专题01 安培力与洛伦兹力（期末复习讲义）高二物理上学期人教版

该高中物理期末复习讲义以“安培力与洛伦兹力”为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，分知识点呈现安培力方向判断、洛伦兹力特点等规律，结合解题技巧与答题模板构建知识脉络，突出运动和相互作用的物理观念。 讲义亮点在于分层练习设计与科学思维培养，如非直导线安培力计算中有效长度技巧、圆周运动轨迹圆心确定方法，跨章节题型对比电偏转与磁偏转。基础通关到综合拓展练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升科学推理与模型建构能力。

专题01 安培力与洛伦兹力（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 安培力的大小和方向 会求解非直导线在磁场中受到的安培力和与安培力相关的动力学问题 基础必考点，常出现在小题 带电粒子在磁场中的圆周运动 掌握带电粒子在各种形状有界磁场中的运动 高频考点 带电粒子在电磁组合场中的运动 掌握带电粒子在电磁组合场或复合场中的运动分析 高频考点，经常出现在解答题中。 知识点01 安培力的大小和方向 1．安培力的方向 (1)用左手定则判断：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 (2)安培力方向的特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B、I决定的平面。 (3)推论：两平行的通电直导线间的安培力——同向电流互相吸引，反向电流互相排斥。 2．安培力的大小 F＝IlBsinθ(其中θ为B与I之间的夹角)。如图所示： (1)I∥B时，θ＝0或θ＝180°，安培力F＝0。 (2)I⊥B时，θ＝90°，安培力最大，F＝IlB。 ·示例：导体棒在磁场中受到的安培力为0，导体棒所在的位置磁场不一定为0，可能是导体棒与磁场相互平行。 ·易错点：电流方向不一定与磁场方向垂直，取决于导体棒的放置方向。 知识点02 洛伦兹力的特点及应用 1.洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。 (2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 (3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。 2．洛伦兹力与安培力的联系及区别 (1)联系：安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。 (2)区别：安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 3．洛伦兹力与静电力的比较 示例：如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是(　　) A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大 B．滑块经过最低点时的加速度比磁场不存在时小 C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小 D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等 【答案】　D 【解析】由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，A错误；滑块经过最低点时的加速度a＝，则与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，B错误；由左手定则可知，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时所受的向心力不变，故对轨道的压力变大，C错误；由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等，D正确。 题型一 非直导线所受安培力的计算 解｜题｜技｜巧 应用公式F＝IlBsinθ计算安培力时弯曲导线的有效长度l，等于连接两端点线段的长度(如图所示)；相应的电流沿l由始端流向末端。 易｜错 当B与I垂直时，F最大，F＝IlB；当磁感应强度B的方向与电流I的方向的夹角为θ时，F＝IlBsinθ；当B与I平行时，F＝0。 【典例1】（24-25高二下·江苏常州·期末）通以恒定电流的一段四分之一圆弧形导线放置在平行于导线平面的匀强磁场中，受到安培力为F，如左图；现将导线绕圆心O在原平面内转过45°，如右图，则安培力变为（　　） A．F B．2F C． D． 【答案】D 【详解】设圆弧形导线的半径为，则左图中圆弧形导线在垂直于磁感线方向的投影长度为，则有 右图中圆弧形导线在垂直于磁感线方向的投影长度为，圆弧形导线受到的安培力大小为 故选D。 【变式1】（24-25高二下·广东·期末）如图所示，半径为R的圆形导线环单位长度的电阻为r，PQ为圆的直径，弧MQ对应的圆心角为90°。直径PQ的上部有垂直纸面向里的匀强磁场，下部有垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。在P、M两点间接入恒定电压U，电流方向如图中所标，那么整个圆形导体所受安培力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆形导线环的总电阻 回路并联部分两支路电阻分别为， 通过两支路电流分别为， 根据左手定则可知，圆形导线环上方MQ圆弧与其关于圆心对称的圆弧部分所受安培力大小相等，方向相同，根据力的合成可知，这两部分所受安培力合力 方向与水平方向夹角为45°。圆形导线环上方PM圆弧与其关于圆心对称的圆弧部分所受安培力大小方向相反，根据力的合成可知，这两部分所受安培力合力 方向与水平方向夹角为45°，F1与F2方向垂直，则整个圆形导体所受安培力的大小 解得 故选A。 【变式2】（多选）（24-25高二下·天津河北·期末）长为的直导线折成边长相等、夹角为的V形，用两根等长且不可伸长的绝缘线、悬挂于匀强磁场中。已知该匀强磁场的磁感应强度为，方向垂直于V形导线所在平面。现给导线通以如图所示的电流，则（　　） A．通电后两绳拉力变小 B．通电后两绳拉力变大 C．导线所受安培力大小为 D．导线所受安培力大小为 【答案】BC 【详解】通电V形导线可等效为等效长度为绝缘线末端连线，根据左手定则可知V形导线受到的安培力方向竖直向下，大小 根据受力分析可得，未通电时，有 通电后，有 可得 可知通电后两绳拉力变大。 故选BC。 题型二 与安培力有关的力学综合问题 解｜题｜技｜巧 求解与安培力有关的力学问题的一般步骤 (1)确定要研究的通电导体。 (2)按照已知力→重力→安培力→弹力→摩擦力的顺序，对导体作受力分析。 (3)分析导体的运动情况。 (4)选用合适的力学规律解题 ①若通电导体处于平衡状态，用共点力平衡条件解题。 ②若通电导体涉及加速过程，根据实际情况，选用牛顿第二定律、动能定理或动量定理等解题。 点｜拨 将立体图转化为平面图 为了清晰准确地表示出B、I和安培力F的方向，以便进一步画出导体的受力示意图，应通过画俯视图、剖面图或侧视图，将表示B、I和F方向的立体图转化为平面图。 【典例1】（24-25高二上·天津河东·期末）甲图所示电磁炮是一种先进的武器，乙图为某同学模拟电磁炮的原理图。为了研究方便，将炮弹视为一个与导轨间距等长的导体棒，其质量、电阻，固定在电阻不计、间距的两根平行倾斜导轨上。已知导轨平面与水平地面的夹角，导轨下端电源电动势、内阻，整个装置处于磁感应强度大小为、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。将导体棒由静止释放，它最终从导轨上端发射出去。若导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒与导轨间的动摩擦因数，重力加速度大小，，，求： (1)导体棒释放时所受安培力F的大小和方向； (2)导体棒释放时加速度a的大小和方向。 【答案】(1)，方向沿斜面向上 (2)，方向沿斜面向上 【详解】（1）导体棒刚放在导轨上时，根据闭合电路欧姆定律有 解得 导体棒刚放在导轨上时所受安培力的大小 解得 根据左手定则可知，导体棒所受安培力方向沿斜面向上。 （2）导体棒刚放在导轨上时，对导体棒进行受力分析，根据牛顿第二定律有 其中 解得 方向沿斜面向上。 【变式1】（24-25高二下·湖南长沙·期末）质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一的光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为（），轨道与导体棒的弹力为。下列说法正确的是（　　） A．若仅将电流强度I缓慢增大，则θ逐渐减小 B．若仅将电流强度I缓慢增大，则先增大再减小 C．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，则θ先增大再减小 D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，则逐渐增大 【答案】C 【详解】AB．对导体棒进行受力分析，受重力、支持力和安培力，作出矢量动态三角形如图所示 若仅将电流强度Ⅰ缓慢增大，安培力逐渐增大，则θ逐渐增大，逐渐增大，故AB错误； CD．对导体棒受力分析，受重力、支持力和安培力，如图所示 安培力方向向右，根据左手定则可知，电流方向向内，沿垂直半径方向根据平衡条件有 若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°过程，假设导体棒不动，则安培力在沿垂直半径方向的分力先增大后减小，在沿半径向下的分力逐渐减小到零，后来沿半径方向向上的分力增大，所以θ先增大再减小，逐渐减小，个C正确，D错误。 故选C。 【变式2】（24-25高二上·湖北·期末）电磁弹射技术是一种新兴的直线推进技术，2022年6月17日上午，中国第三艘航空母舰福建舰下水，并配置电磁弹射。其工作原理可以简化如下图，光滑固定导轨CD，EF与导电飞翔体MN构成一驱动电流回路，恒定驱动电流产生磁场，且磁感应强度与导轨中的电流及空间某点到导轨的距离的关系式为，磁场对处在磁场中的导电飞翔体产生了安培力F，从而推动飞翔体向右做匀加速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．CMNF回路内的磁场方向与驱动电流的方向无关 B．飞翔体所受安培力F的方向与CMNF回路中驱动电流的方向有关 C．驱动电流变为原来的2倍，飞翔体受的安培力将变为原来的2倍 D．如果飞翔体在导轨上滑过的距离保持不变，将驱动电流变为原来的2倍，飞翔体最终的弹射速度将变为原来的2倍 【答案】D 【详解】A．根据安培定则可知回路内磁场方向与电流方向有关，故A错误； B．CMNF回路中驱动电流的方向改变，根据安培定则，磁场方向相反，因为MN中电流方向也相反，根据左手定则，安培力F的方向不变，故B错误； C．驱动电流I变为原来的2倍，磁感应强度B变为原来的两倍，安培力变为原来的4倍，故C错误； D．驱动电流I变为原来的2倍，飞翔体MN受的安培力F变为原来的4倍，飞翔体的加速度a变为原来的4倍，由 得 所以速度变为原来的2倍，故D正确。 故选D。 题型三 带电粒子在磁场中的圆周运动 答｜题｜模｜板 1．概述 有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹，然后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁场的速度大小、方向和磁场的磁感应强度及磁场的区域边界。常见的磁场边界：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、四分之一坐标平面边界、三角形边界、圆形边界。如图所示。 2．解题关键——确定轨迹圆心 求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，找出轨迹圆心。确定轨迹圆心的3个依据： (1)圆心一定在垂直于速度的直线上； (2)圆心一定在弦的中垂线上； (3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径。 常见情境： a．如图甲，若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。 b．如图乙，若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心。 c．如图丙，若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心。 3．轨迹半径的计算 方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨迹半径r＝； 方法二(由几何关系求)：作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形(通常是直角三角形)，根据勾股定理、三角函数求解，或根据正弦定理、余弦定理求解。 例如：如图所示，R＝，或由R2＝L2＋(R－d)2求得R。 4．运动时间的计算 方法一(由运动圆弧所对的圆心角α、圆周运动的周期T求)：t＝·T； 方法二(由运动的弧长s、线速度v求)：t＝。 5．分析、求解带电粒子在有界匀强磁场中运动问题的一般步骤 6．作图及分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹时需要注意的问题 四个点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在直线的交点。 六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。 三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α)，并等于AB弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。 【典例1】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，磁场区域足够大，不考虑离子间的相互作用，则磁场中有离子经过的区域（阴影部分）是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据左手定则可知，离子带负电，粒子垂直于边界入射，则粒子在磁场中的轨迹为半个圆周，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，将线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹向右平移至与线状粒子源右端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹重合，则线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹平移过程扫过的面积为磁场中有离子经过的区域，因离子的轨迹的直径均大于线状粒子源的宽度，可知，第一个选择项满足要求。 故选A。 【典例2】（多选）（24-25高二下·湖南郴州·期末）一圆筒的横截面如图所示，半径为R，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场。粒子与圆筒碰撞后，始终以等大反向的速率反弹，且电荷量保持不变。在圆筒的P点有一小孔，从P处垂直磁场方向对准圆心入射速度为、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，且不计粒子重力。该粒子与圆筒经过两次碰撞后，恰好能从P点射出，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度为 B．磁感应强度为 C．粒子在磁场中的运动时间为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BD 【详解】AB．由题意，粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系，知， 洛伦兹力提供向心力，有 解得，故A错误，B正确； CD．粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式1】（多选）（24-25高二下·广东东莞·期末）如图所示，在直角区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为。点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为，电荷量为，速率均为长为且，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．带电粒子在磁场中的运动半径为 C．AC边上有粒子到达区域的长度为 D．边上有粒子到达区域的长度为 【答案】ACD 【详解】AB．根据 解得 自AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间的运动轨迹交AC于M点，圆弧所对应的圆心角为60°，自AC边射出的粒子在磁场中运动的最长时间的运动轨迹交AC于N点，交OC于D点，圆弧所对应的圆心角为120°，如图所示 根据 解得 综上所述，可得，，故A正确，B错误； C．AC边上有粒子到达区域的长度为MN之间的距离，由几何关系可得，故C正确； D．OC边上有粒子到达区域的长度为OD之间的距离，由几何关系可得，故D正确。 故选ACD。 【变式2】1．（24-25高二下·四川成都·期末）如图所示的xOy直角坐标系内，第二象限直线AC左上方的区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，A点坐标为（−L，0），C点坐标为（0，L）；第一象限x=L右侧的区域Ⅱ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，边界与x轴交点为D。在A点有一粒子源沿y轴正方向向区域Ⅰ射入大量带正电的同种粒子，粒子速度大小满足0<v≤v0。已知以速度v0射入的粒子恰好能从C点离开区域Ⅰ，经区域Ⅱ偏转后恰好从D点离开区域Ⅱ。不计粒子重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子的比荷； (2)区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小B′及区域Ⅱ内有粒子经过的面积S； (3)粒子从A点射入到第一次离开区域Ⅱ的最短时间tmin。 【答案】(1)； (2)， (3) 【详解】（1）速度为v0的粒子恰好能从C点离开区域Ⅰ，由几何关系，粒子在区域Ⅰ做圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）速度为v0的粒子经区域Ⅱ偏转后从D点离开，由洛伦兹力提供向心力得 由几何关系 解得 由分析可得所有粒子垂直区域Ⅱ左边界进入区域Ⅱ偏转后都从D点离开区域Ⅱ，区域Ⅱ内有粒子经过的面积为 解得 （3）由分析可知，粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ运动时间与入射速度大小无关，从区域Ⅰ到区域Ⅱ粒子速度越大，匀速直线运动距离越短，时间越短。所以当v=v0时粒子从A到D的时间最短。 粒子在区域Ⅰ运动的时间为四分之一周期，即 粒子出区域Ⅰ到进区域Ⅱ的时间为 粒子在区域Ⅱ的时间为二分之一周期，即 粒子从A到D的最短时间为 题型三 （跨章节题型） 答｜题｜模｜板 常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 易｜错 容易混淆带电粒子在电场中和磁场中的运动（两场中运动时的一小段轨迹几乎相同），导致处理方法出现错误。 【典例1】（多选）（23-24高二下·辽宁锦州·期末）下列关于四种仪器的说法正确的是（　　） A．甲图中当增大磁感应强度时，电子形成的轨迹圆半径将减小 B．乙图中不改变质谱仪各区域的电场、磁场时，击中光屏同一位置的粒子比荷不相同 C．丙图中载流子为负电荷的霍尔元件有如图所示的电流和磁场时，N侧电势低 D．丁图中长、宽、高分别为a、b、c的电磁流量计在如图所示的匀强磁场中，若改变液体流动的方向，则不能测定流量Q 【答案】AC 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力可得 当增大磁感应强度时，电子形成的轨迹圆半径将减小，故A正确； B．乙图中，带电粒子经质谱仪的速度选择器区域后，速度都相同，经偏转磁场时击中光屏同一位置的粒子，在磁场中偏转的轨道半径r相同，由洛伦兹力提供向心力可得 可知击中光屏同一位置的粒子比荷相同，故B错误； C．丙图中载流子为负电荷的霍尔元件，负电荷运动方向与电流方向相反，由左手定则可知，负电荷在洛伦兹力作用下，向N侧移动，因此N侧聚集负电荷，N侧电势低，故C正确； D．经过电磁流量计的带电粒子受到洛伦兹力作用，会向前后两个金属侧面偏转，则在前后两个侧面间产生电场，带电粒子则同时受到洛伦兹力和电场力作用，当电场力与洛伦兹力大小相等时，则有 流量 若改变液体流动的方向，同理，能测定流量Q，故D错误。 故选AC。 【典例2】（24-25高二上·北京西城·期末）“东方超环”是我国研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置，此装置需要利用“剩余离子偏转系统”将带电粒子从混合粒子束中剥离出来。如图所示是某同学设计的剩余离子电偏转系统方案的原理简图，在两平行金属板间加上恒定电压，让以相同速度水平运动的分布均匀的混合粒子束经过电场，其中带电粒子偏转，打在极板上的就被极板收集。为了收集从电场中射出的正电粒子，可在紧靠平行金属板的右侧区域加垂直纸面向里的匀强磁场，使从电场中射出的正电粒子回到电场被收集。 已知极板长度为2L，板间距为d，正电粒子的比荷为，正电粒子离开电场时竖直方向的最大偏移量为y（y<d），正电粒子从电场射出时的速度大小为v。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，不考虑场的边缘效应。 (1)求：不加磁场时，正电粒子被收集的百分比； (2)为了确保每一个从电场中射出的正电粒子最终都能够重新回到电场当中被收集，求：所加匀强磁场中磁感应强度B大小的取值范围。（可画图辅助说明） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，不加磁场时，正电粒子被收集的百分比 （2）正电粒子射入磁场的速度v方向与水平方向之间夹角α满足 如图，设当磁感应强度的大小为B0时，正电粒子恰好都返回到电场中，由几何关系，正电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径应满足 根据牛顿第二定律 解得 依据 B<B0，则R>R0，正电粒子不能都回到电场；若B>B0，则R<R0，正电粒子能都回到电场中，所以磁感应强度B的大小应为 【典例3】（24-25高二下·云南·期末）建立如图所示的直角坐标系，第一象限存在平行于轴向下的有界匀强电场，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。电场右侧有一平行于轴的粒子发射器，其上端点和下端点的纵坐标分别为和。发射器能均匀地发射大量质量为、电荷量为的粒子，粒子以相同的初速度平行于轴射入匀强电场，均能经坐标原点进入磁场，经磁场偏转后打到位于轴负半轴的足够长的粒子接收器上。已知匀强电场的电场强度大小，匀强磁场的磁感应强度大小。不计粒子重力及粒子间的相互作用，虚线为抛物线，求： (1)匀强电场虚线边界的函数表达式； (2)粒子接收器上接收到粒子的长度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设带电粒子进入电场时的位置坐标为（x，y），粒子在电场中做类平抛运动，有， 将代入得匀强电场虚线边界的函数表达式为。 （2）设粒子从点进入磁场时的速度为，与轴负半轴间的夹角为，则； 进入电场的粒子纵坐标的范围为，则 代入上式得 且 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设粒子打到接收板上的位置与点间的距离为，根据 解得 代入得 则粒子接收器上接收到粒子的长度为。 【变式1】（24-25高二上·山西晋中·期末）如图所示，位于竖直平面内半径为的光滑绝缘圆形轨道，与倾角为绝缘粗糙直轨道在点平滑连接，点为圆轨道的最低点，。整个轨道处于水平向左、场强的匀强电场和垂直于纸面向里、磁感应强度的匀强磁场中。现有一质量为、带电量为可视为质点的小滑块从倾斜直轨道上距离足够远的点由静止释放，已知滑块与倾斜直轨道间的动摩擦因数为，，重力加速度为。下列说法正确的是（   ） A．滑块第一次滑到点时的速度大小为 B．滑块第一次滑到点时的速度大小为 C．滑块从点沿切线飞出后，经时间飞到倾斜轨道 D．滑块从点沿切线飞出后，经时间飞到倾斜轨道 【答案】BC 【详解】AB．对物块进行受力分析如图1所示 物块在下滑过程中，洛伦兹力逐渐变大，摩擦力变大，物块做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动，则平衡方程为 联立解得 A错误，B正确； CD．滑块从到运动过程中，洛伦兹力不做功，点为重力场和电场复合场的等效最高点，等效重力加速度为，从到运用动能定理 解得 从点飞出后，滑块受到重力、电场力、洛伦兹力，受力图如图2所示 则有 滑块恰好合力为零，则滑块做匀速直线运动，经到倾斜轨道，时间 C正确，D错误。 故选BC。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·安徽铜陵·期末）如图所示，半径为R的均匀金属圆环圆心和坐标系的原点O重合，第四象限的匀强磁场垂直坐标系平面向外，其他三个象限的匀强磁场垂直坐标系平面向里，磁感应强度大小均为B。大小为I的电流从M点流入圆环，从N点流出。圆环受到的安培力大小为（　　） A．0 B． C．BIR D． 【答案】B 【详解】根据并联电路特点可知，通过大半圆环MN和小半圆环的电流分别为， 受到的安培力大小分别为， 根据左手定则可知受到的安培力方向分别垂直MN向下、向上，则圆环受到的安培力大小为 方向垂直MN向上。 故选B。 2．（24-25高二上·山西太原·期末）如图为洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射方向可调的电子束，玻璃泡内充有稀薄气体，电子束通过时能显示电子的径迹，励磁线圈可产生垂直纸面的磁场。下列选项正确的是（　　） A．加磁场后，电子束的径迹不可能是一条直线 B．加磁场后，若电子束与磁场方向成射出，其径迹是一个圆 C．当径迹为圆时，电子束速度不变，磁感应强度变大，径迹圆的半径变小 D．当径迹为圆时，磁感应强度不变，电子束出射速度变大，径迹圆的半径变小 【答案】C 【详解】AB．加上匀强磁场后，令电子束沿着与磁场垂直的方向射入磁场，洛伦兹力提供向心力，其径迹为圆；令电子束沿着与磁场平行的方向射入磁场，电子不受洛伦兹力作用，其径迹为一条直线；加磁场后，若电子束与磁场方向成射出，其径迹是一个螺旋线，故AB错误； CD．当径迹为圆时，洛伦兹力提供向心力，可得 解得 由此可知，若电子束速度v不变，磁感应强度B变大，则径迹圆的半径r变小；若磁感应强度B不变，电子束出射速度v变大，则径迹圆的半径变大； 故C正确，D错误； 故选C。 3．（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，磁流体发电机由彼此正对的两水平金属板M、N构成，M、N间存在平行于金属板的匀强磁场（图中未画出），两金属板与倾角的平行光滑金属导轨相连，金属板M、N及平行金属导轨间的距离均为d，平行金属导轨间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在平行金属导轨上锁定一长为d、电阻为R的直导体棒PQ，导体棒PQ与平行金属导轨垂直且接触良好。在平行金属板M、N间垂直于磁场方向持续喷入速度大小为v0的等离子体（不计重力），导体棒PQ解除锁定后仍能静止在导轨上。已知导体棒PQ的质量为m，重力加速度为g，除导体棒PQ外其余电阻均不计。下列说法正确的是（　　） A．导体棒PQ中的电流方向由P指向Q B．导体棒PQ中的电流大小为 C．M板的电势低于N板的电势 D．M、N之间的磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】A．对进行受力分析，如图可得，导体棒中的电流方向由Q指向P，A错误； B．由受力图可得，其中 得，B错误； C．导体棒中的电流方向由Q指向P，故M板为正极，M板的电势高于N板的电势，C错误； D．依题意可知 当电路稳定时，有，其中 解得，D正确。 故选D。 4．（24-25高二上·福建福州·期末）如图是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后，经过速度选择器，垂直平板从狭缝进入下方的匀强磁场。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为和E，平板上有记录粒子位置的胶片。若粒子在磁场中做圆周运动的周期为，则下列表述错误的是（　　） A．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外 B．能通过狭缝的带电粒子的速率等于 C．粒子在磁场中运动时间为 D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝，粒子的比荷越小 【答案】D 【详解】A．根据原理图中在磁场中向左偏转，由左手定则可知粒子带正电，则粒子在速度选择器内受电场力向右，故洛伦兹力必向左，由左手定则可判断磁场方向垂直直面向外，表述正确，故A不符合题意； B．由 得 此时离子受力平衡，可沿直线穿过选择器，表述正确，故B不符合题意； C．粒子在磁场中做圆周运动的周期为，其在磁场中的运动轨迹为半圆，故粒子在磁场中运动时间为，表述正确，故C不符合题意； D．由 可得 知粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝，越小，荷质比越大，即粒子的比荷越大，表述错误，故D符合题意。 故选D。 5．（多选）（24-25高二上·湖南益阳·期末）如图所示，空间存在沿纸面竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场。一质量为m带电量为q的小球在平行纸面的平面内做圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．小球一定沿顺时针方向运动 C．小球既可沿逆时针方向运动，也可沿顺时针方向运动 D．电场强度大小 【答案】BD 【详解】带电小球做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，由 得 可知小球带负电，洛伦兹力充当向心力，小球顺时针方向做圆周运动。故BD正确，AC错误。 故选BD。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（多选）（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ的范围为60°~120°。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的半径为a B．粒子射出磁场时到O点的最远距离为2a C．粒子射出磁场时到O点的最近距离为a D．从距O点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为 【答案】ABD 【详解】ABC．如图所示 粒子从最右侧射入时，轨迹圆心为，根据几何关系可知为等边三角形，所以，故AB正确，C错误； D．从点离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为，也可能是，则在磁场中运动的时间可能为 也可能是 故D正确。 故选ABD。 2．（25-26高二上·山东·期中）如图所示，在倾角的斜面上固定一间距的两平行光滑金属导轨，在导轨上端接入电源和滑动变阻器，电源电动势，内阻，一质量的金属棒与两导轨垂直并接触良好。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度。导轨与金属棒的电阻不计，取。 (1)要使金属棒在导轨上保持静止，求金属棒受到的安培力的大小； (2)当滑动变阻器的电阻突然调节为时，求金属棒的加速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据平衡条件可得 解得安培力大小为 （2）由闭合电路欧姆定律 由牛顿第二定律 解得 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）“电磁炮”是利用电磁系统中电磁场产生的安培力来对金属炮弹进行加速，使其达到打击目标所需的动能。如图是“电磁炮”的原理结构示意图。光滑水平加速导轨电阻不计，轨道宽为；在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度；“电磁炮”弹体总质量，其中弹体在轨道间的电阻；可控电源是恒流源，内阻，以保证“电磁炮”匀加速发射；在某次试验发射时，电源为加速弹体提供的电流是，不计空气阻力。求： (1)弹体所受安培力大小和方向； (2)弹体从静止加速到4km/s，轨道至少要多长； (3)弹体从静止加速到4km/s过程中，该系统消耗的总能量。 (4)实际上炮弹在轨道上运动时会受到空气阻力和摩擦阻力，若其受到的阻力与速度的关系为，其中阻力系数k为常量、炮弹离开轨道前做匀速运动，炮弹离开轨道时的速度大小为，求阻力系数k的大小。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) (4) 【详解】（1）弹体所受安培力大小为 由左手定则可知安培力方向水平向右。 （2）弹体从静止加速到4km/s，根据动能定理可得 代入数据解得 （3）弹体从静止加速到4km/s过程中，根据动量定理可得 解得 发射弹体过程产生的焦耳热为 则系统消耗的总能量为 （4）炮弹离开轨道前做匀速运动，根据受力平衡可得 代入数据解得 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，平面直角坐标系中第一、二象限存在平行于纸面的匀强电场（未画出）.第四象限交替分布着沿方向的匀强电场和垂直平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为，边界与轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为、、……，其中。一质量为、电量为的粒子从点以平行于轴的初速度进入第二象限，恰好从轴上的点以垂直轴进入第一象限。不计粒子重力，求： (1)电场强度； (2)粒子在第四象限中第一次进入磁场时的速度大小； (3)粒子在第四象限中到达第几个磁场时，速度与轴平行。 【答案】(1)，方向与水平成45°指向右下方 (2) (3)第7个 【详解】（1）设粒子在第二象限运动的时间为，水平加速度为，竖直加速度为，则有， 解得 方向与水平成45°指向右下方。 （2）粒子在竖直方向做类竖直上抛，在一、二象限中时间相同，则刚进入第四象限时，水平速度，方向水平向右；竖直速度，方向竖直向下；则刚进入第四象限时速度大小为 设穿过轴下方第一个电场后的速度为，有 解得 （3）粒子到达轴最远距离时，速度方向平行于方向，只要能进入下一个电场，就有方向的速度，由此可知粒子离轴最远时一定处于第个磁场中，此前粒子已经过个电场，设此时粒子速度大小为，由动能定理有 解得 粒子每经过一个电场加速后就进入下一个磁场，则通过第个磁场的过程中，设粒子进入第个磁场时速度方向与水平方向的夹角为，在水平方向上由动量定理有 所以从进入第四象限开始到最后一个磁场，若刚好到第个磁场下边缘，则有 而，联立解得； 当时， 当时， 可知粒子在第7个磁场中出现速度水平的情况。 5．（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 【答案】(1) (2)t = (3) 【详解】（1）粒子轨迹如图 几何关系可知粒子轨迹圆半径R 根据 联立解得 （2） 粒子在磁场中运动的时间为T= （3）当PQ为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小， 几何关系可知PQ长为， 则最小面积为 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·陕西西安·期中）在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和4a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】氘核在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为 即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令氘核运动轨迹最大的半径为，为了使氘核的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示 A点为氘核做圆周运动的圆心，氘核从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，， 为直角三角形，则由几何关系可得 解得 解得磁场的磁感应强度最小值 故选A。 2．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图（a）所示为洛伦兹力演示仪，学生演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在强磁场中的运动轨迹呈螺旋状。为了研究该螺旋状轨迹情况，现将这一现象简化成如图（b）所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴磁感应强度大小为B的匀强磁场，在平面内，由坐标原点以初速度沿与x轴正方向成角的方向射入电子束，得到轴线平行于x轴的螺旋状电子运动轨迹，电子的比荷为，则（　　） A．磁场的方向为沿x轴负方向 B．此螺旋状轨迹的半径 C．当时电子的运动轨迹是圆 D．此螺旋状轨迹的螺距 【答案】BC 【详解】A．将电子的速度分解为沿x和沿y轴两个方向，有， 其中沿y轴分量的速度会在洛伦兹力的作用下使粒子做匀速圆周运动，根据左手定则，可知磁场的方向应沿着x轴的正方向，故A错误； B．沿y轴方向的速度分量会在洛伦兹力的作用下使粒子做匀速圆周运动，有 可解得，故B正确； C．当时，电子只在洛伦兹力作用下，在yOz平面内做匀速圆周运动，故C正确； D．电子做圆周运动的周期为 在一个周期内电子沿x轴的方向上运动的距离即为螺距，即，故D错误。 故选BC。 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球（电性未知），小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知OM与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度大小为g。（结果可用根式表示） (1)求电场强度E的大小及小球电性。 (2)若小球第二次运动到B点时突然剪断细线，求剪断细线后小球速度的最小值。 (3)在（2）中情况下，剪断细线的瞬间在空间加上垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，求小球之后的运动过程中第一次达到最小速度时，电场力所做的功。 【答案】(1)带正电， (2) (3) 【详解】（1）初始时，小球受到水平向左的电场力，可知小球带正电，根据平衡条件有 解得 （2）剪断细线前，小球在等效重力场中做圆周运动，设 N点为等效最高点 小球通过N点时有 从B点到N点，由动能定理得 解得 剪断细线后，小球做匀变速曲线运动，当速度与合外力垂直时，速度最小，所以 解得 （3）由（2）知，小球运动到B点时的速度，方向水平向右，根据配速法，将分解为和，使对应的洛伦兹力与重力和电场力的合力平衡，即 解得，方向与夹角为60°斜向右下方 根据速度的分解可得，方向竖直向上 即将小球之后的运动分解为以速度为的匀速直线运动，以速度为的匀速圆周运动，该圆周运动所对应的半径 当与方向相反时，小球速度最小，则小球之后的运动过程中的最小速度 由几何关系可知，从剪断细线的瞬间到小球第一次达到最小速度所需的时间 以速度为的匀速圆周运动使小球水平向左运动的距离 以速度为的匀速直线运动使小球水平向右运动的距离 则小球之后的运动过程中第一次达到最小速度时水平的位移，方向向右 该过程电场力所做的功 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 安培力与洛伦兹力（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 安培力的大小和方向 会求解非直导线在磁场中受到的安培力和与安培力相关的动力学问题 基础必考点，常出现在小题 带电粒子在磁场中的圆周运动 掌握带电粒子在各种形状有界磁场中的运动 高频考点 带电粒子在电磁组合场中的运动 掌握带电粒子在电磁组合场或复合场中的运动分析 高频考点，经常出现在解答题中。 知识点01 安培力的大小和方向 1．安培力的方向 (1)用左手定则判断：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 (2)安培力方向的特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B、I决定的平面。 (3)推论：两平行的通电直导线间的安培力——同向电流互相吸引，反向电流互相排斥。 2．安培力的大小 F＝IlBsinθ(其中θ为B与I之间的夹角)。如图所示： (1)I∥B时，θ＝0或θ＝180°，安培力F＝0。 (2)I⊥B时，θ＝90°，安培力最大，F＝IlB。 ·示例：导体棒在磁场中受到的安培力为0，导体棒所在的位置磁场不一定为0，可能是导体棒与磁场相互平行。 ·易错点：电流方向不一定与磁场方向垂直，取决于导体棒的放置方向。 知识点02 洛伦兹力的特点及应用 1.洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。 (2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 (3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。 2．洛伦兹力与安培力的联系及区别 (1)联系：安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。 (2)区别：安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 3．洛伦兹力与静电力的比较 示例：如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是(　　) A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大 B．滑块经过最低点时的加速度比磁场不存在时小 C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小 D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等 题型一 非直导线所受安培力的计算 解｜题｜技｜巧 应用公式F＝IlBsinθ计算安培力时弯曲导线的有效长度l，等于连接两端点线段的长度(如图所示)；相应的电流沿l由始端流向末端。 易｜错 当B与I垂直时，F最大，F＝IlB；当磁感应强度B的方向与电流I的方向的夹角为θ时，F＝IlBsinθ；当B与I平行时，F＝0。 【典例1】（24-25高二下·江苏常州·期末）通以恒定电流的一段四分之一圆弧形导线放置在平行于导线平面的匀强磁场中，受到安培力为F，如左图；现将导线绕圆心O在原平面内转过45°，如右图，则安培力变为（　　） A．F B．2F C． D． 【变式1】（24-25高二下·广东·期末）如图所示，半径为R的圆形导线环单位长度的电阻为r，PQ为圆的直径，弧MQ对应的圆心角为90°。直径PQ的上部有垂直纸面向里的匀强磁场，下部有垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。在P、M两点间接入恒定电压U，电流方向如图中所标，那么整个圆形导体所受安培力的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高二下·天津河北·期末）长为的直导线折成边长相等、夹角为的V形，用两根等长且不可伸长的绝缘线、悬挂于匀强磁场中。已知该匀强磁场的磁感应强度为，方向垂直于V形导线所在平面。现给导线通以如图所示的电流，则（　　） A．通电后两绳拉力变小 B．通电后两绳拉力变大 C．导线所受安培力大小为 D．导线所受安培力大小为 题型二 与安培力有关的力学综合问题 解｜题｜技｜巧 求解与安培力有关的力学问题的一般步骤 (1)确定要研究的通电导体。 (2)按照已知力→重力→安培力→弹力→摩擦力的顺序，对导体作受力分析。 (3)分析导体的运动情况。 (4)选用合适的力学规律解题 ①若通电导体处于平衡状态，用共点力平衡条件解题。 ②若通电导体涉及加速过程，根据实际情况，选用牛顿第二定律、动能定理或动量定理等解题。 点｜拨 将立体图转化为平面图 为了清晰准确地表示出B、I和安培力F的方向，以便进一步画出导体的受力示意图，应通过画俯视图、剖面图或侧视图，将表示B、I和F方向的立体图转化为平面图。 【典例1】（24-25高二上·天津河东·期末）甲图所示电磁炮是一种先进的武器，乙图为某同学模拟电磁炮的原理图。为了研究方便，将炮弹视为一个与导轨间距等长的导体棒，其质量、电阻，固定在电阻不计、间距的两根平行倾斜导轨上。已知导轨平面与水平地面的夹角，导轨下端电源电动势、内阻，整个装置处于磁感应强度大小为、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。将导体棒由静止释放，它最终从导轨上端发射出去。若导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒与导轨间的动摩擦因数，重力加速度大小，，，求： (1)导体棒释放时所受安培力F的大小和方向； (2)导体棒释放时加速度a的大小和方向。 【变式1】（24-25高二下·湖南长沙·期末）质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一的光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为（），轨道与导体棒的弹力为。下列说法正确的是（　　） A．若仅将电流强度I缓慢增大，则θ逐渐减小 B．若仅将电流强度I缓慢增大，则先增大再减小 C．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，则θ先增大再减小 D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，则逐渐增大 【变式2】（24-25高二上·湖北·期末）电磁弹射技术是一种新兴的直线推进技术，2022年6月17日上午，中国第三艘航空母舰福建舰下水，并配置电磁弹射。其工作原理可以简化如下图，光滑固定导轨CD，EF与导电飞翔体MN构成一驱动电流回路，恒定驱动电流产生磁场，且磁感应强度与导轨中的电流及空间某点到导轨的距离的关系式为，磁场对处在磁场中的导电飞翔体产生了安培力F，从而推动飞翔体向右做匀加速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．CMNF回路内的磁场方向与驱动电流的方向无关 B．飞翔体所受安培力F的方向与CMNF回路中驱动电流的方向有关 C．驱动电流变为原来的2倍，飞翔体受的安培力将变为原来的2倍 D．如果飞翔体在导轨上滑过的距离保持不变，将驱动电流变为原来的2倍，飞翔体最终的弹射速度将变为原来的2倍 题型三 带电粒子在磁场中的圆周运动 答｜题｜模｜板 1．概述 有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹，然后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁场的速度大小、方向和磁场的磁感应强度及磁场的区域边界。常见的磁场边界：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、四分之一坐标平面边界、三角形边界、圆形边界。如图所示。 2．解题关键——确定轨迹圆心 求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，找出轨迹圆心。确定轨迹圆心的3个依据： (1)圆心一定在垂直于速度的直线上； (2)圆心一定在弦的中垂线上； (3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径。 常见情境： a．如图甲，若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。 b．如图乙，若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心。 c．如图丙，若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心。 3．轨迹半径的计算 方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨迹半径r＝； 方法二(由几何关系求)：作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形(通常是直角三角形)，根据勾股定理、三角函数求解，或根据正弦定理、余弦定理求解。 例如：如图所示，R＝，或由R2＝L2＋(R－d)2求得R。 4．运动时间的计算 方法一(由运动圆弧所对的圆心角α、圆周运动的周期T求)：t＝·T； 方法二(由运动的弧长s、线速度v求)：t＝。 5．分析、求解带电粒子在有界匀强磁场中运动问题的一般步骤 6．作图及分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹时需要注意的问题 四个点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在直线的交点。 六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。 三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α)，并等于AB弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。 【典例1】（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，磁场区域足够大，不考虑离子间的相互作用，则磁场中有离子经过的区域（阴影部分）是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高二下·湖南郴州·期末）一圆筒的横截面如图所示，半径为R，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场。粒子与圆筒碰撞后，始终以等大反向的速率反弹，且电荷量保持不变。在圆筒的P点有一小孔，从P处垂直磁场方向对准圆心入射速度为、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，且不计粒子重力。该粒子与圆筒经过两次碰撞后，恰好能从P点射出，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度为 B．磁感应强度为 C．粒子在磁场中的运动时间为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【变式1】（多选）（24-25高二下·广东东莞·期末）如图所示，在直角区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为。点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为，电荷量为，速率均为长为且，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．带电粒子在磁场中的运动半径为 C．AC边上有粒子到达区域的长度为 D．边上有粒子到达区域的长度为 【变式2】1．（24-25高二下·四川成都·期末）如图所示的xOy直角坐标系内，第二象限直线AC左上方的区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，A点坐标为（−L，0），C点坐标为（0，L）；第一象限x=L右侧的区域Ⅱ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，边界与x轴交点为D。在A点有一粒子源沿y轴正方向向区域Ⅰ射入大量带正电的同种粒子，粒子速度大小满足0<v≤v0。已知以速度v0射入的粒子恰好能从C点离开区域Ⅰ，经区域Ⅱ偏转后恰好从D点离开区域Ⅱ。不计粒子重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子的比荷； (2)区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小B′及区域Ⅱ内有粒子经过的面积S； (3)粒子从A点射入到第一次离开区域Ⅱ的最短时间tmin。 题型三 （跨章节题型） 答｜题｜模｜板 常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 易｜错 容易混淆带电粒子在电场中和磁场中的运动（两场中运动时的一小段轨迹几乎相同），导致处理方法出现错误。 【典例1】（多选）（23-24高二下·辽宁锦州·期末）下列关于四种仪器的说法正确的是（　　） A．甲图中当增大磁感应强度时，电子形成的轨迹圆半径将减小 B．乙图中不改变质谱仪各区域的电场、磁场时，击中光屏同一位置的粒子比荷不相同 C．丙图中载流子为负电荷的霍尔元件有如图所示的电流和磁场时，N侧电势低 D．丁图中长、宽、高分别为a、b、c的电磁流量计在如图所示的匀强磁场中，若改变液体流动的方向，则不能测定流量Q 【典例2】（24-25高二上·北京西城·期末）“东方超环”是我国研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置，此装置需要利用“剩余离子偏转系统”将带电粒子从混合粒子束中剥离出来。如图所示是某同学设计的剩余离子电偏转系统方案的原理简图，在两平行金属板间加上恒定电压，让以相同速度水平运动的分布均匀的混合粒子束经过电场，其中带电粒子偏转，打在极板上的就被极板收集。为了收集从电场中射出的正电粒子，可在紧靠平行金属板的右侧区域加垂直纸面向里的匀强磁场，使从电场中射出的正电粒子回到电场被收集。 已知极板长度为2L，板间距为d，正电粒子的比荷为，正电粒子离开电场时竖直方向的最大偏移量为y（y<d），正电粒子从电场射出时的速度大小为v。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，不考虑场的边缘效应。 (1)求：不加磁场时，正电粒子被收集的百分比； (2)为了确保每一个从电场中射出的正电粒子最终都能够重新回到电场当中被收集，求：所加匀强磁场中磁感应强度B大小的取值范围。（可画图辅助说明） 【典例3】（24-25高二下·云南·期末）建立如图所示的直角坐标系，第一象限存在平行于轴向下的有界匀强电场，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。电场右侧有一平行于轴的粒子发射器，其上端点和下端点的纵坐标分别为和。发射器能均匀地发射大量质量为、电荷量为的粒子，粒子以相同的初速度平行于轴射入匀强电场，均能经坐标原点进入磁场，经磁场偏转后打到位于轴负半轴的足够长的粒子接收器上。已知匀强电场的电场强度大小，匀强磁场的磁感应强度大小。不计粒子重力及粒子间的相互作用，虚线为抛物线，求： (1)匀强电场虚线边界的函数表达式； (2)粒子接收器上接收到粒子的长度。 【变式1】（24-25高二上·山西晋中·期末）如图所示，位于竖直平面内半径为的光滑绝缘圆形轨道，与倾角为绝缘粗糙直轨道在点平滑连接，点为圆轨道的最低点，。整个轨道处于水平向左、场强的匀强电场和垂直于纸面向里、磁感应强度的匀强磁场中。现有一质量为、带电量为可视为质点的小滑块从倾斜直轨道上距离足够远的点由静止释放，已知滑块与倾斜直轨道间的动摩擦因数为，，重力加速度为。下列说法正确的是（   ） A．滑块第一次滑到点时的速度大小为 B．滑块第一次滑到点时的速度大小为 C．滑块从点沿切线飞出后，经时间飞到倾斜轨道 D．滑块从点沿切线飞出后，经时间飞到倾斜轨道 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·安徽铜陵·期末）如图所示，半径为R的均匀金属圆环圆心和坐标系的原点O重合，第四象限的匀强磁场垂直坐标系平面向外，其他三个象限的匀强磁场垂直坐标系平面向里，磁感应强度大小均为B。大小为I的电流从M点流入圆环，从N点流出。圆环受到的安培力大小为（　　） A．0 B． C．BIR D． 2．（24-25高二上·山西太原·期末）如图为洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射方向可调的电子束，玻璃泡内充有稀薄气体，电子束通过时能显示电子的径迹，励磁线圈可产生垂直纸面的磁场。下列选项正确的是（　　） A．加磁场后，电子束的径迹不可能是一条直线 B．加磁场后，若电子束与磁场方向成射出，其径迹是一个圆 C．当径迹为圆时，电子束速度不变，磁感应强度变大，径迹圆的半径变小 D．当径迹为圆时，磁感应强度不变，电子束出射速度变大，径迹圆的半径变小 3．（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，磁流体发电机由彼此正对的两水平金属板M、N构成，M、N间存在平行于金属板的匀强磁场（图中未画出），两金属板与倾角的平行光滑金属导轨相连，金属板M、N及平行金属导轨间的距离均为d，平行金属导轨间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在平行金属导轨上锁定一长为d、电阻为R的直导体棒PQ，导体棒PQ与平行金属导轨垂直且接触良好。在平行金属板M、N间垂直于磁场方向持续喷入速度大小为v0的等离子体（不计重力），导体棒PQ解除锁定后仍能静止在导轨上。已知导体棒PQ的质量为m，重力加速度为g，除导体棒PQ外其余电阻均不计。下列说法正确的是（　　） A．导体棒PQ中的电流方向由P指向Q B．导体棒PQ中的电流大小为 C．M板的电势低于N板的电势 D．M、N之间的磁感应强度大小为 4．（24-25高二上·福建福州·期末）如图是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后，经过速度选择器，垂直平板从狭缝进入下方的匀强磁场。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为和E，平板上有记录粒子位置的胶片。若粒子在磁场中做圆周运动的周期为，则下列表述错误的是（　　） A．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外 B．能通过狭缝的带电粒子的速率等于 C．粒子在磁场中运动时间为 D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝，粒子的比荷越小 5．（多选）（24-25高二上·湖南益阳·期末）如图所示，空间存在沿纸面竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场。一质量为m带电量为q的小球在平行纸面的平面内做圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．小球一定沿顺时针方向运动 C．小球既可沿逆时针方向运动，也可沿顺时针方向运动 D．电场强度大小 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（多选）（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ的范围为60°~120°。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的半径为a B．粒子射出磁场时到O点的最远距离为2a C．粒子射出磁场时到O点的最近距离为a D．从距O点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为 2．（25-26高二上·山东·期中）如图所示，在倾角的斜面上固定一间距的两平行光滑金属导轨，在导轨上端接入电源和滑动变阻器，电源电动势，内阻，一质量的金属棒与两导轨垂直并接触良好。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度。导轨与金属棒的电阻不计，取。 (1)要使金属棒在导轨上保持静止，求金属棒受到的安培力的大小； (2)当滑动变阻器的电阻突然调节为时，求金属棒的加速度的大小。 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）“电磁炮”是利用电磁系统中电磁场产生的安培力来对金属炮弹进行加速，使其达到打击目标所需的动能。如图是“电磁炮”的原理结构示意图。光滑水平加速导轨电阻不计，轨道宽为；在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度；“电磁炮”弹体总质量，其中弹体在轨道间的电阻；可控电源是恒流源，内阻，以保证“电磁炮”匀加速发射；在某次试验发射时，电源为加速弹体提供的电流是，不计空气阻力。求： (1)弹体所受安培力大小和方向； (2)弹体从静止加速到4km/s，轨道至少要多长； (3)弹体从静止加速到4km/s过程中，该系统消耗的总能量。 (4)实际上炮弹在轨道上运动时会受到空气阻力和摩擦阻力，若其受到的阻力与速度的关系为，其中阻力系数k为常量、炮弹离开轨道前做匀速运动，炮弹离开轨道时的速度大小为，求阻力系数k的大小。 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，平面直角坐标系中第一、二象限存在平行于纸面的匀强电场（未画出）.第四象限交替分布着沿方向的匀强电场和垂直平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为，边界与轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为、、……，其中。一质量为、电量为的粒子从点以平行于轴的初速度进入第二象限，恰好从轴上的点以垂直轴进入第一象限。不计粒子重力，求： (1)电场强度； (2)粒子在第四象限中第一次进入磁场时的速度大小； (3)粒子在第四象限中到达第几个磁场时，速度与轴平行。 5．（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·陕西西安·期中）在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和4a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图（a）所示为洛伦兹力演示仪，学生演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在强磁场中的运动轨迹呈螺旋状。为了研究该螺旋状轨迹情况，现将这一现象简化成如图（b）所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴磁感应强度大小为B的匀强磁场，在平面内，由坐标原点以初速度沿与x轴正方向成角的方向射入电子束，得到轴线平行于x轴的螺旋状电子运动轨迹，电子的比荷为，则（　　） A．磁场的方向为沿x轴负方向 B．此螺旋状轨迹的半径 C．当时电子的运动轨迹是圆 D．此螺旋状轨迹的螺距 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球（电性未知），小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知OM与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度大小为g。（结果可用根式表示） (1)求电场强度E的大小及小球电性。 (2)若小球第二次运动到B点时突然剪断细线，求剪断细线后小球速度的最小值。 (3)在（2）中情况下，剪断细线的瞬间在空间加上垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，求小球之后的运动过程中第一次达到最小速度时，电场力所做的功。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $