1.3导数在研究函数中的作用 课时作业-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.3导数在研究函数中的作用课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1章1.3导数在研究函数中的作用 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知f(x)在R上是可导函数，y=f(x)的图象如图所示，则不等式∫'(x)>0的解集为 () 22-10 12x A.（-2,0)U(2,+0) B.（-0,-2)U(2,+0) C.（-o,-1)U(1,+0) D.（-2,-1)U(1,2) 【答案】C 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案。 【详解】根据y=f(x)的图象可知f(x)在R上的单调递增区间是(-oo,-1)U(1,+∞)， 所以不等式'(x)>0的解集为(-o,-1)U(1,+∞).故选：C 2.函数f(x)=(x-3)e的单调减区间是() A.（-0,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 【答案】A 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间 【详解】因为函数f(x)=(x-3)e,求导得f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e, 令f'(x)<0→x<2,因此，函数f(x)=（x-3)e的单调减区间是(-o,2),故A正确 3.若f=nx,e<a<b,则() A.f(a)>f(b)B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 【答案】A 【分析】先通过求导判断函数f)=血x的单调性，再利用单调性比较f@)和fb)的大小. 1 【详解】因为了W=之二h-上.当x∈e)时，1-nx<0.所以/0，所以 x2 x2 f(x)在(e,+o)上为单调递减函数.故f(a)>f(b).故选：A. 4.若函数f(x)=x3+ax2+3x-5是R上的增函数，则a的取值范围是() A.(0,3] B.[-3,3] C.[3,+oo) D.（-o,-3U[3,+∞) 【答案】B 【分析】由函数单增得∫'(x)≥0在R上恒成立，即3x2+2x+3≥0，所以有△≤0，从而得 解.【详解】由题意可得'(x)=3x2+2ax+3.因为f(x)是R上的增函数， 所以3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，所以△=4a2-4×3×3≤0，解得-3≤a≤3.故选：B. 5.函数f(x)=（x2-x-1)e*的极小值点是() A.-2 B.（-2,5e2) C.1 D.(1,-e) 【答案】C 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点 【详解】对函数f(x)求导得，f(x)=(2x-1)e+x2-x-l)e=(x2+x-2e=(x+2)(x-1)e 令f'(x)=0,则x=1或x=-2.若"(x)>0,则x>1或x<-2:若'(x)<0,则-2<x<1. 所以函数∫(x)在(1，+0)，（-0，-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减. 所以函数的极小值点是1.故选：C. 1 6.已知a=0.1,b=lnl.1,c= ,则a,6c的大小关系正确的是() A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 【答案】A 【分析】根据题意，构造函数f(x)=x-ln(1+x),即可判断a,b的大小关系，构造函数 g()=h1+x,即可判断6，c的大小关系，从而得到结果 【详解】因为a=0.1,b=ln(1+0.1),构造函数f(x)=x-n(1+x),x>-1, 期r-1中女 一，当x∈(-1,0)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减， 当x∈(0，+o)时，f'(x)>0,则f(x)单调递增，所以x=0为f(x)的极小值点， 所以f(x)≥f(0)=0,则f(0.1)>f(0)=0, 即0.1-ln0+0.1)小>0，所以0.1>n(1+0.1),即a>b,又c=-L=,01 1110+11+0.1' 构造运数g)=h:到xxc(@), 11 则()+x+可+对0，所以g)在Q)单调逢增， 则g0小>810=0，即h0+0)0>0 n1+0.1>0L,所以b>c,则a>b>c. 1+0.1 7.已知函数f(x)= a-12,0<x<4 logx,x≥4 ,(a>1),若对于任意x>0,f(x)≤2V,则实数a 的取值范围为() A ee,2 B c.(1,2 D.「2,2] 【答案】A 【分析】结合函数单调性，得到当0<x<4时，a-12≤2√恒成立，当x≥4时，log。x≤2 恒成立，再通过分离参数，求最值，即可求解 【详解】因为对于任意x>0,f(x)≤2Wx恒成立， 当0<x<4时，a-12≤2恒成立，即a≤2√+12，又a>0,2V+12>0, 不等式两端同取对数得na≤n2G+12),即na ln2Vx+l2） x 令1=VFe(0,2),构造函数0=血(21+12)， 2 求导得H0)=+6 an2a+12）.262n2+121-6。-2n2+12 .=t+6 13 令w0)=1-62h(2r+12,当t∈(0,2)，可得n(2r+12)>n12>1,又，6>0恒成立， t+6 1+6 即w0)=1-,6-2n(2r+12)<0,te(0,2)恒成立. t+6 即(0)<0，则)n2+12在：∈0,2)时单调递减， 2 Ad-血(2+12，h16=h2,因此na≤n2,则1<a≤2， 2 4 当4时，8，s2→世加成立，由na器成立，得a 2 令s) 器，i)当eae时，s0,当xeeg0 所以g(x)在[4，e)上单调递增，在(e3,+∞)上单调递减， 所以g(x)=g(e)所以na≥。，所以a≥e,综上可知实数a的取值范围为 e (Inx,x >0, 8. 已知函数f(x)= -x2-x,x≤0， 若直线y=kx与y=f(x)有三个不同的交点，则实数k的 取值范围是() A. B. e D.2小 【答案】C 【分析】先求出直线与y=f()相切时的斜率，作出函数y=kx与y=f(x)的图象，由数形 结合求解即可. 【详解)设y=nx与=：相切于点(，n),则太=儿。-解得无=©，此 e 作出函数y=x与y=f(x)的图象如图， y-k y-kx y=lnx -入 由图象可知，当-1K:≤0或=。时，直线y=c与y=)有三个不同的交点， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图是y=f(x)的导数y=∫'(x)的图象，则下面判断错误的是() 012:45 A.在(-3,1)内f(x)是增函数B.在(3,4)内f(x)是减函数 C.在x=1时f(x)取得极大值D.当x=4时f(x)取得极小值 【答案】AC 【分析】由y='(x)的图象，可得函数f(x)的单调性，从而即可求解， 【详解】解：对A由y=f()的图象可知x(3引时：了()<0，（时， )小>0，所以（在(3引上单调递减，在（多上单调递增， 故选项A错误： 对B,由y=∫'(x)的图象，可知x∈(3,4)时，f'(x)<0,所以f(x)在(3,4)上单调递减，故 选项B正确：对C,由y=了国的图象，可细x(2时，了(>0， 所以()在（上单调递猫，因为x=1左右两边的单同性相同，所以）取不到极大 值，故选项C错误： 对D,由y=f(x)的图象，可知x∈(2,4)时，f'(x)<0,x∈(4,5)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(2,4)上单调递减，在(4,5)上单调递增， 所以在x=4时f(x)取得极小值，故选项D正确故选：AC. l0.己知函数f(x)=xnx,则下列选项正确的是() A.函数f(x)的最小值为-1 B.函数f(x)有两个零点 C的数的单调道该区间为0 D.若方程f(x)=m只有一个实数解，则m≥0 【答案】AC 【分析】利用导数得到函数的单调性和最值，并求出函数大致图像对选项进行判断即可. 【详解】f(x)的定义域为(0，+o),f(x)=nx+1.令f(x)=lnx+1=0,则x=。 e 选项A:当0<x<时，(x)<0,单调递减：当x>时，()>0，f(x)单调递增， P 因业儿)在=处取最小值，心=得n。。A正商 选项B:令f(x)=xlnx=0,因x>0,故lnx=0,仅得x=1,函数只有1个零点，B错误： 1〉 选项C:由上述单调性分析，f)的单调递减区间就是0，。)C正确： 选项D:如图所示，结合f(x)的图像性质x→0*时f(x)→0（负方向趋近0），最小值为 ，f⑩=0，x→+o时fw)→+@ 因此，当m<-1时，有0个解；m=-1时，有1个解： -1<m<0时，有2个解：m≥0时，有1个解。 方程f=m只有1个解时，m=-1或m≥0，D错误 e 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11.函数f(x)=xnx-2x+3的单调递减区间为 【答案】(0，e) 【详解】函数f(x)=xnx-2x+3的定义域为(0，+oo),f'(x)=lnx+1-2=lnx-1, f'(x)=lnx-1<0,解得0<x<e,故函数f(x)=xnr-2x+3的单调递减区间为(0，e). 12.若f(x)=alnx+x2在x=1处有极值，则a= 【答案】-2 【分析】先对函数∫(x)求导，再根据函数在某点处有极值的条件，即该点处导数为0，求 出a的值，最后进行检验 【详解】已知f(x)=alnr+x2,f(x)=a+2x, 因为函数f(x)在x=1处有极值，所以∫'(I)=0, 将x=1代入f()=a+2x中，得到f'0=a+2=0,解得a=-2, 当a=-2时，f)=-2+2x=20-D-2x-1x+D,(x>0), 当0<x<1时，f"(x)<0,函数f(x)单调递减： 当x>1时，f(x)>0,函数f(x)单调递增： 所以x=1是函数f(x)的极小值点，a=-2符合题意.故答案为：-2. l3.函数f(x)=are*-x-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 【答案】(0，+o) 【分析】函数f(x)=axe-x-1有两个不同的零点，等价于方程axe-x-1=0有两个不同 的实根，当x=0时，方程左边为-1≠0，故x=0不是根，因此可分离参数得： a专女0向题转化为：直线y=Q与函数g)中女0)的图象有两个不同的交息 xe" 通过求导分析g(x)的单调性、极值，即可确定a的取值范围 【详解】由f(x)=axe-x-1,得aer-x-1=0, 当x=0时，左边=-1，等式不成立，故x=0不是根，： 当x≠0时，分离参数得a=xex≠0)，令8三ex≠0则问题等价于y=a写 y=g(x)的图象有两个不同的交点， 0 (xe") （xey 因此g'(x)<0在(-o,0)U(0,+o)上恒成立，所以g(x)在(-o,0)和(0，+∞)上分别单调递减， 由于当x∈(0，+o),x→0*时，g(x)→+0，x→+0时，g(x)→0，此时g(x)的值域为(0，+o), 当x∈(-o,0),x→0时，g(x)→-0，x→-0时，g(x)→+0，此时g(x)的值域为R, 则g(x)的大致图像如下： y=g(x) 所以要使y=a与y=g(x)的图象有两个不同的交点，则a>0 14.己知函数f(x)=x-lnx.若f(x)≥(1-m)x+m对任意x∈(0，+o)恒成立，则实数m的 值为 【答案】1 【分析】先将不等式整理，构造函数t(x)=nx-m(x-1),通过导数分析其单调性，分m≤0 和m>0讨论；再构造h(m)=-lnm+m-1,求导分析其最值，得到m=1. 【详解】函数f(x)=x-lnx,所以f(x)≥(1-m)x+m对任意x∈(0，+o)恒成立， 所以-lnr+m(x-1)≥0恒成立，所以lnr-m(x-1)≤0恒成立， 令(x)=Hnx-m(x-),所以r(x)=-m, 当m≤0时，x∈(0，+o),t'(x)>0,t(x)单调递增，且t()=0, 所以x∈(L,+∞)，(x)>t(I)=0,不满足题意： 当>0时，x0对}r)>0,()单调递地，（日+小女）水0，创单调递就。 所以当时=-日 =-nm+m-1≤0成立， m 令h(m）=-lhm+m-1,W(m)=-1+1=m-l m m 当m∈(0,1)，(m)<0,h(m)单调递减，当m∈(L,+o∞)，(m)>0,h(m)单调递增， 所以h(m)≥h(1)=-nl+1-1=0, 所以当m=1时，满足h(m)=(x)s≤0成立，则实数m的值为l. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=血x-」 1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)求函数f(x)的极值. 【答案】(1)y=2x-3 2)极大值为。，无极小值 【分析】(1)对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. (2)对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【详解】)因为7()=">0，所以了- Lx-(lnx-1)2-nx x2 所以切线斜率为f)=2-n1=2,而f0=n=-1, 12 1 所以曲线在点(1，-1)处的切线方程为y+1=2(x-1),即y=2x-3. (2)令f()=0,则2-nx=0,求得x=e. 因为/)=2，当0<<e时，了0：当>e时，了0， 所以函数f(x)在(0，e2)单调递增，在(e,+o)上单调递减， 所以函数/（四在x=e处取得极大值为f(e)=mc-1-是 e2-e2 所以函数()的极大植为。，无极小值 16.(15分)己知函数f(x)=x2-3x2-9x+1. (I)求函数f(x)的单调区间. (2)求函数f(x)的极值. 【答案】(1)函数f(x)的增区间为(-∞，-1)和(3，+∞)，减区间为(-1,3) (2)极大值为6，极小值为-26 【分析】(1)利用导数的正负性研究函数单调性： (2)利用函数单调性求极值. 【详解】(1)因为f(x)=x3-3x2-9x+1(x∈R),则f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令f'(x)=0,可得x=-1或x=3,列表如下： (-0,-1) (-1,3) 3 (3,+∞) f(x) + 0 0 f() 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数f(x)的增区间为(-o,-1)和(3，+o),减区间为(-1,3)： (2)由(1)可知，函数f(x)的极大值为f(-1)=-1-3+9+1=6, 极小值为f(3)=27-27-27+1=-26 17.(15分)已知f()=2sin2x-sinx. (1)讨论f(x)在[0,2π的单调性： (2)求f(x)的值域. 【类】0在号)（2 上单调递减， 上单调递增 3535 (2) 【分析】(1)借助导数结合三角函数降幂公式计算即可得： (2)计算可得2π为f(x)的周期，则f(x)在R上的值域与在[0,2π]上的值域相同，结合(1) 中所得单调性计算即可得解。 【详解】(1)f'(x)=cos2x-cosx=2cos2x-1-cosx=(2cosx+1)(cosx-1), 由cosx∈[-l,1],则cosx-1≤0恒成立， 令2cosx+1=0,且x∈[0,2]，解得x=2或x=4 3 则当}（经2j时.了）0，当x誓)时./>0. 故rQ》(经2上单调递威.在〔吾智 上单调递增： (2)f(x+2)=sin2(x+2z)-sin(x+2)=sin2x-sinx=f(x), 故2π为f(x)的周期，则f(x)在R上的值域与在[0,2π]上的值域相同， 由知，f)2上单调减在（ 2π4π 上单调递增， 2 4 故f(x)的值域为 333W5 4,4 18.(17分)己知函数f(x)= zax'-xlnx+b(a,bER). (1)已知曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=3,求a和b的值： (2)求证：x=1不是函数f(x)的极值点： (3)设g(x)=f'(x),x∈(0，e],是否存在a,使得函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a的 值；若不存在，说明理由. 【路案10a-1,-月 (2)证明见详解 (3)存在，a=e2 【分析】(1)根据导数即可求解： (2)根据a=1、a≠1两种情况分析∫'(x)即可证明： (3)根据a≤0、0<士<e、之e三种情况分析gx)的导数，并据此求出最值，并根据题 a 干求出对应a的值，判断是否符合情况即可. 【详解】(1)f'(x)=ax-(nx+1),由题意f'(1)=a1-(nl+1)=a-1=0, 解得a=1,f0-aP-1小n1+力-0+6=3，解得》- (2)f(x)=ax-Inx-1,f(1)=a-1, ①当a=1时，了(=x-hx-山，令()=x-l加x-小，求导得()-1 0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减；x>1时，h(x)>0,h(x)单调递增； 故h(x)在x=1处取得最小值h(1)=0,即f'(x)≥0恒成立，因此x=1不是极值点： ②当a≠1时，f'(1)=a-1≠0，不可能是极值点： 综上，x=1不是函数f(x)的极值点. (3)g()=r-lhx-l,x∈(0，c,求导g(x)=a-1, ①a≤0，此时g(x)=a-1<0恒成立，g()在(0，d上单调递减， 最小值在x=e处，即g(e)=ae-lne-l=ae-2, 令a心-2=2，得a=4>0,与4<0矛盾，舍去： e ②0<。<e,即a>。,此时g)在(0日上为负，8)单调递减： a 在日小上为正，8)单调递常， 最小值在x=石处，即日-a。h1=1+na-1=hu, 1 a aa 1 令ha=2,得a=e,满足a>。,成立： ③上≥e,即0<a≤此时g(r)=a-1≤0在(0，e上恒成立，g(x)单调递减， 最小值在x=e处，即g(e)=ae-2, 令ae-2=2,得a=4,与0<as矛盾，舍去： ee e 综上，存在a=e2,使得g(x)在(0，e上的最小值为2. 19.(17分)已知函数f(x)=号(x+-x-l(-),其中a为实数 (I)讨论f(x)的单调性： (2)若对任意x∈(-o,-刂都有f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围： (3)若-2<a<-1,试判断f(x)的零点个数. 【答案】(1)当a≥0时，f(x)在[-l,0)上单调递增，在(-o,-1]上单调递减： 当-1<a<0时，f)在(-0，，[-1,0)上单调递增，在，-]上单调递减： 当a=-1时，f(x)在(-o,0)上单调递增： 当a<-1时，f()在(-o,-1],二，0)上单调递增，在[-1，白上单调递减 (2)(-0,-1 3)1 【分析】(1)求导，通过a≥0，-1<a<0,a=-1,a<-1讨论导数符号，即可求解： (2)由(1)通过函数单调性，确定最值即可求解： (3)由(1)得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（D定义域：（∞，0，）a-x+) a20, （-00,-1) (-1,0) y 0 y ↓ 个 f(x)在[-1,0)上单调递增，在(-0，-1]上单调递减： a<0, ①-1<a<0, a G0 -1 (-1,0) + 0 0 个 fx)在(，，1,0)上单调递增，在，-]上单调递减： ②a=-l,f()=-r+少. 因为x<0,所以f'(x)≥0，f(x)在(-0,0)上单调递增： ③a<-1, (-0,-1) -1 ,0) a a y 0 0 + D 个 ↓ 个 )在(-，-，0上单调递增，在-山上单调递减 (2)由(1)得，如果a≤-1，f(x)在(-o,-]上单调递增， 当x≤-1时，f(x)≤f(-1), 因为f(-1)=1,所以f(x)≤1成立： 当a≥0，f(x)在(-0，-1]上单调递减，所以存在x∈(-o,-1],f(x)>f(-1)=1;不符合， 当-1<a<0,f()在(-月上单调递增，在。-上单调递减 所以存在x∈日-川，f)>f-)=1,不符合，综上，a的取值范围是(-∞，-： (3)由(1)得，若-2<a<-1,fx)在(0，-，[三，0)上单调递增，在[-1，白上单调递 减因为-2<a<-1,当x=-e2, f(-e2）=g(e2+°-(e2）-n(e)=g1-e2+e2-2 aw0-后-小2 图为-1，所u小10，所以ep侣小20 所以f(-e)<0,又f(-)=1>0,且fx)在(-o,-刂上单调递增， 所以存在x∈(-e2,-1),使f(x)=0.又因为f白) _d+2a-1+lm-a) a 2a 当-2<a<-1时，g2+2a-1<0,即心+2a->0.(-a>0,所以白>0. 2a 因为fx)在[-1，白力上单调递减，三，0)上单调递增，所以当x≥-1时，x)>0, a 综上，f(x)有且只有一个零点1.3导数在研究函数中的作用课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1章1.3导数在研究函数中的作用 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知f(x)在R上是可导函数，y=f(x)的图象如图所示，则不等式'(x)>0的解集为 ( ) 22-10 A.（-2,0)U(2,+∞）B.(-,-2)U(2,+o）C.(-∞，-1)U(1,+∞）D.(-2,-1)U(1,2) 2.函数f(x)=(x-3)e的单调减区间是() A.（-0,2) B.(0,3) c.(1,4) D.(2,+0) 3.若fw=血x,e<a<b,则() A.f(a)>f(b)B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 4.若函数f(x)=x+x2+3x-5是R上的增函数，则a的取值范围是() A.(0,3] B.[-3,3] C.[3,+o) D.(-0,-3]U[3,+∞) 5.函数f(x)=(x2-x-1)e的极小值点是() A.-2 B.（-2,5e2) C.1 D.(1,-e) 1 6.已知a=01,b=ml.l,c=立，则a6,c的大小关系正确的是(） A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c a-12,0<x<4 7.已知函数f(x)= logx,x≥4 ,(a>1),若对于任意x>0,f(x)≤2Wx,则实数a 的取值范围为() A. e,2 B.1,e c.(12 D.「2,2 Inx,x>0, 8.己知函数f(x)= -x2-x,x≤0， 若直线y=x与y=f(x)有三个不同的交点，则实数k的 取值范围是() 1 A.-0, e c1小得 D.(←2小 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图是y=f(x)的导数y=∫'(x)的图象，则下面判断错误的是() A.在(-3,1)内f(x)是增函数 B.在(3,4)内f(x)是减函数 C.在x=1时f(x)取得极大值D.当x=4时f(x)取得极小值 10.己知函数f(x)=xlnx,则下列选项正确的是() A.函数f()的最小值为- B.函数∫(x)有两个零点 C.函数f(r)的单调递减区间为0， e D.若方程f(x)=m只有一个实数解，则m≥0 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.函数f(x)=x-2x+3的单调递减区间为 12.若f(x)=alnx+x2在x=1处有极值，则a= 13.函数f(x)=e-x-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 14.己知函数f(x)=x-hx.若f(x)≥(1-m)x+m对任意x∈(0，+o)恒成立，则实数m的 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知函数fx)=血x- (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)求函数f(x)的极值. 16.（15分)己知函数f(x)=x3-3x2-9x+1. (1)求函数f(x)的单调区间. (2)求函数f(x)的极值 17.(15分)己知f(x)=1sim2x-simx. 2 (1)讨论f(x)在[0,2π]的单调性： (2)求f(x)的值域. 18.(17分)已知函数fe)=am-r+b(abeR). (1)已知曲线f(x)在(1，(1)处的切线方程为y=3,求a和b的值； (2)求证：x=1不是函数∫(x)的极值点： (3)设g(x)=f'(x),xe(0,e],是否存在a,使得函数8(x)的最小值为2？若存在，求出a的 值；若不存在，说明理由. 19.(17分)已知函数f()=c+1-x-(-),其中a为实数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若对任意x∈(，-1都有∫(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围： (3)若-2<a<-1,试判断f(x)的零点个数. 1.3导数在研究函数中的作用 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章1.3导数在研究函数中的作用 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案． 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为．故选：C 2．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故．故选：A. 4．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单增得在上恒成立，即，所以有，从而得解．【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立，所以，解得.故选：B. 5．函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【详解】对函数求导得，. 令，则或.若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是.故选：C. 6．已知，，，则的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，构造函数，即可判断的大小关系，构造函数，即可判断的大小关系，从而得到结果. 【详解】因为，，构造函数，， 则，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，所以为的极小值点， 所以，则， 即，所以，即，又， 构造函数，， 则，所以在单调递增， 则，即， ，所以，则. 7．已知函数，（），若对于任意，，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数单调性，得到当时，恒成立，当时，恒成立，再通过分离参数，求最值，即可求解. 【详解】因为对于任意，恒成立， 当时，恒成立，即，又， 不等式两端同取对数得，即， 令，构造函数， 求导得 令，当，可得，又恒成立， 即，恒成立， 即，则在时单调递减， ，因此，则， 当时，恒成立，由恒成立，得 令，，当时，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以.所以，所以，综上可知实数的取值范围为. 8．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可． 【详解】设与相切于点，则，解得，此时.由得，由，可得，此时切点为，作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（    ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】AC 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确；对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确.故选：AC. 10．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有两个零点 C．函数的单调递减区间为 D．若方程只有一个实数解，则 【答案】AC 【分析】利用导数得到函数的单调性和最值，并求出函数大致图像对选项进行判断即可. 【详解】的定义域为，.令，则， 选项A： 当，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在处取最小值，， A正确； 选项B： 令，因，故，仅得，函数只有个零点，B错误； 选项C： 由上述单调性分析，的单调递减区间就是，C正确； 选项D： 如图所示，结合的图像性质时（负方向趋近），最小值为，，时， 因此，当时，有个解；时，有个解； 时，有个解；时，有个解. 方程只有个解时，或，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11．函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， ，解得，故函数的单调递减区间为. 12．若在处有极值，则______． 【答案】 【分析】先对函数求导，再根据函数在某点处有极值的条件，即该点处导数为，求出的值，最后进行检验. 【详解】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意.故答案为：. 13．函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实根,当时，方程左边为，故不是根，因此可分离参数得： ,问题转化为：直线与函数的图象有两个不同的交点，通过求导分析的单调性、极值，即可确定的取值范围 【详解】由，得, 当时，左边，等式不成立，故不是根，； 当时，分离参数得​，令，则问题等价于与的图象有两个不同的交点, , 因此在上恒成立,所以在和上分别单调递减， 由于当，时，，时，，此时的值域为， 当，时，，时，，此时的值域为， 则的大致图像如下： 所以要使与的图象有两个不同的交点，则 14．已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 【答案】1 【分析】先将不等式整理，构造函数，通过导数分析其单调性，分和讨论；再构造，求导分析其最值，得到. 【详解】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，，单调递增，且， 所以，，不满足题意； 当时，，单调递增，，单调递减， 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当，单调递增， 所以， 所以当时，满足成立，则实数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值. 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【详解】（1）因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 16．（15分）已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 【答案】(1)函数的增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）利用导数的正负性研究函数单调性； （2）利用函数单调性求极值. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）可知，函数的极大值为， 极小值为. 17．（15分）已知． (1)讨论在的单调性； (2)求的值域． 【答案】(1)在、上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）借助导数结合三角函数降幂公式计算即可得； （2）计算可得为的周期，则在上的值域与在上的值域相同，结合（1）中所得单调性计算即可得解. 【详解】（1）， 由，则恒成立， 令，且，解得或， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增； （2）， 故为的周期，则在上的值域与在上的值域相同， 由（1）知，在、上单调递减，在上单调递增， 又， ，， 故的值域为. 18．（17分）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)存在， 【分析】（1）根据导数即可求解； （2）根据、两种情况分析即可证明； （3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可． 【详解】（1），由题意， 解得，，解得． （2），且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立，因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 19．（17分）已知函数，其中为实数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试判断的零点个数. 【答案】(1)当时，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. (2) (3)1 【分析】（1）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值即可求解； （3）由（1）得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）定义域：，. ， 在上单调递增， 在上单调递减； ， ①， 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减； ②，，因为，所以，在上单调递增； ③， + 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得， 如果， 在上单调递增， 当时，， 因为，所以成立； 当，在上单调递减，所以存在， ；不符合， 当，在上单调递增，在上单调递减； 所以存在， ，不符合，综上，的取值范围是； （3）由（1）得， 若，在，上单调递增，在上单调递减.因为，当， ， 因为，，所以，所以， 所以，又，且在上单调递增， 所以存在，使.又因为， 当时， ， 即，，所以. 因为在上单调递减， 上单调递增，所以当时，. 综上，有且只有一个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3导数在研究函数中的作用 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1章1.3导数在研究函数中的作用 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，（），若对于任意，，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（    ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 10．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有两个零点 C．函数的单调递减区间为 D．若方程只有一个实数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11．函数的单调递减区间为__________. 12．若在处有极值，则______． 13．函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 14．已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 16．（15分）已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 17．（15分）已知． (1)讨论在的单调性； (2)求的值域． 18．（17分）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（17分）已知函数，其中为实数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试判断的零点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $