精品解析：　江西省南昌市红谷滩区江西师范大学附属中学、滨江分校等校联考2025-2026学年九年级上学期12月素养测试数学试题

九年级数学素养测试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数， 2、无限不循环小数，3、含有的数． 【详解】解： ，，0都是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法的运算法则是解题的关键． 分别运用幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法计算，即可判断． 【详解】解：A、，错误，该选项不符合题意； B、，错误，该选项不符合题意； C、，错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选：D． 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可，掌握抛物线“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是， 故选：． 5. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可． 【详解】解：， 由② 得：， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： ， ∴不等式组的解集为：； 故选B 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键． 6. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质确定二次项、一次项系数、常数项的符号是关键． 根据二次函数图象得到，再根据一次函数，反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象开口向下，对称轴直线，函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴A选项的图象符合题意， 故选：A ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 7. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 8. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9. 已知单项式与是同类项，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键． 直接利用同类项的定义即可求得n的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，解得：． 故答案为：2． 10. 如图，在矩形中，．平分交于点E，以B为圆心．长为半径画弧，交于点F．若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据，计算即可得到答案． 【详解】解：，平分交于点E， ， ， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，结合已知线段比例与长度，计算未知线段长度． 【详解】解：∵ 直线， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题分三种情况讨论，当的垂直平分线分别经过的、边中点时，利用含角的直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等边三角形判定与性质以及勾股定理来求解的长度． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵的垂直平分线经过一边中点， 可分为以下三种情况： 经过的中点；经过的中点；经过的中点； 第一种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ； 第二种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵，垂直， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：； 第三种：当经过的中点时，交于点， 如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题目综合考查了直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质、中点的性质以及几何计算与证明等知识点；通过分类讨论，逐步推导出的可能长度． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】(1)0；(2)或 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算及配方法解一元二次方程，熟练掌握各运算的法则和配方法的步骤是解题的关键． （1）根据乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，逐步计算后合并结果． （2）用配方法将方程变形为完全平方式，再开方求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ， ， 即，． 14. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明． 题设： ；结论： ．（均填写序号） 证明： 【答案】 情况一：题设①②③，结论④； ∵BF=EC， ∴， 即， 在△ABC和△DEF中， ， ∴， ∴； 情况二：题设①③④，结论③； 在△ABC和△DEF中， ， ∴， ∴， ∴，即； 情况三：题设②③④，结论①； ∵， ∴， 即， 在△ABC和△DEF中， ， ∴， ∴； 故答案为：①②③；④． 【解析】 【分析】根据三个不同的情况进行讨论分析即可； 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 15. 如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左、右脚）共四只，放置于地板上（分别用A1，A2，B1，B2表示）． （1）若已经拿到左脚拖鞋A1，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，则恰好匹配成双相同颜色的拖鞋的概率是　 　． （2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用画树状图或列表的方法求恰好取出一双相同颜色的拖鞋的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种不同的情况，其中恰好匹配的有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵已经拿到左脚拖鞋A1，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，有A1A2，A1B2二种情况，恰好匹配成双相同颜色的拖鞋的有A1A2一种情况， ∴恰好匹配成双相同颜色的拖鞋的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树形图如下： 共有12种不同的情况，其中恰好匹配的有4种，分别是A1A2，A2A1，B1B2，B2B1， ∴恰好取出一双相同颜色的拖鞋的概率为： ． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，点，，在上，且，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，，作一个度数为的圆周角； （2）在图2中，，作一个度数为的圆周角． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）及圆的相关性质是解题的关键． （1）作直径，连接，则为所求； （2）作直径，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 证明：连接、， 在和中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 证明：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 17. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 如图，四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． 在和中， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论； （2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理得到的长，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 19. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1）93.2；96.5； （2） 我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由： 七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） （3）256人 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答． （1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：， 位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 如图，中，，．点，点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数解析式： （2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数图象上的点，求，的值； （3）求的面积． 【答案】（1）． （2），； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等性质求出点坐标，代入反比例函数解析式求； （2）先求直线解析式，再得到平移后的解析式，结合点在反比例函数和直线上，列方程求、； （3）先求直线的解析式，过点作轴交于，求出坐标，利用铅锤法计算面积即可． 【小问1详解】 解：过点作轴于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 将直线向上平移个单位后解析式为， ∵点在上， ∴， 将代入，得， ∴． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，将、代入： ， 解得，， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于， 将代入直线的解析式，得， ∴． ∴的长度为， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数解析式的求解、一次函数的平移与解析式求解、三角形面积的铅锤法（平行线法）计算，熟练掌握全等三角形的构造、函数图象上点的坐标特征、一次函数解析式的求法、三角形面积的线段差法是解题的关键． 22. 课本再现 （1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般” 如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线． 【答案】（1），； （2）证明：以图2为例证明， 连接，，如图所示： ∵弧弧， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在四边形，， 即圆内接四边形的对角互补； 或者以图3为例证明， 连接，，如图所示： ∵弧弧， ∴，， ∵, ∴， ∴， 在四边形，， 即圆内接四边形的对角互补； （3）证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵是线段的中点， ∴，则， ∵是圆的半径， ∴是圆的切线． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是以及四边形内角和为进行作答即可； （2）以图2为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答；或者以图3为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答即可； （3）连接，，根据等边对等角，即，又，得，，，再结合四边形是圆内接四边形，得，，进而知道，又因为是线段的中点，即可求证是的切线． 【详解】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为直径， ∴， 那么， 故答案为：90，180； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形对角互补以及圆的基本性质、切线的判定、平行线的判定与性质等知识点内容，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分） 23. 如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． （1）如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； （3）如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 【答案】（1） （2） （3）最大深度 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，利用面积法可得，再由，建立方程求解即可求得答案； （3）在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，可得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 ∵以C为原点建立平面直角坐标系，抛物线的顶点在原点，开口向上，液面，最大深度（液面到最低点的距离）为，如图2， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵点M是抛物线上一点，如图2，设交y轴于点L， ∴设， 则， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，如图4， 由（1）知：抛物线解析式为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， ∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图3所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的判定，旋转的性质等知识，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养测试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 7. 27的立方根为_____． 8. 分解因式：________． 9. 已知单项式与是同类项，则______． 10. 如图，在矩形中，．平分交于点E，以B为圆心．长为半径画弧，交于点F．若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为______． 11. 如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为______． 12. 如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明． 题设： ；结论： ．（均填写序号） 证明： 15. 如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左、右脚）共四只，放置于地板上（分别用A1，A2，B1，B2表示）． （1）若已经拿到左脚拖鞋A1，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，则恰好匹配成双相同颜色的拖鞋的概率是　 　． （2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用画树状图或列表的方法求恰好取出一双相同颜色的拖鞋的概率． 16. 如图，点，，在上，且，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，，作一个度数为的圆周角； （2）在图2中，，作一个度数为的圆周角． 17. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 如图，四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 如图，中，，．点，点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数解析式： （2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数图象上的点，求，的值； （3）求的面积． 22. 课本再现 （1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般” 如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分） 23. 如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． （1）如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； （3）如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $