精品解析：河南省新乡市延津县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度八年级综合素养评估（三） 数学 上册第十三~十七章 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，5 C. 3，5，6 D. 4，5，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键．依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），判断每组线段是否满足该条件． 【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之和大于第三边 ∴对于A：，不满足； 对于B：，不满足； 对于C：，，，满足； 对于D：，不满足． 故选：C． 2. 近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．下列新能源汽车车标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 因式分解，则代数式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式因式分解，正确运用平方差公式将多项式分解是解题的关键． 将用平方差公式分解得，由等式性质两边除以即可得出． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误； 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 5. 已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的结构特征判断m的值即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 6. 已知，则的值为（） A. 6 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式将两边平方，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特征是解题的关键． 7. 明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 8. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于底为，高为的梯形的面积，由此即可得． 【详解】解：根据题意可知，图①剩余部分的面积为：， 图②拼成的梯形的底为，高为， ∴剩余部分的面积为， 故． 故选：D． 9. 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用，将不同指数的幂转化为相同指数的幂，再通过比较底数大小判断幂的大小是解题的关键． 仿照题干中的方法，将指数化为相同后比较底数即可． 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 10. 如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；……按此规律继续下去，可得到，则其面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作，交延长线于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得， 依此类推：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解并将已知条件整体代入是解题的关键．先对代数式因式分解，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是__________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．利用三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角尺角度的特殊性可知，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：14． 15. 如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以每秒的速度移动，过点E作的垂线，交直线于点F，当点E运动________秒时，． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 根据题意分情况讨论： 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：2或6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解和整式的化简，准确的计算是解决本题的关键． （1）先算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后运用完全平方公式求解即可； （2）利用平方差公式、单项式乘以多项式和完全平方公式计算乘法，再并合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 已知，． （1）求代数式的值． （2）求的值． 【答案】（1）10 （2）200 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和运用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：，， ． 【小问2详解】 解：，， ． 18. 8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． （2）若，，求板模型的总面积． 【答案】（1） （2）87 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【小问1详解】 解：板模型的总面积为： ； 【小问2详解】 解：当，时， 板的总面积为： ． 19. 如图，中，． （1）请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，依题意，AE=AB，DE=DB ∴ 又． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）以为圆心为半径作弧，交于点，作的垂直平分线，交于点； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角以及三角形的外角的性质推出，进而可得，根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋CD；(2)∠ECD＝60°. 【答案】 (1)证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝EC.∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD， ∴CE＝BD＝AC＋CD. (2)证明：由(1)知△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°， ∴∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°. 【解析】 【分析】（1）根据△ABC、△ADE都是等边三角形，得到AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，推出∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD=EC，即可推出答案； （2）由（1）知：△BAD≌△CAE，根据平角的意义即可求出∠ECD的度数． 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平角的定义等知识点，解此题的关键是根据等边三角形的性质证出△BAD≌△CAE和∠ACE=∠ABD． 21. 小红在翻阅数学资料时，看到下列阅读材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据上述阅读材料，解决下列问题． （1）因式分解：． （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式以及整体思想是解此题的关键． （1）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：令，则， 再将还原，得到原式． 【小问2详解】 解：令，则． 再将还原，得到原式． 22. 【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个正整数大4的数与这个正整数的平方差能被8整除． 【验证】 （1）若这个正整数是5，通过计算说明9和5的平方差能被8整除． （2）若设这个正整数为n，试说明比n大4的数与n的平方差能被8整除． 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大8的数与这个整数的平方差能被16整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解是解题的关键． （1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1），， 和5的平方差能被8整除． （2）， 比n大4的数与n的平方差能被8整除． （3）设这个数为m，比m大8的数为， 则， 比任意一个整数大8的数与这个整数的平方差能被16整除． 23. 【探索发现】 手工课上，老师准备了如图1所示的一个长为4b、宽为a（）的长方形绸布，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形绸布，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________．（用含a，b的代数式表示）． （2）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：________________． 【解决问题】 （3）若，，且，则________． 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展社团活动招新，如图3，于点O，，．在和区域内展示社团作品，在和区域内分别是咨询台和休息区．经测量，社团作品区域的面积总和为80平方米，米，求咨询台和休息区的面积之和． 【答案】（1）；（2）（写法不唯一）；（3）5；（4）咨询台和休息区的面积之和为120平方米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （3）利用（2）所得的等量关系解得即可； （4）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； （2）大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 长方形的面积为， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （3）由（2）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； （4）设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵社团作品区域的面积和为80平方米， ∴， ∴， ∴， ∴咨询台和休息区的面积和为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级综合素养评估（三） 数学 上册第十三~十七章 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，5 C. 3，5，6 D. 4，5，9 2. 近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．下列新能源汽车车标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 因式分解，则代数式等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 已知，则的值为（） A. 6 B. 7 C. 9 D. 11 7. 明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 13 8. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 9. 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 10. 如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；……按此规律继续下去，可得到，则其面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 已知，，则的值为________． 13. 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是__________． 14. 如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以每秒的速度移动，过点E作的垂线，交直线于点F，当点E运动________秒时，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：． （2）化简：． 17. 已知，． （1）求代数式的值． （2）求的值． 18. 8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． （2）若，，求板模型的总面积． 19. 如图，中，． （1）请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的基础上，求证：． 20. 如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋CD；(2)∠ECD＝60°. 21. 小红在翻阅数学资料时，看到下列阅读材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据上述阅读材料，解决下列问题． （1）因式分解：． （2）因式分解：． 22. 【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个正整数大4的数与这个正整数的平方差能被8整除． 【验证】 （1）若这个正整数是5，通过计算说明9和5的平方差能被8整除． （2）若设这个正整数为n，试说明比n大4的数与n的平方差能被8整除． 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大8的数与这个整数的平方差能被16整除． 23. 【探索发现】 手工课上，老师准备了如图1所示的一个长为4b、宽为a（）的长方形绸布，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形绸布，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________．（用含a，b的代数式表示）． （2）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：________________． 【解决问题】 （3）若，，且，则________． 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展社团活动招新，如图3，于点O，，．在和区域内展示社团作品，在和区域内分别是咨询台和休息区．经测量，社团作品区域的面积总和为80平方米，米，求咨询台和休息区的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $