精品解析：江西省赣州市兴国县第三中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

兴国三中八年级期中考试数学试卷 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项) 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征．下面篆书属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ） A. 19° B. 20° C. 24° D. 25° 6. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 8. 已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm． 9. 如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD=________°. 10. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 11. 如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为______． 12. 如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________． 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 如图，在中，平分．求，的度数． 14. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 15. 如图， 在中，， 点C是延长线上一点，是线段的垂直平分线，平分，连接，求的度数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴对称的 (点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)； （2）在x轴上找出点P，使得点P到点E，F的距离之和最短(保留作图痕迹)． 17. 如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到了两墙之间，如图所示，，，，点C在上这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． （1）试说明的理由； （2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出两墙之间距离的长度． 19. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． （1）求证∶平分； （2）若，判断的形状． 20. 如图，，，，求的面积． 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的面积． 22. 如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 六、(本大题共1小题，每小题12分，共12分) 23. 如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． （1）如图①，当点P为的中点时，求证：． （2）如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴国三中八年级期中考试数学试卷 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项) 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可． 【详解】A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 2. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征．下面篆书属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 4. 如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），解题关键是掌握上述知识点并能运用它来求解． 根据求解即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是， 故选：C 5. 如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ） A. 19° B. 20° C. 24° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵BD的垂直平分线交AB于点E， ∴ ∴ ∴ ∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解． 6. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，A．由对称的性质得，由 等腰三角形的性质得，，即可判断；B．不一定等于，即可判断；C．由对称的性质得，由全等三 角形的性质即可判断；D．过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断． 【详解】解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、∵由已知不能证明出一定等于， ∴不一定等于，结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 8. 已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm． 【答案】15 【解析】 【详解】根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 9. 如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD=________°. 【答案】25°. 【解析】 【分析】在△ABC中，∠A=65°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACB=70°，再由线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据等边对等角得出∠DCB=∠B=45°，然后根据∠ACD=∠ACB-∠DCB，计算即可求解． 【详解】在△ABC中, ∵∠A=65°,∠B=45°， ∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠DCB=∠B=45°， ∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=70°−45°=25°. 故答案为25°. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的性质（等边对等角），能根据已知条件和相关定理利用已知角去表示未知角是解决本题的关键. 10. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【解析】 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 11. 如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 12. 如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 如图，在中，平分．求，的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，根据角平分线的定义求出，再用三角形内角和定理求出，再用外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 是的外角， ． 14. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为x， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为整数， ∴第三边是4， ∴该三角形的周长． 15. 如图， 在中，， 点C是延长线上一点，是线段的垂直平分线，平分，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形外角定义．先根据线段垂直平分线的定义得出，，，证得，再利用角平分线的性质得出，利用三角形外角定义求得结果． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，平分， ∴， ， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴对称的 (点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)； （2）在x轴上找出点P，使得点P到点E，F的距离之和最短(保留作图痕迹)． 【答案】（1）如图， （2）如图，点P即为所求作． 【解析】 【分析】（1）先求出各顶点坐标，再描点连线即可； （2）连接交x轴于点P，利用三边关系可以说明：点P到点E，F的距离之和最短． 【小问1详解】 解：∵，，，关于x轴对称的， ∴，，， ∴即为所求作． 【小问2详解】 连接交轴于点P，连接， 取点为轴上异于点P的任意一点，连接、， 则， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴仅当与点P重合时，点P到点E，F的距离之和最短， ∴点P即为所求作． 【点睛】本题考查了最短路径问题，三角形三边关系的应用，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 17. 如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用得到，证明，即可得到，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】略 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到了两墙之间，如图所示，，，，点C在上这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． （1）试说明的理由； （2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出两墙之间距离的长度． 【答案】（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90° ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）70cm 【解析】 【分析】（1）由AAS证明△ADC≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质得出AD=4a=40cm=CE，BE=3a=30cm=DC，得出DE=70cm． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得： ∵△ADC≌△CEB，a=10cm， ∴AD=4a=40cm=CE，BE=3a=30cm=DC， ∴DE=70cm． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． （1）求证∶平分； （2）若，判断的形状． 【答案】（1） 证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分． （2）等边三角形 【解析】 【分析】（1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 20. 如图，，，，求的面积． 【答案】9 【解析】 【分析】首先作，作交的延长线于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再证明，并得出高，即可求出面积． 【详解】作于，作交的延长线于， ∵ ， ∵， 在和中： ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：平分且，， ，，， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， （）， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）15 【解析】 【分析】（1）可证点D在的垂直平分线上，再证，从而可证点A在的垂直平分线上，即可得证； （2）由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 22. 如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 【答案】（1）8 （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 略 六、(本大题共1小题，每小题12分，共12分) 23. 如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． （1）如图①，当点P为的中点时，求证：． （2）如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】（1） 如图，过点作交于， 点和点同时出发，且速度相同， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）线段ED的长度保持不变， 理由：由（1）证得，， ，， ， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）过点作交于，由题意可证是等腰三角形，，即可得结论； （2）利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $