1.3 导数在研究函数中的应用 第四课时 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“导数在研究函数中的应用”第四课时，以“情景与问题”导入，通过投资开店、修建游泳池等实例引出优化问题，搭建从导数极值、单调性到实际应用的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体，培养学生用数学眼光观察世界，如圆柱形容器费用、斜面下滑时间等实例，通过导数求最值的推理与运算发展数学思维，用函数与导数语言表达问题落实数学语言。采用问题驱动与实例教学，帮助学生掌握优化问题解法，提升应用意识，也为教师提供丰富素材，提高教学效率。

1.3 导数在研究函数中的应用 第四课时 情景与问题 导数的应用举例 做一件事总要付出一定的成本 付出成本一定的条件下 总想取得最好的效果 1.投资一家店,前期投入100万,如何控制成本和收益才能获得最大的利润? 2.修建一个游泳池,底面为正方形,如何控制边长,高才能使得用料最少?这类问题都叫作优化问题 导数的应用举例 例如 知识讲解 求函数的最值问题 导数的应用举例 导数的应用举例 某企业要生产容积为的圆柱形密闭容器,已知该容器侧面耗材为1元,上下底面的耗材为1.5元.问:如何设计圆柱的高度和上下底面的半径,使得费用最少? 例1 解:由题意可得,所需费用为 由于容器的容积为,从而 ,因此 对关于求导,得 令,解得 导数的应用举例 导数的应用举例 因此在 处取到极小值,也是最小值 由 和,得 当 时,,则单调递增 因此,当圆柱上下底面半径 ,高时,所需费用最少 导数的应用举例 当 时,,则单调递减 导数的应用举例 求几何体的面积或体积的最值问题： 几何体的几何特征 利用导数求解 让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端,斜面两端的水平距离为,如何选择斜面和水平面之间的角度,使木块从上端滑到下端所用的时间最短? 导数的应用举例 例2 解:由于木块在前进方向所受的力大小为(是重力加速度) 所以它的加速度大小为 由此得到木块的运动方程为 又木块从上端到下端经过的路程为 于是 解得 导数的应用举例 解:由题意,要求的是上式右端关于变量的最小值点,也就是函数的最大值点 令,解得 当 时,;当 时, 因此,在 处取到极大值,也是最大值 因此,当斜面和水平面之间的角度 时,木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端所用的时间最短 导数的应用举例 导数的应用举例 江轮逆水上行,水速为,船在静水中的速度为已知行船时每小时的耗油量为,即与船在静水中的速度的平方成正比,问:多大时,全程的耗油量最小? 例3 解:船的实际速度为,故全程用时为 ,所以全程的耗油量 对关于求导,得 导数的应用举例 令 可得在上有唯一零点 又在上为负,在上为正, 故在处取得极小值,也是最小值, 因此,当时,全程的耗油量最小 导数的应用举例 导数的应用举例 几种常见的优化问题 运用导数解决优化问题 谢谢观看 $