第3章 一次方程与方程组 知识清单2025-2026学年沪科版数学七年级上册

该初中数学知识清单全面梳理“一次方程与方程组”全章内容，涵盖方程与方程组的概念、解法及实际应用三大范畴，搭建从“概念定义”到“解法步骤”再到“实际问题建模”的递进式学习架构。 清单采用“知识要点+关键提醒+例题解析”三级体系，用表格归纳解一元一次方程五步及变形依据，分类呈现7类实际问题，培养数学思维与数学语言。如“等式性质2”标注“除数不为0”提醒，“移项”强调“变号”规则，学生可分层掌握，教师能精准设计教学，提升实效。

第3章 一次方程与方程组 知识清单2025-2026学年沪科版数学七年级上册 一次方程知识要点梳理 一 从算式到方程 1. 方程 含有未知数的等式叫作方程 知识拓展 方程与等式的区别和联系：方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。简单来说：方程是特殊的等式。 2. 一元一次方程 只含有一个未知数（未知数称为“元”），并且未知数的次数都是1的方程叫作一元一次方程. 例3.1 若 是关于 的一元一次方程，则 解析 由一元一次方程的定义得 且 ，解得 答案 -1 3. 解方程与方程的解 解方程就是求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，这个值就是方程的解.只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根. 关键提醒 要检验一个数是不是方程的解，只需将这个数代入方程的左右两边，分别计算结果，如果左、右相等，则这个数就是此方程的解；如果左、右不相等，则这个数就不是此方程的解. 例3.2 已知3是关于 的方程 的解，则 的值是（ ）. A. -5 B. 5 C. 7 D. 2 解析 将 代入方程得 ，所以 答案B 4. 等式的基本性质 等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.即如果 ，那么 等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.即如果 ，那么 ；如果 ，那么 . 关键提醒 (1)用等式的性质2时，应特别注意等式两边不能同时除以0，因为0不能做除数或分母.等式的性质是解方程的依据，务必掌握. (2)等式除了具有上述两条性质外，还具有以下两条常用的性质： ① 对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 ② 传递性：如果 ，那么 （等量代换）. 二 解一元一次方程 1. 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项 2. 一元一次方程的解法 通过方程变形把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简形式 ，然后，根据等式的性质2，方程两边都除以未知数的系数 ，即得方程的解 解一元一次方程的一般步骤见表3-1. 表3-1 变形名称 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘以各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其余各项都移到方程的另一边(牢记移项变号) 等式性质1 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a 等式性质2 关键提醒 (1)上述五个解方程的步骤不一定全用到，要根据方程的具体情况选择适当的步骤来解题. （2）对于求解的结果，一定要检验是否正确 例3.3 解方程： 解 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 三 实际问题与一元一次方程 1. 列方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 1. 设：设未知数，设未知数可直接设，即求什么设什么，也可以间接设. （3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系 (4)列：根据这个等量关系列出方程 (5)解：解所列出的方程，求出未知数的值 （6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案 2. 常见的应用问题 (1)商品的营销问题. 在商品买卖中经常涉及商品的利润、利润率、进价、售价、打折等问题，在解决此类问题时，我们常依据下列几个关系式： ① 商品利润 商品售价一商品进价 商品利润 ② 商品进价 商品利润率 ③标价 进价 （1+利润率） ④ 实际售价 标价 打折率 例3.4 某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利 ，则这种商品每件的进价为（ ）. A.200元 B.240元 C. 250 元 D. 300 元 分析 设这种商品每件的进价为 元，由题意得， 解得 ，即每件商品的进价为240元. 答案B （2）等积变形问题.此类问题常见的有以下几种类型： 形状发生了变化，而体积没变，此时的等量关系为变化前后的体积相等. 形状、面积发生了变化，而周长没变，此时的等量关系为变化前后的周长相等. 形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系. 图3-1 例3.5 如图3-1所示，一个长方体容器里装 有果汁，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，用果汁将旁边 的圆柱体玻璃杯倒满. 已知杯子的内径为 , 高为 , 这时长方体容器内的果汁高度是多少? ( 取 3.14, 结果精确到 ). 解析 求出圆柱的体积，圆柱的体积即为长方体内果汁的体积，从而求出长方体容器内的果汁高度. 解 圆柱的体积为 ，设长方体内果汁的高度为 ，则 ，解得： 答：这时长方体容器内的果汁高度是 （3）比例分配问题.此类问题的一般思路为：设其中的一份为 ，利用已知的比，写出相应的代数式.常用等量关系：各部分之和 总量 例3.6 三个正整数的比为 ，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？ 解析 根据比例关系设这三个数分别为 ，再根据等量关系列式. 解 设这三个数为 则 ，解得 所以三个数为12，24，48 答：这三个数中最大的数是48. （4）数字问题. 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 ，十位数字是 ，个位数字为 ，则这个三位数可以表示为： . 例3.7 一个两位数，数字之和为11，如果原数加45得到的数和原数的两个数字交换位置后得到的数恰好相等，求原两位数。 解析 设原两位数的十位上的数字是 ，则个位上的数为 ，根据题中信息可得出方程，解出即可. 解设原两位数的十位上的数字是 ，则个位上的数为 根据题意，得 解得 .所以 ，即原两位数是38.答：原两位数为38. （5）行程问题.在行程问题中一般有三种情况： 相遇问题，其相等关 系为：甲走的路程 乙走的路程 两地间的距离.②追及问题，其相等关系为：（快行速度一慢行速度） 追及时间 原相距距离.③航行问题，其相等关系为：顺流速度 船在静水中的速度 水流速度；逆流速度 船在静水中的速度一水流速度；顺流速度一逆流速度 水流速度的2倍. 例3.8甲、乙两人相距 ，甲先出发1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是 ，乙的速度是 ，甲出发几小时后追上乙？ 解析 根据题意找到等量关系：甲走的路程一乙走的路程 两人原来的距离如果设甲出发 后追上乙，则乙运动的时间为 ，所以甲走的路程为 ，乙走的路程为 ，示意图如图3-2所示。 图3-2 解 设甲出发 后追上乙，由题意，得 ，解得 答：甲出发 后追上乙 （6）工程问题.此类问题要搞清楚： 基本量、基本数量关系：工作量、工作效率、工作时间，把全部工作量看作1，工作量 工作效率 工作时间. 寻找思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系. 例3.9整理一批图书，如果由一个人单独做要花60h.现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？ 解析 根据等量关系：所求人数 的工作量 所有人 的工作量 ，列 方程，把相关数值代入即可求解 解 设先安排整理的人员有 人，依题意得 ，解得 . 答：先安排整理的人员有10人. （7）图表信息类问题.解答这类问题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息，结合所学知识，运用数学手段加以解决. 例3.10 某小区便利店老板到厂家购进A、B两种香油共140瓶，花去了1000元.其进价和售价见表3-2. 表3-2 香油种类 进价/(元/瓶) 售价/(元/瓶) A种香油 6.5 8 B种香油 8 10 （1）该店购进A、B两种香油各多少瓶？ (2)将购进的140瓶香油全部销售完，可获利多少元？ 解析 (1) 由表3-2可知，买A、B两种香油共140瓶，花去了1000元，据此列出等式即可得出答案. (2) 根据图表得出每瓶的利润即可得出总的获利. 解（1)设购进A种香油 瓶，则购进B种香油 瓶， 根据题意，得 ，解得 所以 答：购进A、B两种香油分别为80瓶、60瓶 （2）由题意得 （元） 答：购进的140瓶香油全部销售完，可获利240元. 方程组知识要点梳理 一 二元一次方程组 1. 二元一次方程 (1)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫二元一次方程. (2)一般形式： 关键提醒 二元一次方程需满足以下4个条件：①是方程；②含有2个未知数；③含未知数的式子是整式；④含未知数的项的最高次数是1. (3)二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 关键提醒 ① 任何一个二元一次方程的解都由两个未知数的值组成. ② 任何一个二元一次方程的解都有无数组，所以二元一次方程也叫不定方程. 2. 二元一次方程组 (1)二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 关键提醒 检验一组 的值是不是二元一次方程组的解，必须将 的值分别代入方程组中的两个方程一一验证，缺一不可. 例8.1 若 是关于 的二元一次方程 的解，则 的值为（ ）. A. -5 B. -1 C. 2 D. 7 解析 将 代入 得 . 答案D 消元法——二元一次方程组的解法 1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 （1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. (2) 将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)解这个一元一次方程，求出 （或 ）的值 (4)将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. (5)把求得的 的值用“{}”联立起来，就是方程组的解 例8.2 解二元一次方程组： 解 ，把式 代入式 得 ，解得 2.把 代入式 可得 ，解得 .所以此二元一次方程组的解为 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数互为相反数或相等. (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)解这个一元一次方程 （4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中（技巧：选择系数较简单的方程计算），求出另一个未知数，从而得到方程组的解. (5) 把求得的 的值“{}”联立起来，就是方程组的解. 例8.3 解方程组： 解 方程组整理得 ①，式②一式①得 ，即 ，将 代入式①得 则方程组的解为 三 实际问题与二元一次方程组 列方程组解应用题的步骤 (1)审题.弄清题目中所给出的相等关系及已知量、未知量 （2）设好未知数.其方法通常有两种： 设直接未知数. 设间接未知数，并用含未知数的代数式表示涉及的量. (3)找出能够包含未知数的等量关系，一般情况下，设几个未知数，就需找几个等量关系. (4)列方程组：根据给定的相等关系建立方程组， (5)解方程组. (6)检验并作答：所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义，并写清单位名称或符号. 例8.4 为观看世界杯足球赛，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票 每张550元，淘汰赛球票每张700元，小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？ 解设小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各 张， 张， 由题意得 解得 答：小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各8张、2张 四 三元一次方程组的解法 1. 三元一次方程组 含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 2. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)把方程组里的一个方程分别与另外两个方程组成两组，用代入法或加减法消去这两组中的同一个未知数，得到一个含有另外两个未知数的二元一次方程组. (2)解这个二元一次方程组 (3)将所求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求得第三个未知数的解，从而求出方程组的解. 例8.5 解方程组： 解析 解三元一次方程组的基本思想是“消元”，先化“三元”为“二元”，比如方程组中只有式 中含有 ，可由式 消去 后，再与式 联立成一个含 的二元一次方程组. 解 式 式 ，得 ④ 式 与式 组成方程组 解这个方程组，得 把 代入式 ，得 所以 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $