专题13 动点问题与方程的应用（5大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学复习讲义通过梳理核心概念、拆解解题步骤、归纳易错点构建动点问题知识体系，用框架图呈现距离公式、中点公式及动点位置表示方法，以分步流程图展示“化动为静”解题逻辑，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于5大题型分类设计，涵盖相遇与距离、中点相关等问题，每个题型配典例及分层练习，如“数轴双动点相遇”培养模型意识，“新定义‘巧点’”发展创新意识，助力不同学生掌握方法，为教师精准教学提供系统支持。

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题13动点问题与方程的应用（5大基本题型) 专题概览 题型1：数轴上的动点相遇与距离问题 题型2：中点相关动点问题 题型3：往返运动与路程问题 题型4：线段倍分与定值问题 题型5：新定义与存在性问题 核心知识点总结 一、核心概念与基础公式 动点问题的解决依赖以下数轴基本概念，需熟练掌握： 1.数轴上两点间的距离：若数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,则A与B之间的距离为： AB=a-b。这一公式的本质是“右边点的数减去左边点的数”，绝对值保证距离非负 2.数轴上两点的中点：数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,则线段AB的中点M表示的数为： M=a+b 2 3.动点的位置表示：动点在数轴上的位置随时间变化，需用含时间t的代数式表示：若动点从初始位置 S,出发，向右运动（速度v,单位：单位/秒)，则t秒后位置为：S。+vt;若向左运动，则t秒后位置 为：S。-vt 二、动点问题的解题步骤 解决动点问题的核心逻辑是“化动为静”，即通过时间t将动点位置转化为代数式，再结合问题条件列 方程求解。具体步骤如下： 1.明确己知条件，确定数轴上的固定点及其表示的数：明确动点的初始位置、运动方向（向右/向左)、 速度（单位/秒）。 2.设定时间变量：设运动时间为t秒(1≥0)，用于表示动点的位置。 3.表示动点位置：用含t的代数式写出所有动点在t秒后的位置： 4. 根据问题列方程：根据题目要求（如相遇、距离、中点），结合距离公式或中点公式列方程： 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 相遇问题：两动点位置相等（相向运动时，路程和等于初始距离）； 距离问题：两动点位置差的绝对值等于给定距离： 中点问题：动点位置等于另两点位置的平均值； 5.解方程并验证：解出t后，需验证时间合理性（1≥0，且未超过动点的运动范围，如到达端点后停止)： 代入原方程，确认结果是否符合题目条件。 三、常见易错点 动点问题中，学生易犯以下错误，需特别注意： 1.忽略绝对值的非负性：距离是非负数，列方程时需用绝对值表示，避免漏解。 2.未考虑时间范围：动点可能到达端点后停止，需验证t是否在合理范围内。 3. 中点或相遇点计算错误：中点公式记错（应为M=+b)相遇时位置相等（相向运动），而非路程差 2 等于初始距离（追及运动)。 4.运动方向混淆：向左运动时，位置应减速度×时间；向右运动时，加速度×时间，避免符号错误。 题型归纳 【题型1】数轴上的动点相遇与距离问题 此类问题以数轴为载体，涉及单动点、双动点或多动点的运动，核心是利用“速度×时间=路程” 的关系，结合数轴上点的位置表示（含t的代数式），通过绝对值方程解决相遇、追及或距离定值问题。 1.相遇问题：两动点相向运动，总路程为初始距离，如“点P从A出发向右运动，点Q从B出发向 左运动，何时相遇”。 2.追及问题：两动点同向运动，速度快的追上速度慢的，如“点P从A出发向右运动（速度y), 点Q从B出发向右运动（速度y2,y>%)，何时追上”。 3. 距离定值问题：运动过程中两动点或动点与定点的距离保持不变，如“点P、Q运动时，PQ=10, 求t的值”。 【题型2】中点相关动点问题 此类问题围绕线段中点的性质（中点坐标为两端点坐标的平均值），结合动点运动，通过方程求解 中点位置或运动时间。 核心公式：若M是PQ的中点，则M的坐标为M=P+: 2 1.动点为中点：如“点P是MQ的中点，求t”; 2.定点为中点：如“M是AB的中点，动点P、Q运动时，求PM或QM的长度”。 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【题型3】往返运动与路程问题 此类问题涉及动点到达端点后折返的运动，核心是明确“往返阶段的速度方向变化”，通过分段讨 论或总路程=速度×总时间解决。 关键：确定动点折返的时间点（如到达端点的时间），分阶段表示动点位置； 1.单动点往返：如“点P从A向右运动到B后折返，求何时回到A”; 2.多动点往返：如“点P、Q往返运动，求相遇时的总路程”。 【题型4】线段倍分与定值问题 此类问题聚焦线段长度的比例关系（如1：2、2：3）或运动过程中不变的量（如线段长度、比值)， 通过方程证明“定值”或求解比例系数。 1.线段倍分：如“点C在线段AB上，AC:CB=1:2,动点P运动时，求PC的长度”； 2. 定值问题：如“动点P、Q运动时，N(M、N为中点)的长度不变”。 【题型5】新定义与存在性问题 此类问题通过题目自定义概念（如“巧点”“幸福点”），要求结合定义列方程求解，或判断“是 否存在满足条件的点”。 核心：准确理解定义的数学含义，将其转化为方程或不等式： 1.新定义：“点C是AB的巧点，若AB=12,求AC”; 2. 存在性：“是否存在t,使P是AQ的巧点”。 配套练习 【题型1】数轴上的动点相遇与距离问题 【典例1】已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且满足(m-11)2+(n+4)=0. (1)mn=_1=_; (2)若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位 长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？ (3)若点A、B为线段M、N上的两点，且NA=AB=BM,点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速 度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个 单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k,使得PQ-kAR的值与它们的运动时间 无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由 【练习1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A,B两点间的距离为 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 10. 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(t>0)秒. ←—9 B 0←—PA 0 6 (1)数轴上点B表示的数是 ,点P表示的数是 (用含t的式子表示)： (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发.求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【练习2】若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复 到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴， 如图，已知一魔幻数轴上有A,O,B三点，其中A,0对应的数分别为-10,0，AB为47个单位长 度，P,Q分别从A,O两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，P的速度为3个单位/秒，Q的速度 为1个单位/秒，设运动时间为t秒，P到达点B后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当P回到 点A时，P、Q同时停止运动. A O B -100 (1)点B对应的数为 ,P出发 秒后追上Q(即第一次相遇)； (2)当P到达点B立即返回后第二次与Q相遇时，t=，相遇点在数轴上表示的数是； (3)P,Q运动过程中是否存在某段时间内3PQ+4BP为定值？若能，求出该定值并写出对应的t的取值 范围，若不能，请说明理由。 【练习3】已知有理数Q、b、C在数轴上对应的点分别为A、B、C,其中b是最小的正整数的5倍， a、c满足a+10+(c-25)=0 (1)填空：a=_,b=_，C=_ (2)现将点A、B分别以每秒4个、1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t,求： ①当点A运动多少秒时，点A与点B相遇？ ②当点A运动多少秒时，点A与点B间的距离为6个单位长度？ (3)现将点A、B、C分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间 为t秒.是否存在常数m,n,使得mAC+nAB的值不随t的改变而改变？若存在，求出m,的关系； 若不存在，请说明理由. 【题型2】中点相关动点问题 【典例1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴 场学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 我们发现了很多规律：若数轴上点A,点B表示的数分别为Q,b,则A,B两点之间的距离AB=a-b ，线段AB的中点表示的数为+也 2 -2-101234561 【问题情境】己知，在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、C,已知a是单项式-x2y的系数，b 、c分别是多项式2x3y2+1的次数和常数项. 【综合运用】 (1)填空：BC= ,线段AB的中点表示的数 (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，若P点到A、 B、C之间的距离和等于19，则t=--; (3)动点M、N分别从点B、C同时出发沿数轴向右运动，点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速 度为每秒2个单位长度，求运动几秒后，点N可以追上点M? (4)P为数轴上一动点，若D为AP中点，E为BP中点，F为PC中点，点P的运动过程中，线段 DE+EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出DE+EF的长， 【练习1】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴时，我们发现 有许多重要的规律：例如，若数轴上点A、B表示的数分别为、b,则A、B两点之间的距离记作： B=口-，线段AB的中点M表示的数记作：Q,b .如图1，数轴上点A、B、C分别表示-2、1、 12. -21 图1 OND B 图2 A 备用图 【基础应用】 (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，线段AC中点表示的数为 ,此时与点B重合的点所 表示的数为 【拓展应用】 (2)若点P、Q分别从B、C同时出发，相向而行，其中Q点的速度为每秒4个单位长度，P点的速度 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 为每秒1个单位长度， ①设运动时间为t,请直接写出点P、Q在数轴上表示的数（用含t的代数式表示） P: ，0: ②若AP中点为M,则当MQ=3时运动时间t的值为 【变式迁移】 (3)如图2，若点N为线段OB上一点，AB=16,0N=2,当点C,D分别运动到AO,BN的中点时， 则CD的长为 【练习2】问题提出 (1)数轴上，点A、点B表示的数分别为-28，则线段AB的长为，线段AB的中点M表示的数为； 问题探究 (2)如图，直线1上顺次有A、B、C、D四个点，AD=18cm,AB:BC:CD=2:3:4·点M是AB的中 点，点N是CD的中点.若线段AB以每秒6cm的速度沿直线I向右运动，同时，线段CD以每秒2cm的 速度沿直线I向左运动.在运动的过程中，记BC的中点为E,AD的中点为F.设运动时间为t秒. ①求在运动过程中MN=EF时的t值； ②在运动过程中是否存在t,使得AE+BF+CF+DE的值最小？若存在，求出t满足的条件，并求出 AE+BF+CF+DE的最小值；若不存在，说明理由. AMB CN D 【练习3】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数 轴发现：在数轴上，O为原点，点A,B表示的数分别是Q和b,点B在点A的右边（即b>a),则A,B 两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为AB=b-a. 【问题情境】如图1，数轴上点A表示的数a=-6,点B表示的数b=4,线段AB的中点C表示的数为 x,点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点N从点B出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左运动.设运动时间为(t>0)秒， 【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题 A co B -6 0 图1 B -6 0 图2（备用图） (1)填空： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①A,B两点之间的距离AB= ,线段AB的中点C表示的数x= ②t秒后，点M表示的数为 ,点N表示的数为 (用含t的代数式表示) (2)求当t为何值时，点M运动到点C,并求出此时点N所表示的数. (3)若点N向左运动到达点A后，再立即以同样的速度返回点B,点M向右运动到达终点B后，M,N两 点都停止运动.在此运动过程中，当t为何值时，M,N两点间的距离为4？ 【题型3】往返运动与路程问题 【典例1】数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点M、N表示的数分别为m、n,那么：①它们之间的 距离为MN=m-;②它们中点所表示的数为m+” 2 如图所示，数轴上有A,B,C三个点对应的数分 别为a,b,c,其中a=-12,b、c满足b+4+(c-8)2=0. A B O C BO C 备用图 (1)b= (2)若数轴上有两个动点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P速度为4单位长度 /秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到Q点的 距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，另外两个动点E,F分别和P,Q同时出发，且始终保持EP=2,FQ=3(点E在 P的左边，点F在Q的左边)，当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运 动到点A时，线段EP和FO立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段EP和FO重 叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由. 【练习1】【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的 数来计算.如图，在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且满足2a+3=-5,-b-4a=4.动 点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒 的速度沿数轴向负半轴运动. 【问题再现】(1)求A、B两点之间的距离； 【问题推广】(2)经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数： 【拓展提升】(3)设点P运动的时间为t秒(1>0)，若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方 向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当为何值时，点P到原点O的 距离是点Q到原点O距离的2倍。 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【练习2】如图，点C在线段AB上，AC=2cm,AB=6cm.点P以1cms的速度从点A沿线段AB向 点B运动；同时点Q以2cm/s的速度从点B沿线段BA向点A运动，到达A点立即原速返回点B,当点 P运动到点B时，点P、Q都停止运动.设点P运动的时间为(S). APC⑨ 一B (1)当t=1时，求P2的长： (2)用含t的代数式表示AQ的长； (3)当点C为P9中点时，求t的值； (4)若点D是线段AQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使DP的长度保持不变？如果 存在，求出DP的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由 【练习3】如图：数轴上A,B,C三点分别表示的数为-4、4、7，点P表示的数为x. A B 。 -5-4-3-2-1012345678 【阅读材料】：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为a,数轴上表示数a的点与 表示数b的点的距离记a-b(或b-@),数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之 和记为x-a+x-b. (1)填空：BC=;若AB=_; (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的 距离之和为10； (3)若点Q表示的数为y,当y+2+y-4+y-8取最小值时，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度 的速度向C点运动，当到达C点后立即以每秒1个单位长度的速度返回A点，动点N从点C出发，以每 秒1个单位长度的速度向A点运动，当到达A点后立即以每秒2个单位长度的速度返回C点，M、N同 时开始运动，当经过多少秒时，点M、点N之间的距离正好等于点N到点Q、点C的距离之和. 【题型4】线段倍分与定值问题 【典例1】如图，数轴上有两条线段，AB=3,CD=2,点A表示的数是a,点D表示的数是b,且a,b满 足a+12+(b-10)2=0. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB 0 CD (1)点A在数轴上表示的数是 点D在数轴上表示的数是 (2)若线段AB、线段CD分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时 间为1秒，当t为何值时，点A与点D之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段AB、线段CD分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时， 动点P从-25出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动.当P、D相遇时停止运动，在运动过程中 AC+mPD为定值，求出这个定值及m的值 【练习1】已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足m+11+(n-1)2=0. M M W m A B On m A B On 图1 备用图 (1)求m,n的值； (2)①有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B 时，点B所对应的数为，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m.则玩具火车的长为个单 位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当MA:BN=2:1时，求出此时点A所表示 的数； (3)在(2)的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发， 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车AB运动后对应的位置为AB',是否 存在常数k使得2PQ+k·B'A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在， 请说明理由. 【练习2】数轴上A、B两点表示的数分别为a、b,满足a+S+(b-15)2=0,点C为A、B的中点表 示的数为C,己知点P是数轴上一动点，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间 为t(>0). B (1)a=,b=, C=; (2)若点P从A出发2秒后，点Q从B点出发，且以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P运 动到点C后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动.当PQ=10时，求P、Q分别表示的数； (3)动点P从A点出发到B、C中点后立即以每秒4个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从C点出 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，到达B点后立即按原速沿数轴向左运动，动点M也同时从B 点出发沿数轴以每秒，个单位的速度向左运动，当点M运动到B、C中点时，P、Q、M同时停止运 动.设运动的时间为t秒，是否存在k使得kMP+MQ在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由：如 果存在，写出所有满足条件的k,并把其中一个k的求解过程写出来. 【练习3】如图1，在数轴上点M表示的数为m,点N表示的数为n,点M到点N的距离记为MN,即 MN=m-n.如图2，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,a是3的相反数，b是最 大的负整数，c是多项式2x3y2-3x+1的次数. N m 0 n 图1 上上 0 图2 F G -6-5-4-3-2-101234567 图3 (1)a=_,b=_,c=; (2x是数轴上任意一个有理数，则x+3+x-4有最小值是，x+3-x-4有最大值是； (3)如图3，点E,F,G是数轴上的三点，E点表示数是-5，F点表示数是-2，G点表示数是6，点E, F,G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3 个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF,点E 与点G之间的距离表示为EG,，点F与点G之间的距离表示为FG,若mFG-3EF的值是一个定值，请 求出m的值， 【题型5】新定义与存在性问题 【典例1】己知M,N,P是数轴上的三个点，点N对应的数是最小的正整数，点P的位置如图所示. P -5-4-3-2-10123456789 (1)点N所表示的数为 (2)对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系， 则称该点是其他两个点的“联盟点”.若点P是M,N两点的“联盟点”，且点M在点P的左边，求点M表 示的数； 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题13 动点问题与方程的应用（5大基本题型） 题型1：数轴上的动点相遇与距离问题 题型2：中点相关动点问题 题型3：往返运动与路程问题 题型4：线段倍分与定值问题 题型5：新定义与存在性问题 一、核心概念与基础公式 动点问题的解决依赖以下数轴基本概念，需熟练掌握： 1． 数轴上两点间的距离：若数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A与B之间的距离为：。这一公式的本质是“右边点的数减去左边点的数”，绝对值保证距离非负 2． 数轴上两点的中点：数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则线段AB的中点M表示的数为： 3． 动点的位置表示：动点在数轴上的位置随时间变化，需用含时间t的代数式表示：若动点从初始位置出发，向右运动（速度v，单位：单位/秒），则t秒后位置为：；若向左运动，则t秒后位置为： 二、动点问题的解题步骤 解决动点问题的核心逻辑是“化动为静”，即通过时间t将动点位置转化为代数式，再结合问题条件列方程求解。具体步骤如下： 1． 明确已知条件，确定数轴上的固定点及其表示的数：明确动点的初始位置、运动方向（向右/向左）、速度（单位/秒）。 2． 设定时间变量：设运动时间为t秒（），用于表示动点的位置。 3． 表示动点位置：用含t的代数式写出所有动点在t秒后的位置： 4． 根据问题列方程：根据题目要求（如相遇、距离、中点），结合距离公式或中点公式列方程： 相遇问题：两动点位置相等（相向运动时，路程和等于初始距离）； 距离问题：两动点位置差的绝对值等于给定距离； 中点问题：动点位置等于另两点位置的平均值； 5． 解方程并验证：解出t后，需验证时间合理性（，且未超过动点的运动范围，如到达端点后停止）；代入原方程，确认结果是否符合题目条件。 三、常见易错点 动点问题中，学生易犯以下错误，需特别注意： 1． 忽略绝对值的非负性：距离是非负数，列方程时需用绝对值表示，避免漏解。 2． 未考虑时间范围：动点可能到达端点后停止，需验证t是否在合理范围内。 3． 中点或相遇点计算错误：中点公式记错（应为）相遇时位置相等（相向运动），而非路程差等于初始距离（追及运动）。 4． 运动方向混淆：向左运动时，位置应减速度×时间；向右运动时，加速度×时间，避免符号错误。 【题型1】数轴上的动点相遇与距离问题 此类问题以数轴为载体，涉及单动点、双动点或多动点的运动，核心是利用“速度×时间＝路程”的关系，结合数轴上点的位置表示（含t的代数式），通过绝对值方程解决相遇、追及或距离定值问题。 1. 相遇问题：两动点相向运动，总路程为初始距离，如“点P从A出发向右运动，点Q从B出发向左运动，何时相遇”。 2. 追及问题：两动点同向运动，速度快的追上速度慢的，如“点P从A出发向右运动（速度），点Q从B出发向右运动（速度，），何时追上”。 3. 距离定值问题：运动过程中两动点或动点与定点的距离保持不变，如“点P、Q运动时，PQ＝10，求t的值”。 【题型2】中点相关动点问题 此类问题围绕线段中点的性质（中点坐标为两端点坐标的平均值），结合动点运动，通过方程求解中点位置或运动时间。 核心公式：若M是PQ的中点，则M的坐标为； 1. 动点为中点：如“点P是MQ的中点，求t”； 2. 定点为中点：如“M是AB的中点，动点P、Q运动时，求PM或QM的长度”。 【题型3】往返运动与路程问题 此类问题涉及动点到达端点后折返的运动，核心是明确“往返阶段的速度方向变化”，通过分段讨论或总路程＝速度×总时间解决。 关键：确定动点折返的时间点（如到达端点的时间），分阶段表示动点位置； 1. 单动点往返：如“点P从A向右运动到B后折返，求何时回到A”； 2. 多动点往返：如“点P、Q往返运动，求相遇时的总路程”。 【题型4】线段倍分与定值问题 此类问题聚焦线段长度的比例关系（如1:2、2:3）或运动过程中不变的量（如线段长度、比值），通过方程证明“定值”或求解比例系数。 1. 线段倍分：如“点C在线段AB上，AC:CB=1:2，动点P运动时，求PC的长度”； 2. 定值问题：如“动点P、Q运动时，MN（M、N为中点）的长度不变”。 【题型5】新定义与存在性问题 此类问题通过题目自定义概念（如“巧点”“幸福点”），要求结合定义列方程求解，或判断“是否存在满足条件的点”。 核心：准确理解定义的数学含义，将其转化为方程或不等式； 1. 新定义：“点C是AB的巧点，若AB=12，求AC”； 2. 存在性：“是否存在t，使P是AQ的巧点”。 【题型1】数轴上的动点相遇与距离问题 【典例1】已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且满足． (1)_  _； (2)若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？ (3)若点A、B为线段M、N上的两点，且，点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11，； (2)或 (3)时，定值为8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离、绝对值及偶次方的非负性，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出m，n的值； （2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是，根据，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由A，B，M，N四点间的关系可找出点A，B对应的数，当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是，点R对应的数是，利用数轴上两点间的距离公式可得出，的长度，进而可得出，再结合的值与它们的运动时间无关，即可求出结论． 【详解】（1）解： 故答案为：11，； （2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是 依题意得：， 解得：或； （3），为线段上的两点，且， 点对应的数是，点对应的数是 当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是，点R对应的数是 ， ， 当时，与它们的运动时间无关， 解得，此时 当时，与它们的运动时间无关，为定值，该定值为8． 【练习1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，计算求解即可； （2）由题意知，运动过程中，P点表示的数为，Q点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可； 由题意可知，之间的距离为分为：当P不超过Q时，当P超过Q时，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点A表示的数为6， 则 点B在原点左边， 数轴上点B所表示的数为； 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点P运动t秒的长度为， P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； 当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【练习2】若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴． 如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动． (1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）； (2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______； (3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由． 【答案】(1)37；5 (2)13；21 (3)存在，当时，为定值，定值为64 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离，整式加减的应用等，找出相关的量之间的相等关系列方程求解，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据为47个单位长度，设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇），根据相遇时点P的路程比点Q的路程多10，列出方程求解即可； （2）设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为，根据第一次相遇时的对应数字和相遇之后的速度，结合相遇时点P和点Q的路程之和为64，列出方程，求得相遇时间，进一步可求相遇点在数轴上表示的数； （3）根据（1）和（2）的相遇时间，和点P到达点B和回到点A的时间，分情况讨论，分别把每种情况是点P和点Q对应的数的用t表示出来，从而得到和的代数式，进而计算，根据结果是否含有t即可解答． 【详解】（1）解：∵其中，对应的数分别为，，为47个单位长度， ∴点B对应的数为； 设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇）， 由题意得， 解得， 故答案为：37；5． （2）解：由（1）可知，点P和点Q在第5秒的时候第一次相遇， 即第一次相遇时点P和点Q对应的数字为5， ∴第一次相遇的点到点B的距离为， 设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为， ∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒，当到达点立即返回， ∴由题意得， 解得， ∴当到达点立即返回后第二次与相遇时间（秒）， 相遇点表示的数为； 故答案为：13；21． （3）解：①由（1）可知，点P和点Q第一次相遇前，，点B表示的数为37， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ②∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒， ∴第一次相遇到后，点P到点B所用时间为（秒）， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ③由（2）可知，第二次相遇的时间为13秒， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，为定值，定值为64； ④∵第二次相遇点对应的数为21，相遇后点的速度为3个单位／秒，点的速度为1个单位／秒，且当回到点时，、同时停止运动， ∴第二次相遇到后，点P回到点A的时间为（秒）， ∵，即此时点Q还没有运动到点B， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； 综上所述，当时，为定值，定值为64． 【练习3】已知有理数、、在数轴上对应的点分别为、、，其中是最小的正整数的5倍，、满足． (1)填空：_，_，_． (2)现将点、分别以每秒4个、1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为，求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ (3)现将点、、分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．是否存在常数，．使得的值不随的改变而改变？若存在，求出，的关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①秒；②秒或秒； (3)存在；，之间的关系为 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值，由是最小的正整数的5倍，可求出的值； （2）①当运动时间为秒时，点对应的数为点对应的数为根据当点与点相遇时两点对应的数相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据点与点间的距离为个单位长度，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在，当运动时间为秒时，点对应的数为点对应的数为点对应的数为利用数轴上两点间的距离公式，可得出，，将其代入中，可得出结合的值不随的改变而改变，可得出． 【详解】（1）解：， ，， ，． 是最小的正整数的倍， ． 故答案为：，，； （2）①当运动时间为秒时，点对应的数为点对应的数为 根据题意得： 解得：． 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度； （3）存在，当运动时间为秒时，点对应的数为点对应的数为点对应的数为 ，， ． 若的值不随的改变而改变，则， 存在，之间的关系为． 【题型2】中点相关动点问题 【典例1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项． 【综合运用】 (1)填空：，线段的中点表示的数______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于，则___； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)为数轴上一动点，若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)运动秒后，点可以追上点 (4)不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，中点公式，数轴上的动点问题，单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，一元一次方程的应用等； （1）由单项式的系数，多项式的次数、系数的定义得，，，由数轴上两点之间的距离及中点公式，即可求解； （2）由数轴上点的平移得点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，，，根据点到、、之间的距离和等于，列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）设运动秒后，点可以追上点，根据秒后表示的数相同，列方程，即可求解； （4）设的运动后表示的数为，由数轴上中点公式得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项， ，，， ， 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：点表示的数为， ， ， ， ， ， 当时，，解得：（舍去） 当时，，解得：（舍去） 当时，，解得：， 综上所述，， 故答案为：． （3）解：设运动秒后，点可以追上点，由题意得 ， 解得：， 答：运动秒后，点可以追上点； （4）解：不发生变化； 设的运动后表示的数为， 为中点，为中点，为中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ． 【练习1】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离记作：，线段的中点表示的数记作：．如图，数轴上点、、分别表示、、．                           【基础应用】 （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，线段中点表示的数为_______，此时与点重合的点所表示的数为． 【拓展应用】 （2）若点、分别从、同时出发，相向而行，其中点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①设运动时间为，请直接写出点、在数轴上表示的数（用含的代数式表示） ：，：． ②若中点为，则当时运动时间t的值为_______． 【变式迁移】 （3）如图2，若点为线段上一点，，当点，分别运动到的中点时，则的长为_______． 【答案】（1），；（2）①；；②或；（3） 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据中点公式可求； （2）①根据题意直接可得经过t秒、在数轴上表示的数； ②由中点公式求出M表示的数，再由得到，求t值即可； （3）根据题意可得，进而可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：（1）∵、、分别表示、、， ∴线段中点表示的数为， 设此时与点重合的点所表示的数为， 则， 解得， 故答案为：， （2）①由题可知，点从出发向右而行，且点的速度为每秒1个单位长度，经过t秒，点P表示的数为：， 点Q从C出发向左而行，且Q点的速度为每秒4个单位长度，经过t秒，点Q表示的数为：， 故答案为：； ②∵中点为， ∴表示的数为：， ∵， ∴， ∴或. 故的值为或． （3）∵ ∴ 当点，分别运动到的中点时 ∴ ∴ 【练习2】问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为_，线段的中点表示的数为 _； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（）或；最小值，理由见解析． 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 【练习3】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：在数轴上，为原点，点A,B表示的数分别是和，点在点的右边（即），则A,B两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为． 【问题情境】如图1，数轴上点表示的数，点表示的数，线段的中点表示的数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题． (1)填空： ①A，B两点之间的距离________________，线段的中点表示的数____________． ②秒后，点表示的数为________________，点表示的数为____________．（用含的代数式表示） (2)求当为何值时，点运动到点，并求出此时点所表示的数． (3)若点向左运动到达点后，再立即以同样的速度返回点，点向右运动到达终点后，M，N两点都停止运动．在此运动过程中，当为何值时，M，N两点间的距离为4？ 【答案】(1)①；；②； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）①根据数轴上两点间的距离公式求解即可；②根据题意即可列代数式； （2）先求出点运动到点用时，即可求解所表示的数； （3）当点到达点时，此时；当点到达点时，则，解得；M，N两点相遇时，此时．再分类讨论求解． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当点运动到点时，，解得，   此时点所表示的数为； （3）解：当点到达点时，此时； 当点到达点时，则，解得； M，N两点相遇时，此时． 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得； 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得； 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，当或时，M，N两点间的距离为4． 【题型3】往返运动与路程问题 【典例1】数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点表示的数分别为，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为．如图所示，数轴上有三个点对应的数分别为，其中，满足． (1)______，______； (2)若数轴上有两个动点分别从两点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点速度为单位长度/秒，点速度为单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的距离为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，另外两个动点分别和同时出发，且始终保持，（点在的左边，点在的左边），当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回，当点再次运动到点时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的值为或 (3)存在，的值为或或或 【分析】（）利用非负数的性质解答即可求解； （）由题意可得运动秒后，点对应的数为，点对应的数为，即得点对应的数为，再根据题意列出方程即可求解； （）分两种情况：线段向右运动和线段重叠，线段向左运动和线段重叠，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意可得，运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为， ∵到点的距离为， ∴， 解得或， ∴存在的值为或，使得线段的中点到点的距离为； （3）解：存在，理由如下： 由题意可得，向右运动秒，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∵， ∴， 当线段第一次重叠时，若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 当重合时，， 解得， ∴点返回时对应的数为，点返回时对应的数为， 当线段第二次重叠时，若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 综上，在整个运动过程中，存在使两条线段和重叠部分为的一半，的值为或或或． 【练习1】【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足，．动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动． 【问题再现】（1）求A、B两点之间的距离； 【问题推广】（2）经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】（3）设点P运动的时间为t秒（），若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【答案】（1）16；（2）经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度．点Q所表示的数为或；（3）当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， （1）先求出a，b，再根据两点之间的距离得出答案； （2）先表示出点P，Q表示的数，再根据P、Q两点相距4个单位长度得出两个方程，求出解； （3）先分两种情况：当时，当时，可得点Q表示的数，再根据点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍得出方程，再求出解． 【详解】解：（1）根据题意，，解得， 又因为，即， 解得． 所以A、B两点之间的距离为； （2）设运动时间为秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 又因为P、Q两点相距4个单位长度， 所以或， 解得或． 所以经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度． 当时，点Q所表示的数为， 当时，点Q所表示的数为， 所以此时点Q所表示的数为或； （3）根据题意可知，点P表示的数为，且点Q运动到原点O的时间为． 当时，点Q表示的数为， 当时，点Q表示的数为， 又因为点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍， 所以或， 解得或． 综上所述，当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【练习2】如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 【练习3】如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：_；若_； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【答案】(1)， (2)当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为 (3)当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【分析】本题主要考查一元一次方程，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设当经过秒时，动点到点、点的距离之和为，点表示的数为，得到，，根据题意列方程即可求解； （3）当取最小值时，，得到点表示的数为，设经过的时间为秒，再分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，三点分别表示的数为、、， ，， 故答案为：，； （2）设当经过秒时，动点到点、点的距离之和为， ， 点表示的数为， ，， ， 解得或， 当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为； （3）当取最小值时，， 点表示的数为， 设经过的时间为秒， 当到达点时，秒，当返回到点时，秒； 当到达点时，秒，点返回到点时，秒； ①当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意知， 解得或（舍）； ②当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得（舍）； ③当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得或（舍）或（舍）， 综上所述，当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【题型4】线段倍分与定值问题 【典例1】如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 【练习1】已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足． (1)求m，n的值； (2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m．则玩具火车的长为______个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，求出此时点A所表示的数； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①4；②5或 (3)存在，，这个定值是16 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示相关点所表示的数． （1）由绝对值，偶次方的非负性可得答案； （2）①求出，根据当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m，知，即玩具火车的长为4个单位长度； ②设A表示的数为x，则B表示的数为，可得，即可解得答案； （3）求出A表示的数为，B表示的数，根据已知可得，，故，知，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：①， ∵当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m， ∴， ∴玩具火车的长为4单位长度； 故答案为：4； ②设A表示的数为x，则B表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 即或， 解得或； ∴A表示的数为5或； （3）解：存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，理由如下： 由（2）①知A表示的数为，B表示的数， ∵火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动后对应的位置为， ∴表示的数为，表示的数为， ∵点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴P表示的数为，Q表示的数为， ∴，， ∴， 的值与它们的运动时间t无关，则， 解得， 此时， ∴存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是16． 【练习2】数轴上、两点表示的数分别为、，满足，点为、的中点表示的数为，已知点是数轴上一动点，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）． (1)_____，_____，_； (2)若点从出发2秒后，点从点出发，且以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 运动到点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动．当时，求、分别表示的数； (3)动点从点出发到、中点后立即以每秒4个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，到达点后立即按原速沿数轴向左运动，动点也同时从点出发沿数轴以每秒个单位的速度向左运动，当点运动到、中点时，、、同时停止运动．设运动的时间为秒，是否存在使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的，并把其中一个的求解过程写出来． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质即可求出、的值，再由点为、的中点即可求出； （2）由、的运动方向，速度和时间即可求出求、两点在数轴上对应的数，从而得到关于的表达式，再结合即可求出的值，即可求出、表示的数； （3）根据、、的运动方向，速度和时间，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 点为、的中点表示的数为， ， 点表示的数为， ． 故答案为：； （2）解：①当点到达点前， 由题意得，经过秒，对应的数为，对应的数为， ． ， ，解得． 当时，对应的数为4，对应的数为14，符合题意； ②当点到达点后， 点所经过的路程为， ， 对应的数为， 对应的数为， ． ， ，解得． 当时，对应的数为3，对应的数为13，符合题意； 、分别表示的数为或； （3）解：①当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ②当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ③当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ④当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，一元一次方程的应用，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【练习3】如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1)_，_，_； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是_，有最大值是_； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)若的值是一个定值，m的值为 【分析】本题主要考查数轴的特点，两点之间的距离，理解题意，掌握数轴上两点之间距离的计算是关键． （1）根据相反数，最大负整数，多项式的次数的概念计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，结合题意即可求解； （3）根据题意，分别表示出运动后的点表示的数，根据距离的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：∵a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和，且， ∴的最小值为， 当时，， 当时，，且， 当时，， ∴的最大值为7； （3）解：假设t秒，点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，则运动后表示的数为， 点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，则点F运动后表示数为，点G运动后表示数为， ∴， ∴， 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 综上所述，若的值是一个定值，m的值为． 【题型5】新定义与存在性问题 【典例1】已知，，是数轴上的三个点，点对应的数是最小的正整数，点的位置如图所示． (1)点所表示的数为___________． (2)对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”．若点是，两点的“联盟点”，且点在点的左边，求点表示的数； (3)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿相同方向匀速运动，当点与点重合时，求，两点间的距离． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴的相关知识，包括数轴上点所表示的数，两点间的距离以及行程问题中的追及问题． （1）明确最小的正整数是，因为点对应的数是最小的正整数，所以点所表示的数为； （2）首先根据“联盟点”的定义，分两种情况讨论和，由第一问可知点表示的数为，从数轴上可看出点表示的数为，进而求出，两点之间的距离为，当时，可算出的长度，再结合点在点的左边，求出点表示的数，当时，同理可求出点表示的数； （3）当点与点重合时，设运动时间为秒，则点运动的路程为，点运动的路程为，点运动的路程为，列出方程，求解出运动时间即可解答． 【详解】（1）解：因为点对应的数是最小的正整数， 所以点N所表示的数为； （2）根据定义﹐得和两种情况， 由（1）知，，两点之间的距离为， 当时，， 因为点在点的左边， 所以点所表示的数为， 当时，， 因为点在点的左边， 所以点所表示的数为， 综上所述点所表示的数为或； （3）当点与点重合时，设运动时间为秒，则点运动的路程为，点运动的路程为，点运动的路程为， 根据题意，得， 解得， 所以， 所以当点与点重合时，点所表示的数为， 所以，两点间的距离为． 【练习1】对数轴上的点H进行如下操作：先把点H沿数轴向右平移k个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以k，所得数对应的点为，则称点为点H的“k倍位移点” ．例如，当时，若点H表示的数为1，则它的“2倍位移点”对应点表示的数为6． (1)若点A表示的数为，则它的“4倍位移点”对应点表示的数为______； (2)若点B的“4倍位移点” 表示的数是10，则点B表示的数为_______； (3)若点C的“k倍位移点”为点，数轴上点一定在点C的右侧，这种说法一定成立吗？若一定成立请证明；若不一定成立请举出一个反例； (4)已知数轴上点E表示的数为5，点F表示的数为．若点P从点E沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从点F沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动．若在任何一个时刻，点P的“k倍位移点” 与Q两点之间的距离均为定值，请直接写出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)此说法不一定成立；反例见解析 (4) 【分析】本题考查了在数轴上表示数及数轴上动点之间的距离，关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题． （1）根据“4倍位移点”的定义进行解答即可； （2）设B表示的数为x，利用“倍位移点”的定义列出方程即可解决问题； （3）利用“倍位移点”的定义举例说明即可； （4）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“倍位移点”的定义列出，Q的距离，再根据k的取值与t无关即可确定对应的k的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴它的“4倍位移点”对应点表示的数为， 故答案为：； （2）解：设B表示的数为x， 根据题意得，， 解得，， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）解：若点的“倍位移点”为点，数轴上点一定在点的右侧，此说法不一定成立， 比如，当点C对应的数为时，则对应的数为， ∴点在点的左侧， 因此，点的“倍位移点”为点，数轴上点不一定在点的右侧． （4）解：设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∴点的“倍位移点”为， ∴， ∵与两点之间的距离均为定值， ∴， 解得：， ∴． 【练习2】如图1所示，点，在数轴上对应的数分别是，，其中、满足，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)填空：______，______． (2)点运动多少秒后，？ (3)阅读材料并解决问题： 点，是数轴上两点，若点满足（为常数），则称为、的“倍点”，此时，为、的“快乐时间”．例如：当与重合，与重合时，若，则表示3．此时，，，因此，为、的“27倍点”，是、的“快乐时间” 如图2，已知点，在数轴上，点表示的是数为，点表示的数为9．按如下规律操作：将点表示的数加1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将点表示的数加1，对应数轴上得到点；将点表示的数加1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将点表示的数加1，对应数轴上得到点；…，依此规律得到点，，，，…，，，…（为正整数） ①若线段上存在点、的“8倍点”，那么的所有可能值的和为______； ②若点为、的“12倍点”，求此时的“快乐时间”． 【答案】(1)6；10 (2)或 (3)①6；②6或或 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）运动t秒后，点P表示的数为，则可建立方程，解方程即可得到答案； （3）①根据题意可推出表示的数为；表示的数为；根据定义线段上存在一点P满足，设点P表示的数为p，则，解方程可得，则数10一定在线段上，据此可确定满足题意的m的值，再把所有的m的值求和即可； ②根据定义可得，令，根据得到对应的方程，解方程可得t的值；当时， 可证明，，则，即当时，一定不成立，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒后，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，解得； 当时，则，此时不成立； 综上所述，当或时，； （3）解：①由题意得，表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 以此类推可知，表示的数为； 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， …… 以此类推可知，表示的数为； ∵线段上存在点、的“8倍点”， ∴线段上存在一点P满足， 设点P表示的数为p， ∴， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 当时，则，解得（舍去）； 综上所述，， ∴数10一定在线段上， 当时，表示的数为0，表示的数为10，此时满足题意； ∵表示的数为，且m为正整数， ∴， ∴此时， ∴， ∴， ∵， ∴此时符合题意的m的值只能为2和3， 综上所述，符合题意的m的值为1，2，3， ∴m的所有可能值的和为； ②∵点为、的“12倍点”， ∴ 当时，则， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，则， ∴， ∵表示数轴上表示数的点到表示数2的点和到表示数11的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴， ∴此种情况不成立； 当时，， 同理可得当时，有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 当时，则，解得； 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 当时，， ∵m每增加1，的值是原来的2倍，且， ∴随着m的增大时，的值增大， ∴， ∵， ∴同理可知，当点P在线段上，有最小值，最小值为线段的长， ∴当时，， ∴， ∴当时，一定不成立； 综上所述，t的值为6或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数字类的规律探索，非负数的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【练习3】【概念学习】定义：点A，B，M为数轴上的任意三点（点M不与A，B重合），若点M到点A的距离是点M到点B的距离的x倍，则称点M是的“x值点”，记作：．例如，点M表示的数为1，点A表示的数为，点B表示的数为3，此时，，，则点M是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点A，点B表示的数分别是和6； ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____． ②若点F是数轴上的一点，且，则点F所表示的数是________． 【深入思考】 （2）在数轴上，点G表示的数为，点H表示的数为20，从某时刻开始，若点P从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点P的速度为2单位/秒，设运动时间为t秒，当时，请求出t的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点M，N表示的数分别是m，n，且M，N不与A，B重合，点，且，求点的值（用含k的式子表示）．    【答案】（1）①E，②0或；（2）或；（3） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、一元一次方程的几何应用，理解新定义“x值点”是解答的应用． （1）①求出两点之间距离，根据题中新定义再判断即可． ②设点F所表示的数是x，根据得出，求解即可． （2）由题意得出，，根据，得出，列出方程或，求解即可． （3）由题意得出，，根据，得出，结合，化简得出，表示出，，得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵点A，点B表示的数分别是和6，点C，D，E表示的数分别是，，3， ∴，，，故点C不是的2值点； ，，，故点D不是的2值点； ，，，故点E是的2值点； 故答案为：E． ②设点F所表示的数是x， ∵， 则， 解得：或， 故答案为：0或； （2）由题意，，， ∵， ∴， 即或， 解得：或． （3）由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $