专题06 机械振动与机械波（期末复习讲义）高二物理上学期人教版

该高中物理期末复习讲义以表格梳理核心考点，将简谐运动、波的图像、波特有的现象等内容按考情规律分层呈现，通过弹簧振子与单摆对比表格、振动与波动图像比较等工具，构建运动和相互作用观念，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计与科学思维培养，如“波的多解问题”答题模板指导学生考虑周期性与双向性，“波动与振动图像综合应用”通过比较表格强化模型建构。基础通关、重难突破、综合拓展练习梯度分明，助力分层教学，既支持学生自主复习，也为教师精准教学提供实用资源。

专题06 机械振动与机械波（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 简谐运动 掌握两种简谐运动（弹簧振子和单摆）的运动特征及能量转化关系 基础必考点，常出现在小题 波的图像 掌握波的振动图像与波动图像的综合问题 高频考点 波特有的现象 掌握波的干涉、衍射条件及干涉加强点和减弱点的判断 高频考点。 知识点01 简谐运动 1．简谐运动的概念 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．平衡位置 振动物体原来静止时的位置。 3．回复力 (1)定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4．描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需要的时间 描述振动的快慢，两者关系：T＝ 频率 振动物体完成全振动的次数与所用时间之比 相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 ·易错点：回复力是一种效果力 ，受力分析时不要分析回复力。 知识点02 简谐运动的公式和图像 1．表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相位。 2．简谐运动的图像 (1)如图所示。 (2)物理意义：表示振动质点的位移随时间变化的规律。 三、弹簧振子、单摆及其周期公式 简谐运动的两种理想化模型 模型 弹簧振子(以水平 弹簧振子为例) 单摆 概念 是小球和弹簧组成的系统，有时简称为振子。是一个理想化模型 将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动，这样的装置就叫作单摆，是实际摆的理想化模型 示意图 特点 (1)弹簧质量与小球相比可忽略； (2)杆光滑无摩擦，小球运动时空气阻力可忽略 (1)摆线为不可伸缩的细线； (2)细线的质量与小球相比可忽略； (3)球的直径与线的长度相比可忽略； (4)空气等阻力可以忽略 做简谐运动的条件 弹簧形变在弹簧弹性限度内 最大摆角θ<5° 做简谐运动的回复 力　　　 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供 做简谐运动的平衡 位置　　 弹簧处于原长处 最低点 做简谐运动的周期 与振幅无关 T＝2π__ 做简谐运动的能量转化　　 弹性势能与动能相互转化，机械能守恒 重力势能与动能相互转化，机械能守恒 知识点03 受迫振动和共振 1．振动中的能量损失 (1)阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，这种振动称为阻尼振动。 (2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为内能；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去。 2．受迫振动 系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。 3．共振 如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大，这种现象称为共振。 知识点04 波的图像 1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。 2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。 3．图像(以简谐波为例)：如图所示。 知识点05 波速、波长、频率(周期)及其关系 1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。 3．频率f：由波源决定，等于波源的振动频率；与周期的关系为f＝。 4．波长、波速和频率(周期)的关系：v＝fλ＝。 知识点06 波的反射、折射 1．理论和实践证明，水波、声波等一切波都会发生反射和折射现象。 (1)水波、声波等一切波遇到挡板时会发生反射。 (2)与光的折射类似，机械波从一种介质向另一种介质传播时，在交界面处将发生折射。 2．波的入射方向、反射方向、折射方向都可以用一条射线表示，分别叫作：入射线、反射线、折射线。 3．波的反射规律：反射线、法线与入射线在同一平面内，反射线与入射线分居法线两侧，反射角等于入射角。 知识点07 波的干涉和衍射 1．波的独立传播原理 两列波相遇后彼此穿过，仍然保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，就像没有跟另一列波相遇一样。 2．波的叠加 几列波相遇时能够保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移(速度、加速度)等于这几列波单独传播时引起的位移(速度、加速度)的矢量和。 题型一 简谐运动的描述 解｜题｜技｜巧 1.解析法 简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述简谐运动，结合三角函数的知识可作定量分析。 2．图像法 (1)图像特征 如图1所示，简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。 (2)图像的物理意义 图像反映的是做简谐运动的物体(质点)的位移随时间变化的规律，图像不代表质点运动的轨迹。 (3)图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。 ④可以确定质点的速度方向：任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示质点的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示质点的速度沿x轴负方向。 ⑤可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。 易｜错 简谐运动的位移是从平衡位置指向振子所在位置，要与运动学中的位移区分。 【典例1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（　　） A．，3t B．，5t C．，t D．，t 【答案】C 【详解】AB．若平衡位置在A的左侧，根据题意有， 由于A、B两点相距L，则有 解得 以平衡位置为起点，以向右运动为正方向，则振动方程为 则有， 由于质点经过A点时开始计时，时刻第二次经过B点，解得 解得，故AB错误； CD．若平衡位置在AB之间，根据题意有， 由于A、B两点相距L，则有 解得 以平衡位置为起点，以向右运动为正方向，则振动方程为 则有， 由于质点经过A点时开始计时，时刻第二次经过B点，解得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1】（23-24高一下·辽宁·期末）某学生在粗细均匀的木筷下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中（如甲图）。现把木筷向上提起一段距离后放手，此时刻开始计时，之后木筷做简谐运动，以向上为正方向作出了木筷振动的位移-时间图像，如乙图所示。不计水的阻力，则（　　） A．时，木筷的重力小于其所受的浮力 B．时，木筷处于平衡位置 C．前内，木筷运动的路程为0.8m D．木筷的位移-时间关系为 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，时木筷从x轴最大位移处向平衡位置运动，此时木筷所受合力方向指向平衡位置，即木筷的加速度方向向下，说明此时木筷的重力大于其所受浮力，故A错误； B．由图乙可知，木筷振动的周期为：，可知当时， 此时木筷处于轴正向位移最大处，故B错误； C．前1.6s内，木筷振动4个周期，这木筷运动的路程为： 故C正确； D．由图乙可知 且0时刻木筷位于轴最大位移处， 则木筷的位移时间关系为： 故D错误； 故选C。 【变式2】（多选）（24-25高二下·河北·期末）如图甲所示的单摆（摆角θ很小），摆球在竖直面内的MON圆弧虚线上做简谐运动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，摆球偏离平衡位置位移x与时间t的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．摆球在运动过程中受到的合外力全部用来提供回复力 B．若当地的重力加速度为，则单摆的摆长约为1m C．t=1.2s时，摆球在M与O之间且速度即将减小 D．t=0.3s时，摆球在O与N之间且速度即将减小 【答案】BCD 【详解】A．摆球做变速圆周运动，合外力方向与半径方向之间存在一定的夹角，摆球在运动过程中由重力沿切线方向的分力提供回复力，并不是由受到的合外力全部用来提供回复力，故A错误； B．设摆长为L，根据图乙可知T=2s 根据周期公式有 解得L≈1m，故B正确； C．t=1.2s时，由于 根据图乙可知，此时摆球位移方向为负，且摆球远离平衡位置，可知，t=1.2s时，摆球在O与M之间且速度将减小，故C正确； D．t=0.3s时，由于 根据图乙可知，此时摆球位移方向为正，且摆球远离平衡位置，可知，t=0.3s时，摆球在O与N之间且速度将减小，故D正确。 故选BCD。 题型二 简谐运动与力学的综合问题 解｜题｜技｜巧 1．对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、计算。 (1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。 (2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定 ，它等于小球的最大动能。 2．单摆的力学综合问题 对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球所受的最小力、最大力的分析、计算。 (1)单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。 (2)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)。 它等于摆球的最大动能。 点｜拨 简谐运动的动力学和能量问题求解关键 对于这类问题，关键是从动力学角度、能量的角度结合简谐运动的对称性、周期表达式等解题。 (1)动力学角度的分析通常要用到回复力表达式、力学平衡方程、牛顿第二定律及向心力表达式。 (2)能量角度的分析通常要用到机械能守恒定律、功能关系。 【典例1】（24-25高一下·四川资阳·期末）2025年，《哪吒之魔童闹海》的文创产品层出不穷。图甲即为推出的弹簧摆件，轻质弹簧一端连接摆件，一端连接底座。图乙中摆件在竖直线上的往复运动可视为简谐运动，其底端在A、B两点间运动，O为平衡位置，不考虑结构阻力，且弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（    ） A．摆件在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力等力的作用 B．摆件底端经过A、B两点时，摆件加速度最大，动能最大 C．摆件底端从A点经O点到B点的过程中，摆件所受合外力先减小后增大 D．摆件在往复运动过程中机械能守恒 【答案】C 【详解】A．摆件在运动过程中受重力、弹簧弹力的作用，回复力是这两个力的合力，A错误； B．摆件底端经过A、B两点时，摆件加速度最大，速度最小，动能最小，B错误； C．摆件底端从A点经O点到B点的过程中，摆件所受合外力先减小后增大，在O点合外力最小，C正确； D．摆件在往复运动过程中机械能不守恒，摆件和弹簧组成的系统机械能守恒，D错误。 故选C。 【变式1】（24-25高二下·山西运城·期末）如图所示，光滑水平面上有一质量为M的物块A，其右侧连接劲度系数为k的轻质弹簧，处于静止状态，弹簧右端固定。另一质量为m的物块B以水平速度v0向右运动，与物块A发生碰撞后一起做简谐运动。已知两物块碰撞过程时间极短，且弹簧始终在弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）。下列说法正确的是（　　） A．两物块碰撞过程中，两物块组成的系统，动量守恒，机械能也守恒 B．两物块碰撞过程中，物块B的动量变化量的大小为mv0 C．弹簧的弹性势能最大值为 D．简谐运动的振幅为 【答案】D 【详解】A．已知两物块碰撞过程时间极短，所以两物块碰撞过程中系统动量守恒，但碰撞后两物块共速，故两物块组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．两物块碰撞过程中，根据动量守恒有 解得 故物块B的动量变化量的大小为，故B错误； C．当两物块以向右压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能最大，根据能量守恒有，故C错误； D．弹簧被压缩至最短，其形变量最大，即为简谐运动的振幅，根据弹簧弹性势能的表达式 解得简谐运动的振幅为，故D正确。 故选D。 【变式2】（多选）（24-25高二下·广东韶关·期末）如图是儿童游乐场中滑索项目的示意图，光滑钢性滑索水平固定，滑轮可沿滑索水平运动，不可伸长的轻绳上端固定在滑轮上，下端固定一坐垫球，儿童坐在坐垫球上并拉紧轻绳使滑轮紧靠右侧限位器，随后由A点处无初速离开平台，当儿童运动到最低点B时，其重心下降了h。已知儿童和坐垫球的总质量为M，滑轮质量为m，儿童和坐垫球以及滑轮均可视为质点，滑索足够长，忽略空气阻力，重力加速度为g，以下判断正确的是（　　） A．儿童将以B点为平衡位置做简谐振动 B．儿童第一次到达最低点时的速度大小为 C．儿童向左运动第一次到达最高点时，其速度大小为 D．儿童向左运动第一次到达最高点时，与B点高度差为 【答案】BCD 【详解】A．由于滑轮可沿滑索水平运动，可知儿童整个运动过程不是做圆周运动，所以儿童不会以B点为平衡位置做简谐振动，故A错误； B．儿童从A点第一次到达最低点过程，滑轮保持静止不动，对儿童，根据动能定理可得 解得儿童第一次到达最低点时的速度大小为，故B正确； C．儿童第一次到达最低点后，滑轮开始向左运动，儿童与滑轮组成的系统满足水平方向动量守恒，儿童向左运动第一次到达最高点时，具有相同的水平速度，则有 解得儿童向左运动第一次到达最高点时，其速度大小为，故C正确； D．从儿童第一次到达最低点到向左运动第一次到达最高点过程，根据系统机械能守恒可得 解得儿童向左运动第一次到达最高点时，与B点高度差为，故D正确。 故选BCD。 题型三 机械波的形成与传播 答｜题｜模｜板 1．波的传播方向与质点振动方向的互判方法 方法解读 图像演示 “上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动 “同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧 “微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向 2．计算波速的两种思路 (1)速度的定义：v＝，Δx表示波向前传播的距离，Δt表示波传播Δx所用的时间。 (2)波速与波长、频率(周期)的关系：v＝λf＝，f、T由波源决定，v由波的性质和介质决定。 【典例1】（24-25高二下·山西吕梁·期末）如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上、两点平衡位置相距6m，时刻点位于波谷，点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是（　　） A．波长为3m B．波速为12m/s C．时刻，点加速度最大 D．时刻，点速度为0 【答案】D 【详解】A．由题意可知 解得，故A错误。 B．由题意有 由，故B错误。 C．由前面可知，这段时间内质点B从波峰刚好运动到平衡位置，所以在时刻，加速度为0，故C错误。 D．，这段时间内质点A从波谷刚好运动到波峰，所以在时刻，速度为0，故D正确。 故选D。 【典例2】（24-25高二下·湖南张家界·期末）如图甲所示，O、A、B是介质中的三个点，，。时刻开始计时，位于O点的波源开始振动，振动图像如图乙所示，当波传到A点时，波源刚好第二次运动到波谷位置。当波传到B点时，质点A的位移为（　　） A．0 B．10cm C． D． 【答案】C 【详解】由图可知波的周期为 质点A开始振动时，波源O第二次到达波谷，可知此时经过的时间为 可得波速为 当波传到B点时，质点A振动的时间为 质点A的位移为，故选C。 【变式1】（多选）（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图甲，点为振源，点距的距离为时刻点由平衡位置开始振动，产生沿直线向右传播的简谐横波，图乙为点从时刻开始振动的振动图像，则以下说法正确的是（　　） A．时刻振源的振动方向沿轴负方向 B．时刻点振动速度最大，方向沿轴正方向 C．该简谐波的波长为 D．若波源停止振动，则点也马上停止振动 【答案】BC 【详解】A．点的起振方向与波源的起振方向相同，由图乙可知，点的起振方向沿轴正方向，则时刻振源的振动方向也沿轴正方向，故A错误； B．由图乙可知，时刻，图线的斜率最大，即此时点振动速度最大，而且方向沿轴正方向，故B正确； C．由题图可知，，波的周期为，则波长为 联立可得，，故C正确； D．若波源停止振动，原来产生的波还会继续传播，点不会马上停止振动，故D错误。 故选BC。 【变式2】（多选）（24-25高二上·陕西榆林·期末）有位游客在江边观光，水面上有相距为d的两个浮标A、B，如图所示，水波（可视为简谐波）传播到A浮标时，A浮标从平衡位置开始向上振动，若此时开始计时，经历时间，A浮标第一次到达波峰，此时B浮标从平衡位置开始振动。下列说法正确的是（    ） A．水波的波速为 B．水波的波长为2d C．时刻，两浮标的速度相同 D．时刻，两浮标的加速度相同 【答案】AC 【详解】A．由题意知，两浮标的振动图像如图所示 水波从A浮标传到B浮标的时间间隔为，故波速 故A正确； B．由图可知 故波长 故B错误； C．由 所以 时刻，浮标A和B的位置分别位于平衡点下方振幅处和平衡点上方振幅处，浮标A和B的速度大小相等，方向都向下，故C正确； D．时刻，浮标A和B加速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选AC。 题型四 波的多解问题 答｜题｜模｜板 1.造成波的多解问题的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 b．只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。 c．只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 2．解决波的多解问题的一般思路 (1)首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。 (2)对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。 (3)注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。 【典例1】（23-24高二上·湖南邵阳·期末）一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点，在t时刻A、B两点间形成如图甲所示的波形，在（t+3）s时刻A、B两点间形成如图乙所示的波形。已知A、B两点间的距离a=9m，则下列说法正确的是（　　） A．若周期大于4s，则波可能向右传播 B．若周期为4s，则波可能向左传播 C．若波速为8.5m/s，则波一定向左传播 D．若波向左传播，则该波波速的最小值为1.5m/s 【答案】C 【详解】AB．若波向右传播，可得 解得 若波向左传播，可得 解得 由于n是整数，当n=0时，T=4s时，符合T1通项，波向右传播，，故AB错误； C．由图知波长，若波速为8.5m/s，则波传播的距离为 根据波形的平移，波一定向左传播，故C正确； D．由图可知，波向左传播的最小距离为1.5m，波速可能的最小值为 故D错误。 故选C。 【典例2】（多选）（24-25高二下·河南焦作·期末）如图1所示，“战绳”是在健身房中常见的一种强力减脂运动，人用手握住绳子左端，将绳拉平后沿竖直方向上下抖动，则可在绳中形成一列简谐横波。图2是健身者右手抖动绳子过程中时刻的波形，A、B两质点间距为4m，B、C两质点平衡位置的间距为1.5m，当时，质点恰好通过平衡位置，下列说法正确的是（    ） A．该波的波速可能为4m/s B．该波的波速可能为2.5m/s C．健身者右手抖动的频率可能为 D．健身者右手抖动的频率可能为 【答案】BC 【详解】CD．由图可知，波长 时，质点C恰好通过平衡位置，根据平移法可得 解得 所以 当时 当时，C正确，D错误； AB．该波的波速为 当时 当时，A错误，B正确。 故选BC。 【变式1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图所示，一列简谐波在均匀介质中沿x轴传播，图中的实线和虚线波形分别为t1=0.5s和t2=0.8s时的波形图。 (1)若该波沿x轴正方向传播，求该波的周期T； (2)若，求该波可能的速度大小。 【答案】(1)（n=0，1，2……） (2)3m/s，1m/s，5m/s 【详解】（1）若该波沿x轴正方向传播，则（n=0，1，2……） 所以该波的周期为（n=0，1，2……） （2）若波沿x轴正方向传播，则（n=0，1，2……）， 解得， 所以 若波沿x轴负方向传播，则（n=0，1，2……） 所以该波的周期为（n=0，1，2……） 由于 解得或 则或 所以或 【变式2】（23-24高二下·云南曲靖·期末）“波”字最早用于描述水纹起伏之状，《说文解字》中有“波，水涌流也”，唐代诗人韦应物有“微风动柳生水波”的描述。“微风动柳”在水面引起水波（视为简谐横波）向四周传播，在波的传播方向上相距6m的两处分别有甲、乙两树叶，两树叶随波上下运动，其中甲树叶的振动图像如图所示。某时刻，当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，求： （1）此时刻，甲、乙两树叶竖直方向的高度差； （2）这列水波的波长； （3）若此时甲、乙两树叶之间只有一个波峰（甲树叶所在的波峰除外），这列水波的传播速度的大小。 【答案】（1）0.6cm；（2），其中；（3）1m/s 【详解】（1）当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，则此时刻，甲、乙两树叶竖直方向的高度差为 （2）当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，而甲、乙相距d为6m，则有 ，其中 可得，这列水波的波长为 ，其中 （3）可知当n取1时，甲、乙两树叶之间只有一个波峰，则这列水波的波长为 由图可知，这列水波的周期T为4s，则这列水波的传播速度的大小为 题型五 波的干涉的分析计算 答｜题｜模｜板 波的干涉问题的分析 (1)在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。两列相干波的波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇处是振动最强的地方，若用一条平滑的线将以上加强点连接起来，则这条平滑的线上的点都是加强点；而波峰与波谷(或波谷与波峰)相遇处是振动最弱的地方，把以上减弱点用一条平滑的线连接起来，则这条平滑的线上的点都是减弱点。 (2)不论是振动加强的质点还是振动减弱的质点，都仍在其平衡位置附近振动。某点的振动加强，是指这个质点以较大的振幅振动；而某点的振动减弱，是指这个质点以较小的振幅振动，因此，振动加强点的位移不是始终等于振幅，它的位移的大小和方向随时间在发生周期性的变化。 【典例1】（24-25高二下·广东·期末）如图所示为某一时刻波源在水槽中形成的水波，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，已知两列波的频率相同，振幅相同，则下列说法正确的是（    ） A．a点的位移始终最大，等于两列波的振幅之和 B．c点的频率等于两波源的频率之和 C．c点的振动始终减弱，d点的振动始终加强 D．再经过四分之一个周期，b、c两点的位移均为零 【答案】D 【详解】A．由图可知，a点为波谷和波谷相遇处，为振动加强点，其以两列波的振幅之和做简谐运动，位移呈周期性变化，故A错误； B．由图可知，c点为波谷和波谷相遇处，为振动加强点，其频率等于其中一个波源的频率，故B错误； C．在d点是两列波波峰和波峰相遇点，两列波引起的振动总是相互加强的，c点是两列波波谷和波谷相遇点，两列波引起的振动也总是相互加强的，故C错误； D．b点为波峰和波谷的相遇处，振动减弱，位移始终为零，c点为波谷和波谷相遇处，此时处于波谷位置，再经过四分之一个周期，c点处于平衡位置，位移为零，故D正确。 故选D。 【典例2】（多选）（24-25高二下·广东江门·期末）两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x=−0.2m和x=1.2m处，两列波的波速均为0.2m/s，振幅均为4cm，图示为t=0时刻两列波的图像，下列说法正确的是（　　） A．两列波波源的起振方向相同 B．x=0.4m处的质点为振动加强点 C．两列波的振动周期均为2s D．t=5s时x=0m处的质点运动的总路程为32cm 【答案】CD 【详解】A．波源位于x=−0.2m处的波源起振方向为y轴负方向，波源位于x=1.2m处的波源起振方向为y轴正方向，起振方向相反，故A错误； B．x=0.4m处的质点与两波源的波程差 可知x=0.4m处的质点为振动减弱点，故B错误； C．由图可知两列波的波长为λ=0.4m 周期为，故C正确； D．从t=0时刻开始，右侧的波传到x=0处的时间为 所以4s之内，在x=0处质点的路程为 之后两列波在x=0处相遇，x=0处的质点与两波源的波程差 叠加为振动减弱点，两列波的振幅相同，始终在平衡位置，因此t=5s时，x=0处的质点运动的总路程为s=s1=32cm，故D正确。 故选CD。 【变式1】（多选）（24-25高一下·河南商丘·期末）两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于和处，两列波的波速均为，波源的振幅分别为1cm和2cm。时刻两列波的图像如图所示，此刻平衡位置在和的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于处。下列说法正确的是（　　） A．两列波经1.5s后相遇 B．时刻，质点M的位移为3cm C．0~3.5s内，质点M的路程为4cm D．稳定后，P、Q之间有4个振动减弱点 【答案】AC 【详解】A．设两列波经时间相遇，则有，故A正确； B．两列波的周期均为 由题图可知，在时，两列波在处相遇，根据波形平移法可知，两列波在质点M引起的起振方向相反，其中向左传播的波的起振方向向上，向右传播的波的起振方向向下，可知质点M为振动减弱点，则时刻，质点M起振后经过 质点M的位移为，故B错误； C．0~3.5s内，点M振动的时间为 则质点M的路程为，故C正确； D．把P、Q看成两个振源，起振方向相反，P、Q之间点与P、Q的距离差满足 当P、Q之间点与P、Q的距离差等于波长的整数倍时，该点为振动减弱点，则有，， 可知P、Q之间有3个振动减弱点，故D错误。 故选AC。 【变式2】（多选） （24-25高二下·浙江温州·期末）下图为超声波悬浮仪，上方圆柱体中高频电信号通过压电陶瓷转换成同频率的超声波，下方圆柱体将接收到的超声波反射回去。两列超声波叠加后，会出现振幅几乎为零的点——节点，小水珠能在节点附近保持悬浮状态，该情境可等效简化为右图，右图为某时刻两列超声波的波动图像，某时刻两波源产生的波分别传到了点P（0.2m，0）和点Q（0.8m，0），已知超声波的传播速度为340m/s，则下列说法正确的是（　　）    A．该超声波悬浮仪发出的超声波频率为85000Hz B．经过T，质点P沿x轴正方向移动0.1cm C．两列波叠加稳定后，P、Q之间（不包括P、Q）共有2个节点 D．两列波叠加稳定后，M点的振幅为0 【答案】AC 【详解】A．该超声波悬浮仪发出的超声波波长为λ=0.4cm，则频率为，选项A正确； B．质点只能在自己平衡位置附近振动，但不随波迁移，选项B错误； C．设距离P点x处为减弱点，则（n=0，1，2，3，4……） 因x<0.6cm，则将n=0代入可知x1=0.2cm、x2=0.4cm，即两列波叠加稳定后，P、Q之间（不包括P、Q）共有2个节点，选项C正确； D．两列波叠加稳定后，M点振动加强，则振幅不为0，选项D错误。 故选AC。 题型六 波动图像及其与振动图像的综合应用 答｜题｜模｜板 波动图像和振动图像的比较 振动图像 波动图像 研究 对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点 研究 内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻介质中所有质点的空间分布规律 图像 物理 意义 表示同一质点在各时刻偏离平衡位置的位移 表示介质中的各个质点在某一时刻偏离平衡位置的位移 图像 信息 (1)质点振动周期； (2)质点振幅； (3)质点在各时刻偏离平衡位置的位移； (4)质点在各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅； (2)任意一质点在该时刻偏离平衡位置的位移； (3)任意一质点在该时刻的加速度方向； (4)已知波的传播方向，可判断介质中各质点的振动方向；已知介质中某一质点的振动方向，可判断波的传播方向 图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，波形沿传播方向平移 连续重复 的最短完 整曲线占 横坐标的 距离　　 表示一个周期 表示一个波长 点｜拨 求解波动图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法 【典例1】（24-25高二下·福建泉州·期末）“地震预警”是指在地震发生后，抢在地震波传播到受灾地区前，向受灾地区提前几秒至数十秒发出警报，通知目标区域从而实现预警。地震监测站监测到一列地震横波，某时刻的波形图如图中的甲所示，已知点是平衡位置在处的质点，点的平衡位置坐标为，以此时刻作为计时起点，质点振动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．质点沿轴正方向运动 B．地震横波的传播波速为 C．时，质点振动到波谷 D．的时间内，质点所走的路程为 【答案】B 【详解】A．由图乙可知，时刻后，故质点的位移为正，说明时刻质点沿轴正方向运动，即该波沿x轴负方向传播，则质点沿轴负方向运动，故A错误； B．由图乙可知，周期，由图甲可知，时刻质点的位移为负，位移大小为振幅的一半，且质点正在沿轴负方向运动，结合数学知识可知， 得 故地震横波的传播波速，故B正确； C．因，故时，质点振动到波峰，故C错误； D．时刻质点的位移为负且正在沿轴负方向运动，故的时间内，质点所走的路程，故D错误。 故选B。 【变式1】（多选）（24-25高二下·浙江舟山·期末）均匀介质中有一三维坐标系，x、y轴在水平面内，z轴垂直于xOy平面。波源O由平衡位置开始垂直xOy平面振动，产生的简谐横波在水平面内向四周传播，某时刻（设为t=0时刻）出现如图甲所示的状态，实线圆、虚线圆分别表示波峰、波谷，且此时刻水平面内只有一圈波谷。图乙是水平面内某一质点的振动图像。下列说法正确的是（　　） A．该波遇到10m大小的物体时不能发生衍射 B．t=0.15s时质点B开始振动 C．图乙可能是距O点1.5m远的质点D的振动图像 D．在0~1.25s这段时间内，质点C运动的路程为40cm 【答案】BD 【详解】A．实线圆、虚线圆分别表示波峰、波谷，则有 解得 由于波长比10m小得多，可知，该波遇到10m大小的物体时仍然能够发生衍射现象，但是不能发生明显的衍射现象，故A错误； B．根据图乙可知，周期为0.2s，则波传播速度 由于波源O由平衡位置开始垂直xOy平面振动，则图甲中的沿x轴方向的波前一定处于平衡位置，由于波长为2m，0时刻水平面内只有一圈波谷，则0时刻的波前一定在x=2.5m处， 则质点B开始振动的时刻为，故B正确； C．根据图乙可知，0时刻质点沿z轴正方向运动，根据图甲，结合同侧法可知，0时刻距O点1.5m远的质点D沿z轴负方向运动，故C错误； D．结合上述可知，0时刻，距离原点2.5m处质点开始振动，根据图甲可知 C点开始振动的时间 在0~1.25s这段时间内，C点运动时间 可知，在0~1.25s这段时间内，质点C运动的路程为，故D正确。 故选BD。 【变式2】（24-25高二下·广东清远·期末）图甲中，青蛙在平静的水面上鸣叫时引起水面振动。把水波视作横波，以青蛙所在位置为原点O，某时刻波源垂直xOy平面振动所产生波的示意图如图乙所示，实线圆、虚线圆分别表示相邻的波峰和波谷，此时波峰恰好传到图乙中的实线圆处，图丙为图乙中质点A的振动图像，z轴垂直于xOy水平面，z轴的正方向为竖直向上。 (1)求波在水中的传播速度大小v； (2)写出质点A的振动方程（函数）； (3)已知B点（未画出）离原点的距离为1.3m，从波峰恰好传到图乙中的实线圆处开始计时，求经过多长时间B点第2次到达波峰。 【答案】(1)；(2)；(3)2.6s 【详解】（1）由图乙可知，相邻波峰与波谷的半径差为半个波长，即 故 图丙中周期 波速 （2）质点A的振动方程一般形式是 从图丙可知，振幅是，时，，则初相位，角频率 故振动方程为： （3）时，波峰位于，以传播； 第一次波峰到达点的时间： 第二次波峰到达需再经一个周期，故总时间： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·北京通州·期末）如图是某绳波形成过程示意图。质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动质点2，3，4，……各个质点依次振动。已知相邻编号的质点间距离为1cm，t=0时，质点1开始向上运动；t=0.2s时，质点1到达上方最大位移处，质点5开始向上运动。下列说法正确的是（　　） A．这列波的波长为4cm B．这列波传播的速度为0.25m/s C．t=0.4s时，质点9开始振动 D．t=0.8s时，质点17向下运动 【答案】C 【详解】AB．时，质点1到达上方最大位移处，质点5开始向上运动，则振动周期 相邻编号的质点间距离为，则波长为 这列波传播的速度为，故AB错误； C．波从质点5传播到质点9需要的时间为 则时，质点9开始振动，故C正确； D．波从质点5传播到质点17需要的时间为 则时，质点17开始振动，根据波形平移法可知，向上运动，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）下列关于机械振动和机械波的说法正确的是（　　） A．有机械波必有机械振动，有机械振动必有机械波 B．在干涉图样中，振动加强区域的质点的位移一定大于振动减弱区域质点的位移 C．机械振动的物体在振动过程经过平衡位置时的合力为零 D．“未见其人，先闻其声”的现象，说明声波比光波更易发生明显衍射 【答案】D 【详解】A．机械波由机械振动产生，故有机械波必有机械振动；但机械振动需要介质才能形成波，若在真空中振动则无法形成波，故A错误； B．干涉中振动加强点的振幅大，但振动加强区域的质点也在振动，位移随时间变化，所以振动加强区域的质点的位移不一定大于振动减弱区域质点的位移，故B错误； C．机械振动的物体在振动过程经过平衡位置时的合力不一定为零，比如单摆运动经过平衡位置时，合力提供所需的向心力，不为0，故C错误； D．声波波长较长，比光波更易发生明显衍射，故“未见其人，先闻其声”的现象，说明声波比光波更易发生明显衍射，故D正确。 故选D。 3．（24-25高二下·辽宁·期末）某同学用手指以频率触动水面点形成水波。以波源点为坐标原点建立坐标系，某时刻形成的波形如图所示，图中、已知，下列说法正确的是（　　） A．点的横坐标为 B．此刻点运动方向沿轴正方向 C．该水波传播的速度为 D．图中点在之后的时间内运动的路程为 【答案】C 【详解】A．两点间距为一个波长，根据图示有 解得 即点的横坐标为，故A错误； B．由于波沿轴正方向传播，同侧法可知，点运动方向沿轴负方向，故B错误； C．由波速公式 结合上述解得波速，故C正确； D．由于 可知，图中点在时间内运动的路程为，故D错误。 故选C。 4．（24-25高二上·河南驻马店·期末）一重型货车通过某大桥，在与对向车辆会车时，双方鸣笛示意，有关上述场景，下列说法正确的是（   ） A．不同频率的声波在空气中相遇时不会叠加 B．高频声波和低频声波相遇时能发生干涉现象 C．相同条件下，频率低的声波比频率高的声波更容易发生衍射现象 D．重型货车通过某大桥时引起大桥的抖动，这一定是共振现象 【答案】C 【详解】A．不同频率的声波在空气中相遇时仍会叠加，但不能产生干涉，选项A错误； B．高频声波和低频声波相遇时频率不同，不能发生干涉现象，选项B错误； C．相同条件下，频率低的声波比频率高的声波波长更长，更容易发生衍射现象，选项C正确； D．重型货车通过某大桥时引起大桥的抖动这是受迫振动，不一定是共振，选项D错误。 故选C。 5．（24-25高二下·广东江门·期末）飞力士棒是物理治疗师发明的一种物理康复器材。标准型飞力士棒中间的握柄和两端负重头用一根PVC软杆连接，棒的固有频率为4.5Hz，如图所示，可以使用双手对飞力士棒进行驱动，忽略空气阻力，则下列关于飞力士棒的认识正确的是（    ） A．使用者用力越大棒振动越快 B．若只将PVC杆增长，棒的固有频率不变 C．该棒振动的频率一定等于4.5Hz，与驱动力的频率无关 D．随着手振动的频率越接近固有频率，棒振动的幅度一定变大 【答案】D 【详解】A．使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，故A错误； B．将PVC杆增长，棒的固有频率发生改变，故B错误； C．该棒做受迫振动，振动频率等于驱动力频率，故C错误； D．当驱动力的频率等于其固有频率时，棒振动的振幅最大，手振动的频率越接近固有频率，棒振动的幅度越大，随着手振动的频率越接近固有频率，棒振动的幅度一定变大，故D正确。 故选D。 6．（24-25高二下·安徽亳州·期末）光滑水平地面上，轻质弹簧一端固定在墙上，另一端与物块P连接，以弹簧原长位置为坐标原点，水平向右为正方向。从图甲所示位置开始计时，P的加速度随时间变化关系图像如图乙所示，则P的速度、位移、回复力随时间变化图像可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】AB．由图乙可知，时刻P沿x轴负方向运动，所以P的速度为负值，且正在减小，故A正确，B错误； C．位移定义为平衡位置指向P所在位置的有向线段，时刻P的位移为负值，故C错误； D．时刻回复力的方向水平向右，为正值，但P物体向左运动，位移x增大，根据可知，回复力F在增大，故D错误。 故选A。 7．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图所示，在一块正方形金属薄板上均匀地撒上一层食盐，薄板的一边与一个频率可调的振动源相连。当振动源开始振动一段时间后，金属板上的盐粒会排列成美丽的几何图形，振动源的频率不同，金属板上的几何图形也不同，这就是著名的克拉尼图形。其原理是振动波从金属板的一个边向其它边传播，又被其它边反射回来，正向传播的振动波与反射回来的反射波相遇，导致金属薄板上有的地方振动加强，有的地方振动减弱，盐粒有规律地排布而形成了美丽的克拉尼图形，关于克拉尼图形下列说法正确的是（　　） A．克拉尼图形的成因是波的衍射 B．克拉尼图形的成因是波的叠加 C．图中盐粒排布的位置在金属薄板振动的加强区附近 D．图中盐粒排布的位置在金属薄板振动的减弱区附近 【答案】BD 【详解】AB．按照题中叙述，正向传播的波和反射波（振动方向相同，频率相同），一定条件下相互叠加，形成稳定的加强区（波腹）和减弱区（波节），故A错误，B正确； CD．两列波叠加形成稳定的加强区和减弱区，加强区振动幅度较大，减弱区振动幅度较小甚至不动，盐粒会滑向减弱区并停留，故C错误，D正确。 故选BD。 8．（多选）（24-25高一下·四川广安·期末）在天花板上固定一条不可伸长的细线，细线下端挂一个金属小球，这样就制成了一个单摆。现把小球拉起一个角度（小于5°）由静止释放（保持细线伸直），小球在竖直面内做简谐运动，其振动图像如图所示。计算中取g=10m/s2，，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为100cm B．单摆的摆长为400cm C．小球释放时细线与竖直方向的夹角为2.4° D．小球释放时细线与竖直方向的夹角为4.8° 【答案】AC 【详解】     AB．单摆的周期为T=2s，根据 可得摆长为L=100cm，A正确，B错误； CD．根据 其中A=4cm，可知小球释放时细线与竖直方向的夹角为θ=2.4°，C正确，D错误。 故选AC。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，两列频率、振幅均相同的波在同一直线上沿相反方向传播时会因叠加而形成驻波，驻波上有些点始终不振动，称为波节。弦乐器就是因为在弦线上产生驻波而发声的，则当弦线上形成驻波时，弦线的长度应满足（　　） A．波长的整数倍 B．波长的奇数倍 C．半波长的偶数倍 D．半波长的整数倍 【答案】D 【详解】两列频率、振幅均相同的波在同一直线上沿相反方向传播时会因叠加而形成驻波，根据干涉原理，弦长与波长的关系为，故选D。 2．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）如图甲所示，在平面内有两个沿y轴方向做简谐运动的点波源和分别位于和处，某时刻波源在x轴上产生的波形图如图乙所示，波源的振动图像如图丙所示，由两波源所产生的简谐波波速均为，质点a、b、p的平衡位置分别位于、、处。已知在时，两波源均在平衡位置且振动方向相同，下列说法正确的是（　　） A．波源的振动频率大于波源 B．质点a的振幅为 C．当时，质点P振动到波谷位置 D．在内，质点b运动的总路程是 【答案】D 【详解】A．波源的频率 波源的频率 可知波源的振动频率等于波源，选项A错误； B．质点a到波源S1的距离为8m，质点a到波源S2的距离为4m，质点a到两波源的距离差为Δxa=4m=λ，已知在t=5s时，两波源均在平衡位置且振动方向相同，可知a点为振动加强点，a点的振幅Aa=A1+A2=15cm+20cm=35cm，故B错误； C．质点P到两振源的距离差为零，为振动加强点，，可知当时，质点P振动到平衡位置向上振动，选项C错误； D．质点b到波源S1的距离为3m，质点b到波源S2的距离为9m，质点b到两波源的距离差为 可知b点为振动减弱点，则b点的振幅为Ab=20cm-15cm=5cm=0.05m 在30～54s内，质点经过了24s=2T，则质点b运动的总路程s=8Ab=8×0.05m=0.40m，故D正确。 故选D。 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）杭州第19届亚运会艺术体操个人全能资格赛暨个人团体决赛在黄龙体育中心体育馆举行。中国队以总分313.400获团体铜牌。下图为中国队选手赵樾进行带操比赛。某段过程中彩带的运动可简化为沿轴方向传播的简谐横波，时的波形图如图甲所示，质点的振动图像如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．简谐波沿轴负方向传播 B．简谐波的传播速度为2m/s C．质点的振动方程为 D．到的时间内点的路程大于10cm 【答案】D 【详解】A．由乙图可知，时，质点Q向上运动，根据波传播的“上波下、下波上”的特点，波沿轴正方向传播，故A错误； B．由甲图可知，波的波长，由乙图可知，周期为，故波的速度，故B错误； C．由乙图可知，时Q点向下振动，故质点Q的振动方程为，故C错误； D．由题知 由甲图可知，在时P质点向下振动，平均速率较大，所以质点P经过的路程大于一个振幅，即大于10cm，故D正确。 故选D。 4．（24-25高二下·北京石景山·期末）如图是以质点P为波源的机械波在绳上刚传到质点Q时的波形。下列说法正确的是（　　） A．Q点即将开始向上振动 B．当波传到Q点时，P点恰好振动了1个周期 C．若P点停止振动，绳上的波会立即消失 D．P点从平衡位置刚开始振动时，运动方向向下 【答案】D 【详解】A．由题意可知波向右传播，根据同侧法可知，Q点将向下振动，故A错误； B．由波形图可知，当波传播到Q点时，P点振动个周期，故B错误； C．若P点停止振动，波不会立即消失，故C错误； D．同一个波所有质点的起振方向均相同，所以P点刚开始振动时，振动方向和Q点一样，均向下，故D正确。 故选D。 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动，以平衡位置O为原点建立x轴，规定竖直向下为正方向。从弹簧原长位置由静止释放振子并开始计时，则关于振子的速度v、回复力F与时间t之间的关系图像，及回复力F、弹性势能Ep与相对平衡位置的位移x的关系图像，其中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．从弹簧原长位置由静止释放振子并开始计时，此时振子处于简谐运动的最大位移处，振子的速度为0，之后振子向下运动，速度方向为正方向，则速度v与时间t的关系式为 故A错误； BC．从弹簧原长位置由静止释放振子并开始计时，此时振子处于简谐运动的负向最大位移处，则相对平衡位置的位移x与时间t的关系式为 根据 可知零时刻，回复力F最大，且为正方向；故B错误，C正确； D．从弹簧原长位置由静止释放振子并开始计时，此时振子处于简谐运动的负向最大位移处，即，且此时弹性势能Ep为0，故D错误。 故选C。 6．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在平面内，两波源分别置于A、B两点。时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于平面。频率均为。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿方向传播，波速均为。下列说法正确的是（　　） A．两横波的波长均为 B．时，C处质点加速度不为0 C．时，C处质点速度不为0 D．时，C处质点速度不为0 【答案】AB 【详解】A．两列波的频率均为，根据 可得周期为 根据，解得两横波的波长均为，故A正确； BC．时，沿方向传播的波已传到C处，即时，C处质点已从平衡位置起振0.1s，即，时，沿方向传播的波才传到C处，即此时C处质点位移达到最大，速度为0，加速度不为0，故B正确，C错误； D．C处距A、B两点的波程差 且两波的振幅相同，起振方向相同，即C是振动减弱点，所以时，C处质点位移为0，速度也为0，故D错误。 故选AB。 7．（多选）（24-25高二下·河北邯郸·期末）波源O垂直于纸面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中沿纸面向四周传播，该简谐波在时的俯视图如图甲所示，取垂直纸面向外为正方向，实线圆表示波峰，虚线圆表示波谷，相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆，介质中某质点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该波的波长为6cm B．该波的传播速度为0.6m/s C．图乙可能是质点D的振动图像 D．图甲中质点D在该时刻的速度方向垂直纸面向里 【答案】BD 【详解】A．根据图甲得 解得，A错误； B．机械波的周期 该波的传播速度为，B正确； CD．根据图甲，时D点位于平衡位置，再经过位于波谷，质点D在该时刻的速度方向垂直纸面向里；所以时，D点位于平衡位置向负方向振动；根据图乙，时，质点位于平衡位置向正方向振动；图乙不是质点D的振动图像，C错误，D正确。 故选BD。 8．（24-25高二下·吉林白山·期末）某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______（填字母）。 A．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的 (2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“40”时，秒表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为 。 (3)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆线长L的数值后，画出T2−L图像如图乙所示，测得此图像斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g= 。 (4)T2−L图像不过坐标原点的原因是 。 【答案】(1)BC；(2)；(3)；(4)由于忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小 【详解】（1）A．单摆摆角应小于5°，故A错误； B．为尽量减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确； C．为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。 故选BC。 （2）计数40时，单摆完成20次全振动，故周期 （3）由单摆周期公式有 化简得 故有 解得 （4）由（3）可得，不过坐标原点的原因是忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）如图甲为一列简谐横波在时刻的波形图，P是平衡位置为处的质点，Q是平衡位置为处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（　　） A．时，质点P的运动方向沿y轴正方向 B．时，质点P的加速度比质点Q的加速度大 C．从到，该波沿x轴正方向传播了6m D．从到，质点P通过的路程为 【答案】D 【详解】C．由图甲可知，波长 由图乙可知，周期 且Q点在时向下运动，根据“同侧”法判断波沿x轴负方向传播，则波速 从到，该波沿x轴负方向传播了 故C错误； A．波沿x轴负方向传播，由图甲根据“同侧”法判断，质点P运动方向沿y轴正方向，再经过即，质点P正从正的最大位移向平衡位置运动，故时，质点P的运动方向沿y轴负方向，故A错误； B．时，质点Q已经到负的最大位移处，质点P正从正的最大位移向平衡位置运动，故质点Q偏离平衡位置的位移比质点P大，故质点Q比质点P大受到的回复力大，质点Q的加速度比质点P大，故B错误； D．从到，根据 由正弦函数可知在质点P的纵坐标为 同理t=0.25s时，质点P的纵坐标为 如图甲可知，振幅 从到，质点P从处先运动到正的最大位移，又向下运动的负的最大位移，然后向上运动的处，故质点P的路程为 故D正确。 故选D。 2．（多选）（24-25高二下·福建南平·期末）如图甲，水袖舞是中国京剧的特技之一，它融合了戏曲和舞蹈的元素，别具美感。某次演出中水袖的运动可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，时的波动图像如图乙所示，质点的振动图像如图丙所示。则（　　） A．该简谐横波沿轴负方向传播 B．该简谐横波传播速度大小为 C．再经过，到达平衡位置 D．再经过的位移大小为 【答案】BD 【详解】A．由丙图可判断0时刻Q点向y轴正向运动，根据乙图由同侧法得该简谐横波沿轴正方向传播，故A错误； B．由图像可得， 所以，故B正确； C．0时刻P点由平衡位置向y轴负向振动，P点的振动方程为 将代入上式得，故C错误； D．Q点的振动方程为 将代入上式得，故D正确。 故选BD。 3．（多选）（24-25高二下·山东济南·期末）如图所示，轴上位于-5m、5m处各有一个波源、，可分别形成沿轴方向传播的简谐横波。时刻，两波源同时开始振动，波源的振动方程为，波源的振动方程为，两列波的波速均为，点的坐标为，下列说法正确的是（　　） A．两列波发生干涉后，原点为振动加强点 B．内点运动的路程为 C．、之间振动减弱点的个数为个 D．、之间振幅为的点的坐标为，其中的取值为 【答案】BD 【详解】A．由两波源的振动方程可知两波源的起振方向相反，由，可知两列波发生干涉后，原点为振动减弱点，故A错误； B．由波源的振动方程可知波源的振动周期为 波源的振动传播到P点的时间 波源的振动传播到P点的时间 两列波发生干涉后，原点为振动减弱点，两列波的振幅相等，所以内点运动的时间为 则内点运动的路程为，故B正确； C．波长 由于两个波源的振动方向始终相反，可知波程差为偶数倍时为振动减弱点，设减弱点的坐标为，则有 当n=0时 当时 当时 当时（舍去） 则x轴上、之间振动减弱点的个数为5个，故C错误； D．两列波发生干涉后，原点为振动减弱点，、之间各点的振幅为 若，则，其中的取值为，故D正确。 故选BD。 4．（多选）（24-25高二下·河北邢台·期末）如图所示，甲、乙为用频闪照相机连续拍摄的两张在x轴上0~6m区间段简谐波的照片。已知波沿x轴传播，甲照片是在时拍摄的，乙照片是在时拍摄的，波的周期大于，由照片可知（　　） A．该波的波长为4m B．该波的周期可能为1s C．该波的频率可能为2Hz D．该波可能以9m/s的波速沿x轴负方向传播 【答案】AD 【详解】A．由题图知，波长，故选项A正确; BCD．由于无法确定题图中质点的振动方向，因此无法判断波的传播方向。若波沿x轴正方向传播，则有( n=0，1，2…) 可得( n=0，1，2…) 由题意知 当时，可得周期，则波速 当时，可得周期，则波速 当时，可得周期，则波速 若波沿x轴负方向传播，则有( n=0，1，2…) 可得( n=0，1，2…) 由题意知 当时，可得周期，则波速 当时，可得周期，则波速 当时，可得周期，则波速，故选项BC错误，选项D正确。 故选AD。 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长，再用游标卡尺测得摆球的直径为（读数如图2所示）。从图2可知，摆球的直径为 。 (2)将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，准备测量磁感应强度的变化。将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示。由图3可知，单摆的周期为 。 (3)经测量得到6组不同的摆长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取、两个点，坐标如图4所示。则当地重力加速度的表达式 。图4中图像不过原点的原因是 。 A．计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径 B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径 C． 所选小球的密度过大 D．没有在最低点开始计时 (4)另一同学只通过一次实验测量出重力加速度，但由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在水平面内做圆周运动，如图5所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比 。 A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 【答案】(1)10.70；(2)；(3) A；(4)A 【详解】（1）20分度游标卡尺的精确值为，由图2可知摆球的直径为 （2）实验中，磁性小球经过最低点时测得的磁感应强度最大，由图3可知单摆的周期为 （3）[1]根据 解得 结合图像，可得 解得 [2]A．若计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径，则有 可得 可知图像有负的纵轴截距，满足图4中的图像，故A正确； B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径，则有 可得 可知图像有正的纵轴截距，故B错误； C．所选小球的密度过大，不会使图像不过原点，故C错误； D．没有在最低点开始计时，不会使图像不过原点，故D错误。 故选A。 （4）但由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图所示 由牛顿第二定律可得 解得 可知单摆周期测量值偏小，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比偏大。 故选A。 6．（24-25高二下·辽宁大连·期末）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AB上做往复运动，可视为简谐运动。t=0时刻将质量m=0.05kg的小球从A点由静止释放，图乙为圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线。根据题中所给信息（g取10m/s2），求： (1)小球简谐运动的周期T和圆弧轨道的半径R； (2)小球运动到平衡位置时的速度；（结果可用根号表示） (3)图乙中轨道支持力的最小值。 【答案】(1)，R=0.4m；(2)；(3)0.495N 【详解】（1）由图可得 由 联立解得 （2）由F-t图可得，摆球运动到平衡位置时轨道的支持力 由牛顿第二定律得 代入数据，解得平衡位置时速度 （3）小球从A到最低点机械能守恒，设OA与竖直方向夹角为，由机械能守恒定律得 支持力的最小值 联立解得 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 机械振动与机械波（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 简谐运动 掌握两种简谐运动（弹簧振子和单摆）的运动特征及能量转化关系 基础必考点，常出现在小题 波的图像 掌握波的振动图像与波动图像的综合问题 高频考点 波特有的现象 掌握波的干涉、衍射条件及干涉加强点和减弱点的判断 高频考点。 知识点01 简谐运动 1．简谐运动的概念 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．平衡位置 振动物体原来静止时的位置。 3．回复力 (1)定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4．描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需要的时间 描述振动的快慢，两者关系：T＝ 频率 振动物体完成全振动的次数与所用时间之比 相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 ·易错点：回复力是一种效果力 ，受力分析时不要分析回复力。 知识点02 简谐运动的公式和图像 1．表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相位。 2．简谐运动的图像 (1)如图所示。 (2)物理意义：表示振动质点的位移随时间变化的规律。 三、弹簧振子、单摆及其周期公式 简谐运动的两种理想化模型 模型 弹簧振子(以水平 弹簧振子为例) 单摆 概念 是小球和弹簧组成的系统，有时简称为振子。是一个理想化模型 将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动，这样的装置就叫作单摆，是实际摆的理想化模型 示意图 特点 (1)弹簧质量与小球相比可忽略； (2)杆光滑无摩擦，小球运动时空气阻力可忽略 (1)摆线为不可伸缩的细线； (2)细线的质量与小球相比可忽略； (3)球的直径与线的长度相比可忽略； (4)空气等阻力可以忽略 做简谐运动的条件 弹簧形变在弹簧弹性限度内 最大摆角θ<5° 做简谐运动的回复 力　　　 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供 做简谐运动的平衡 位置　　 弹簧处于原长处 最低点 做简谐运动的周期 与振幅无关 T＝2π__ 做简谐运动的能量转化　　 弹性势能与动能相互转化，机械能守恒 重力势能与动能相互转化，机械能守恒 知识点03 受迫振动和共振 1．振动中的能量损失 (1)阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，这种振动称为阻尼振动。 (2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为内能；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去。 2．受迫振动 系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。 3．共振 如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大，这种现象称为共振。 知识点04 波的图像 1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。 2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。 3．图像(以简谐波为例)：如图所示。 知识点05 波速、波长、频率(周期)及其关系 1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。 3．频率f：由波源决定，等于波源的振动频率；与周期的关系为f＝。 4．波长、波速和频率(周期)的关系：v＝fλ＝。 知识点06 波的反射、折射 1．理论和实践证明，水波、声波等一切波都会发生反射和折射现象。 (1)水波、声波等一切波遇到挡板时会发生反射。 (2)与光的折射类似，机械波从一种介质向另一种介质传播时，在交界面处将发生折射。 2．波的入射方向、反射方向、折射方向都可以用一条射线表示，分别叫作：入射线、反射线、折射线。 3．波的反射规律：反射线、法线与入射线在同一平面内，反射线与入射线分居法线两侧，反射角等于入射角。 知识点07 波的干涉和衍射 1．波的独立传播原理 两列波相遇后彼此穿过，仍然保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，就像没有跟另一列波相遇一样。 2．波的叠加 几列波相遇时能够保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移(速度、加速度)等于这几列波单独传播时引起的位移(速度、加速度)的矢量和。 题型一 简谐运动的描述 解｜题｜技｜巧 1.解析法 简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述简谐运动，结合三角函数的知识可作定量分析。 2．图像法 (1)图像特征 如图1所示，简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。 (2)图像的物理意义 图像反映的是做简谐运动的物体(质点)的位移随时间变化的规律，图像不代表质点运动的轨迹。 (3)图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。 ④可以确定质点的速度方向：任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示质点的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示质点的速度沿x轴负方向。 ⑤可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。 易｜错 简谐运动的位移是从平衡位置指向振子所在位置，要与运动学中的位移区分。 【典例1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（　　） A．，3t B．，5t C．，t D．，t 【变式1】（23-24高一下·辽宁·期末）某学生在粗细均匀的木筷下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中（如甲图）。现把木筷向上提起一段距离后放手，此时刻开始计时，之后木筷做简谐运动，以向上为正方向作出了木筷振动的位移-时间图像，如乙图所示。不计水的阻力，则（　　） A．时，木筷的重力小于其所受的浮力 B．时，木筷处于平衡位置 C．前内，木筷运动的路程为0.8m D．木筷的位移-时间关系为 【变式2】（多选）（24-25高二下·河北·期末）如图甲所示的单摆（摆角θ很小），摆球在竖直面内的MON圆弧虚线上做简谐运动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，摆球偏离平衡位置位移x与时间t的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．摆球在运动过程中受到的合外力全部用来提供回复力 B．若当地的重力加速度为，则单摆的摆长约为1m C．t=1.2s时，摆球在M与O之间且速度即将减小 D．t=0.3s时，摆球在O与N之间且速度即将减小 题型二 简谐运动与力学的综合问题 解｜题｜技｜巧 1．对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、计算。 (1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。 (2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定 ，它等于小球的最大动能。 2．单摆的力学综合问题 对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球所受的最小力、最大力的分析、计算。 (1)单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。 (2)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)。 它等于摆球的最大动能。 点｜拨 简谐运动的动力学和能量问题求解关键 对于这类问题，关键是从动力学角度、能量的角度结合简谐运动的对称性、周期表达式等解题。 (1)动力学角度的分析通常要用到回复力表达式、力学平衡方程、牛顿第二定律及向心力表达式。 (2)能量角度的分析通常要用到机械能守恒定律、功能关系。 【典例1】（24-25高一下·四川资阳·期末）2025年，《哪吒之魔童闹海》的文创产品层出不穷。图甲即为推出的弹簧摆件，轻质弹簧一端连接摆件，一端连接底座。图乙中摆件在竖直线上的往复运动可视为简谐运动，其底端在A、B两点间运动，O为平衡位置，不考虑结构阻力，且弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（    ） A．摆件在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力等力的作用 B．摆件底端经过A、B两点时，摆件加速度最大，动能最大 C．摆件底端从A点经O点到B点的过程中，摆件所受合外力先减小后增大 D．摆件在往复运动过程中机械能守恒 【变式1】（24-25高二下·山西运城·期末）如图所示，光滑水平面上有一质量为M的物块A，其右侧连接劲度系数为k的轻质弹簧，处于静止状态，弹簧右端固定。另一质量为m的物块B以水平速度v0向右运动，与物块A发生碰撞后一起做简谐运动。已知两物块碰撞过程时间极短，且弹簧始终在弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）。下列说法正确的是（　　） A．两物块碰撞过程中，两物块组成的系统，动量守恒，机械能也守恒 B．两物块碰撞过程中，物块B的动量变化量的大小为mv0 C．弹簧的弹性势能最大值为 D．简谐运动的振幅为 【变式2】（多选）（24-25高二下·广东韶关·期末）如图是儿童游乐场中滑索项目的示意图，光滑钢性滑索水平固定，滑轮可沿滑索水平运动，不可伸长的轻绳上端固定在滑轮上，下端固定一坐垫球，儿童坐在坐垫球上并拉紧轻绳使滑轮紧靠右侧限位器，随后由A点处无初速离开平台，当儿童运动到最低点B时，其重心下降了h。已知儿童和坐垫球的总质量为M，滑轮质量为m，儿童和坐垫球以及滑轮均可视为质点，滑索足够长，忽略空气阻力，重力加速度为g，以下判断正确的是（　　） A．儿童将以B点为平衡位置做简谐振动 B．儿童第一次到达最低点时的速度大小为 C．儿童向左运动第一次到达最高点时，其速度大小为 D．儿童向左运动第一次到达最高点时，与B点高度差为 题型三 机械波的形成与传播 答｜题｜模｜板 1．波的传播方向与质点振动方向的互判方法 方法解读 图像演示 “上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动 “同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧 “微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向 2．计算波速的两种思路 (1)速度的定义：v＝，Δx表示波向前传播的距离，Δt表示波传播Δx所用的时间。 (2)波速与波长、频率(周期)的关系：v＝λf＝，f、T由波源决定，v由波的性质和介质决定。 【典例1】（24-25高二下·山西吕梁·期末）如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上、两点平衡位置相距6m，时刻点位于波谷，点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是（　　） A．波长为3m B．波速为12m/s C．时刻，点加速度最大 D．时刻，点速度为0 【典例2】（24-25高二下·湖南张家界·期末）如图甲所示，O、A、B是介质中的三个点，，。时刻开始计时，位于O点的波源开始振动，振动图像如图乙所示，当波传到A点时，波源刚好第二次运动到波谷位置。当波传到B点时，质点A的位移为（　　） A．0 B．10cm C． D． 【变式1】（多选）（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图甲，点为振源，点距的距离为时刻点由平衡位置开始振动，产生沿直线向右传播的简谐横波，图乙为点从时刻开始振动的振动图像，则以下说法正确的是（　　） A．时刻振源的振动方向沿轴负方向 B．时刻点振动速度最大，方向沿轴正方向 C．该简谐波的波长为 D．若波源停止振动，则点也马上停止振动 【变式2】（多选）（24-25高二上·陕西榆林·期末）有位游客在江边观光，水面上有相距为d的两个浮标A、B，如图所示，水波（可视为简谐波）传播到A浮标时，A浮标从平衡位置开始向上振动，若此时开始计时，经历时间，A浮标第一次到达波峰，此时B浮标从平衡位置开始振动。下列说法正确的是（    ） A．水波的波速为 B．水波的波长为2d C．时刻，两浮标的速度相同 D．时刻，两浮标的加速度相同 题型四 波的多解问题 答｜题｜模｜板 1.造成波的多解问题的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 b．只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。 c．只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 2．解决波的多解问题的一般思路 (1)首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。 (2)对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。 (3)注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。 【典例1】（23-24高二上·湖南邵阳·期末）一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点，在t时刻A、B两点间形成如图甲所示的波形，在（t+3）s时刻A、B两点间形成如图乙所示的波形。已知A、B两点间的距离a=9m，则下列说法正确的是（　　） A．若周期大于4s，则波可能向右传播 B．若周期为4s，则波可能向左传播 C．若波速为8.5m/s，则波一定向左传播 D．若波向左传播，则该波波速的最小值为1.5m/s 【典例2】（多选）（24-25高二下·河南焦作·期末）如图1所示，“战绳”是在健身房中常见的一种强力减脂运动，人用手握住绳子左端，将绳拉平后沿竖直方向上下抖动，则可在绳中形成一列简谐横波。图2是健身者右手抖动绳子过程中时刻的波形，A、B两质点间距为4m，B、C两质点平衡位置的间距为1.5m，当时，质点恰好通过平衡位置，下列说法正确的是（    ） A．该波的波速可能为4m/s B．该波的波速可能为2.5m/s C．健身者右手抖动的频率可能为 D．健身者右手抖动的频率可能为 【变式1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图所示，一列简谐波在均匀介质中沿x轴传播，图中的实线和虚线波形分别为t1=0.5s和t2=0.8s时的波形图。 (1)若该波沿x轴正方向传播，求该波的周期T； (2)若，求该波可能的速度大小。 【变式2】（23-24高二下·云南曲靖·期末）“波”字最早用于描述水纹起伏之状，《说文解字》中有“波，水涌流也”，唐代诗人韦应物有“微风动柳生水波”的描述。“微风动柳”在水面引起水波（视为简谐横波）向四周传播，在波的传播方向上相距6m的两处分别有甲、乙两树叶，两树叶随波上下运动，其中甲树叶的振动图像如图所示。某时刻，当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，求： （1）此时刻，甲、乙两树叶竖直方向的高度差； （2）这列水波的波长； （3）若此时甲、乙两树叶之间只有一个波峰（甲树叶所在的波峰除外），这列水波的传播速度的大小。 题型五 波的干涉的分析计算 答｜题｜模｜板 波的干涉问题的分析 (1)在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。两列相干波的波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇处是振动最强的地方，若用一条平滑的线将以上加强点连接起来，则这条平滑的线上的点都是加强点；而波峰与波谷(或波谷与波峰)相遇处是振动最弱的地方，把以上减弱点用一条平滑的线连接起来，则这条平滑的线上的点都是减弱点。 (2)不论是振动加强的质点还是振动减弱的质点，都仍在其平衡位置附近振动。某点的振动加强，是指这个质点以较大的振幅振动；而某点的振动减弱，是指这个质点以较小的振幅振动，因此，振动加强点的位移不是始终等于振幅，它的位移的大小和方向随时间在发生周期性的变化。 【典例1】（24-25高二下·广东·期末）如图所示为某一时刻波源在水槽中形成的水波，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，已知两列波的频率相同，振幅相同，则下列说法正确的是（    ） A．a点的位移始终最大，等于两列波的振幅之和 B．c点的频率等于两波源的频率之和 C．c点的振动始终减弱，d点的振动始终加强 D．再经过四分之一个周期，b、c两点的位移均为零 【典例2】（多选）（24-25高二下·广东江门·期末）两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x=−0.2m和x=1.2m处，两列波的波速均为0.2m/s，振幅均为4cm，图示为t=0时刻两列波的图像，下列说法正确的是（　　） A．两列波波源的起振方向相同 B．x=0.4m处的质点为振动加强点 C．两列波的振动周期均为2s D．t=5s时x=0m处的质点运动的总路程为32cm 【变式1】（多选）（24-25高一下·河南商丘·期末）两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于和处，两列波的波速均为，波源的振幅分别为1cm和2cm。时刻两列波的图像如图所示，此刻平衡位置在和的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于处。下列说法正确的是（　　） A．两列波经1.5s后相遇 B．时刻，质点M的位移为3cm C．0~3.5s内，质点M的路程为4cm D．稳定后，P、Q之间有4个振动减弱点 【变式2】（多选） （24-25高二下·浙江温州·期末）下图为超声波悬浮仪，上方圆柱体中高频电信号通过压电陶瓷转换成同频率的超声波，下方圆柱体将接收到的超声波反射回去。两列超声波叠加后，会出现振幅几乎为零的点——节点，小水珠能在节点附近保持悬浮状态，该情境可等效简化为右图，右图为某时刻两列超声波的波动图像，某时刻两波源产生的波分别传到了点P（0.2m，0）和点Q（0.8m，0），已知超声波的传播速度为340m/s，则下列说法正确的是（　　）    A．该超声波悬浮仪发出的超声波频率为85000Hz B．经过T，质点P沿x轴正方向移动0.1cm C．两列波叠加稳定后，P、Q之间（不包括P、Q）共有2个节点 D．两列波叠加稳定后，M点的振幅为0 题型六 波动图像及其与振动图像的综合应用 答｜题｜模｜板 波动图像和振动图像的比较 振动图像 波动图像 研究 对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点 研究 内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻介质中所有质点的空间分布规律 图像 物理 意义 表示同一质点在各时刻偏离平衡位置的位移 表示介质中的各个质点在某一时刻偏离平衡位置的位移 图像 信息 (1)质点振动周期； (2)质点振幅； (3)质点在各时刻偏离平衡位置的位移； (4)质点在各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅； (2)任意一质点在该时刻偏离平衡位置的位移； (3)任意一质点在该时刻的加速度方向； (4)已知波的传播方向，可判断介质中各质点的振动方向；已知介质中某一质点的振动方向，可判断波的传播方向 图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，波形沿传播方向平移 连续重复 的最短完 整曲线占 横坐标的 距离　　 表示一个周期 表示一个波长 点｜拨 求解波动图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法 【典例1】（24-25高二下·福建泉州·期末）“地震预警”是指在地震发生后，抢在地震波传播到受灾地区前，向受灾地区提前几秒至数十秒发出警报，通知目标区域从而实现预警。地震监测站监测到一列地震横波，某时刻的波形图如图中的甲所示，已知点是平衡位置在处的质点，点的平衡位置坐标为，以此时刻作为计时起点，质点振动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．质点沿轴正方向运动 B．地震横波的传播波速为 C．时，质点振动到波谷 D．的时间内，质点所走的路程为 【变式1】（多选）（24-25高二下·浙江舟山·期末）均匀介质中有一三维坐标系，x、y轴在水平面内，z轴垂直于xOy平面。波源O由平衡位置开始垂直xOy平面振动，产生的简谐横波在水平面内向四周传播，某时刻（设为t=0时刻）出现如图甲所示的状态，实线圆、虚线圆分别表示波峰、波谷，且此时刻水平面内只有一圈波谷。图乙是水平面内某一质点的振动图像。下列说法正确的是（　　） A．该波遇到10m大小的物体时不能发生衍射 B．t=0.15s时质点B开始振动 C．图乙可能是距O点1.5m远的质点D的振动图像 D．在0~1.25s这段时间内，质点C运动的路程为40cm 【变式2】（24-25高二下·广东清远·期末）图甲中，青蛙在平静的水面上鸣叫时引起水面振动。把水波视作横波，以青蛙所在位置为原点O，某时刻波源垂直xOy平面振动所产生波的示意图如图乙所示，实线圆、虚线圆分别表示相邻的波峰和波谷，此时波峰恰好传到图乙中的实线圆处，图丙为图乙中质点A的振动图像，z轴垂直于xOy水平面，z轴的正方向为竖直向上。 (1)求波在水中的传播速度大小v； (2)写出质点A的振动方程（函数）； (3)已知B点（未画出）离原点的距离为1.3m，从波峰恰好传到图乙中的实线圆处开始计时，求经过多长时间B点第2次到达波峰。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·北京通州·期末）如图是某绳波形成过程示意图。质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动质点2，3，4，……各个质点依次振动。已知相邻编号的质点间距离为1cm，t=0时，质点1开始向上运动；t=0.2s时，质点1到达上方最大位移处，质点5开始向上运动。下列说法正确的是（　　） A．这列波的波长为4cm B．这列波传播的速度为0.25m/s C．t=0.4s时，质点9开始振动 D．t=0.8s时，质点17向下运动 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）下列关于机械振动和机械波的说法正确的是（　　） A．有机械波必有机械振动，有机械振动必有机械波 B．在干涉图样中，振动加强区域的质点的位移一定大于振动减弱区域质点的位移 C．机械振动的物体在振动过程经过平衡位置时的合力为零 D．“未见其人，先闻其声”的现象，说明声波比光波更易发生明显衍射 3．（24-25高二下·辽宁·期末）某同学用手指以频率触动水面点形成水波。以波源点为坐标原点建立坐标系，某时刻形成的波形如图所示，图中、已知，下列说法正确的是（　　） A．点的横坐标为 B．此刻点运动方向沿轴正方向 C．该水波传播的速度为 D．图中点在之后的时间内运动的路程为 4．（24-25高二上·河南驻马店·期末）一重型货车通过某大桥，在与对向车辆会车时，双方鸣笛示意，有关上述场景，下列说法正确的是（   ） A．不同频率的声波在空气中相遇时不会叠加 B．高频声波和低频声波相遇时能发生干涉现象 C．相同条件下，频率低的声波比频率高的声波更容易发生衍射现象 D．重型货车通过某大桥时引起大桥的抖动，这一定是共振现象 5．（24-25高二下·广东江门·期末）飞力士棒是物理治疗师发明的一种物理康复器材。标准型飞力士棒中间的握柄和两端负重头用一根PVC软杆连接，棒的固有频率为4.5Hz，如图所示，可以使用双手对飞力士棒进行驱动，忽略空气阻力，则下列关于飞力士棒的认识正确的是（    ） A．使用者用力越大棒振动越快 B．若只将PVC杆增长，棒的固有频率不变 C．该棒振动的频率一定等于4.5Hz，与驱动力的频率无关 D．随着手振动的频率越接近固有频率，棒振动的幅度一定变大 6．（24-25高二下·安徽亳州·期末）光滑水平地面上，轻质弹簧一端固定在墙上，另一端与物块P连接，以弹簧原长位置为坐标原点，水平向右为正方向。从图甲所示位置开始计时，P的加速度随时间变化关系图像如图乙所示，则P的速度、位移、回复力随时间变化图像可能正确的是（　　） A．B．C． D． 7．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图所示，在一块正方形金属薄板上均匀地撒上一层食盐，薄板的一边与一个频率可调的振动源相连。当振动源开始振动一段时间后，金属板上的盐粒会排列成美丽的几何图形，振动源的频率不同，金属板上的几何图形也不同，这就是著名的克拉尼图形。其原理是振动波从金属板的一个边向其它边传播，又被其它边反射回来，正向传播的振动波与反射回来的反射波相遇，导致金属薄板上有的地方振动加强，有的地方振动减弱，盐粒有规律地排布而形成了美丽的克拉尼图形，关于克拉尼图形下列说法正确的是（　　） A．克拉尼图形的成因是波的衍射 B．克拉尼图形的成因是波的叠加 C．图中盐粒排布的位置在金属薄板振动的加强区附近 D．图中盐粒排布的位置在金属薄板振动的减弱区附近 8．（多选）（24-25高一下·四川广安·期末）在天花板上固定一条不可伸长的细线，细线下端挂一个金属小球，这样就制成了一个单摆。现把小球拉起一个角度（小于5°）由静止释放（保持细线伸直），小球在竖直面内做简谐运动，其振动图像如图所示。计算中取g=10m/s2，，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为100cm B．单摆的摆长为400cm C．小球释放时细线与竖直方向的夹角为2.4° D．小球释放时细线与竖直方向的夹角为4.8° 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，两列频率、振幅均相同的波在同一直线上沿相反方向传播时会因叠加而形成驻波，驻波上有些点始终不振动，称为波节。弦乐器就是因为在弦线上产生驻波而发声的，则当弦线上形成驻波时，弦线的长度应满足（　　） A．波长的整数倍 B．波长的奇数倍 C．半波长的偶数倍 D．半波长的整数倍 2．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）如图甲所示，在平面内有两个沿y轴方向做简谐运动的点波源和分别位于和处，某时刻波源在x轴上产生的波形图如图乙所示，波源的振动图像如图丙所示，由两波源所产生的简谐波波速均为，质点a、b、p的平衡位置分别位于、、处。已知在时，两波源均在平衡位置且振动方向相同，下列说法正确的是（　　） A．波源的振动频率大于波源 B．质点a的振幅为 C．当时，质点P振动到波谷位置 D．在内，质点b运动的总路程是 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）杭州第19届亚运会艺术体操个人全能资格赛暨个人团体决赛在黄龙体育中心体育馆举行。中国队以总分313.400获团体铜牌。下图为中国队选手赵樾进行带操比赛。某段过程中彩带的运动可简化为沿轴方向传播的简谐横波，时的波形图如图甲所示，质点的振动图像如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．简谐波沿轴负方向传播 B．简谐波的传播速度为2m/s C．质点的振动方程为 D．到的时间内点的路程大于10cm 4．（24-25高二下·北京石景山·期末）如图是以质点P为波源的机械波在绳上刚传到质点Q时的波形。下列说法正确的是（　　） A．Q点即将开始向上振动 B．当波传到Q点时，P点恰好振动了1个周期 C．若P点停止振动，绳上的波会立即消失 D．P点从平衡位置刚开始振动时，运动方向向下 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动，以平衡位置O为原点建立x轴，规定竖直向下为正方向。从弹簧原长位置由静止释放振子并开始计时，则关于振子的速度v、回复力F与时间t之间的关系图像，及回复力F、弹性势能Ep与相对平衡位置的位移x的关系图像，其中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在平面内，两波源分别置于A、B两点。时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于平面。频率均为。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿方向传播，波速均为。下列说法正确的是（　　） A．两横波的波长均为 B．时，C处质点加速度不为0 C．时，C处质点速度不为0 D．时，C处质点速度不为0 7．（多选）（24-25高二下·河北邯郸·期末）波源O垂直于纸面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中沿纸面向四周传播，该简谐波在时的俯视图如图甲所示，取垂直纸面向外为正方向，实线圆表示波峰，虚线圆表示波谷，相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆，介质中某质点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该波的波长为6cm B．该波的传播速度为0.6m/s C．图乙可能是质点D的振动图像 D．图甲中质点D在该时刻的速度方向垂直纸面向里 8．（24-25高二下·吉林白山·期末）某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______（填字母）。 A．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的 (2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“40”时，秒表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为 。 (3)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆线长L的数值后，画出T2−L图像如图乙所示，测得此图像斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g= 。 (4)T2−L图像不过坐标原点的原因是 。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）如图甲为一列简谐横波在时刻的波形图，P是平衡位置为处的质点，Q是平衡位置为处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（　　） A．时，质点P的运动方向沿y轴正方向 B．时，质点P的加速度比质点Q的加速度大 C．从到，该波沿x轴正方向传播了6m D．从到，质点P通过的路程为 2．（多选）（24-25高二下·福建南平·期末）如图甲，水袖舞是中国京剧的特技之一，它融合了戏曲和舞蹈的元素，别具美感。某次演出中水袖的运动可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，时的波动图像如图乙所示，质点的振动图像如图丙所示。则（　　） A．该简谐横波沿轴负方向传播 B．该简谐横波传播速度大小为 C．再经过，到达平衡位置 D．再经过的位移大小为 3．（多选）（24-25高二下·山东济南·期末）如图所示，轴上位于-5m、5m处各有一个波源、，可分别形成沿轴方向传播的简谐横波。时刻，两波源同时开始振动，波源的振动方程为，波源的振动方程为，两列波的波速均为，点的坐标为，下列说法正确的是（　　） A．两列波发生干涉后，原点为振动加强点 B．内点运动的路程为 C．、之间振动减弱点的个数为个 D．、之间振幅为的点的坐标为，其中的取值为 4．（多选）（24-25高二下·河北邢台·期末）如图所示，甲、乙为用频闪照相机连续拍摄的两张在x轴上0~6m区间段简谐波的照片。已知波沿x轴传播，甲照片是在时拍摄的，乙照片是在时拍摄的，波的周期大于，由照片可知（　　） A．该波的波长为4m B．该波的周期可能为1s C．该波的频率可能为2Hz D．该波可能以9m/s的波速沿x轴负方向传播 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长，再用游标卡尺测得摆球的直径为（读数如图2所示）。从图2可知，摆球的直径为 。 (2)将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，准备测量磁感应强度的变化。将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示。由图3可知，单摆的周期为 。 (3)经测量得到6组不同的摆长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取、两个点，坐标如图4所示。则当地重力加速度的表达式 。图4中图像不过原点的原因是 。 A．计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径 B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径 C． 所选小球的密度过大 D．没有在最低点开始计时 (4)另一同学只通过一次实验测量出重力加速度，但由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在水平面内做圆周运动，如图5所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比 。 A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 6．（24-25高二下·辽宁大连·期末）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AB上做往复运动，可视为简谐运动。t=0时刻将质量m=0.05kg的小球从A点由静止释放，图乙为圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线。根据题中所给信息（g取10m/s2），求： (1)小球简谐运动的周期T和圆弧轨道的半径R； (2)小球运动到平衡位置时的速度；（结果可用根号表示） (3)图乙中轨道支持力的最小值。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $