案为：. 重难点题型【八】、利用抽象函数的比较大小 1．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 2．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 3．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、比较对数式的大小 【分析】先求出图象关于直线对称，再利用对数的运算性质和函数的单调性比较即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以即图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增，所以. 故选：A 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据为偶函数得到关于对称，即有，最后根据在上单调递增比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，则， 所以关于对称，所以， 因为，且， 由上可得，且在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：A． 5．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得在上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数， 又，，， 又，所以，由函数的图象关于直线对称，知， 又，所以，故， 故选：A． 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆渝中·月考）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由函数的定义域，求出的定义域，即可得出答案. 【详解】由题意可知，所以，所以的定义域为， 从而的定义域为. 故选：D. 2．已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用、抽象函数的值域 【分析】根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期，根据一个周期内的函数值计算求解即得. 【详解】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数. 由是奇函数可知，，所以，则，则， 所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期. 由得，，则，所以， 由得，，即，所以, 由，得，又1，所以； 在中，令，得，所以. . 故选：A. 3．已知函数在定义域上单调，且均有，则的值为（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值． 【详解】根据题意，函数在定义域上单调，且均有， 则为常数，设，则， 则有，解可得，则，故； 故选：A. 4．（24-25高一下·江西赣州·月考）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性、判断证明抽象函数的周期性 【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 5．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：， 又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有， 又，则有， 由此可得：，即有： 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有， 因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为， 所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得：， 因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C 6．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数基本性质的综合应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 7．（24-25高三下·河南·月考）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨的奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】设，由函数是上的奇函数，得的定义域为， 且，函数也是上的奇函数， 对于任意的，都有， 得，即， 函数在上单调递增，又为奇函数，因此在上单调递增， 由，得， 由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 9．（2024高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、由对称性研究单调性 【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案. 【详解】因为， 所以关于对称， 又因为为偶函数， 所以， 所以为周期函数，， 因为，且， 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以， 因为在上单调递减，为偶函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. 二、多选题 10．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】基本不等式求和的最小值、抽象函数的值域、求函数值 【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项. 【详解】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以， 则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项，解题关键是先证明，结合，利用基本不等式证明. 三、填空题 11．（20-21高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值、抽象函数的值域 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为： 12．（2019·上海闵行·三模）函数的值域是，则函数的值域为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域 【分析】根据平移的相关知识知，函数与函数的值域相同，而函数是由函数中的值不变，值变为原来的倍得到，即可求出． 【详解】因为函数的值域是，将函数图象向左平移一个单位，得到函数，其值域仍是，而函数是由函数中的值不变，值变为原来的2倍得到，所以其值域为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查由简单函数的值域求复合函数的值域． 13．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由抽象函数的周期性求函数值、函数对称性的应用 【分析】根据题意，推得，可得出，得到函数是周期为8的周期函数，分别求得，，得到，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 可得， 所以函数的图象关于对称，且关于对称， 则，所以， 所以，即， 则，所以函数是周期为8的周期函数， 由可得，，，， 所以， 当时，，则， 因为，则. 故答案为：. 14．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的值域 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 15．（2024·贵州遵义·模拟预测）定义在上的偶函数满足，则 ； . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】在中令即可得的值；结合函数的偶函数性质与，换元转化可得函数是周期为的函数，赋值求解的值，从而求得的值，由周期即可得所求. 【详解】因为，令可得，，所以； 函数为偶函数，则， 因为，所以，则， 又，所以，则有， 因此可得，故函数是周期为的函数； 在中，令可得， 又，所以， 令可得，又，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 16．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 17．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】令，可得，可知函数为奇函数，由奇函数性质分析可知在定义域内单调递减，根据函数单调性和奇偶性分析求解. 【详解】因为，且， 令，可得， 则，即， 可知函数为定义在上的奇函数， 且在上单调递减，可知在上单调递减， 所以在定义域内单调递减， 又因为，即， 由奇函数性质可得：， 由单调性可得，所以满足的的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 18．（2024·甘肃白银·一模）设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知数列满足，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)也成立）. (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】裂项相消法求和、函数新定义、求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】（1）根据题意赋值即可得解； （2）由利用累积法可得，再由利用累积法运算求解； （3）由（2）可得，对于利用积化和差公式整理，并结合正弦函数分析证明. 【详解】（1）在中， 令，则，得； 在中， 令，则，得. （2）因为， 则， 可得，即（也成立）. 因为， 则， 可得，即也成立）. （3）由（2）知，则，得. 所以， 因为， 且， 可得 . 由，得，则， 则 ， 即，且，得， 所以. 【点睛】关键点点睛：对于，利用积化和差公式整理可得，进而结合分析证明. 19．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且，. (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)函数为偶函数，证明见解析； (3) 【难度】0.65 【知识点】求函数值、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）令，，则，即， 因为，所以； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令，则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $