精品解析：四川省自贡市富顺县学区联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年度上期定时作业 八年级数学 （满分100分） 一、选择题（共8个小题，每题3分，共24分） 1. 设置三角形支架可以使篮球架变得牢固，这样做所蕴含数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 三角形的不稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 2. 下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（   ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 三角形的三个内角的和等于 B. 三角形任何两边之和大于第三边 C. 任意三角形的三条角平分线交于一点 D. 三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 5. 如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹作射线与相交于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的一个角是，则该等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分） 9 当______时，． 10. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________． 11. 把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 12. 等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 13. 如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有_____种补法． 14. 如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时，______． 三、解答题（共5个小题，每题5分，共25分） 15. 计算： （1）； （2） 16. 如图，在与中，，，与交于点．求证：． 17. 在有理数范围内定义一种新运算，规定． （1）求的值； （2）求的值； 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作出关于x轴对称，并写出坐标________； （2）若轴，且点P的坐标为，求点P的坐标． 19. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，点A，点B关于轴对称． （1）已知，则点B的坐标为______； （2）已知，面积为，求点的坐标． 四、解答题（共3个小题，每题6分，共18分） 20. 如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． （1）如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． （2）如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． （3）如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 21. 如图，，，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求；（用含的式子表示） 22. 已知，若，求的值． 五、解答题（共2个小题，23题7分，24题8分） 23. 如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． （1）求证：； （2）若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上期定时作业 八年级数学 （满分100分） 一、选择题（共8个小题，每题3分，共24分） 1. 设置三角形支架可以使篮球架变得牢固，这样做所蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 三角形的不稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，准确判断是解题的关键． 根据题目表述三角形支架可使得篮球架更牢固可知体现了三角形的稳定性． 【详解】设置三角形支架可以使篮球架变得牢固，这样做所蕴含的数学道理是三角形具有稳定性； 故选． 2. 下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（   ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形． 看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方和同底数幂相乘，按照相关法则逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法不正确是（ ） A. 三角形三个内角的和等于 B. 三角形任何两边之和大于第三边 C. 任意三角形的三条角平分线交于一点 D. 三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三条重要线段，三角形三边关系，三角形内角和定理．根据角平分线，高线的定义和性质，三角形三边关系，三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的三个内角的和等于，本选项不符合题意； B、三角形任何两边之和大于第三边，本选项不符合题意； C、任意三角形三条角平分线交于一点，本选项不符合题意； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得右边阴影部分的面积，根据面积相等即可解答． 【详解】解：左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 6. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹作射线与相交于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、三角形内角和定理，由题意得．由作图痕迹可知，为的平分线，则，可得． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图痕迹可知，为的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 7. 若等腰三角形一个角是，则该等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用等知识，解题关键是利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理进行计算，注意分类讨论．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是， ∴有两种可能： ① 若的角为顶角，则顶角为； ② 若的角为底角，则顶角， ∴顶角为或． 故选：C． 8. 如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①由题意得是等腰直角三角形，由三线合一可得，平分，从而可证，，结合，利用同角的余角相等可证，通过可证； ②根据全等三角形的性质得，结合可证是等腰直角三角形； ③根据全等三角形的性质得，结合可证，则，利用三角形三边关系即可判断； ④是等腰直角三角形，直角边长取最小值时，取最小值，则当时，的值最小，此时，也是等腰直角三角形，则； ⑤根据全等三角形的性质得，则四边形的面积可转化为的面积，可证四边形的面积是定值． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形； 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故③错误； 如图，当时，的值最小， 由①是等腰直角三角形， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴； 故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积是16，为定值； 故⑤正确，即正确的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，三角形的面积和三边关系等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键． 二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分） 9. 当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．任何非零数的零次幂都等于1，零的零次幂无意义． 【详解】解：若 ， 则底数 ， 解得 ． 故答案为： ． 10. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构，对比多项式的系数即可求解． 【详解】解：∵多项式为完全平方式， ∴， ∴或， 解得或， ∴， 故答案为：． 11. 把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 【答案】##128度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，根据平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，结合邻补角求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 13. 如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有_____种补法． 【答案】4 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案． 【详解】解：如图， ∴补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键． 14. 如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；根据轴对称的定义可知：，则，利用外角的性质将转化为，再利用三角形内角和定理结合已知条件即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值； 根据轴对称的定义可知： ， 则 ． 故答案为：． 三、解答题（共5个小题，每题5分，共25分） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项； （2）先进行幂的运算，然后再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 如图，在与中，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，利用即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 17. 在有理数范围内定义一种新运算，规定． （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新运算的定义，代入求值即可； （2）根据新运算的定义列出代数式后，先用平方差公式和完全平方公式进行计算，然后合并同类项． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出坐标________； （2）若轴，且点P的坐标为，求点P的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查在平面直角坐标系中进行轴对称变换作图及平行于轴的直线上的点的坐标的特点，熟知关于x轴对称的点纵坐标互为相反数、横坐标相同，平行于轴的直线上的点的坐标横坐标相同，是正确解题的关键． （1）由关于轴对称的性质得点，，的对称点为，描点，连线即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的坐标横坐标相同，即可求出的值，即可解答． 【小问1详解】 解： 如图所示，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵轴，且点P的坐标为，， ∴，解得， ∴点P的坐标为． 19. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，点A，点B关于轴对称． （1）已知，则点B的坐标为______； （2）已知，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由关于轴对称的点的纵坐标互为相反数、横坐标相等可得答案； （2）先根据两点关于轴对称得出，再由的面积为列方程求解可得． 【小问1详解】 解：点在第一象限，点，点关于轴对称， 的坐标； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，点，关于轴对称， 的坐标， ， ∵面积为， ∴ ， 的坐标． 四、解答题（共3个小题，每题6分，共18分） 20. 如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． （1）如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． （2）如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． （3）如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【小问1详解】 解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； 【小问3详解】 解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 21. 如图，，，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求；（用含的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，，，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：设交于点， ， ， ， ． 22. 已知，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方式进行配方，消元法的应用，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ， ， ， ． ，， ，， ∴， ． 五、解答题（共2个小题，23题7分，24题8分） 23. 如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据直角三角形的性质可得出，根据垂直的定义得出，结合余角的性质即可得证； （2）过点B作交的延长线于点G．根据证明，得出，，根据证明，得出，然后结合三角形定理求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． 在中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点B作交的延长线于点G． ，， ． 由（1）知， 又， ， 则，． 是边上的中线， ． 由于，， ， 又，则． 在和中， ，，， ， ． 在中，， ， ． 又，， ． 24. 如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． （1）求证：； （2）若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 【答案】（1）见解析 （2）①9；②小亮说法正确，见解析 【解析】 【分析】（1）根据，结合，得到即可得证； （2）①证明，结合，，得到解答即可； ②根据三角形全等的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的互余性质，三角形全等的判定和性质，轴对称，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握性质和轴对称性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：设的交点为点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ②解：作的垂直平分线，将沿着第一次轴对称，得到； 连接，过作的垂线，由，则为的垂直平分线，将沿着第二次轴对称，得到，如图，则直线，即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $